Канонічна матриця приклад. Приведення до канонічного вигляду

Визначення.Багаточленною матрицею або -матрицею називається прямокутна матриця, елементи якої є багаточленами від одного змінного із числовими коефіцієнтами.

Над -матрицями можна здійснювати елементарні перетворення. До них відносяться:

Дві -матриці
і
однакових розмірів називаються еквівалентними:
, якщо від матриці
до
можна перейти за допомогою кінцевого числаелементарних перетворень.

приклад.Довести еквівалентність матриць

Рішення.

.

.

Помножимо другий рядок на (–1) і зауважимо, що

.

.

Безліч всіх -матриць даних розмірів
розбивається на класи, що не перетинаються, еквівалентних матриць. Матриці, еквівалентні між собою, утворюють один клас, не еквівалентні інший.

Кожен клас еквівалентних матриць характеризується канонічною, або нормальною, -матрицею даних розмірів

Визначення.Канонічної, або нормальної, -матрицею розмірів
називається -матриця, у якої на головній діагоналі стоять багаточлени, де р- Найменше з чисел mі n (
), причому не рівні нулюбагаточлени мають старші коефіцієнти, рівні 1, і кожен наступний багаточлен ділиться на попередній. Усі елементи поза головною діагоналі дорівнюють 0.

З визначення слід, що й серед многочленів є багаточлени нульової ступеня, всі вони на початку головної діагоналі. Якщо є нулі, то вони стоять наприкінці головної діагоналі.

Матриця
попереднього прикладу є канонічна. Матриця

також канонічна.

Кожен клас -матриць містить єдину канонічну -матрицю, тобто. кожна -матриця еквівалентна єдиній канонічній матриці, яка називається канонічною формою або нормальною формоюданої матриці.

Багаточлени, які стоять на головній діагоналі канонічної форми даної -матриці, називаються інваріантними множниками даної матриці

Один із методів обчислення інваріантних множників полягає у приведенні даної -матриці до канонічної форми

Так, для матриці
попередній приклад інваріантними множниками є

,
,
,
.

Зі сказаного слід, що наявність однієї і тієї ж сукупності інваріантних множників є необхідною і достатньою умовою еквівалентності -матриць.

Приведення -матриць до канонічного виду зводиться до визначення інваріантних множників

,
;
,

де r– ранг -матриці;
- Найбільший спільний дільникмінорів k-го порядку, взятий зі старшим коефіцієнтом, рівним 1

приклад.Нехай дана -матриця

.

Рішення.Очевидно, що найбільший спільний дільник першого порядку D 1 =1, тобто.
.

Визначимо мінори другого порядку:

Вже цих даних достатньо для того, щоб зробити висновок: D 2 =1, отже,
.

Визначаємо D 3

,

Отже,
.

Таким чином, канонічною формоюданої матриці є наступна -матриця:

.

Матричним багаточленом називається вираз виду

де - Змінне;
- Квадратні матриці порядку з числовими елементами.

Якщо
, то Sназивають ступенем матричного багаточлена, n- порядком матричного багаточлена.

Будь-яку квадратичну -матрицю можна як матричного многочлена. Справедливо, зрозуміло, і зворотне твердження, тобто. будь-який матричний багаточлен можна подати у вигляді деякої квадратної -матриці.

Справедливість даних тверджень з усією очевидністю випливає із властивостей операцій над матрицями. Зупинимося на таких прикладах:

приклад.Уявити багаточленну матрицю

у вигляді матричного багаточлена можна так

.

приклад.Матричний багаточлен

можна подати у вигляді наступної багаточленної матриці ( -матриці)

.

Ця взаємозамінність матричних багаточленів і багаточленних матриць відіграє істотну роль математичний апаратметодів факторного та компонентного аналізу.

Матричні багаточлени однакового порядку можна складати, віднімати та множити аналогічно звичайним многочленам з числовими коефіцієнтами. Слід, проте, пам'ятати, що множення матричних багаточленів, взагалі, не комутативно, т.к. не комутативно множення матриць.

Два матричних многочлена називаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти, тобто. відповідні матриці при однакових ступенях змінного .

Сумою (різницею) двох матричних багаточленів
і
називається такий матричний багаточлен, у якого коефіцієнт при кожному ступені змінного дорівнює сумі(різниці) коефіцієнтів за тієї ж міри у багаточленах
і
.

