Знайти лінійний кут двогранного кута. Двогранні кути та формула для їх обчислення

Поняття двогранного кута

Для введення поняття двогранного кута, спочатку згадаємо одну з аксіом стереометрії.

Будь-яку площину можна розділити на дві напівплощини прямої $a$, що лежить у цій площині. При цьому точки, що лежать в одній напівплощині знаходяться з одного боку від прямої $a$, а точки, що лежать в різних напівплощинах - по різні сторонивід прямої $a$ (рис. 1).

Малюнок 1.

На цій аксіомі заснований принцип побудови двогранного кута.

Визначення 1

Фігура називається двогранним кутомякщо вона складається з прямої і двох напівплощин цієї прямої, що не належать одній площині.

При цьому напівплощини двогранного кута називаються гранями, а пряма, що розділяє напівплощини - ребром двогранного кута(Рис. 1).

Малюнок 2. Двогранний кут

Градусний захід двогранного кута

Визначення 2

Виберемо на ребрі довільну точку $A$. Кут між двома прямими, що лежать у різних напівплощинах, перпендикулярних ребру і що перетинаються в точці $A$ називається лінійним кутом двогранного кута(Рис. 3).

Малюнок 3.

Вочевидь, кожен двогранний кут має нескінченне числолінійних кутів.

Теорема 1

Усі лінійні кути одного двогранного кута дорівнюють між собою.

Доведення.

Розглянемо два лінійні кути $AOB$ і $A_1(OB)_1$ (рис. 4).

Малюнок 4.

Оскільки промені $OA$ і $(OA)_1$ лежать у одній напівплощині $\alpha $ і перпендикулярні однієї прямої, всі вони є сонаправленными. Оскільки промені $OB$ і $(OB)_1$ лежать у одній напівплощині $\beta $ і перпендикулярні однієї прямої, вони є сонаправленными. Отже

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Через довільність виборів лінійних кутів. Усі лінійні кути одного двогранного кута рівні між собою.

Теорему доведено.

Визначення 3

Градусною мірою двогранного кута називається градусний західлінійного кута двогранного кута.

Приклади завдань

Приклад 1

Нехай нам дано дві неперпендикулярні площини $\alpha$ і $\beta$, які перетинаються по прямій $m$. Крапка $A$ належить площині $\beta$. $AB$ -- перпендикуляр до прямої $m$. $AC$ перпендикуляр до площини $\alpha$ (точка $C$ належить $\alpha$). Довести, що кут $ ABC є лінійним кутом двогранного кута.

Доведення.

Зобразимо малюнок за умовою задачі (рис. 5).

Малюнок 5.

Для доказу пригадаємо таку теорему

Теорема 2:Пряма, що проходить через основу похилої, перпендикулярна до неї, перпендикулярна до її проекції.

Оскільки $AC$ - перпендикуляр до площині $\alpha$, точка $C$ - проекція точки $A$ на площину $\alpha$. Отже, $BC$ - проекція похилої $AB$. За теоремою 2, $BC$ перпендикулярна ребру двогранного кута.

Тоді, кут $ABC$ відповідає всім вимогам визначення лінійного кута двогранного кута.

Приклад 2

Двогранний кут дорівнює $30^\circ$. На одній із граней лежить точка $A$, яка віддалена від іншої межі на відстань $4$ див. Знайти відстань від точки $A$ до ребра двогранного кута.

Рішення.

Розглянемо малюнок 5.

За умовою маємо $AC=4\ см$.

За визначенням градусної міри двогранного кута, маємо, що кут $ABC$ дорівнює $30^\circ$.

Трикутник $ABC$ є прямокутним трикутником. За визначенням синуса гострого кута

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Поняття двогранного кута

Для введення поняття двогранного кута, спочатку згадаємо одну з аксіом стереометрії.

Будь-яку площину можна розділити на дві напівплощини прямої $a$, що лежить у цій площині. При цьому точки, що лежать в одній напівплощині знаходяться з одного боку від прямої $a$, а точки, що лежать у різних напівплощинах - по різні боки від прямої $a$ (рис. 1).

Малюнок 1.

На цій аксіомі заснований принцип побудови двогранного кута.

Визначення 1

Фігура називається двогранним кутомякщо вона складається з прямої і двох напівплощин цієї прямої, що не належать одній площині.

При цьому напівплощини двогранного кута називаються гранями, а пряма, що розділяє напівплощини - ребром двогранного кута(Рис. 1).

