Багаточленні матриці канонічний вигляд. Багаточленні матриці

Матриці - зручний інструмент для вирішення найрізноманітніших алгебраїчних завдань. Знання деяких простих правилдля оперування з ними дозволяє приводити матриці до будь-яких зручних і необхідних Наразіформ. Часто корисним є використання канонічної форми матриці.

Інструкція

• Запам'ятайте, що канонічний виглядматриці не вимагає, щоб по всій головній діагоналі стояли одиниці. Суть визначення полягає в тому, що єдині ненульові елементи матриці у канонічному вигляді – це одиниці. Якщо вони є, то розташовуються на головній діагоналі. При цьому їх кількість може змінюватись від нуля до кількості рядків у матриці.
• Не забувайте, що елементарні перетворення дозволяють будь-яку матрицю призвести до канонічного виду. Сама велика складність– інтуїтивно знайти найпростішу послідовність ланцюжків дій і помилитися у обчисленнях.
• Вивчіть основні властивостіоперацій із рядками та стовпцями в матриці. До елементарних перетворень відносять три стандартних перетворення. Це множення рядка матриці на будь-яке ненульове число, підсумовування рядків (у тому числі додавання до одного іншого, помноженого на якесь число) та їх перестановка. Подібні дії дозволяють отримати матрицю еквівалентну даній. Відповідно, ви можете виконати такі операції зі стовпцями без втрати еквівалентності.
• Намагайтеся не виконувати одночасно відразу кілька елементарних перетворень: просуйтеся від етапу до етапу, щоб не допустити випадкової помилки
• Знайдіть ранг матриці, щоб визначити кількість одиниць на головній діагоналі: це підкаже вам, який остаточний вигляд матиме канонічна форма, що шукається, і позбавить необхідності виконувати перетворення, якщо потрібно просто використовувати її для вирішення.
• Скористайтеся методом обрамлення мінорів для того, щоб виконати попередню рекомендацію. Обчисліть мінор до-ого порядку, а також всі мінори ступеня, що облямовують його (к+1). Якщо вони дорівнюють нулю, то ранг матриці є числом к. Не забувайте, що мінор Мij – це визначник матриці, що отримується при викреслюванні рядка i і стовпця j з вихідного.

Матриці - зручний інструмент для вирішення різних алгебраїчних завдань. Знання деяких простих правил для оперування з ними дозволяє приводити матриці до будь-яких зручних і необхідних форм. Часто корисним є використання канонічної форми матриці.

Інструкція

Запам'ятайте, що канонічний вид матриці не вимагає, щоб на головній діагоналі стояли одиниці. Суть визначення полягає в тому, що єдині ненульові елементи матриці у канонічному вигляді – це одиниці. Якщо вони є, то розташовуються на головній діагоналі. При цьому їх кількість може змінюватись від нуля до кількості рядків у матриці.

Не забувайте, що елементарні перетворення дозволяють будь-яку матрицюпризвести до канонічного виду. Найбільша складність – інтуїтивно знайти найпростішу послідовність ланцюжків дій і помилитися у обчисленнях.

Вивчіть основні властивості операцій із рядками та стовпцями у матриці. До елементарних перетворень відносять три стандартні перетворення. Це множення рядка матриці на будь-яке ненульове число, підсумовування рядків (у тому числі додавання до одного іншого, помноженого на якесь число) та їх перестановка. Подібні дії дозволяють отримати матрицюеквівалентну даній. Відповідно, ви можете виконати такі операції зі стовпцями без втрати еквівалентності.

Намагайтеся не виконувати одночасно відразу кілька елементарних перетворень: просуйтеся від етапу до етапу, щоб не допустити випадкової помилки.

Знайдіть ранг матриці, щоб визначити кількість одиниць на головній діагоналі: це підкаже вам, який остаточний вигляд матиме канонічна форма, що шукається, і позбавить необхідності виконувати перетворення, якщо потрібно просто використовувати її для вирішення.

Скористайтеся методом обрамлення мінорів для того, щоб виконати попередню рекомендацію. Обчисліть мінор до-ого порядку, а також всі мінори ступеня, що облямовують його (к+1). Якщо вони дорівнюють нулю, то ранг матриці є числом к. Не забувайте, що мінор Мij – це визначник матриці, що отримується при викреслюванні рядка i і стовпця j з вихідного.

