Об'єм правильної шестикутної піраміди 2592. Піраміда
Креслення - перший і дуже важливий кроку рішенні геометричної задачі. Яким має бути малюнок правильної піраміди?
Спочатку згадаємо властивості паралельного проектування:
- Паралельні відрізки фігури зображуються паралельними відрізками;
- Зберігається відношення довжин відрізків паралельних прямих і відрізків однієї прямої.
Малюнок правильної трикутної піраміди
Спочатку зображаємо основу. Оскільки при паралельному проектуваннікути та відношення довжин не паралельних відрізківне зберігаються, правильний трикутник у підставі піраміди зображується довільним трикутником.
Центр правильного трикутника – точка перетину медіан трикутника. Оскільки медіани в точці перетину діляться щодо 2:1, рахуючи від вершини, подумки з'єднуємо вершину основи з серединою протилежної сторони, приблизно ділимо її на три частини, і на відстані 2 частин від вершини ставимо крапку. З цієї точки нагору проводимо перпендикуляр. Це – висота піраміди. Перпендикуляр малюємо такої довжини, щоб бічне реброне закривало зображення висоти.
Малюнок правильної чотирикутної піраміди
Малюнок правильної чотирикутної піраміди також починаємо з основи. Оскільки паралельність відрізків зберігається, а величини кутів — ні, квадрат в основі зображується паралелограмом. Бажано гострий кутцього паралелограма робити менше, тоді бічні грані виходять більше. Центр квадрата – точка перетину його діагоналей. Проводимо діагоналі, з точки перетину відновлюємо перпендикуляр. Цей перпендикуляр – висота піраміди. Вибираємо довжину перпендикуляра таким чином, щоб бічні ребра не зливали між собою.
Малюнок правильної шестикутної піраміди
Оскільки при паралельному проектуванні паралельність відрізків зберігається, основа правильної шестикутної піраміди - правильний шестикутник - зображаємо шестикутником, у якого протилежні сторони паралельні та рівні. Центр правильного шестикутника – точка перетину його діагоналей. Щоб не захаращувати малюнок, діагоналі не проводимо, а знаходимо цю точку приблизно. З неї відновлюємо перпендикуляр – висоту піраміди – так, щоб бічні ребра не зливалися між собою.
Інструкція
При квадратній підставі піраміди з відомою довжиною сторони (a) та заданим об'ємом (V) замініть площу у формулі розрахунку з попереднього крокуна зведену квадрат довжину боку: H = 3*V/a².
Формулу з першого кроку можна трансформувати для обчислення висоти (H) правильної піраміди з основою будь-якої форми. Вихідні дані, які в ній повинні бути задіяні - обсяг (V) багатогранника, довжина ребра на підставі (a) та кількість вершин на підставі (n). Площа правильного багатокутникавизначається чвертю добутку кількості вершин на квадрат довжини сторони та котангенс кута, що дорівнює співвідношенню 180° та кількості вершин: ¼*n*a²*ctg(180°/n). Підставте цей вираз у формулу з першого кроку: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)).
Якщо площа підстави невідома з умов завдання, а дані лише обсяг (V) і довжина ребра (a) , то змінну, що бракує, у формулі з попереднього кроку можна замінити її еквівалентом, вираженим через довжину ребра. Площа (він, як ви пам'ятаєте, лежить в основі піраміди типу) дорівнює одній чверті від твору квадратного кореняіз трійки на зведену у квадрат довжину сторони. Підставте цей вираз замість площі підстави у формулу з попереднього кроку і отримайте такий результат: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3).