Малюнок 2. Двогранний кут

Градусний захід двогранного кута

Визначення 2

Виберемо на ребрі довільну точку $A$. Кут між двома прямими, що лежать у різних напівплощинах, перпендикулярних ребру і що перетинаються в точці $A$ називається лінійним кутом двогранного кута(Рис. 3).

Малюнок 3.

Вочевидь, кожен двогранний кут має нескінченне число лінійних кутів.

Теорема 1

Усі лінійні кути одного двогранного кута дорівнюють між собою.

Доведення.

Розглянемо два лінійні кути $AOB$ і $A_1(OB)_1$ (рис. 4).

Малюнок 4.

Оскільки промені $OA$ і $(OA)_1$ лежать у одній напівплощині $\alpha $ і перпендикулярні однієї прямої, всі вони є сонаправленными. Оскільки промені $OB$ і $(OB)_1$ лежать у одній напівплощині $\beta $ і перпендикулярні однієї прямої, вони є сонаправленными. Отже

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Через довільність виборів лінійних кутів. Усі лінійні кути одного двогранного кута рівні між собою.

Теорему доведено.

Визначення 3

Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра лінійного кута двогранного кута.

Приклади завдань

Приклад 1

Нехай нам дано дві неперпендикулярні площини $\alpha$ і $\beta$, які перетинаються по прямій $m$. Крапка $A$ належить площині $\beta$. $AB$ -- перпендикуляр до прямої $m$. $AC$ перпендикуляр до площини $\alpha$ (точка $C$ належить $\alpha$). Довести, що кут $ ABC є лінійним кутом двогранного кута.

Доведення.

Зобразимо малюнок за умовою задачі (рис. 5).

Малюнок 5.

Для доказу пригадаємо таку теорему

Теорема 2:Пряма, що проходить через основу похилої, перпендикулярна до неї, перпендикулярна до її проекції.

Оскільки $AC$ - перпендикуляр до площині $\alpha$, точка $C$ - проекція точки $A$ на площину $\alpha$. Отже, $BC$ - проекція похилої $AB$. За теоремою 2, $BC$ перпендикулярна ребру двогранного кута.

Тоді, кут $ABC$ відповідає всім вимогам визначення лінійного кута двогранного кута.

Приклад 2

Двогранний кут дорівнює $30^\circ$. На одній із граней лежить точка $A$, яка віддалена від іншої межі на відстань $4$ див. Знайти відстань від точки $A$ до ребра двогранного кута.

Рішення.

Розглянемо малюнок 5.

За умовою маємо $AC=4\ см$.

За визначенням градусної міри двогранного кута, маємо, що кут $ABC$ дорівнює $30^\circ$.

Трикутник $ABC$ є прямокутним трикутником. За визначенням синуса гострого кута

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Підготовка учнів до здачі ЄДІ з математики, як правило, починається з повторення основних формул, у тому числі й тих, що дозволяють визначити кут між площинами. Незважаючи на те, що цей розділ геометрії досить детально висвітлюється в рамках шкільної програми, багато випускників потребують повторення базового матеріалу. Розуміючи, як знайти кут між площинами, старшокласники зможуть оперативно вирахувати правильну відповідь у ході вирішення завдання та розраховувати на отримання гідних балів за підсумками складання єдиного державного іспиту.

Основні нюанси

Щоб питання, як знайти двогранний кут, не викликало труднощів, рекомендуємо дотримуватися алгоритму рішення, який допоможе впоратися із завданнями ЄДІ.

Спочатку необхідно визначити пряму, якою перетинаються площини.

Потім на цій прямій потрібно вибрати точку і провести до неї два перпендикуляри.

Наступний крок – знаходження тригонометричної функції двогранного кута, який утворений перпендикулярами. Робити це найзручніше за допомогою трикутника, що вийшов, частиною якого є кут.

Відповіддю буде значення кута або його тригонометричної функції.

Підготовка до екзаменаційного випробування разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху

У процесі занять напередодні здачі ЄДІбагато школярів стикаються з проблемою пошуку визначень та формул, які дозволяють обчислити кут між двома площинами. Шкільний підручникне завжди є під рукою саме тоді, коли це потрібно. А щоб знайти потрібні формули та приклади їх правильного застосування, у тому числі і для знаходження кута між площинами в Інтернеті в режимі он-лайн, часом потрібно витратити чимало часу.

