Загасаючі коливання вантажу на пружині. Коливання тіла на пружині

Вільні коливання здійснюються під дією внутрішніх силсистеми після того, як система була виведена із положення рівноваги.

Для того, щоб вільні коливання відбувалися за гармонійним законом, необхідно, щоб сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги, була пропорційна зміщенню тіла з положення рівноваги і спрямована у бік протилежний зсуву:

Сили будь-якої іншої фізичної природи, що задовольняють цій умові, називаються квазіпружними .

Таким чином, вантаж деякої маси m, прикріплений до пружини жорсткості k, другий кінець якої закріплений нерухомо (рис. 2.2.1), становлять систему, здатну без тертя здійснювати вільні гармонічні коливання. Вантаж на пружині називають лінійним гармонічним осцилятором .

Кругова частота ω 0 вільних коливаньвантажу на пружині знаходиться з другого закону Ньютона:

отже

Частота ω 0 називається власною частотою коливальної системи.

Період Tгармонійних коливань вантажу на пружині дорівнює

При горизонтальному розташуванні системи пружина-вантаж сила тяжіння, прикладена до вантажу, компенсується силою реакції опори. Якщо вантаж підвішений на пружині, то сила тяжіння спрямована по лінії руху вантажу. У положенні рівноваги пружина розтягнута на величину x 0 , рівну

і коливання відбуваються біля цього нового положення рівноваги. Наведені вище вирази для власної частоти 0 і періоду коливань Tсправедливі й у разі.

Суворий опис поведінки коливальної системи може бути дано, якщо взяти до уваги математичний зв'язокміж прискоренням тіла aта координатою x: прискорення є другою похідною координати тіла xпо часу t :

Тому другий закон Ньютона для вантажу на пружині може бути записаний у вигляді

(*)

всі фізичні системи(не тільки механічні), що описуються рівнянням (*), здатні здійснювати вільні гармонічні коливання, оскільки рішенням цього рівняння є гармонійні функціївиду

Рівняння (*) називається рівнянням вільних коливань . Слід звернути увагу на те, що Фізичні властивостіколивальної системи визначають лише власну частоту коливань ω0 або період T . Такі параметри коливального процесу, як амплітуда x m і початкова фазаφ 0 визначаються способом, за допомогою якого система була виведена зі стану рівноваги в початковий моментчасу.

Якщо, наприклад, вантаж був зміщений із положення рівноваги на відстань Δ lі потім у момент часу t= 0 відпущено без початкової швидкості, то x m = Δ l, φ0 = 0.

Якщо ж вантажу, що перебував у положенні рівноваги, за допомогою різкого поштовху було повідомлено початкова швидкість, то

Таким чином, амплітуда x m вільних коливань та його початкова фаза φ 0 визначаються початковими умовами .

Існує багато різновидів механічних коливальних систем, у яких використовуються сили пружних деформацій. На рис. 2.2.2 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора, що здійснює крутильні коливання. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:

Це співвідношення виражає закон Гука деформації кручення. Розмір χ аналогічна жорсткості пружини k. Другий закон Ньютона для обертального рухудиска записується у вигляді

де I = IC- момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.

За аналогією з вантажем на пружині можна отримати:

Крутильний маятник широко використовується в механічний годинник. Його називають балансиром. У балансирі момент пружних сил створюється за допомогою спіралеподібної пружинки.

Визначення

Частота коливань($\nu$) є одним із параметрів, які характеризують коливання Це величина зворотна періоду коливань ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\right).\]

Таким чином, частотою коливань називають фізичну величину, рівну числуповторення коливань за одиницю часу.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]

де $N$ - кількість повних коливальних рухів; $ \ Delta t $ - час, за які відбулися дані коливання.

Циклічна частота коливань ($(\omega )_0$) пов'язана з частотою $\nu $ формулою:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]

Одиницею вимірювання частоти у Міжнародній системі одиниць (СІ) є герц або зворотна секунда:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Гц.\]

Пружинний маятник

Визначення

Пружинним маятникомназивають систему, що складається з пружної пружини, до якої прикріплений вантаж.

