Момент електричного диполя знаходиться за такою формулою. Фізичні основи електрографії

ДИПОЛЬ ЕЛЕКТРИЧНИЙ, у найпростішому випадку система двох рівних за величиною і протилежних за знаком точкових електричних зарядів, що знаходяться на деякій відстані l один від одного. Основною характеристикою електричного диполя є дипольний момент р - вектор, спрямований від негативного заряду -q до позитивного +q і чисельно рівний добутку ql. В разі довільної системиточкових зарядів дипольний моментвиходить підсумовуванням за всіма зарядами творів заряду з його радіус-вектор. Якщо система електронейтральна, тобто її сумарний електричний заряд дорівнює нулю, то дипольний момент залежить від цього, як і точці простору вміщено початок відліку системи координат. У цьому випадку відмінність дипольного моменту від нуля вказує на те, що заряди в системі розподілені несферично-симетрично: є області простору з переважанням негативних зарядівта області простору з переважанням позитивних зарядів. Коли система зарядів не електронейтральна, електричний дипольний момент залежить від вибору початку відліку системи координат і не є показником заходи відхилення розподілу зарядів від сферично-симетричного. У цьому випадку існує точка простору, помістивши в яку початок відліку системи координат, можна звернути в нуль електричний момент, це так званий центр заряду.

Поле електричного диполя на відстанях, великих у порівнянні з лінійними розмірами зайнятої зарядами області, зі зростанням відстані R убуває назад пропорційно R 3 . У спеціально обраних координатах компоненти напруженості поля Е вздовж осі електричного диполя (Е р) і в перпендикулярному напрямку (Е ⊥) (рис.) пропорційні р і в гаусової системі одиниць рівні:

де - кут між р і радіус-вектором R.

У зовнішньому електричному полі на диполь електричний обертальний моментсил, що прагне повернути вектор дипольного моменту вздовж вектора зовнішнього поля. Якщо зовнішнє поле неоднорідне, тобто його напруженість різна в різних точкахсистеми зарядів, то на диполь діє ще й сила, що прагне перемістити його в область більш сильного поля. Дія зовнішнього електричного поля на диполь також пропорційно нар. Багато молекул мають відмінний від нуля електричний дипольний момент. Саме в результаті взаємодії дипольних моментів молекул речовини утворюються молекулярні кристали.

У багатьох випадках електричний диполь є хорошим наближенням для опису будь-якої електронейтральної в цілому системи на відстанях, що значно перевищують розміри системи. Наприклад, полярні молекули можна наближено розглядати як електричний диполь. Атоми, неполярні молекули та іони в електричному полі набувають дипольного моменту, оскільки складники їх частки дещо зміщуються під дією зовнішнього поля.

Диполь електричний з дипольним моментом, що змінюється в часі, випромінює електромагнітні хвилі (дивися Дипольне випромінювання).

Тамм І. Є. Основи теорії електрики. 10-те вид. М., 1989.

Диполь є система, що складається з двох рівних за модулем та протилежних за знаком зарядів. Вектор I, проведений від негативного позитивного заряду, називається плечем диполя.

Електричний момент диполя

де - Заряд диполя.

Електричний дипольний момент молекули прийнято виражати в одиницях атомного масштабу - дебай (D) = 3,33 · 10 -30 Кл · м.

Диполь називається точковим, якщо відстань від центру диполя до точки, в якій розглядається дія диполя, набагато більше плеча диполя .

Напруженість поля точкового диполя:

а) на осі диполя

, або
;

б) на перпендикулярі до осі диполя

, або
;

в) у загальному випадку

, або
,

де
─ кут між радіусом-вектором і електричним дипольним моментом (рис. 2.1).

Потенціал поля диполя

.

Потенціальна енергіядиполя в електростатичному полі

Механічний момент, що діє на диполь з електричним дипольним моментом , поміщений в електричне однорідне поле з напруженістю ,

або
,

де
– кут між напрямком векторів і .

Сила F, що діє на диполь в неоднорідному електростатичному полі, що має осьову (вздовж осіх) симетрію,

,

де ─ величина, що характеризує ступінь неоднорідності електростатичного поля вздовж осі х;– кут між векторами і .

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Диполь з електричним моментом

. Вектор електричного моментускладає кут
із напрямом силових ліній поля. Визначити роботу A зовнішніх сил, досконалу при повороті диполя на кут
.

Р єшення. З вихідного положення (рис. 2.2, а) диполь можна повернути на кут
, обертаючи його за годинниковою стрілкою до кута (рис. 2.2, б), або проти годинникової стрілки до кута (рис. 2.2, в).

У першому випадку диполь повертатиметься під дією сил поля. Отже, робота зовнішніх сил у своїй негативна. У другому випадку поворот може бути виконаний тільки під дією зовнішніх сил і робота зовнішніх сил при цьому позитивна.

Роботу, що здійснюється при повороті диполя, можна обчислити двома способами: 1) безпосередньо інтегрування виразу елементарної роботи; 2) за допомогою співвідношення між роботою та зміною потенційної енергії диполя в електричному полі.

