Протилежно спрямовані вектори, довжини яких рівні називають. Вектори

Вектор - це математичний об'єкт, який характеризується напрямом та величиною. В геометрії вектором називається відрізок прямий на площині або в просторі, який має певний напрямок і довжину.

Позначення вектора

Для позначення вектора використовується або одна мала букваабо дві великі, які відповідають початку і кінці вектора, при цьому над літерами зображується горизонтальна рисочка. Перша літера означає початок вектора, друга - кінець (дивіться малюнок 1). на графічному відображеннівектор зображається стрілка, що вказує його напрямок.

Що таке координати вектора на площині та у просторі?

Координати вектора - це коефіцієнти єдино можливої ​​лінійної комбінації базисних векторів у вибраній системі координат. Звучить складно, проте насправді досить просто. Розберемо з прикладу.

Допустимо, нам потрібно знайти координати вектора а. Помістимо його в тривимірну системукоординат (див. рисунок 2) і виконаємо проекції вектора на кожну вісь. Вектор а в даному випадкузапишеться так: a = a x i + a y j+ a z k, де i, j, k - базисні вектори, a x, a y, a z - коефіцієнти, які визначають координати вектора а. Сам вираз називатиметься лінійною комбінацією. На площині (у прямокутній системі координат) лінійна комбінація складатиметься з двох базисів та коефіцієнтів.

Відносини векторів

Теоретично векторів існує такий термін, як ставлення векторів. Це поняттявизначає розташування векторів щодо один одного на площині та у просторі. Найбільш відомі окремі випадки відносин векторів:

• колінеарність;
• співспрямованість;
• компланарність;
• рівність.

Колінеарні вектори лежать на одній прямій або паралельні один одному, для сонаправленных векторів характерно однаковий напрямок, для компланарних - розташування в одній площині або в паралельних площинах, рівні вектора мають однаковий напрямок та довжину.

Стандартне визначення: "Вектор - це спрямований відрізок". Зазвичай, цим і обмежуються знання випускника про вектори. Кому потрібні якісь «спрямовані відрізки»?

А справді, що таке вектори та навіщо вони?
Прогноз погоди. «Вітер північно-західний, швидкість 18 метрів за секунду». Погодьтеся, має значення напрям вітру (звідки він дме), і модуль (тобто абсолютна величина) його швидкості.

Величини, які мають напрями, називаються скалярними. Маса, робота, електричний заряднікуди не направлені. Вони характеризуються лише числовим значенням- "скільки кілограм" або "скільки джоулів".

Фізичні величини, що мають не тільки абсолютне значення, а й напрямок, називаються векторними.

Швидкість, потужність, прискорення - векторів. Для них важливо «скільки» і важливо «куди». Наприклад, прискорення вільного падіння спрямовано до Землі, а величина його дорівнює 9,8 м/с 2 . Імпульс, напруженість електричного поля, індукція магнітного поля- Векторні величини.

Ви пам'ятаєте, що фізичні величинипозначають літерами, латинськими чи грецькими. Стрілка над буквою показує, що величина є векторною:

Ось інший приклад.
Автомобіль рухається з A до B . Кінцевий результат- його переміщення з точки A до точки B, тобто переміщення на вектор.

Тепер зрозуміло, чому вектор – це спрямований відрізок. Зверніть увагу, кінець вектора – там, де стрілочка. Довжина вектораназивається довжина цього відрізка. Позначається: або

Досі ми працювали зі скалярними величинами, за правилами арифметики та елементарної алгебри. Вектори - нове поняття. Це інший клас математичних об'єктів. Їх свої правила.

Колись ми і про цифри нічого не знали. Знайомство з ними почалося в молодших класах. Виявилося, що числа можна порівнювати один з одним, складати, віднімати, множити та ділити. Ми дізналися, що є число одиниця та число нуль.
Тепер ми знайомимося із векторами.

Поняття «більше» і «менше» для векторів не існує – адже напрямки їх можуть бути різними. Порівнювати можна лише довжини векторів.

А ось поняття рівності для векторів є.
Рівниминазиваються вектори, що мають однакові довжини та однаковий напрямок. Це означає, що вектор можна перенести паралельно до будь-якої точки площини.
Поодинокимназивається вектор, довжина якого дорівнює 1 . Нульовим – вектор, довжина якого дорівнює нулю, тобто його початок збігається з кінцем.

Найзручніше працювати з векторами у прямокутній системі координат - тієї самої, в якій малюємо графіки функцій. Кожній точці в системі координат відповідають два числа - її координати x і y, абсцис і ордината.
Вектор також задається двома координатами:

Тут у дужках записані координати вектора - x і y.
Вони просто: координата кінця вектора мінус координата його початку.

Якщо координати вектора задані, його довжина знаходиться за формулою

Складання векторів

Для складання векторів є два способи.