Математичний портал «Школкове» пропонує новий підхіддо підготовки до державного іспиту. Заняття на нашому сайті допоможуть учням визначити найскладніші для себе розділи та заповнити прогалини у знаннях.

Ми підготували та зрозуміло виклали весь необхідний матеріал. Базові визначеннята формули представлені у розділі «Теоретична довідка».

Для того, щоб краще засвоїти матеріал, пропонуємо також попрактикуватися у виконанні відповідних вправ. Велика добірказавдань різного ступеняскладності, наприклад, на , представлена ​​розділ «Каталог». Усі завдання містять докладний алгоритм знаходження правильної відповіді. Перелік вправ на сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Практикуючись у вирішенні завдань, у яких потрібно знайти кут між двома площинами, учні мають можливість в онлайн-режимі зберегти будь-яке завдання у «Вибраному». Завдяки цьому вони зможуть повернутися до нього необхідна кількістьраз і обговорити хід його рішення з шкільним учителемчи репетитором.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку: запровадити поняття двогранного кута та його лінійного кута;

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Повідомити тему уроку, сформувати цілі уроку.

ІІ. Актуалізація знань учнів (слайд 2, 3).

1. Підготовка до вивчення нового матеріалу.

Що називається кутом на площині?

Що називається кутом між прямими у просторі?

Що називається кутом між прямою та площиною?

Сформулюйте теорему про три перпендикуляри

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

• Концепція двогранного кута.

Фігура, утворена двома напівплощинами , що проходять через пряму МN, називається двогранним кутом (слайд 4).

Напівплощини - грані, пряма МN – ребро двогранного кута.

Які предмети в повсякденному життімають форму двогранного кута? (Слайд 5)

• Кут між площинами АСН та СНД – це двогранний кут АСНD, де СН – ребро. Точки А та D лежать на гранях цього кута. Кут AFD – лінійний кут двогранного кута АCHD (слайд 6).

• Алгоритм побудови лінійного кута (слайд 7).

1 спосіб. На ребрі взяти будь-яку точку Про провести перпендикуляри в цю точку (РО DE, KO DE) отримали кут РОК - лінійний.

2 спосіб. В одній напівплощині взяти точку К і опустити з неї два перпендикуляри на іншу напівплощину та ребро (КО та КР), тоді за теоремою зворотної ТТП РОDE

• Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють (слайд 8). Доказ: промені ОА і О 1 А 1 сонаправлены, промені ОВ і О 1 В 1 теж сонаправлены, кути ВОА і О 1 А 1 А 1 рівні як кути з сонаправленными сторонами.

• Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута (слайд 9).

IV. Закріплення дослідженого матеріалу.

• Розв'язання задач (усно за готовими кресленнями). (Слайди10-12)

1. РАВС – піраміда; кут АСВ дорівнює 90 про, пряма РВ перпендикулярна площині АВС. Довести, що кут РСВ – лінійний кут двогранного кута

2. РАВС – піраміда; АВ = ВС, D – середина відрізка АС, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС. Довести, що кут PDB – лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

3. PABCD – піраміда; пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, ВК перпендикулярна до DC. Довести, що кут РКВ – лінійний кут двогранного кута із ребром СD.

• Завдання побудувати лінійного кута (слайди 13-14).

1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо в піраміді РАВС грань АВС – правильний трикутник, О – точка перетину медіан, пряма РО перпендикулярна до площини АВС

2. Даний ромб АВСD. Пряма РС перпендикулярна до площини АВСD.

Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром ВD та лінійний кут двогранного кута з ребром АD.

• Обчислювальне завдання. (Слайд 15)

У паралелограмі АВСD кут АDС дорівнює 120 0 АD = 8 см,

DС = 6 см, пряма РС перпендикулярна до площини АВС, РС = 9 см.

Знайти величину двогранного кута з ребром АD та площу паралелограма.

V. Домашнє завдання(Слайд16).

П. 22 № 168, 171.

Використовувана література:

1. Геометрія 10-11 Л.С.Атанасян.
2. Система завдань на тему “Двогранні кути” М.В.Севостьянова (м.Мурманск), журнал Математика у шкільництві 198… р.

У геометрії для вивчення фігур використовують дві важливі характеристики: довжини сторін та кути між ними. У разі просторових фігур до цих характеристик додаються двогранні кути. Розглянемо, що це таке, а також опишемо методику визначення цих кутів на прикладі піраміди.