Все цікаве

Матриці, що являють собою табличну формузаписи даних, що широко застосовуються при роботі з системами лінійних рівнянь. Причому кількість рівнянь визначає кількість рядків матриці, а кількість змінних – порядок її шпальт. В результаті…

Рангом матриці S називають найбільший із порядків її мінорів, відмінних від нуля. Мінорами є визначники квадратної матриці, яка виходить із вихідної шляхом вибору довільних рядків та стовпців. Позначається ранг Rg S, яке обчислення…

Матриця – це математичний об'єкт, що є прямокутною таблицею. На перетині стовпців та рядків цієї таблиці розташовані елементи матриці – цілі, дійсні або комплексні числа. Розмір матриці встановлюється за її кількістю.

Алгебраїчне доповнення – елемент матричної або лінійної алгебри, одне з понять вищої математикипоряд з визначником, мінором та зворотною матрицею. Проте незважаючи на складність, знайти алгебраїчні доповнення неважко. Інструкція…

Матриця - це впорядкована сукупність чисел прямокутної таблиці, має розмірність m рядків на n стовпців. Рішення складних системлінійних рівнянь ґрунтується на обчисленні матриць, що складаються із заданих коефіцієнтів. У загальному випадкупри…

Матрична алгебра – розділ математики, присвячений вивченню властивостей матриць, їх застосуванню на вирішення складних систем рівнянь, і навіть правилам дій над матрицями, включаючи поділ. Інструкція 1Існує три дії над матрицями: додавання,…

Алгебраїчні доповнення – це одне з понять матричної алгебри, що застосовується до елементів матриці Знаходження алгебраїчних доповненьодна із дій алгоритму визначення зворотної матриці, і навіть операції матричного поділу. …

Матриця вважається зворотної для матриці А, якщо їх множенні утворюється одинична матриця Е. Поняття «зворотної матриці» існує лише квадратної матриці, тобто. матриці "два на два", "три на три" і т.д.

Для кожної невиродженої (з визначником |A|, що не дорівнює нулю) квадратної матриці А існує єдина зворотна матриця, Що позначається А ^ (-1), така, що (А ^ (-1)) А = А, А ^ (-1) = Е. Інструкція 1Е називається одиничною матрицею. Вона складається з…

Математична матриця є впорядкованою таблицею елементів з певною кількістюрядків та стовпців. Щоб знайти рішення матриці, необхідно визначити, яку дію потрібно над нею виконати. Після цього дійте згідно з наявними…

Математика, безумовно, є «королевою» наук. Не кожна людина здатна пізнати всю глибину її сутності. Математика поєднує в собі безліч розділів, і кожен є своєрідною ланкою математичного кола. Таким же основним…

Якщо в будь-якій матриці A взяти довільні k рядків і стовпців і скласти з елементів цих рядків і стовпців підматрицю розміру k на k, то така підматриця називається мінором матриці A. Кількість рядків і стовпців у такому найбільшому мінорі, відмінному…

Т" = з (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .

Внаслідок застосування правої елементарної операції матриця А(λ) множиться праворуч на відповідну матрицю Т.

Зауважимо, що матриця Т" збігається з матрицею S", а матриці Т", Т"" збігаються з матрицями S", S", якщо в останніх поміняти місцями індекси i і j. Матриці типу S", S", S"" (або, що те саме, типу Т", Т", Т"") називаються елементарними.

Дві λ-матриці А(λ) і B(λ) однакових розмірів m x n називаються еквівалентними, А(λ) ~ B(λ), якщо від матриці А(λ) до B(λ) можна перейти за допомогою ланцюжка з кінцевого числаелементарних перетворень. Відношення еквівалентності має три основні властивості:

1) рефлексивність: кожна матриця еквівалентна сама собі А(?) ~ B(?);

2) симетрія: якщо А(λ) ~ B(λ), то B(λ) ~ А(λ);

3) транзитивність: якщо А(λ) ~ B(λ), і B(λ) ~ С(λ), то А(λ) ~ С(λ).