1 . Правило паралелограма. Щоб скласти вектори і поміщаємо початку обох в одну точку. Добудовуємо до паралелограма та з тієї ж точки проводимо діагональ паралелограма. Це буде сума векторів і .

Пам'ятаєте байку про лебедя, раку та щуку? Вони дуже старалися, але так і не зрушили воза з місця. Адже векторна сума сил, прикладених ними до воза, дорівнювала нулю.

2 . Другий спосіб складання векторів – правило трикутника. Візьмемо ті ж вектори та . До кінця першого вектора влаштуємо початок другого. Тепер з'єднаємо початок першого та кінець другого. Це і є сума векторів та .

За тим самим правилом можна скласти кілька векторів. Прилаштовуємо їх один за одним, а потім з'єднуємо початок першого з кінцем останнього.

Уявіть, що ви йдете з пункту А до пункту В , з В до С , з С до D , потім до Е та F . Кінцевий результат цих дій - переміщення з А до F .

При складанні векторів і отримуємо:

Віднімання векторів

Вектор спрямований протилежно вектору. Довжини векторів та рівні.

Тепер зрозуміло, що таке віднімання векторів. Різниця векторів і - це сума вектора та вектора.

Розмноження вектора на число

При множенні вектора число k виходить вектор, довжина якого k раз відрізняється від довжини . Він сонаправлен з вектором , якщо k більше нуля, і спрямований протилежно якщо k менше нуля.

Скалярний добуток векторів

Вектори можна множити як на числа, а й друг на друга.

Скалярним твором векторів називається добуток довжин векторів на косинус кута між ними.

Зверніть увагу – перемножили два вектори, а вийшов скаляр, тобто число. Наприклад, у фізиці механічна роботадорівнює скалярному добутку двох векторів - сили та переміщення:

Якщо вектори перпендикулярні, їх скалярний твіродно нулю.
А ось так скалярний твір виражається через координати векторів та :

З формули для скалярного твору можна знайти кут між векторами:

Ця формула особливо зручна у стереометрії. Наприклад, у завданні 14 Профільного ЄДІз математики потрібно знайти кут між схрещувальними прямими або між прямою і площиною. Часто векторним методом завдання 14 вирішується у кілька разів швидше, ніж класичним.

У шкільній програміз математики вивчають лише скалярне твір векторів.
Виявляється, крім скалярного є ще й векторний витвірколи в результаті множення двох векторів виходить вектор. Хто здає ЄДІ з фізики, знає, що таке сила Лоренца та сила Ампера. До формул для знаходження цих сил входять саме векторні твори.

Вектори - найкорисніший математичний інструмент. У цьому ви переконаєтесь на першому курсі.

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

приклад. Нехай у двомірному просторі початок вектора має координати. A(12,6) , а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

Довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) вектора та позначається | a|. Вектор довжина, рівної одиниці, називається одиничним вектором. Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектор, протилежнимвектору.

Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Рис. 3 червоні вектори колінеарні, т.к. вони лажать однією прямий, а сині вектори коллинеарны, т.к. вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарних вектори називаються однаково спрямованимиякщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектори називаються протилежно спрямованимиякщо їх кінці лежать по різні сторонивід прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарні вектори лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори спрямовані протилежно.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають рівні модуліта однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 Вектори рівні т.к. їх модулі рівні та мають однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарнимиякщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

У nмірному векторному просторі розглянемо безліч усіх векторів, початкова точкаяких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати у такому вигляді:

де x 1 , x 2 , ..., x nкоординати кінцевої точкивектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядок, а вектор, записаний у вигляді

називається вектор-стовпчик.

Число nназивається розмірністю (порядком) вектор. Якщо то вектор називається нульовим вектором(т.к. початкова точка вектора ). Два вектори xі yрівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх елементи.

Таке поняття, як вектор, розглядається практично у всіх природничих науках, причому він може мати зовсім різне значеннятому дати однозначне визначення вектора для всіх областей неможливо. Але спробуємо розібратися. Отже, вектор – що таке?

Концепція вектора в класичній геометрії.

Вектор у геометрії – відрізок, для якого зазначено, яка з його точок є початком, а яка – кінцем. Тобто, простіше кажучи, вектором називається спрямований відрізок.

Відповідно, позначається вектор (що таке - розглянули вище), як і відрізок, тобто двома великими літерами латинського алфавітуз додаванням зверху риси чи стрілки, спрямованої праворуч. Також його можна підписати малою (маленькою) літерою латинського алфавітуз межею або стрілкою. Стрілка завжди спрямована праворуч і не змінюється в залежності від розташування вектора.

Таким чином, вектор має напрямок та довжину.