Припустимо, що маса вантажу дорівнює $m$, коефіцієнт пружності пружини $k$. Маса пружини у такому маятнику зазвичай не враховується. Якщо розглядати горизонтальні рухивантажу (рис.1), він рухається під впливом сили пружності, якщо систему вивели зі стану рівноваги і надали себе. При цьому часто вважають, що сили тертя не можна враховувати.

Рівняння коливань пружинного маятника

Пружинний маятник, який здійснює вільні коливання – це приклад гармонійного осцилятора. Нехай він виконує коливання вздовж осі X. Якщо коливання малі, виконується закон Гука, то рівняння руху вантажу запишемо як:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]

де $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ - циклічна частота коливань пружинного маятника. Рішення рівняння (4) це функція синуса або косинуса виду:

де $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ - циклічна частота коливань пружинного маятника, $A$ - амплітуда коливань; $((\omega )_0t+\varphi)$ - фаза коливань; $\varphi$ і $(\varphi)_1$ - початкові фази коливань.

Частота коливань пружинного маятника

З формули (3) і $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, слід, що частота коливань пружинного маятника дорівнює:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

Формула (6) справедлива у разі, якщо:

• пружина в маятнику вважається невагомою;
• вантаж, прикріплений до пружини, абсолютно твердим тілом;
• крутильні коливання відсутні.

Вираз (6) показує, що частота коливань пружинного маятника збільшується зі зменшенням маси вантажу та збільшенням коефіцієнта пружності пружини. Частота коливань пружинного маятника залежить від амплітуди. Якщо коливання не є малими, сила пружності пружини не підпорядковується закону Гука, виникає залежність частоти коливань від амплітуди.

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.Період коливань пружинного маятника становить $ T = 5 \ cdot (10) ^ (-3) з $. Чому дорівнює частота коливань у разі? Яка циклічна частота коливань цього вантажу?

Рішення.Частота коливань - це величина обернена до періоду коливань, отже, для вирішення завдання достатньо скористатися формулою:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

Обчислимо шукану частоту:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Гц\right).\]

Циклічна частота пов'язана з частотою $\nu $ як:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Обчислимо циклічну частоту:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac(рад)(с)\right).\]

Відповідь.$1)\ \nu = 200 $ Гц. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(рад)(с)$

Приклад 2

Завдання.Масу вантажу, що висить на пружній пружині (рис.2), збільшують на величину $ Delta m $, при цьому частота зменшується в $ n $ раз. Яка маса першого вантажу?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ left(2.1\right).\]

Для першого вантажу частота дорівнюватиме:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

Для другого вантажу:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

За умовою задачі $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, знайдемо відношення $\frac((\nu )_1)((\nu )_2):\frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac(\Delta m)( m)) = n \ \ left (2.3 \ right).

Отримаємо з рівняння (2.3) масу вантажу, що шукається. Для цього обидві частини виразу (2.3) піднімемо в квадрат і висловимо $m$:

Відповідь.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Вільні коливаннявідбуваються під дією внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги.

Для того щобвільні коливання відбувалися за гармонійним законом, необхідно, щоб сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги, була пропорційна зміщенню тіла з положення рівноваги і спрямована у бік, протилежний зсуву (див. §2.1):

Сили будь-якої іншої фізичної природи, що задовольняють цю умову, називаються квазіпружними .

Таким чином, вантаж деякої маси m, прикріплений до пружини жорсткості k, другий кінець якої закріплений нерухомо (рис. 2.2.1), становлять систему, здатну здійснювати без тертя вільні гармонічні коливання. Вантаж на пружині називають лінійним гармонічним осцилятором.

Кругова частота ω 0 вільних коливань вантажу на пружині знаходиться з другого закону Ньютона:

При горизонтальному розташуванні системи пружина-вантаж сила тяжіння, прикладена до вантажу, компенсується силою реакції опори. Якщо вантаж підвішений на пружині, то сила тяжіння спрямована по лінії руху вантажу. У положенні рівноваги пружина розтягнута на величину x 0 , рівну

Тому другий закон Ньютона для вантажу на пружині може бути записаний у вигляді

Рівняння (*) називається рівнянням вільних коливань . Слід звернути увагу на те, що фізичні властивості коливальної системи визначають лише власну частоту коливань ω 0 чи період T . Такі параметри процесу коливань, як амплітуда x m і початкова фаза φ 0 визначаються способом, за допомогою якого система була виведена зі стану рівноваги в початковий момент часу.