Поняття про двогранний кут

Кожен знає, що дві прямі, що перетинаються, утворюють деякий кут з вершиною в точці їх перетину. Цей кут можна виміряти за допомогою транспортира або скористатися тригонометричними функціямина його обчислення. Утворений двома прямими кут називається лінійним.

Тепер уявімо, що в тривимірному просторіє дві площини, які перетинаються прямою. Вони зображено малюнку.

Двогранним кутом називається кут між двома площинами, що перетинаються. Як і лінійний, він вимірюється у градусах чи радіанах. Якщо до будь-якої точки прямої, по якій площини перетинаються, відновити два перпендикуляри, що лежать у цих площинах, то кут між ними буде двогранним. Визначити цей кут найпростіше, якщо скористатися рівняннями площин у загальному вигляді.

Рівняння площин та формула для кута між ними

Рівняння будь-якої площини у просторі у загальному вигляді записується так:

A x x + B x y + C x z + D = 0.

Тут x, y, z – це координати точок, що належать площині, коефіцієнти A, B, C, D – деякі відомі числа. Зручність цієї рівності для обчислення двогранних кутів полягає в тому, що вона явно містить координати напрямного вектора площини. Позначатимемо його n¯. Тоді:

Вектор перпендикулярний площині. Кут між двома площинами дорівнює кутусеред них n 1 і n 2. З математики відомо, що кут, утворений двома векторами, однозначно визначається з них скалярного твору. Це дозволяє записати формулу для обчислення двогранного кута між двома площинами:

φ = arccos (|(n 1? × n 2?) | / ( | n 1? | × | n 2?)).

Якщо підставити координати векторів, то формула запишеться у явному вигляді:

φ = arccos ( | C 2 2))).

Знак модуля в чисельнику використовується, щоб визначити лише гострий кутоскільки двогранний кут завжди менше або дорівнює 90 o .

Піраміда та її кути

Пірамідою називають фігуру, яка утворена одним n-кутником та n трикутниками. Тут n - ціле число, що дорівнює кількості сторін багатокутника, який є основою піраміди. Дана просторова фігурає багатогранником або поліедром, оскільки вона складається із плоских граней (сторон).

Багатогранника-піраміди можуть бути двох типів:

• між основою та бічною стороною (трикутником);
• між двома бічними сторонами.

Якщо піраміда розглядається правильна, то названі кути для неї визначити нескладно. Для цього за координатами трьох відомих точок слід скласти рівняння площин, а потім скористатися наведеною в пункті вище формулою кута φ.

Нижче наведемо приклад, в якому покажемо, як знайти двогранні кути при підставі чотирикутної піраміди правильної.

Чотирикутна та кут при її основі

Припустимо, що дана правильна піраміда з квадратною основою. Довжина сторони квадрата дорівнює a, висота фігури становить h. Знайдемо кут між основою піраміди та її бічною стороною.

Помістимо початок координатної системиу центрі квадрата. Тоді координати точок A, B, C, D, показаних на малюнку, дорівнюватимуть:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Розглянемо площини ACB та ADB. Очевидно, що напрямний вектор n 1 для площини ACB дорівнюватиме:

Для визначення напрямного вектора n 2 площини ADB надійдемо таким чином: знайдемо довільні два вектори, які їй належать, наприклад, AD і AB, потім, обчислимо їх векторний витвір. Його результат дасть координати n 2. Маємо:

AD = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Оскільки множення та поділ вектора на число не змінює його напрями, то перетворимо отриманий n 2 ¯, розділивши його координати на -a, отримаємо:

Ми визначили напрямні вектора n 1 і n 2 для площин основи ACB і бокової сторони ADB. Залишається скористатися формулою для кута:

φ = arccos (|(n 1 ? × n 2 ?) | / (| n 1 ¯| × | n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Перетворимо отриманий вираз і перезапишемо його так:

φ = arccos (a/√(a 2 + 4 × h 2)).

Ми отримали формулу для двогранного кута при підставі для правильної чотирикутної піраміди. Знаючи висоту фігури та довжину її сторони, можна розрахувати кут φ. Наприклад, для піраміди Хеопса, сторона основи якої становить 230,4 метра, а початкова висота дорівнювала 146,5 метра, кут φ дорівнюватиме 51,8 o .

Визначити двогранний кут для чотирикутної правильної пірамідитакож можна за допомогою геометричного методу. Для цього достатньо розглянути прямокутний трикутник, утворений висотою h, половиною довжини основи a/2 та апофемою рівнобедреного трикутника.