а Б В

1-й спосіб. Елементарна роботапри повороті диполя на кут
:

а повна робота при повороті на кут від до
:

.

Зробивши інтегрування, отримаємо

Робота зовнішніх сил при повороті диполя за годинниковою стрілкою

проти годинникової стрілки

2-й спосіб. Робота А зовнішніх сил пов'язана із зміною потенційної енергії
співвідношенням

,

де
─ потенційні енергії системи відповідно у початковому та кінцевому станах. Оскільки потенційна енергія диполя в електричному полі виражається формулою
,то

що збігається з формулою (2.1), отриманою першим способом.

приклад 2.Три точкових заряду ,
,
, утворюють електрично нейтральну систему, причому
. Заряди розташовані у вершинах рівностороннього трикутника. Визначити максимальні значення напруженості
та потенціалу
поля, створюваного цією системою зарядів, з відривом
від центру трикутника, довжина сторони якого
.

Рішення.Нейтральну систему, що складається з трьох точкових зарядів, можна як диполя. Справді, «центр тяжкості» зарядів і
лежить на середині відрізка прямої, що з'єднує ці заряди (рис. 2.3). У цій точці можна вважати зосередженим заряд
. Оскільки система зарядів нейтральна (
), то

Так як відстань між зарядами Q 3 і Q набагато менша за відстань r (рис. 2.4), то систему цих двох зарядів можна вважати диполем з електричним моментом
де
─ плече диполя. Електричний момент диполя

.

Той самий результат можна отримати іншим способом. Систему із трьох зарядів представимо як два диполі з електричними моментами (рис. 2.5), рівними за модулем:
;
. Електричний момент системи зарядів знайдемо як векторну суму і , і
.Як це випливає з рис. 2.5, маємо
.Так як

,то

,

що збігається зі знайденим раніше значенням.

Напруженість та потенціал поля диполя виражаються формулами

;
,

г де
─ кут між радіусом-вектором та електричним дипольним моментом (Рис. 2.1).

Напруженість і потенціал матимуть максимальні значення при
= 0, отже,

;
.

Так як
,то

;
.

Обчислення дають такі значення:

;
.

Завдання

201. Обчислити електричний момент р диполя, якщо його заряд
,
. (Відповідь: 50 нКл∙м).

202. Відстань між зарядами
і
диполя дорівнює 12 см. Знайти напруженість Е та потенціал поля, створеного диполем у точці, віддаленій на
як від першого, так і від другого заряду. (Відповідь:
;
).

203. Диполь з електричним моментом
утворений двома точковими зарядами
і
. Знайти напруженістьE та потенціал електричного поля в точці A (рис. 2.6), що знаходиться на відстані
від центру диполя. (Відповідь:
;
).

204. Електричний момент диполя
поля, створеного в точці A (рис. 2.6), що знаходиться на відстані
від центру диполя. (Відповідь:
;
).

205. Визначити напруженість E та потенціал
на відстані

з вектором електричного моменту.(Відповідь:
;
).

206. Диполь з електричним моментом
рівномірно обертається із частотою
щодо осі, що проходить через центр диполя та перпендикулярна його плечу. Точка С знаходиться на відстані
від центру диполя лежить у площині обертання диполя. Вивести закон зміни потенціалу як функцію часу в точці С. Прийняти, що в початковий моментчасу потенціал у точці С
. Побудувати графік залежності
. (Відповідь:
;
;
).

207. Диполь з електричним моментом

щодо осі, що проходить через центр диполя та перпендикулярна його плечу. Визначити середню потенційну енергію
заряду
, що знаходиться на відстані
і обертання, що лежить у площині, завчасно, рівне напівперіоду (від
до
). У початковий момент часу рахувати
. (Відповідь:).

208. Два диполі з електричними моментами
і
знаходяться на відстані
один від одного. Знайти силу їхньої взаємодії, якщо осі диполів лежать на одній прямій. (Відповідь:
).

209. Два диполі з електричними моментами
і
знаходяться на відстані
один від одного, так що осі диполів лежать на одній прямій. Обчислити взаємну потенційну енергію диполів, що відповідає їх стійкій рівновазі. (Відповідь:
).

210. Диполь з електричним моментом
прикріплений до пружної нитки (рис. 2.7). Коли у просторі, де знаходиться диполь, було створено електричне поле напруженістю
, перпендикулярно до плеча диполя і нитки, диполь повернувся на кут
. Визначити момент сили М, що викликає закручування нитки на 1 рад. (Відповідь:
).

211. Диполь з електричним моментом
прикріплений до пружної нитки (рис. 2.7). Коли в просторі, де знаходиться диполь, було створено електричну полінапруженість
, перпендикулярно до плеча диполя і нитки, диполь повернувся на малий кут
. Визначити момент сили М, що викликає закручування нитки на 1 рад. (Відповідь:).

212. Диполь з електричним моментом
знаходиться в однорідному електричному полі напруженістю
. Вектор електричного моменту складає кут
з лініями поля. Якою є потенційна енергія П поля? Вважати
коли вектор електричного моменту диполя перпендикулярний лініям поля. (Відповідь:).