§2. Канонічний вигляд λ-матриці

Вище було показано, що відношення еквівалентності є транзитивним, симетричним і рефлексивним. Звідси випливає, що сукупність всіх λ-матриць даних розмірів m x n розбивається на класи, що не перетинаються, еквівалентних матриць, тобто. на такі класи, що будь-які дві матриці з одного класу еквівалентні, а з різних класів- Не еквівалентні між собою. Виникає питання про канонічної формиλ-матриці, що характеризує даний класеквівалентних λ-матриц.

Канонічною діагональною λ-матрицею розмірів m x n називається λ-матриця, у якої на головній діагоналі стоять багаточлени Е1(λ), ​​Е2(λ), …, Ер(λ), де р - найменше з чисел m і n, причому не рівні нулю серед цих многочленів мають старші коефіцієнти, рівні одиниці, і кожен наступний многочлен ділиться на попередній, все ж елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю.

Т е о р е м а 1. Будь-яка λ-матриця кінцевим числом елементарних перетворень може бути приведена до канонічної діагональної форми.

Доведення. Нехай А(λ) - прямокутна багаточленна матриця. Застосовуючи до А(λ) як ліві, і праві елементарні операції приведемо до канонічної діагональної формі.

Серед усіх не рівних нулю елементів аіј(λ) матриці А(λ) візьмемо той елемент, який має найменший ступінь щодо λ, та шляхом відповідної перестановки рядків та стовпців зробимо його елементом а11(λ). Після цього знайдемо приватні та залишки від поділу багаточленів аі1(λ) та а1ј(λ) на а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Якщо хоча б один із залишків rі1(λ), ​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), наприклад r1ј (λ), не дорівнює тотожному нулю, то, віднімаючи з j- го стовпця перший стовпець, попередньо помножений на q1ј(λ), ми замінимо елемент а1ј(λ) залишком r1ј(λ), який має менший ступінь, ніж а11(λ). Тоді ми маємо можливість знову зменшити ступінь елемента, що стоїть у лівому верхньому куткуматриці, помістивши на це місце елемент з найменшим ступенемщодо λ.

Якщо всі залишки r21(λ), ​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) рівні тотожно нулю, то, віднімаючи з i-го рядка перший, помножений попередньо на qі1(λ) (i = 2, …, m), а з j-го стовпця - перший , попередньо помножений на q1ј(λ) (j = 2, …, n), ми наведемо нашу матрицю до виду

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … аmn(λ)

Якщо при цьому хоча б один з елементів аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) не ділиться без залишку на а11(λ), ​​то додаючи до першого стовпця той стовпець, який містить цей елемент ми прийдемо до попереднього випадку і, отже, знову зможемо замінити елемент а11(λ) багаточленом меншою мірою.

Оскільки початковий елемент а11(λ) мав певний ступінь і процес зменшення цього ступеня не може необмежено продовжуватися, то після кінцевого числа елементарних операцій ми маємо отримати матрицю виду

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) … bmn (λ)

у якій усі елементи bіј(λ) діляться без залишку на а1(λ). Якщо серед цих елементів bіј(λ) є не рівні тотожно нулю, то продовжуючи той же процес приведення для рядків з номерами 2, …, m та стовпців з номерами 2, …, n, ми матрицю (*) приведемо до вигляду

Таким чином, ми довели, що довільна прямокутна багаточленна матриця А(λ) еквівалентна деякій канонічній діагональній.

Будь-яка квадратична формаза допомогою невиродженого лінійного перетворення може бути приведена до канонічному вигляду , певному формулою

де форма fрангу від nневідомих; числа, , вважаються позитивними, але частина доданків формули (VII.5) може бути негативними.

За такої умови заміною; і , невироджене лінійне перетвореннянаводить квадратичну форму до нормальному виду, тобто

Загальне числоквадратів дорівнює рангу квадратичної форми.

Існує багато лінійних перетворень, що приводять квадратичну форму до нормального вигляду (VII.6), але з точністю до знаки таке приведення єдине .

Для квадратичних дійсних форм виконується закон інерції . Число позитивних та негативних квадратів у нормальному вигляді, до якого наводиться дана квадратична форма з дійсними коефіцієнтами дійсним лінійним перетворенням, не залежить від вибору цього перетворення.