Щоб помножити матричний багаточлен
на матричний багаточлен
потрібно кожен член матричного багаточлена
помножити на кожен член матричного багаточлена
, скласти отримані твори та навести подібні члени.

Ступінь матричного багаточлена – твори

менше або дорівнює сумі ступенів співмножників.

Операції над матричними багаточленами можна здійснювати за допомогою операцій над відповідними -матрицями.

Щоб скласти (відняти) матричні багаточлени, достатньо скласти (відняти) відповідні -матриці. Те саме стосується множення. -матриця добутку матричних багаточленів дорівнює добутку -матриць співмножників.

приклад.

З іншого боку
і
можна записати у вигляді

Так як множення матриць не комутативно, для матричних багаточленів визначаються два поділки із залишком – праве та ліве.

Нехай дані два матричні багаточлени порядку n

де У 0 – невироджена матриця.

При розподілі
на
існує однозначно певне праве приватне
та правий залишок

де ступінь R 1 менше ступеня
, або
(поділ без залишку), а також ліве приватне
та лівий залишок

де ступінь
менше ступеня
, або
=0 (розподіл без залишку).

Узагальнена теорема Безу.При розподілі матричного багаточлена
на багаточлен
правий залишок дорівнює правому значенню поділеного
при
, тобто. матриці

а лівий залишок – лівому значенню поділеного
при
, тобто. матриці

Доведення.Доказ справедливості обох формул (3.4.1) та (3.4.2) здійснюється однаково, безпосередньою підстановкою. Доведемо одну із них.

Отже, ділене –
, дільник –
, як приватний маємо багаточлен

Визначимо твір
:

або

що й потрібно було довести.

Слідство.
ділиться праворуч (ліворуч) на багаточлен
тоді і лише тоді, коли
одно 0.

приклад.Показати, що матричний багаточлен

ділиться на матричний багаточлен
,

де
, зліва без залишку.

Рішення.Справді, справедлива рівність

Де

Підрахуємо значення лівого залишку за теоремою Безу

Розділ 3. Матриці

3.1 Основні поняття

Матрицеюназивається прямокутна таблиця чисел, що містить трядків однакової довжини(або пстовпців однакової довжини). Матриця записується у вигляді:

або, скорочено,
, де
(Тобто.
) - номер рядка,
(Тобто.
) – номер стовпця.

Матрицю Аназивають матрицею розміру
та пишуть
. Числа , складові матрицю, називаються її елементами.Елементи, що стоять на діагоналі, що йде з лівого верхнього кута, утворюють головну діагональ.

приклад 1.Елемент
розташований у 1-му рядку та 2-му стовпці, а елемент знаходиться в 3-му рядку та 1-му стовпці.

приклад 2.Матриця
має розмір
, оскільки вона містить 2 рядки та 4 стовпці. Матриця
має розмір
, оскільки вона містить 3 рядки та 2 стовпці.

Матриці рівніміж собою, якщо рівні Усевідповідні елементи цих матриць, тобто.
, якщо
, де
,
.

Матриця, у якої число стік дорівнює числу стовпців, називається квадратний. Квадратну матрицю розміру
називають матрицею п-го порядку.

приклад 3.Матриці і з прикладу 2 називаються прямокутними. Матриця
– це квадратна матриця 3-го порядку. Вона містить 3 рядки та 3 стовпці.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональної. Діагональна матриця, яка має кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною.Позначається буквою Е.

приклад 4.
- Поодинока матриця 3-го порядку.

Квадратна матриця називається трикутноїякщо всі елементи, розташовані по одну сторону від головної діагоналі, дорівнюють нулю. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовий. Позначається буквою Про.

У матричному обчисленні матриці Проі Еграють роль 0 та 1 в арифметиці.

,
.

Матриця розміру
, що з одного числа, ототожнюється з цим числом, тобто.
є 5.

Матриця, отримана з даної заміною кожного її рядка стовпцем з тим же номером, називається матрицею, транспонованоїдо цієї. Позначається
. Так, якщо
, то
якщо
, то
. Транспонована матриця має наступну властивість:
.

3.2 Операції над матрицями

Додавання

Операція складання матриць вводиться лише матриць однакових розмірів.

Сумою двох матриць
і
називається матриця
така, що
(
,
).

Приклад 5. .

Аналогічно визначається різниця матриць.

Множення на число

Добутком матриці
на числоk називається матриця
така, що b ij = ka ij (i=
, j=).