Якщо, наприклад, вантаж був зміщений із положення рівноваги на відстань Δ lі потім у момент часу t= 0 відпущено без початкової швидкості, то x m = Δ l, φ0 = 0.

Якщо ж вантажу, що знаходився в положенні рівноваги, за допомогою різкого поштовху була повідомлена початкова швидкість ± 0, то ,

Таким чином, амплітуда x m вільних коливань та його початкова фаза φ 0 визначаються початковими умовами .

Існує багато різновидів механічних коливальних систем, у яких використовуються сили пружних деформацій. На рис. 2.2.2 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:

де I = I C - момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.

За аналогією з вантажем на пружині можна отримати:

Вільні вагання. Математичний маятник

Математичним маятникомназивають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, маса якої зневажливо мала порівняно з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилу, сила тяжіння врівноважується силою натягу нитки . При відхиленні маятника з положення рівноваги на деякий кут з'являється дотична складова сили тяжіння F τ = - mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована у бік, протилежний відхиленню маятника.

Якщо позначити через xлінійне усунення маятника від положення рівноваги по дузі кола радіусу l, то його кутове зміщення дорівнюватиме φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення та сили на напрям дотичної, дає:

Це співвідношення показує, що математичний маятник є складною. нелінійнусистему, оскільки сила, що прагне повернути маятник у положення рівноваги, пропорційна не зміщенню x, а

Тільки у випадку малих коливаньколи наближеноможна замінити математичним маятником є ​​гармонічним осцилятором, т. е. системою, здатної здійснювати гармонійні коливання. Майже таке наближення справедливе для кутів порядку 15-20 °; при цьому величина відрізняється не більше ніж на 2%. Коливання маятника при великих амплітудах є гармонійними.

Для малих коливань математичного маятникадругий закон Ньютона записується у вигляді

Ця формула висловлює власну частоту малих коливань математичного маятника .

Отже,

Будь-яке тіло, насаджене на горизонтальну вісьобертання, здатне здійснювати в полі тяжіння вільні коливання і, отже, є маятником. Такий маятник прийнято називати фізичним (Рис. 2.3.2). Він відрізняється від математичного лише розподілом мас. У положенні стійкої рівновагицентр мас Cфізичного маятника знаходиться нижче осі обертання на вертикалі, що проходить через вісь. При відхиленні маятника на кут φ виникає момент сили тяжіння, що прагне повернути маятник у положення рівноваги:

і другий закон Ньютона для фізичного маятника набуває вигляду (див. §1.23)

Тут ω 0 - власна частота малих коливань фізичного маятника .

Отже,

Тому рівняння, яке виражає другий закон Ньютона для фізичного маятника, можна записати у вигляді

Остаточно для кругової частоти ω 0 вільних коливань фізичного маятника виходить вираз:

Перетворення енергії при вільних механічних коливаннях

При вільних механічних коливанькінетична та потенційна енергії періодично змінюються. При максимальному відхиленні тіла від положення рівноваги його швидкість, а отже, і кінетична енергія перетворюються на нуль. У цьому становищі потенційна енергіявагається тіла досягає максимального значення. Для вантажу на пружині потенційна енергія – це енергія пружних деформацій пружини. Для математичного маятника – це енергія у полі тяжіння Землі.

Коли тіло під час свого руху проходить через положення рівноваги, його швидкість максимальна. Тіло проскакує положення рівноваги згідно із законом інерції. У цей момент воно має максимальну кінетичну і мінімальну потенційну енергію. Збільшення кінетичної енергіївідбувається з допомогою зменшення потенційної енергії. При подальшому русіпочинає збільшуватися потенційна енергія за рахунок зменшення кінетичної енергії і т.д.

Таким чином, при гармонійних коливанняхвідбувається періодичне перетворення кінетичної енергії на потенційну і навпаки.

Якщо в коливальній системівідсутня тертя, то повна механічна енергія при вільних коливаннях залишається незмінною.