У позначенні вектора міститься його напрям. Виражається це, як у малюнку нижче.

Зміна напряму змінює значення вектора протилежне.

Довжиною вектора називається довжина відрізка, від якого він утворений. Позначається як модуль від вектора. Це показано нижче.

Відповідно, нульовим є вектор, довжина якого дорівнює нулю. З цього виходить що нульовий векторє крапкою, причому в ній збігаються точки початку і кінця.

Довжина вектора - величина завжди негативна. Інакше кажучи, якщо є відрізок, то він у обов'язковому порядкумає деяку довжину або є точкою, тоді його довжина дорівнює нулю.

Саме поняття точки є базовим та визначення не має.

Складання векторів

Існують спеціальні формули та правила для векторів, за допомогою яких можна виконати додавання.

Правило трикутника. Для складання векторів за цим правилом достатньо поєднати кінець першого вектора та початку другого, використовуючи при цьому паралельне перенесення, і з'єднати їх. Отриманий третій вектор і буде дорівнює доданнюдвох інших.

Правило паралелограма. Для складання за цим правилом необхідно провести обидва вектори з однієї точки, а потім провести з кінця кожного їх інший вектор. Тобто з першого вектора буде проведено другий, а з другого – перший. В результаті вийде нова точкаперетину і утворюється паралелограм. Якщо поєднати точку перетину почав і кінців векторів, то отриманий вектор буде результатом складання.

Подібним чином можна виконувати і віднімання.

Різниця векторів

Аналогічно складання векторівможливо виконати та його віднімання. Воно базується на принципі, вказаному на малюнку нижче.

Тобто віднімається вектор досить у вигляді вектора, йому протилежного, і зробити розрахунок за принципами складання.

Також абсолютно будь-який ненульовий вектор можна помножити на якесь число k, це змінить його довжину в k разів.

Крім цих, існують інші формули векторів (наприклад, для вираження довжини вектора через його координати).

Розташування векторів

Напевно, багато хто стикався з таким поняттям, як колінеарний вектор. Що таке колінеарність?

Колінеарність векторів – еквівалент паралельності прямих. Якщо два вектори лежать на прямих, які паралельні один одному, або на одній прямій, то такі вектори називаються колінеарними.

Напрямок. Щодо один одного колінеарні векториможуть бути сонаправленными чи протилежно спрямованими, це визначається напрямом векторів. Відповідно, якщо вектор направлений з іншим, то вектор, протилежний йому, протилежно спрямований.

На першому малюнку показані два протилежно спрямовані вектори і третій, який не колінеарен ім.

Після введення вищевказаних властивостей можна дати визначення та рівним векторам- це вектори, які спрямовані в один бік та мають однакову довжинувідрізків, яких вони утворені.

Багато науках застосовується ще й поняття радіус-вектора. Подібний вектор визначає положення однієї точки площини щодо іншої фіксованої точки (часто це початок координат).

Вектори у фізиці

Припустимо, під час вирішення завдання виникла умова: тіло рухається зі швидкістю 3 м/с. Це означає, що тіло рухається з конкретним напрямом по одній прямій, тому змінна буде величиною векторної. Для вирішення важливо знати і значення, і напрямок, оскільки в залежності від розгляду швидкість може дорівнювати і 3 м/с, і -3 м/с.

У загальному випадкувектор у фізиці використовується для вказівки напрямку сили, що діє на тіло, та для визначення рівнодіючої.

При зазначенні цих сил малюнку їх позначають стрілками з підписом вектора з нього. Класично довжина стрілки так само важлива, за допомогою неї вказують, яка сила діє сильніше, проте ця властивість побічна, спиратися на неї не варто.

Вектор у лінійній алгебрі та математичному аналізі

Елементи лінійних просторівтакож називаються векторами, проте в даному випадку вони є впорядкованою системою чисел, що описують деякі з елементів. Тому напрям у цьому випадку вже не має жодної важливості. Визначення вектора в класичній геометрії та в математичний аналізсильно різняться.

Проектування векторів

Спроектований вектор – що таке?

Досить часто для правильного та зручного розрахунку необхідно розкласти вектор, що знаходиться у двомірному чи тривимірному просторі, по осях координат. Ця операціянеобхідна, наприклад, у механіці при підрахунку сил, які діють тіло. Вектор у фізиці використовується досить часто.

Для виконання проекції достатньо опустити перпендикуляри з початку та кінця вектора на кожну з координатних осей, отримані на них відрізки та будуть називатися проекцією вектора на вісь.

Для підрахунку довжини проекції достатньо помножити його початкову довжину на певну тригонометричну функцію, яка виходить під час вирішення міні-задачи. По суті, є прямокутний трикутник,в якому гіпотенуза є вихідним вектором, один з катетів проекцією, а інший катет опущеним перпендикуляром.