Приклад 6.
,
,
.

Матриця
називається протилежної матриці А.

Різниця матриць
можна визначити так:
.

Операції складання матриць і множення матриці на число мають наступні властивостями:

де А, У, З- матриці, α і β - Числа.

Елементарні перетворення матриць

Елементарними перетвореннями матрицьє:

перестановка місцями двох паралельних рядів матриці;

множення всіх елементів ряду матриці на число, відмінне від нуля;

додаток до всіх елементів ряду матриці відповідних елементів паралельного ряду, помножених на те саме число.

Дві матриці Аі Уназиваються еквівалентнимиякщо одна з них виходить з іншої за допомогою елементарних перетворень. Записується А~У.

За допомогою елементарних перетворень будь-яку матрицю можна привести до матриці, у якої на початку головної діагоналі стоять кілька одиниць, а всі інші елементи дорівнюють нулю. Таку матрицю називають канонічної, наприклад
.

Приклад 7.Привести до канонічного вигляду матрицю
.

Рішення: Виконуючи елементарні перетворення, отримуємо

(поміняли місцями І та ІІІ стовпці) ~
(I рядок склали з II рядком і результат записали у другий рядок; після цього I рядок склали з III рядком та результат записали у третій рядок) ~
(I стовпець помножили на (-3), склали з II стовпцем і результат записали в II стовпець; потім I стовпець помножили на (-2), склали з III стовпцем і результат записали в III стовпець; після цього I стовпець знову помножили на ( -2) і склали з IV стовпцем, а результат записали до IV стовпця) ~
(III стовпець помножили на (-2), склали з II стовпцем і результат записали у II стовпець; III стовпець розділили на 2 і результат записали у III стовпець; III стовпець помножили на (-1), склали з IV стовпцем і результат записали у IV стовпець) ~
(ІІ рядок помножили на 3, склали з ІІІ рядком і результат записали в ІІІ рядок) ~
(II стовпець помножили на (-1), склали послідовно з III та IV стовпцями і результат записали відповідно у III та IV стовпець) ~
. Отримали матрицю канонічного вигляду.

Твір матриць

Операція множення двох матриць вводиться тільки для випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці.

Добутком матриці А т×п = (а ij ) на матрицю В п×р =(b jk ) називається матриця З т×р =(з ik ) така, що

c ik = a i 1 ∙ b 1 k + a i 2 ∙ b 2 k + ∙∙∙+ a in ∙ b nk , де i=
, k=
,

тобто. елемент i-ого рядка та k-го стовпця матриці твору Здорівнює сумі творів елементів i-ого рядка матриці Ана відповідні елементи k-го стовпця матриці У.

Якщо матриці Аі Уквадратні одного розміру, то твори АВі ВАзавжди існують. Легко показати, що А∙Е = Е∙А= А, де А- Квадратна матриця, Е- Поодинока матриця того ж розміру.

приклад 4.

=.

Матриці Аі Уназиваються перестановочними (комутуючими), якщо АВ=ВА.

Множення матриць має такі властивості:

А∙(У∙З) = (А∙У)∙З;

А∙(У + З) = АВ + АС;

(А + У)∙З = АС + НД;

α (АВ) = (αА)У,

якщо, звичайно, написані суми та твори матриць мають сенс.

Для операції транспонування правильні характеристики:

(А + У) Т = АТ + УТ;

(АВ) Т = УТ ∙ АТ.

Якщо заданий багаточлен, то матричним багаточленомf(A) називається вираз виду , де
для будь-якого натурального п. Значенням матричного багаточлена f(A) при заданій матриці Ає матрицею.

Елемент рядка назвемо крайнім, якщо він відмінний від нуля, а всі елементи цього рядка, що знаходяться ліворуч від нього, дорівнюють нулю. Матриця називається ступінчастоюякщо крайній елемент кожного рядка знаходиться правіше крайнього елемента попереднього рядка.

Приклад 5.У матрицях Аі Увідмічені крайні елементи кожного рядка:

-Не ступінчаста

-Східчаста

Говорять, що матриця розмірності має канонічнийвид, якщо її можна розбити на чотири блоки (деякі з них можуть виявитися порожніми), кожен з яких є підматрицею певного типу ( підматрицеюназивається матриця, що є частиною вихідної матриці). Лівий верхній блок – одинична матриця k-го порядку, два нижніх блоків– матриці розмірностей та , Що складаються з нулів (на схемі ці матриці позначені великими жирними нулями). Правий верхній блок – довільна матриця розмірності. Число k> 0 і вбирається у чисел mі n.

