Як вписати кулю у правильний тетраедр. У тетраедр, у якого ребро дорівнює а, вписаний шар так, що він
Центр кулі, що стосується ребер тетраедра ABCQ (рис.), збігається з центром тетраедра (тобто з точкою О, рівновіддаленої від вершів А, В, С, D), а точки торкання кулі з ребрами суть середини ребер. Наприклад, точка дотику N є середина ребра AD. Дійсно, всі шість рівнобедрених трикутників АОВ, ВОС, СОА, BOD, COD та AOD (накреслено лише трикутник AOD) дорівнюють один одному (по трьох сторонах). Отже, їх висоти ЗМ, ON і т. д. рівні. Тому якщо описати кулю радіусом ON = r , то він пройде через середини L, М, N, Q, K, R ребер і там торкнеться їх (оскільки ON⊥AD і т, буд.).
Проведемо через висоту тетраедра DG та ребро AD площину ADG. Вона буде перпендикулярна до ребра ВС (доказ дано в задачі) і перетне це ребро в його середині М. У перетині отримаємо рівнобедрений трикутник AMD (AM = MD). Проведемо висоту MN цього трикутника (N – середина AD). Центр лежить на MN (оскільки він рівновіддалений від А і О). Отже, MO = NO. Значить, r = MN/2. Висота MN визначається із трикутника ANM, де AN = a / 2 та AM = a √ 3/2 . (Як апофема рівностороннього трикутника ABC). Маємо
Частина кулі, розташована поза тетраедром, складається з чотирьох рівних сегментів, що відсікаються від кулі гранями тетраедра. Розглянемо одну із граней BDC. Коло LMK, що лежить в основі сегмента, вписано в рівносторонній трикутник BDC (бо сторони трикутника стосуються кулі; отже, вони стосуються і малого кола LMK, що лежить у площині BDC). Радіус цього кола FM = a √ 3 / 6
Отже,
шуканий обсяг
V = 4V c
Зауваження. Коло LKM, вписане у трикутник BCD. зображується еліпсом, який легко накреслити від руки, якщо крім точок К, L, М попередньо відзначити ще три точки, відповідно симетричні з ними щодо F (точка F є точка перетину медіан трикутника BDC).
Щоб легко впоратися з розв'язанням задач на кулю, вписану в піраміду, корисно розібрати невеликий теоретичний матеріал.
Куля вписана в піраміду (або сфера вписана в піраміду) - отже, куля (сфера) стосуються кожної грані піраміди. Площини, що містять грані піраміди, є дотичні площинами кулі. Відрізки, що з'єднують центр кулі з крапками, перпендикуляри до дотичних площин. Їх довжини дорівнюють радіусу кулі. Центр вписаної в піраміду кулі - точка перетину бісекторних площин двогранних кутів при основі (тобто площин, що ділять ці кути навпіл).
Найчастіше у завданнях мова йдепро кулю, вписану в правильну піраміду. Кулю можна вписати в будь-яку правильну піраміду. Центр кулі у разі лежить висоті піраміди. При вирішенні задачі зручно провести переріз піраміди та кулі площиною, що проходить через апофему та висоту піраміди.
Якщо піраміда чотирикутна або шестикутна, переріз є рівнобедреним трикутником, бічні сторониякого - апофеми, а основа - діаметр вписаної в основу кола.
Якщо піраміда трикутна або п'ятикутна, достатньо розглянути лише частину цього перерізу. прямокутний трикутник, Катети якого - висота піраміди і радіус вписаної в основу піраміди кола, а гіпотенуза - апофема.
У будь-якому разі, в результаті приходимо до розгляду відповідного прямокутного трикутника та інших пов'язаних із ним трикутників.