Для вантажу на пружині(Див. §2.2):

У реальних умовах будь-яка коливальна система перебуває під впливом сил тертя (опору). При цьому частина механічної енергіїперетворюється на внутрішню енергію теплового рухуатомів і молекул, і коливання стають загасаючими (Рис. 2.4.2).

Швидкість загасання коливань залежить від величини сил тертя. Інтервал часу τ, протягом якого амплітуда коливань зменшується в e≈ 2,7 разів, називається часом згасання .

Частота вільних коливань залежить від швидкості загасання коливань. У разі зростання сил тертя власна частота зменшується. Однак, зміна власної частоти стає помітною лише за досить великих сил тертя, коли власні коливанняшвидко згасають.

Важливою характеристикою коливальної системи, що робить вільні загасаючі коливання, є добротність Q. Цей параметр визначається як число N повних коливань, що здійснюються системою за час згасання τ, помножений на π:

Таким чином, добротність характеризує відносне зменшення енергії коливальної системи через наявність тертя на інтервалі часу, що дорівнює одному періоду коливань.

Вимушені коливання. Резонанс. Автоколивання

Коливання, що відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними.

Зовнішня силаздійснює позитивну роботута забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає коливань загасати, незважаючи на дію сил тертя.

Періодична зовнішня сила може змінюватися в часі різним законам. Особливий інтереспредставляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотою ω, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотою ω 0 .

Якщо вільні коливання відбуваються на частоті 0, яка визначається параметрами системи, то вимушені коливання, що встановилися, завжди відбуваються на частоті ω зовнішньої сили.

Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему потрібен деякий час Δ tдля встановлення вимушених коливань. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу згасання вільних коливань в коливальній системі.

У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси - вимушені коливання на частоті і вільні коливання на власній частоті 0 . Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час в коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частоті зовнішньої сили, що змушує.

Розглянемо як приклад вимушені коливання тіла на пружині (рис. 2.5.1). Зовнішня сила прикладена до вільного кінця пружини. Вона змушує вільний (лівий на рис. 2.5.1) кінець пружини переміщатися згідно із законом

Якщо лівий кінець пружини зміщений на відстань y, а правий - на відстань xвід їхнього початкового положення, коли пружина була недеформована, то подовження пружини Δ lодно:

У цьому рівнянні сила, що діє на тіло, представлена ​​у вигляді двох доданків. Перший доданок у правій частині - це пружна сила, що прагне повернути тіло в положення рівноваги ( x= 0). Другий доданок - зовнішній періодичний вплив на тіло. Це доданок і називають силою, що змушує.

Рівнянню, що виражає другий закон Ньютона для тіла на пружині за наявності зовнішнього періодичного впливу, можна надати сувору математичну форму, якщо врахувати зв'язок між прискоренням тіла та його координатою: Тоді запишеться у вигляді

Рівняння (**) не враховує дії сил тертя. На відміну від рівняння вільних коливань(*) (див. §2.2) рівняння вимушених коливань(**) Містить дві частоти - частоту ω 0 вільних коливань і частоту ω змушує сили.

Вимушені коливання вантажу, що встановилися, на пружині відбуваються на частоті зовнішнього впливуза законом

Амплітуда вимушених коливань x m і початкова фаза θ залежать від співвідношення частот 0 і ω і від амплітуди y m зовнішньої сили.

На дуже низьких частотах, коли<< ω 0 , движение тела массой m, Прикріплений до правого кінця пружини, повторює рух лівого кінця пружини. При цьому x(t) = y(t), і пружина залишається практично недеформованою. Зовнішня сила прикладена до лівого кінця пружини, роботи не здійснює, тому модуль цієї сили при ω<< ω 0 стремится к нулю.

Якщо частота ω зовнішньої сили наближається до власної частоти ω 0 виникає різке зростання амплітуди вимушених коливань. Це явище називається резонансом . Залежність амплітуди x m вимушених коливань від частоти ω змушує сили називається резонансною характеристикоюабо резонансної кривої(Рис. 2.5.2).

При резонансі амплітуда x m коливання вантажу може у багато разів перевершувати амплітуду y m коливань вільного (лівого) кінця пружини, спричиненого зовнішнім впливом. За відсутності тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі має необмежено зростати. У реальних умовах амплітуда вимушених коливань, що встановилися, визначається умовою: робота зовнішньої сили протягом періоду коливань повинна дорівнювати втратам механічної енергії за той же час через тертя. Чим менше тертя (тобто чим вище добротність Qколивальної системи), тим більше амплітуда вимушених коливань при резонансі.