Якщо , правих блоків немає, якщо , відсутні нижні (нульові) блоки. Якщо матриця складається з одного (одиничного) блоку.

Наведемо конкретні прикладиматриць, що мають канонічний вигляд (точками позначені ті елементи матриць, конкретні значенняяких ролі не грають):

а) , б) , в) , г) .

У прикладі а) , ( kзбігається з кількістю рядків), обидві нульові підматриці відсутні; у прикладі б) ( kзбігається з кількістю стовпців), обидва правих блоку відсутні, нульова підматриця є матрицею-рядком; в прикладі в) перша нульова підматриця є матрицею-рядком, друга нульова підматриця складається з одного елемента; у прикладі г) , , .

Часто у визначенні матриці канонічного виду замість одиничної підматриці фігурує трикутна підматриця. У цьому випадку говорять про матрицю майже канонічноговиду. Оскільки одинична матриця – окремий випадоктрикутної, матриці канонічного вигляду – окремий випадок матриць майже канонічного вигляду. Якщо схематичному зображенні матриці канонічного виду одиничну матрицю в лівому верхньому блоці замінити трикутної, вийде схема матриці майже канонічного виду.

Наведемо приклади матриць, що мають майже канонічний вигляд:

а) , б) , в) , г) .

Наступні перетворення матриць називаються допустимими: перестановка рядків; перестановка стовпців; множення елементів рядка матриці на те саме число, відмінне від нуля; додаток до одного з рядків матриці іншого рядка, попередньо помноженого на деяке число (зокрема, віднімання одного рядка з іншого та додавання одного рядка до іншого). Як буде показано далі, допустимі перетворення матриць відповідають тим діям із системами лінійних рівнянь, які не порушують рівносильності

За допомогою допустимих перетворень будь-яку матрицю Aможна привести до матриці, що має канонічний вигляд.

Приведення матриці до канонічного виду можна розбити на етапи, кожен з яких складається з двох кроків – отримання чергової одиниці на головній діагоналі та перетворення відповідного стовпця на одиничнийстовпець, тобто такий, у якого всі елементи, крім діагонального, рівні нулю.

Перший крок здійснюється в такий спосіб. Якщо діагональний елемент дорівнює одиниці, переходимо до другого кроку. Якщо діагональний елемент не дорівнює одиниці, але відрізняється від нуля, поділимо на нього всі елементи рядка. Якщо діагональний елемент дорівнює нулю, то знайдемо ненульовий елемент, розташований або в його (діагонального елемента) стовпці, але нижче, або в його рядку, але правіше, або нижче і правіше одночасно. Якщо такий елемент знайдеться, зробимо його діагональним, переставивши відповідні рядки (у першому випадку) або стовпці (у другому), або рядки та стовпці по черзі (у третьому). Якщо такого елемента не знайдеться, це означатиме, що процес закінчено.

Якщо перший крок виконано, а стовпець, в якому стоїть новий одиничний діагональний елемент, містить інший ненульовий елемент, додамо до рядка його рядок діагонального елемента, помножену на підлягає знищенню елемент, взятий з протилежним знаком.

Розглянемо приклад приведення матриці до канонічного виду.

~ ~ ~

Перший діагональний Перший діагональний

елемент дорівнює нулю. елемент відрізняється від нуля.

~ ~ ~ ~

Перший діагональний

елемент став рівним одиниці

~ ~ ~ ~

1. З'ясуємо спочатку, до якого порівняно простому виглядуможна навести прямокутну многочленную матрицю шляхом застосування лише лівих елементарних операцій.

Припустимо, що у першому стовпці матриці є елементи, не рівні тотожно нулю. Візьмемо серед них багаточлен найменшого ступеня і шляхом перестановки рядків зробимо його елементом. Після цього розділимо многочлен на ; приватне та залишок позначимо через і

Віднімемо тепер з-го рядка перший рядок, попередньо помножений на . Якщо при цьому не всі залишки дорівнюють тотожному нулю, то той з них, який не дорівнює нулю і має найменший ступінь, може бути перестановкою рядків поставлений на місце . У результаті цих операцій ступінь многочлена знизиться.