Оскільки обсяг тетраедра теж можна виразити через довжину ребра, то з формули обчислення висоти фігури взагалі можна прибрати всі змінні, залишивши лише бік її грані. Обсяг цієї піраміди обчислюється розподілом на 12 добутку квадратного кореня з двійки на зведену в куб довжину грані. Підставте цей вираз у формулу з попереднього кроку і отримайте в результаті: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
Правильну призмуможна вписати у сферу, а знаючи лише її радіус (R) можна обчислити і тетраедра. Довжина ребра дорівнює вчетверному співвідношенню радіуса і квадратного кореня із шістки. Замініть цим виразом змінну a у формулі з попереднього кроку та отримайте рівність: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
Аналогічну формулу можна отримати і знаючи радіус (r) вписаного в тетраедр кола. У цьому випадку довжина ребра дорівнюватиме дванадцяти співвідношенням між радіусом і квадратним з шістки. Підставте цей вираз у формулу з третього кроку: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Піраміда – одна з наймістичніших фігур у геометрії. З нею пов'язують потоки космічної енергії, багато давніх народів обирали саме цю форму для будівництва своїх культових споруд. Тим не менш, з точки зору математики, піраміда – це лише багатогранник, з багатокутником в основі, а гранями є трикутники з загальною вершиною. Розглянемо, як знайти площа гранів піраміді.
Вам знадобиться
- калькулятор.
Інструкція
Піраміди типів: правильна (в основі - правильний багатокутник, а вершини на - його центр), довільна (в основі лежить будь-який багатокутник, а проекція вершини необов'язково збігається з його центром), прямокутна (одне з бічних ребер складає з основою прямий кут) і . Залежно від того, сторін має багатокутник на основі піраміди, її називають три-, чотири-, п'яти або, наприклад, десятикутною.
Для всіх видів пірамід, крім усіченої: Перемножте довжини основи трикутника та опущеної на нього висоти з вершини піраміди. Розділіть отриманий твір на 2 – це буде шукана площабічний граніпіраміди.
Усічена пірамідаСкладіть обидві підстави трапеції, що є гранню такої піраміди. Розділіть отриману суму на два. Помножте отримане значення на висоту грані-трапеції. Отримана в результаті величина – площабічний граніпіраміди даного типу.
Відео на тему
Площа бічної поверхні та основи, периметр основи піраміди та її об'єм пов'язують між собою певні формули. Це часом дає можливість обчислити значення даних, необхідних для визначення площі грані в піраміді.
Обсяг будь-якої не усіченої піраміди дорівнює третині від твору висоти піраміди та площі основи. Для правильної піраміди справедливо: площа бічної поверхні дорівнює половині периметра основи помноженої на висоту однієї з граней. При розрахунку обсягу зрізаної піраміди, замість площі підстави підставляється величина, рівна суміплощ верхньої, нижньої основи та квадратного кореня з їхнього твору.
Джерела:
- Стереометрія
- як знайти бічну грань піраміди
Прямокутною називається піраміда, одне з ребер якої перпендикулярно до її основи, тобто стоїть під кутом 90˚. Це ребро є одночасно і висотою прямокутної піраміди. Формулу обсягу піраміди вперше вивів Архімед.
Вам знадобиться
- - ручка;
- - папір;
- - Калькулятор.
Інструкція
У прямокутною висотоюбуде її ребро, яке стоїть під кутом 90˚ до основи. Як , площа основи прямокутної позначають як S, а висоту, яка одночасно є піраміди, − h. Тоді, щоб знайти обсяг цієї піраміди, необхідно площу її основи помножити на висоту і розділити на 3. Таким чином, об'єм прямокутної пірамідиобчислюється з допомогою формули: V=(S*h)/3.
Побудуйте , дотримуючись вказаних параметрів. Її основу позначте латинськими ABCDE, а вершину піраміди- S. Оскільки креслення вийде на поверхні в проекції, то для того, щоб не заплутатися, позначте вже відомі вам дані: SE = 30см; S(ABCDE)=45 см².
Обчисліть об'єм прямокутної піраміди, використовуючи формулу. Підставивши дані та зробивши підрахунки, вийде, що обсяг прямокутної пірамідидорівнюватиме: V=(45*30)/3=см³.
Якщо за умови завдання немає даних про та висоту піраміди, потрібно провести додаткові обчислення для отримання цих величин. Площа основи обчислюватиметься залежно від того, багатокутник лежить у її основі.
Висоту пірамідидізнаєтеся, якщо відома гіпотенуза будь-якого прямокутного EDS або EAS і кут, під яким нахилена бічна грань SD або SA до її основи. Обчисліть катет SE за теоремою синусів. Він і буде висотою прямокутною піраміди.