У коливальних систем з не дуже високою добротністю (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явище резонансу може спричинити руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань збігатимуться з частотою сили, що періодично діє, що виникла, наприклад, через обертання незбалансованого мотора.

Вимушені коливання – це незагасаючіколивання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаних коливань у таких системах - автоколиваннями . В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи - коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).

Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 2.5.3 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.

Прикладом механічної автоколивальної системи може служити годинниковий механізм анкернимходом (рис. 2.5.4). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплено анкер(якірок) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник - балансиром - маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир.

Джерелом енергії - піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.

Малюнок 2.5.4. Часовий механізм із маятником.

При механічних коливаннях тіла на пружині координата тіла буде періодично змінюватися. При цьому змінюватимемося проекція швидкості тіла на вісь Ох. В електромагнітних коливаннях протягом часу за періодичним законом змінюватиметься заряд q конденсатора, і сила струму в ланцюгу коливального контуру.

Величини матимуть однаковий характер зміни. Це тому, що є аналогія між умовами, у яких виникають коливання. Коли ми відводимо вантаж на пружині з положення рівноваги, у пружині виникає сила пружності F упр., яка прагне повернути вантаж назад, положення рівноваги. Коефіцієнтом пропорційності цієї сили буде жорсткість пружини k.

При розрядці конденсатора ланцюга коливального контуру з'являється струм. Розрядка обумовлена ​​тим, що у пластинах конденсатора є напруга u. Ця напруга буде пропорційна заряду будь-якої з пластин. Коефіцієнтом пропорційності слугуватиме величина 1/C, Де С - ємність конденсатора.

Під час руху вантажу на пружині, коли ми відпускаємо його, швидкість тіла поступово збільшується, внаслідок інертності. І після припинення сили швидкість тіла не стає одразу рівною нулю, вона теж поступово зменшується.

Механічне рух. Траєкторія, шлях, переміщення. Механічне рух - зміна становища тіла у просторі щодо інших тіл. Траєкторія руху - лінія, вздовж якої рухається тіло. За формою траєкторії рух тіл може бути прямолінійним та криволінійним. Прямолінійне рівномірне рух - рух, у якому тіло за будь-які (!) рівні (!) проміжки часу проходить однакові шляху.

Відносність руху означає, що характеристики руху (траєкторія, шлях, швидкість та ін) залежать від вибору тіла відліку. Тіло відліку – тіло, щодо якого розглядають рух. Матеріальна точка - тіло, розмірами якого за цих умов нехтують. (Маса тіла зосереджена в цій точці)

Тема. Вагання вантажу на пружині. Математичний
маятник

Мета уроку: ознайомити учнів із законами коливань
пружинного та математичного маятників
Тип уроку: вивчення нового матеріалу
План уроку
Контроль знань 5 хв. Що таке гармонійні коливання?
2. Рівняння гармонійних коливань.
3. Що таке фаза коливань?
4. Графіки гармонійних коливань
Демонстрації
5 хв. Вільні коливання пружинного маятника.
Вивчення нового
матеріалу
25
хв.
2. Залежність періоду коливань вантажу на
пружини від пружних властивостей пружини та маси
вантажу.
3. Вільні коливання математичного
маятника.
4. Залежність періоду коливань
математичного маятника від його довжини
1. Процес коливань пружинного маятника.
2. Період коливань пружинного маятника.

4. Математичний маятник.
5. Період коливань математичного
маятника

Закріплення
вивченого
матеріалу
10
хв.
1. Тренуємось вирішувати завдання.
2. Контрольні питання

ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
1. Процес коливань пружинного маятника
Для того, щоб описати коливання (листя та колосся; повітря в
органних трубах та трубах духових музичних
інструментів); для розрахунку вібрації (корпусів автомашин,
укріплених на ресорах; фундаментів будівель та верстатів),
введемо модель реальних коливальних систем - пружинний
маятник.

Розглянемо коливання візка масою m, прикріпленого до
вертикальна стіна пружини жорсткості k.