Тепер ми знову повторимо цей процес і т. д. Так як ступінь багаточлена кінцева, то на деякому етапі цей процес вже не можна буде продовжити, тобто на цьому етапі всі елементи виявляться рівними тотожному нулю.

Після цього візьмемо елемент і застосуємо ту ж процедуру рядків з номерами. Тоді досягнемо того, що і . Продовжуючи так далі, ми врешті-решт наведемо матрицю до наступного виду:

(5)

Якщо многочлен не дорівнює тотожному нулю, то, застосовуючи ліву елементарну операцію другого типу, ми зробимо ступінь елемента меншим, ніж ступінь (якщо має нульовий ступінь, то тотожно дорівнює нулю). Так само, якщо , то з допомогою лівих елементарних операцій другого типу ми зробимо ступеня елементів меншими, ніж ступінь , не змінивши у своїй елемента , тощо.

Ми встановили таку теорему:

Теорема 1. Довільна прямокутна багаточлена матриця з розмірами за допомогою лівих елементарних операцій завжди може бути приведена до виду (5), де багаточлени мають менший ступінь, ніж якщо тільки , і всі рівні тотожно нулю, якщо .

Абсолютно аналогічно доводиться

Теорема 2. Довільна прямокутна багатоцінна матриця з розмірами за допомогою правих елементарних операцій може бути приведена до виду

(6)

де багаточлени мають менший ступінь, ніж , якщо тільки , і всі рівні тотожно нулю, якщо .

2. З теорем 1 і 2 випливає таке

Слідство. Якщо визначник квадратної багатоцінної матриці залежить і від нуля, то цю матрицю можна як твори кінцевого числа елементарних матриць.

Дійсно, згідно з теоремою 1 матрицю за допомогою лівих елементарних операцій можна привести до вигляду

(7)

де - Порядок матриці . Так як при застосуванні елементарних операцій до квадратної багаточленної матриці визначник цієї матриці множиться лише на постійний відмінний від нуля множник, то визначник матриці (7), як і визначник , не залежить від відмінний від нуля, тобто.

.

Але тоді з тієї ж теореми 1 матриця (7) має діагональний вигляді тому може бути наведена за допомогою лівих елементарних операцій типу 1 до одиничної матриці. Тоді і назад, одиничну матрицю можна привести до лівих елементарних операцій з матрицями . Отже,

З доведеного слідства отримуємо (див. стор. 137 - 138) рівносильність двох визначень 2 і 2" еквівалентності багаточленних матриць.

3. Повернемося до прикладу системи диференціальних рівнянь (4). Застосуємо теорему 1 до матриці операторних коефіцієнтів. Тоді, як було зазначено на стор. 138, система (4) заміниться рівносильною системою

(4")

де. У цій системі функції ми можемо вибрати довільно, після чого послідовно визначаться функції , причому на кожному етапі цього визначення доводиться інтегрувати одне диференціальне рівнянняз однією невідомою функцією.

4. Перейдемо тепер до встановлення «канонічного» виду, якого можна привести прямокутну многочленную матрицю , застосовуючи до неї як ліві, і праві елементарні операції.

Серед усіх не рівних тотожно нулю елементів матриці візьмемо той елемент, який має найменший ступінь щодо , і шляхом відповідної перестановки рядків та стовпців зробимо його елементом . Після цього знайдемо приватні та залишки від поділу багаточленів і на:

Якщо хоча б один із залишків , наприклад , не дорівнює тотожному нулю, то, віднімаючи з -го стовпця перший стовпець, попередньо помножений на , ми замінимо елемент залишком , який має менший ступінь, ніж . Тоді ми маємо можливість знову зменшити ступінь елемента, що стоїть у лівому верхньому куткуматриці, помістивши на це місце елемент з найменшим ступенемщодо.

Якщо ж усі залишки ; рівні тотожно нулю, то, віднімаючи з-го рядка перший, помножений попередньо на , а з-го стовпця – перший, попередньо помножений на , ми приведемо нашу багаточленну матрицю до виду

Якщо при цьому хоча б один із елементів не ділиться без залишку на , то, додаючи до першого стовпця той стовпець, який містить цей елемент, ми прийдемо до попереднього випадку і, отже, знову зможемо замінити елемент багаточленом меншого ступеня., ми матрицю (8) приведемо до виду рядків на відповідні від нуля числові множники, ми зможемо домогтися того, щоб старші коефіцієнти багаточленів, і встановимо формули, що пов'язують ці багаточлени з елементами матриці .