Отже, у прямокутному трикутнику SOF катет SO=H – висота піраміди, катет OF=r – радіус вписаної в основу піраміди кола, гіпотенуза SF=l – апофема піраміди. O1 - центр кулі і, відповідно, кола, вписаного в трикутник, отриманий у перерізі (ми розглядаємо його частину). Кут SFO лінійний кут двогранного кутаміж площиною основи та площиною бічної грані SBC. Точки K та O — точки дотику, отже, O1K перпендикулярний SF. OO1 = O1K = R - радіусу кулі.
Прямокутні трикутники OO1F та KO1F рівні (за катетами та гіпотенузою). Звідси KF=OF=r.
Прямокутні трикутники SKO1 і SOF подібні ( гострому кутку S), звідки випливає, що
У трикутнику SOF застосуємо властивість бісектриси трикутника:
З прямокутного трикутника OO1F
При вирішенні завдань на кулю, вписану в правильну піраміду, буде корисним ще одна міркування.
Тепер знайдемо відношення обсягу піраміди до площі поверхні.
183. Легко довести, що середина відрізка, що з'єднує центри підстав призми, є центром вписаної та описаної куль. Радіус кола, вписаного в основу, дорівнює радіусувписаної кулі. Нехай r -Радіус вписаної кулі, R - радіус описаної кулі. Розглянемо прямокутний трикутник, вершинами якого є одна з вершин основи, центр основи та центр куль. Маємо R 2 = r 2 + r 2 1, де. Звідси
Відношення об'єму описаної кулі до об'єму вписаної кулі дорівнює
184. Радіуси описаної та вписаної куль дорівнюють відрізкам висоти тетраедра, на які вона ділиться загальним центром цих куль. Легко виявити, що відношення цих відрізків дорівнює 3:1.
Справді, з подібних трикутників BQO та ВРK (рис. 188) маємо:
Так як поверхні куль відносяться як квадрати їх радіусів, то відношення, що шукається, дорівнює 9.
______________________________________________
185. Об'єми правильних тетраедрів відносяться як куби радіусів вписаних в них куль. Оскільки куля, вписана у більший тетраедр, є описаною навколо меншого тетраедра, відношення згаданих радіусів вписаних куль (див. розв'язання задачі 184) дорівнює 3:1. Отже, шукане відношення обсягів дорівнює 33 = 27.
______________________________________________
186. Припустимо, що завдання можна розв'язати. Проведемо площину A 1 B 1 C 1 (див. рис. 189 а), що стосується меншої кулі і паралельну основу AВС даного тетраедра. Тетраедр SA 1 B 1 C 1 описаний біля кулі радіусу r . Легко знайти, що висота його SQ 1 = 4 r (Див. задачу 184).
Нехай довжина ребра тетраедра SABC дорівнює х . Тоді відрізок AQ = x √ 3 / 3 , а висота SQ = x √ 6 / 3 .
Вирішивши квадратне рівняння, знайдемо
x 1,2 = r √6 ± √ R 2 - 3r 2 .
У цій формулі слід взяти лише корінь зі знаком плюс, бо SA принаймні більше, ніж 3 r , а 3 r > r √6 .
Очевидно, що завдання можливе за умови R > √3 r
______________________________________________
187. Нехай A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильний шестикутникотриманий у перерізі куба. Завдання зводиться до визначення радіусу кулі, вписаної у правильну шестикутну піраміду SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 (рис. 190).
Сторона основи піраміди дорівнює a √ 2 / 2 , а висота дорівнює a √ 3 / 2
Користуючись тим, що радіус кулі, вписаної в піраміду, дорівнює потрійному об'єму піраміди, поділеному на неї. повну поверхню(див. формулу (1) у розв'язанні задачі), знаходимо:
Отже, потрібне ставлення одно 
______________________________________________
188. Нехай О - центр сфери, а AS, BS та CS - дані хорди. Очевидно, що трикутник ABCрівносторонній (рис. 191).
Легко бачити також, що перпендикуляр SO 1 на площину ABC при продовженні проходить через центр сфери, оскільки точка O 1 є центром кола, описаного навколо /\ ABC.