Зверніть увагу
p align="justify"> Проводячи обчислення таких величин, як висота, обсяг, площа, слід пам'ятати, що кожна з них має свою одиницю вимірювання. Так, площа вимірюється в см2, висота - в см, а обсяг - в см3.
Кубічний сантиметр- Це одиниця об'єму, яка дорівнює об'єму куба з довжиною ребер в 1см. Якщо підставити дані до нашої формули, отримаємо: см³= (см²*см)/3.
Корисна порада
Як правило, якщо в задачі потрібно знайти обсяг прямокутної піраміди, то всі необхідні дані відомі – як мінімум для того, щоб знайти площу основи та висоту фігури.
Піраміди бувають: трикутні, чотирикутні і т. д., дивлячись по тому, що є основою – трикутник, чотирикутник тощо.
Піраміда називається правильною (фіг.286,б), якщо, по-перше, її основою є правильний багатокутник, і, по-друге, висота проходить через центр цього багатокутника.
В іншому випадку піраміда називається неправильною (фіг.286,в). У правильної пірамідівсі бічні ребра рівні між собою (як похилі з рівними проекціями). Тому всі бічні грані правильної піраміди є рівними рівнобедреними трикутниками.
Аналіз елементів правильної шестикутної піраміди та їх зображення на комплексному кресленні (фіг.287).
а) Комплексне кресленняправильної шестикутної піраміди. Основа піраміди розташована на площині П 1; дві сторони основи піраміди паралельні площині проекцій П 2 .
б) Основа ABCDEF – шестикутник, розташований у площині проекцій П 1 .
в) Бічна грань ASF – трикутник, розташований у площині загального положення.
г) Бічна грань FSE – трикутник, розташований у профільно – проектуючій площині.
д) Ребро SE – відрізок загального стану.
е) Ребро SA – фронтальний відрізок.
ж) Вершина S піраміди – точка у просторі.
На (фіг.288 і фиг.289) наведені приклади послідовних графічних операцій при виконанні комплексного креслення та наочних зображень (аксонометрії) пірамід.
Дано:
1. Основа розташована на площині П 1 .
2. Одна зі сторін основи паралельна осі х 12 .
I. Комплексне креслення.
I, а. Проектуємо основу піраміди - багатокутник, по даною умовоющо лежить у площині П 1 .
Проектуємо вершину - точку, розташовану у просторі. Висота точки S дорівнює висоті піраміди. Горизонтальна проекція S 1 точки S буде в центрі проекції основи піраміди (за умовою).
I, б. Проектуємо ребра піраміди – відрізки; для цього з'єднуємо прямими проекції вершин основи ABCDE з відповідними проекціями вершини піраміди S. Фронтальні проекції S 2 З 2 і S 2 D 2 ребер піраміди зображуємо штриховими лініями, як невидимі, закриті гранями піраміди (SBА та SAE).
І, ст. Дана горизонтальна проекція До 1 точки До на бічній грані SBА потрібно знайти її фронтальну проекцію. Для цього проводимо через точки S 1 і K 1 допоміжну пряму S 1 F 1 знаходимо її фронтальну проекцію і на ній за допомогою вертикальної лініїзв'язку визначаємо місце шуканої фронтальної проекції K 2 точки К .
ІІ. Розгортка поверхні піраміди - плоска фігура, Що складається з бічних граней - однакових рівнобедрених трикутників одна сторона яких дорівнює стороні основи, а дві інші - бічним ребрам, і з правильного багатокутника - основи.
Натуральні розміри сторін основи виявлено з його горизонтальної проекції. Натуральні розміри ребер на проекціях не виявлено.
Гіпотенуза S 2 A 2 (фіг.288, 1
, б) прямокутного трикутника S 2 O 2 A 2 , у якого великий катет дорівнює висоті S 2 O 2 піраміди, а малий – горизонтальної проекції ребра S 1 A 1 є натуральною величиною ребра піраміди. Побудову розгортки слід виконувати у такому порядку:
а) з довільної точки S (вершини) проводимо дугу радіусом R , рівним ребрупіраміди;
б) на проведеній дузі відкладемо п'ять хорд розміром R 1 рівним стороні основи;
в) з'єднаємо прямими точки D, С, В, А, Е, D послідовно між собою і з точкою S отримаємо п'ять рівнобедрених рівних трикутниківскладових розгортку бічної поверхні даної піраміди, розрізаної по ребру SD;
г) прилаштовуємо до будь-якої грані основу піраміди - п'ятикутник, користуючись способом тріангуляції, наприклад, до грані DSE .