Вважатимемо, що:
1) сила тертя, що діє на візок, дуже мала,
тому можна не враховувати її. В цьому випадку коливання
пружинного маятника будуть незатухаючими;
2) деформації пружини у процесі коливань тіла
незначні, тому їх можна вважати пружними та
застосувати закон Гука:

Розглянемо коливання пружинного маятника детальніше.
Коли візок віддаляється від положення рівноваги на
А справа, пружина виявляється розтягнутою і на
Візок діє максимальна сила пружності Fnp = kA.
Потім візок починає рухатися вліво з прискоренням, що
змінюється: подовження пружини зменшується і сила пружності
(і прискорення) також зменшуються. Через чверть періоду
візок повернеться у положення рівноваги. У цей момент сила
пружності та прискорення дорівнюють нулю, а швидкість досягає
максимальне значення.
За інерцією візок продовжить рух, і виникне сила
пружності збільшується. Вона почне гальмувати рух
бруска та на відстані А від положення рівноваги візок на
мить зупиниться. Від моменту початку коливань пройшла
половина періоду.
Наступну половину періоду рух візка буде точно
таким, лише у зворотному напрямку.
Необхідно звернути увагу учнів на те, що згідно
закону Гука, сила пружності спрямована проти подовження
пружини: сила пружності «штовхала» візок до положення
рівноваги.
Отже, вільні коливання пружинного маятника
обумовлені такими причинами:
1) дією на тіло сили пружності, завжди спрямованої в
бік положення рівноваги;
2) інертністю тіла, що коливається, завдяки якій воно не
зупиняється у положенні рівноваги, а продовжує
рухатися у тому напрямі.
2. Період коливань пружинного маятника
Першу характерну прикмету коливань пружинного маятника
можна встановити, поступово збільшуючи масу підвішених
до пружини грузиків. Підвішуючи до пружини вантажі різної
маси, ми помічаємо, що зі збільшенням маси важкий період
коливань вантажу збільшується. Наприклад, внаслідок
збільшення маси важка у 4 рази період коливань
збільшується вдвічі:

Другу характерну прикмету можна встановити, змінюючи
пружини. Провівши серію вимірів, легко виявити, що той
ж вантаж швидше коливається на жорсткій пружині і повільніше -
на м'якій, тобто:
Третя особливість пружинного маятника полягає в тому,
що період його коливань не залежить від прискорення вільного
падіння. У цьому неважко переконатися, використовуючи метод
"збільшення земного тяжіння" за рахунок сильного магніту,
що підкладається під вантаж що коливається.
Таким чином,
період коливань пружинного маятника не залежить від


Знаючи період коливань, легко обчислити частоту і
циклічну частоту коливань:
3. Рівняння гармонійних коливань
Розглянемо коливання візка з погляду динаміки. на
коляску під час руху діють три сили: сила реакції
опори
, сила тяжкості m і сила пружності ін.
рівняння другого закону Ньютона у векторній формі:
Спроектуємо це рівняння на горизонтальну та
вертикальну осі:
Відповідно до закону Гука:

Таким чином, маємо:
Це рівняння називають рівнянням вільних коливань
пружинний маятник.
Позначимо: ω2 = k/m. Тоді рівняння руху вантажу буде
мати вигляд: ах = -ω2х. Рівняння такого виду називають
диференціальними рівняннями.
Рішенням такого
рівняння є функцією x = Acosωt.
4. Математичний маятник
Щоб обчислити період коливань вантажу, що висить на нитці,
необхідно трохи "ідеалізувати" завдання. По перше,
будемо вважати, що розміри вантажу набагато менші за довжину нитки,
а нитка - нерозтяжна та невагома. По-друге, вважатимемо
кут відхилення маятника досить малим (трохи більше 10-15°).