Число позитивних (негативних) квадратів в нормальній форміформи fназивається позитивним (негативним) індексом інерції (у формулі (VII.6) це k), різниця між позитивними та негативними індексами інерції називається сигнатурою форми f(У формулі (VII.6) вона дорівнює r-k).

Нехай дана квадратна матрицярозмірності nквадратичної форми f. Мінори, розташовані по головній діагоналі цієї матриці, порядків 1, 2, …, n, останній їх збігається з визначником матриці , , тобто

називаються головними мінорами форми f.

Теорема VII.1.Квадратична форма fвід nневідомих з дійсними коефіцієнтами тоді і тільки тоді складатиметься з позитивних членівколи всі головні мінори позитивні.

Приклад VII.3.Квадратична форма

позитивно визначено, тому що всі головні мінори матриці позитивні:

, , .

Наводити квадратичну форму до канонічного вигляду можна, як зазначалося, багатьма способами, але нормальний виглядодин. Покажемо на прикладі.

Приклад VII.4.Привести до канонічного вигляду квадратичну форму.

Рішення. Задамо лінійне перетворення:

1) тоді отримаємо .

Для іншого перетворення маємо

2) тоді отримаємо .

Нормальний вид квадратичної форми, якому відповідають обидва канонічні види, .

Вправа.Перевірити справедливість отриманих формул безпосередньою підстановкою перетворень 1) та 2) у вихідну квадратичну форму.

Цілком природно виникає запитання: "Як знайти матрицю лінійного перетворення (оператора)?"

Перш ніж перейти до розгляду наступного прикладу, дамо деякі пояснення. Не порушуючи сутності загального підходу, обмежимося рівнянням

де права частинає квадратична форма, задана в декартовій системікоординат. З іншого боку, цей вираз визначає лінію другого порядку. Зрозуміло, що якщо права частина останньої рівності представлена ​​сумою квадратів змінних

,

то маємо канонічний вигляд квадратичної форми.

Обидва рівняння описуватимуть ту саму лінію другого порядку, якщо у формі hзбережено колишній масштаб. Для отримання канонічного вигляду Hзазвичай використовують характеристичне рівняння. Недолік такого підходу полягає в тому, що невідомий зв'язок між системами координат і . Образно кажучи, ми не знаємо розташування лінії Lу системі координат, якщо вона записана в канонічному вигляді h. Такий перехід можна здійснити поворотом осей системи координат на кут j(рис. VII.1), тобто перейти від координат x, yдо x 1 , y 1 за формулами

Для зворотного перетворення необхідно замінити кут j
на - j.

Щоб дізнатися про розташування лінії, ми повинні знайти перетворення координат, що приводить рівність Hна вигляд h. Зауважимо, що для збереження масштабу слід перейти до ортонормованої системи координат.

Приклад VII.5.Задано квадратичну форму в декартовій системі координат

Потрібно привести її до канонічного вигляду, тобто записати її вигляд у системі та знайти лінійне перетворення. Набути нормального вигляду квадратичної форми.

Рішення. Складемо симетричну матрицю лінійного перетворення (оператора) A

.

Побудуємо характеристичний багаточлені знайдемо власні числа та власні вектори. Потім послідовно виконуватимемо завдання прикладу. Маємо

Характеристичне рівняннявидається рівністю

.

Обчисливши визначник матриці, отримаємо багаточлен , коріння якого є власними числами. Запишемо канонічний вид форми (VII.7):

Знайдемо лінійне перетворення, тобто встановимо зв'язок між системами та . Так як коріння дійсне і різні і немає нулів, то перетворення невироджене. Знайдемо власні вектори в базисі (вектори представлятимемо стовпцями). Для цього вирішимо систему рівнянь

певну для кожного зі своїх чисел.

При , з (VII.8) маємо матричне рівняння

.

Вважаючи, з необхідністю, , отримаємо

при, маємо. Перший власний вектор знайдено , його довжина.