Перенесення на розгортку точки здійснюється допоміжної прямої за допомогою розміру В 1 F 1 , взятого на горизонтальній проекції, і розміру А 2 К 2 , взятого на натуральній величині ребра.
ІІІ. Наочне зображенняпіраміди в ізометрії.
ІІІ, а. Зображаємо основу піраміди, користуючись координатами згідно (фіг.288, 1
, а).
Зображуємо вершину піраміди, користуючись координатами (фіг.288, 1
, а).
ІІІ, б. Зображуємо бічні ребра піраміди, поєднуючи вершину з вершинами основи. Ребро S"D" і сторони основи C"D" і D"E" зображаємо штриховими лініями, як невидимі, закриті гранями піраміди C"S"B", B"S"A" і A"S"E".
III, e. Визначаємо на поверхні піраміди точку К, користуючись розмірами у F і х K. Для диметричного зображення піраміди слід дотримуватись тієї ж послідовності.
Зображення неправильної трикутної піраміди.
Дано:
1. Основа розташована на площині П 1 .
2. Сторона ВС основи перпендикулярна до осі X .
I. Комплексний креслення
I, а. Проектуємо основу піраміди - рівнобедрений трикутник, що лежить у площині П 1 і вершину S - точку, розташовану в просторі, висота якої дорівнює висоті піраміди.
I, б. Проектуємо ребра піраміди – відрізки, для чого з'єднуємо прямими однойменні проекції вершин основи з однойменними проекціями вершини піраміди. Горизонтальну проекцію сторони основи ЗС зображаємо штриховою лінією, як невидиму, закриту двома гранями піраміди ABS, ACS.
І, ст. На фронтальній проекції A 2 2 S 2 бічній грані дана проекція D 2 точки D . Потрібно знайти її горизонтальну проекцію. Для цього через точку D 2 проводимо допоміжну пряму паралельно осі х 12 - фронтальну проекцію горизонталі, потім знаходимо її горизонтальну проекцію і на ній за допомогою вертикальної лінії зв'язку визначаємо місце шуканої горизонтальної проекції D 1 точки D .
ІІ. Побудова розгортки піраміди.
Натуральні розміри сторін основи виявлено горизонтальній проекції. Натуральна величина ребра AS виявлена на передній проекції; натуральної величини ребер BS і CS в проекціях немає, величину цих ребер виявляємо шляхом обертання навколо осі i , перпендикулярної до площині П 1 проходить через вершину піраміди S . Нова фронтальна проекція C 2 S 2 є натуральною величиною ребра CS .
Послідовність побудови розгортки поверхні піраміди:
а) викреслюємо рівнобедрений трикутник - грань CSB, основа якого дорівнює стороні основи піраміди СВ, а бічні сторони- натуральній величині ребра SC;
б) до сторін SC і SB побудованого трикутника прибудовуємо два трикутники - грані піраміди CSA і BSA, а до основи СВ побудованого трикутника - основу СВА піраміди, в результаті отримуємо повну розгортку поверхні даної піраміди.
Перенесення на розгортку точки D виконується в наступному порядку: спочатку на розгортці бокової грані ASC проводимо лінію горизонталі за допомогою розміру R 1, а потім визначаємо на лінії горизонталі місце точки D за допомогою розміру R 2 .
ІІІ. Наочне зображення піраміди е фронтальної диметричної проекції
ІІІ, а. Зображаємо основу А"В"С і вершину S"піраміди, користуючись координатами згідно (
Обчислення обсягів просторових фігурє однією з важливих завданьстереометрії. У цій статті розглянемо питання визначення обсягу такого поліедра, як піраміда, а також наведемо правильну шестикутну.
Піраміда шестикутна
Для початку розглянемо, що є фігура, про яку йтиметься у статті.