крапка.
Розглянемо коливання математичного маятника. Для цього
візьмемо невелику, але досить важку, кульку і
підвісимо її на довгу нерозтяжну нитку.
Розглядаючи коливання математичного маятника, ми
приходимо до висновку, що причини, які зумовлюють
вільні коливання, такі ж, як і у разі пружинного
маятника (див. рис. а-д):

1) дія на кульку сил, рівнодіюча яких завжди
направлена ​​у бік положення рівноваги;
2) інертність кульки, що коливається, завдяки якій вона
не зупиняється у положенні рівноваги.
5. Період коливань математичного маятника
Доведемо,
гармонійні коливання.
Запишемо рівняння другого закону Ньютона у проекції на вісь
ОХ (див. рис.):

Що математичний маятник робить

Tx+mgx=mах.
Оскільки Тх = 0, то mgx = -mgsin і ми отримуємо рівняння:
-mgsin = mах, або -gsin = ax.
Значення sin можна розрахувати з трикутника ОАС – він
дорівнює відношенню катета ОА до гіпотенузи ОС. Якщо кути
малі, ОС ≈ l, де l - довжина нитки, а ОА ≈ х, де х - відхилення
кульки від положення рівноваги. Тому sin = x/l.
Остаточно отримуємо:

Позначивши ω2 = g/l, маємо рівняння для вільних коливань
математичного маятника:
Циклічна частота коливань математичного маятника:
Скориставшись співвідношенням Т = 2/ω, знайдемо формулу
для періоду коливань математичного маятника:



маятник.
Відомо, що у різних точках земної кулі прискорення
вільного падіння різне. Воно залежить не тільки від форми
Землі, але і від наявності в її надрах важких (метали) або
легень (газ, нафта) речовин. А отже, і період
коливань маятника у різних точках буде різним. Це
властивість використовується, зокрема, під час пошуків покладів
корисних копалин.

Питання до учнів під час викладу нового матеріалу
1. Як зміниться період коливань пружинного маятника
внаслідок зміни маси вантажу? жорсткості пружини?
2. Як зміниться період коливань пружинного маятника, якщо
розташувати під ним магніт?

збільшити амплітуду коливань.
4. За якої умови коливання математичного маятника
можна вважати гармонійними?

5. Чому кулька коливається на довгій нитці, не
зупиняється у момент проходження становища
рівноваги?
6. Як зміниться період коливань математичного маятника,
якщо масу вантажу збільшити? зменшити?

ЗАКРІПЛЕННЯ ВИВЧЕНОГО МАТЕРІАЛУ
1). Тренуємося вирішувати завдання
1. Підвішений на пружині вантаж, перебуваючи в рівновазі,
розтягує пружину на 10 см. Чи достатньо цих даних,
щоб вирахувати період коливань вантажу на пружині?
2. Коли до пружини підвісили вантаж, вона розтягнулася на 20 см.
Вантаж відвели вниз та відпустили. Чому дорівнює період Т коливань,
що виникло?
3. Сталева кулька, підвішена до пружини, робить
вертикальні коливання. Як зміниться період коливань,
якщо до пружини підвісити мідну кульку того ж радіуса?
4. Обчисліть жорсткість пружини, якщо підвішений на ній
вантаж масою 700 г робить 18 коливань за 21 с.
5. Яким є співвідношення довжин двох математичних маятників,
якщо один з них здійснює 31 коливання, а другий за точно
такий проміжок часу – 20 коливань?
2). Контрольні питання
1. Назвіть причини коливань пружинного маятника.
2. Можна використовувати пружинний маятник для розрахунку
прискорення вільного падіння?
3. Як зміниться період коливань пружинного маятника, якщо
масу вантажу збільшити в 4 рази і одночасно збільшити в 4 рази
рази жорсткість пружини?
4. Назвіть основні властивості математичного маятника. Де
їх використовують?
5. Що спільного у пружинного та математичного маятників?

Що ми дізналися на уроці
Пружинний маятник - це коливальна система,
що являє собою тіло, закріплене на пружині.
Період коливань пружинного маятника не залежить від
прискорення вільного падіння і тим менше, чим менше
маса вантажу і жорсткіша пружина:
Частота та циклічна частота коливань пружинного
маятника:
Рівняння вільних коливань пружинного маятника:
Математичним маятником називається ідеалізована
коливальна система без тертя, що складається з невагомої та
нерозтяжної нитки, на якій підвішено матеріальну
крапка.
Період вільних коливань математичного маятника не
залежить від його маси, а визначається лише довжиною нитки та
прискоренням вільного падіння там, де знаходиться
маятник:
Рівняння вільних коливань математичного маятника:

Домашнє завдання