При маємо

або

Додаючи до першого рівняння друге і, помічаючи, якщо отримане рівняння вирішувати як систему з третім, то з необхідністю перейдемо до першого рівняння власному вектору. Залишається скласти систему рівнянь із суми двох перших та другого рівняння, тоді отримаємо

Вважаючи, після спрощень отримаємо систему

Говорять, що матриця розмірності має канонічнийвид, якщо її можна розбити на чотири блоки (деякі з них можуть виявитися порожніми), кожен з яких є підматрицею певного типу ( підматрицеюназивається матриця, що є частиною вихідної матриці). Лівий верхній блок – одинична матриця k-го порядку, два нижніх блоків– матриці розмірностей та , Що складаються з нулів (на схемі ці матриці позначені великими жирними нулями). Правий верхній блок – довільна матриця розмірності. Число k> 0 і вбирається у чисел mі n.

Якщо , правих блоків немає, якщо , відсутні нижні (нульові) блоки. Якщо матриця складається з одного (одиничного) блоку.

Наведемо конкретні прикладиматриць, що мають канонічний вигляд (точками позначені ті елементи матриць, конкретні значенняяких ролі не грають):

а) , б) , в) , г) .

У прикладі а) , ( kзбігається з кількістю рядків), обидві нульові підматриці відсутні; у прикладі б) ( kзбігається з кількістю стовпців), обидва правих блоку відсутні, нульова підматриця є матрицею-рядком; в прикладі в) перша нульова підматриця є матрицею-рядком, друга нульова підматриця складається з одного елемента; у прикладі г) , , .

Часто у визначенні матриці канонічного виду замість одиничної підматриці фігурує трикутна підматриця. У цьому випадку говорять про матрицю майже канонічноговиду. Оскільки одинична матриця – окремий випадоктрикутної, матриці канонічного вигляду – окремий випадок матриць майже канонічного вигляду. Якщо схематичному зображенні матриці канонічного виду одиничну матрицю в лівому верхньому блоці замінити трикутної, вийде схема матриці майже канонічного виду.

Наведемо приклади матриць, що мають майже канонічний вигляд:

а) , б) , в) , г) .

Наступні перетворення матриць називаються допустимими: перестановка рядків; перестановка стовпців; множення елементів рядка матриці на те саме число, відмінне від нуля; додаток до одного з рядків матриці іншого рядка, попередньо помноженого на деяке число (зокрема, віднімання одного рядка з іншого та додавання одного рядка до іншого). Як буде показано далі, допустимі перетворення матриць відповідають тим діям із системами лінійних рівнянь, які не порушують рівносильності.

За допомогою допустимих перетворень будь-яку матрицю Aможна привести до матриці, що має канонічний вигляд.

Приведення матриці до канонічного виду можна розбити на етапи, кожен з яких складається з двох кроків – отримання чергової одиниці на головній діагоналі та перетворення відповідного стовпця на одиничнийстовпець, тобто такий, у якого всі елементи, крім діагонального, рівні нулю.

Перший крок здійснюється в такий спосіб. Якщо аналізований діагональний елемент дорівнює одиниці, Переходимо до другого кроку. Якщо діагональний елемент не дорівнює одиниці, але відрізняється від нуля, поділимо на нього всі елементи рядка. Якщо діагональний елемент дорівнює нулю, то пошукаємо ненульовий елемент, розташований або в його (діагонального елемента) стовпці, але нижче, або в його рядку, але правіше, або нижче і правіше одночасно. Якщо такий елемент знайдеться, зробимо його діагональним, переставивши відповідні рядки (у першому випадку) або стовпці (у другому), або рядки та стовпці по черзі (у третьому). Якщо такого елемента не знайдеться, це означатиме, що процес закінчено.

Якщо перший крок виконано, а стовпець, в якому стоїть новий одиничний діагональний елемент, містить інший ненульовий елемент, додамо до рядка його рядок діагонального елемента, помножену на підлягає знищенню елемент, взятий з протилежним знаком.

Розглянемо приклад приведення матриці до канонічного виду.

~ ~ ~

Перший діагональний Перший діагональний

елемент дорівнює нулю. елемент відрізняється від нуля.

~ ~ ~ ~

Перший діагональний

елемент став рівним одиниці

~ ~ ~ ~