Нехай ми маємо довільний шестикутник, сторони якого не обов'язково рівні один одному. Також припустимо, що ми вибрали в просторі точку, що не знаходиться у площині шестикутника. Поєднавши всі кути останнього з обраною точкою, ми отримаємо піраміду. Дві різні піраміди, що мають шестикутну основу, показані на малюнку нижче.
Видно, що крім шестикутника фігура складається із шести трикутників, точка з'єднання яких називається вершиною. Відмінність між зображеними пірамідами полягає в тому, що висота h правої з них не перетинає шестикутну основу в геометричному центрі, а висота лівої фігури потрапляє точно в цей центр. Завдяки цьому критерію ліва піраміда отримала назву прямою, а права – похилою.
Оскільки основа лівої фігури малюнку утворено шестикутником з рівними сторонами і кутами, вона називається правильної. Далі у статті мова підетільки про цю піраміду.
Для обчислення обсягу довільної піраміди справедлива така формула:
Тут h – це довжина висоти фігури, S o – площа її основи. Скористаємося цим виразом визначення обсягу піраміди шестикутної правильної.
Оскільки в основі цієї фігури лежить рівносторонній шестикутник, то для обчислення його площі можна скористатися наступним загальним виразомдля n-кутника:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Тут n – ціле число, що дорівнює кількості сторін (кутів) багатокутника, a – довжина його сторони, функцію котангенсу вираховують, використовуючи відповідні таблиці.
Застосовуючи вираз для n = 6, отримаємо:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Тепер залишається підставити цей вираз у загальну формулу для обсягу V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Таким чином, для обчислення обсягу аналізованої піраміди необхідно знати дві її лінійних параметрів: довжину сторони основи та висоту фігури.
Приклад розв'язання задачі
Покажемо, як можна використовувати отриманий вираз для V 6 для вирішення наступного завдання.
Відомо, що правильний об'єм дорівнює 100 см 3 . Необхідно визначити бік основи та висоту фігури, якщо відомо, що вони пов'язані один з одним наступною рівністю:
Оскільки формулу для обсягу входять лише a і h, можна підставити у ній будь-який із цих параметрів, виражений через інший. Наприклад, підставимо a отримуємо:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Для знаходження значення висоти фігури необхідно взяти корінь третього ступеня обсягу, що відповідає розмірності довжини. Підставляємо значення об'єму V 6 піраміди з умови завдання, одержуємо висоту:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 см
Оскільки сторона підстави відповідно до умови завдання в два рази більша за знайдену величину, то отримуємо значення для неї:
a = 2 * h = 2 * 3,0676 = 6,1352 см
Об'єм шестикутної піраміди можна знайти не тільки через висоту фігури та значення сторони її основи. Достатньо знати два різних лінійних параметри піраміди для його обчислення, наприклад, апотему і довжину бічного ребра.
Завдання із пірамідами. У цій статті продовжимо розглядати завдання із пірамідами. Їх не можна зарахувати до якогось класу чи типу завдань і дати загальні (алгоритми) рекомендації на вирішення. Просто тут зібрані задачі, що залишилися, не розглянуті раніше.
Перелічу теорію, яку необхідно освіжити в пам'яті перед рішенням: піраміди, властивості подібності фігур і тіл, властивості правильних пірамід, теорема Піфагора, формула площі трикутника (вона друга). Розглянемо завдання:
Від трикутної піраміди, обсяг якої дорівнює 80, відсічена трикутна піраміда площиною, що проходить через вершину піраміди та середню лінію основи. Знайдіть об'єм відсіченої трикутної піраміди.
Обсяг піраміди дорівнює одній третині твору площі її основи та висоти:
Дані піраміди (вихідна та відсічена) мають загальну висоту, тому їх обсяги співвідносяться як площі їх основ. Середня лініявід вихідного трикутника відсікає трикутник площа якого вчетверо менша, тобто:
Докладніше про це можна подивитися тут.
Це означає, що обсяг відсіченої піраміди буде вчетверо меншим.
Таким чином, він дорівнюватиме 20.
Відповідь: 20
* аналогічного завдання, використана формула площі трикутника.