Позначимо після цих зауважень через d шукану довжину хорд. З трикутника SAB знаходимо:
АВ = 2 d sin α / 2
і, отже,
Обчислюючи двома способами площу рівнобедреного трикутника SOA, отримуємо:
______________________________________________
189. Радіус вписаної кулі r ми знайдемо за формулою (пор. формулу (1) у розв'язанні задачі)
де V-обсяг піраміди, a S – її повна поверхня.
Знайдемо спочатку обсяг піраміди. Зауважимо для цього, що прямокутні трикутники BSC і BSA (рис. 192) дорівнюють рівним гіпотенузамта загальному катету. З огляду на це прямокутний трикутник ASC є рівнобедреним. Так як
AS = CS = √a 2 - b 2 ,
то, отже,
______________________________________________
190. Позначимо через r радіус вписаної кулі, а через R радіус описаної кулі.
Розглянемо спочатку трикутник SFE, одна із сторін якого SF є висотою піраміди, а інша SE-висотою бічної грані (рис. 193 а). Нехай О-центр вписаної кулі. З трикутників SFE та OFE (рис. 193 б) маємо:
FE= r ctg φ / 2 ,
SF = r ctg φ / 2 tg φ .
DF = EF√2
Звертаючись до рис. 193, в, де зображено переріз, проведений через вісь піраміди та її бічне ребро, ми легко знайдемо:
DO 1 2 = O 1 F 2 + DF 2
R 2 = (SF – R) 2 + DF 2 .
Оскільки R = 3 r , то, підставляючи сюди знайдені раніше вирази для SF і DF, отримуємо рівняння щодо φ :
або після спрощення
6 tg φ / 2 tg φ = 2 + tg 2 φ .
7z 4 -6z 2 + l = 0.
Так як z > 0, то можливі лише дві відповіді:
______________________________________________
191. Усього виходить 6 двокутників (за кількістю ребер) та 4 трикутники (рис. 194).
Позначимо через S 1 площу кожного з трикутників і через S 2 -площу кожного з двокутників. Маємо:
4S 1 + 6S 2 = 4 π R2. (1)
Нехай S 0 - сума площ одного трикутника і трьох двокутників, що прилягають до нього. S 0 є площа сферичного сегмента, відтятого площиною грані тетраедра. Ця площа дорівнює 2 π R h , де h - Висота сегмента. Оскільки висота тетраедра ділиться центром сфери щодо 3:1 (див. задачу 184), то
H = R + 1/3 R = 4 / 3 R
звідки знаходимо h = 2R - 4/3 R = 2/3 R.
S 1 + 3S 2 = 2 π R 2/3 R = 4/3 π R2. (2)
Вирішивши систему, що складається з рівнянь (1) і (2), щодо невідомих S 1 і S 2 отримуємо:
S 1 = 2/3 π R 2 , S 2 = 2/9 π R 2
______________________________________________
192. Нехай R-радіус основи конуса, α - Кут між віссю конуса і утворює, r - Радіус вписаної кулі. У осьовому перерізіконуса маємо рівнобедрений трикутник ABC (рис. 195).
Радіус кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює радіусу r вписаної в конус кулі. Нехай О - центр кола, / ОСА = β .
Тоді очевидно, що tg β = r /R. Але за умовою завдання
Звідси r / R = 1 / √ 3 і, отже, β = π / 6 . Оскільки, крім того, α +2β = π / 2 , то α = π / 6 . Отже, кут 2 α = π / 3 .
______________________________________________
193. Нехай r - радіус півсфери, R - радіус основи конуса, l -утворююча конуса, α - Кут між віссю конуса і утворює.
За умовою завдання маємо
Введемо в цю рівність кут α . Для цього розглянемо рівнобедрений /\ ABC (рис. 196), що виходить в осьовому перерізі конуса. З /\ ABC знаходимо
R = l sin α , r = R cos α = l sin α cos α .