Об'єм трикутної піраміди дорівнює 15. Площина проходить через бік основи цієї піраміди і перетинає протилежне бічне ребро в точці, що ділить його щодо 1: 2, рахуючи від вершини піраміди. Знайдіть більший об'єм пірамід, на які площина розбиває вихідну піраміду.
Стоїмо піраміду, позначимо вершини.Відзначимо на ребрі AS точку Е, так щоб AE була вдвічі більшою за ES (в умові сказано, що ES відноситься до AE як 1 до 2), і побудуємо вказану площину, що проходить, через ребро АС і точку Е:
Проаналізуємо обсяг якої піраміди буде більше: EABC чи SEBC?
*Обсяг піраміди дорівнює одній третині твору площі її основи та висоти:
Якщо розглянути дві отримані піраміди і в обох прийняти за основу грань ЕВС, стає очевидно, що обсяг піраміди АЕВС буде більше обсягу піраміди SEBC. Чому?
Відстань від точки А до площини ЕВС більша, ніж відстань від точки S. А ця відстань відіграє у нас роль висоти.
Отже, знайдемо обсяг піраміди ЄАВС.
Обсяг вихідної піраміди нам дано, основа у пірамід SАВС та ЄАВС загальна. Якщо ми встановимо співвідношення висот, то легко зможемо визначити обсяг.
З відношення відрізків ES та AE випливає, що АЕ дорівнює дві треті ES. Висоти пірамід SАВС та ЄАВС знаходяться в такій же залежності -висота піраміди ЕАВС дорівнюватиме 2/3 висоти піраміди SАВС.
Таким чином, якщо
То
Відповідь: 10
Об'єм правильної шестикутної піраміди 6. Сторона основи дорівнює 1. Знайдіть бічне ребро.
У правильній піраміді вершина проектується до центру основи.Виконаємо додаткові побудови:
Знайти бічне ребро ми можемо прямокутного трикутника SOC. Для цього потрібно знати SO та ОС.
SO це висота піраміди, її ми можемо обчислити, використовуючи формулу об'єму:
Обчислимо площу основи. це правильний шестикутник зі стороною рівною 1. Площа правильного шестикутника дорівнює площі шести рівносторонніх трикутниківз такою ж стороною, детальніше про це (п.6), отже:
Значить
ОС = ВС = 1, тому що в правильному шестикутникувідрізок центр, що з'єднує його з вершиною дорівнює стороніцього шестикутника.
Таким чином, за теоремою Піфагора:
Відповідь: 7
Об'ємем тетраедра дорівнює 200. Знайдіть об'єм багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Обсяг вказаного багатогранника дорівнює різниціобсягів вихідного тетраедра V 0 і чотирьох рівних тетраедрів, кожен з яких виходить відсіканням площиною, що проходить через середини ребер, що мають загальну вершину:
Визначимо, чому дорівнює обсягвідтятого тетраедра.
Зазначимо, що вихідний тетраедр і відсічений тетраедр є подібними тілами. Відомо, що відношення обсягів подібних тіл дорівнює k 3 де k - Коефіцієнт подібності. У даному випадкувін дорівнює 2 (оскільки всі лінійні розміри вихідного тетраедра вдвічі більші за відповідні розміри відтятого):
Обчислимо обсяг відсіченого тетраедра:
Таким чином, шуканий обсяг дорівнюватиме:
Відповідь: 100
Площа поверхні тетраедра дорівнює 120. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Перший спосіб:
Шукана поверхня складається з 8 рівносторонніх трикутників зі стороною, удвічі меншою за ребро вихідного тетраедра. Поверхня вихідного тетраедра складається з 16-ти таких трикутників (на кожній з 4 граней тетраедра по 4 трикутники), тому площа, яку шукає, дорівнює половині площі поверхні даного тетраедра і дорівнює 60.
Другий спосіб:
Так як відома площа поверхні тетраедра, ми можемо знайти його ребро, потім визначити довжину ребра багатогранника і далі обчислити площу його поверхні.
Площа поверхні тетраедра складається з чотирьох рівних площею правильних трикутників. Нехай сторона такого трикутника (ребро тетраедра) дорівнює а, тоді можемо записати:
На цьому все. Успіху Вам!
З повагою Олександр Крутицьких.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