213. Диполь з електричним моментом
вільно встановлюється в однорідному електричному полі напруженістю

. (Відповідь:).

214. Диполь з електричним моментом



. (Відповідь:).

215. Перпендикулярно до плеча диполя з електричним моментом
збуджено однорідне електричне поле напруженістю
. Під дією сил поля диполь починає повертатись щодо осі, що проходить через його центр. Знайти кутову швидкість
диполя у момент проходження ним положення рівноваги. Момент інерції диполя щодо осі, перпендикулярної плечу і проходить через його центр. (Відповідь:
;
).

216. Диполь з електричним моментом
вільно встановився в однорідному електричному полі напруженістю
. Диполь повернули на малий кут і надали собі. Визначити частоту власних коливаньдиполя в електричному полі. Момент інерції диполя щодо осі, що проходить через його центр
. (Відповідь:
).

217. Диполь з електричним моментом
знаходиться у неоднорідному електричному полі. Ступінь неоднорідності поля характеризується величиною
, взятої у напрямку осі диполя. Обчислити силуF, що діє на диполь у цьому напрямку. (Відповідь:).

218. Диполь з електричним моментом
встановився вздовж силової лінії у полі точкового заряду
на відстані
від нього. Визначити для цієї точки величину
, Що характеризує ступінь неоднорідності поля у напрямку силової лінії та силу F, що діє на диполь. (Відповідь:
;
).

219. Диполь з електричним моментом
встановився вздовж силової лінії в полі, створеному нескінченною прямою ниткою, зарядженою нескінченною прямою ниткою, зарядженою з лінійною щільністю
на відстані
від неї. Визначити у цій точці величину
, Що характеризує ступінь неоднорідності поля в напрямку силової лінії та силу F, що діє на диполь. (Відповідь:
;
).

220. Диполь з електричним моментом
утворений двома точковими зарядами
і
. Знайти напруженість Е та потенціал електричного поля в точці (рис. 2.6), що знаходяться на відстані
від центру диполя. (Відповідь:
;
).

221. Електричний момент диполя
. Визначити напруженість Е та потенціал поля, створеного в точці В (рис. 3.6), що знаходиться на відстані
від центру диполя. (Відповідь:
;
).

222. Визначити напруженість Е та потенціал поля, що створюється диполем з електричним моментом
на відстані
від центру диполя, у напрямку, що становить кут
з вектором електричний момент. (Відповідь:
;
).

223. Диполь з електричним моментом
рівномірно обертається з кутовою швидкістю
щодо осі, що проходить через центр диполя та перпендикулярна його плечу. Визначити середню потенційну енергію
заряду
, що знаходиться на відстані
і лежачого в площині обертання протягом часу
.У початковий момент часу рахувати
. (Відповідь:
).

224. Диполь з електричним моментом
вільно встановлюється в однорідному електричному полі напруженістю
. Обчислити роботу А, необхідну у тому, щоб повернути диполь на кут
. (Відповідь:
).

225. Диполь з електричним моментом
вільно встановився в однорідному електричному полі напруженістю
. Визначити зміну потенційної енергії
диполя при повороті його на кут
. (Відповідь:).

226. Молекула HF має електричний момент
. Міжядерна відстань
. Знайти заряд такого диполя та пояснити, чому знайдене значення суттєво відрізняється від значення елементарного заряду
. (Відповідь:
).

227. Точковий заряд
знаходиться на відстані

. Визначити потенційну енергію П і силу їх взаємодії у разі, коли точковий заряд знаходиться на осі диполя. (Відповідь:
;
).

228. Точковий заряд
знаходиться на відстані
від точкового диполя з електричним моментом
. Визначити потенційну енергію П і силу їх взаємодії у разі, коли точковий заряд знаходиться на перпендикулярі до осі диполя. (Відповідь:
;
).

229. Два диполі (рис. 2.8) з електричними моментами
знаходяться на відстані
один від одного (
─ плече диполя). Визначити потенційну енергію взаємодії диполів. (Відповідь:
).

230. Два однаково орієнтовані диполі (рис. 2.9) з електричними моментами
знаходяться на відстані
один від одного (
─ плече диполя). Визначити потенційну енергію П і силу взаємодії диполів. (Відповідь:
;
).

Ірпінь. Диполь в електричному полі.

Діполь- Ідеалізована система, що служить для наближеного опису поля, створюваного взагалі кажучи більше складними системамизарядів, а також для наближеного опису дії зовнішнього поля на такі системи. Дипольне наближення, виконання якого зазвичай мається на увазі, коли йдеться про поле диполя, засноване на розкладанні потенціалів поля в ряд за ступенями радіус-вектора, що характеризує положення зарядів-джерел, і відкидання всіх членів вище за перший порядок . Отримані функції будуть ефективно описувати поле у ​​разі, якщо:

розміри випромінюючої полі системи малі в порівнянні з розглянутими відстанями, так що відношення характерного розміру системи до довжини радіус-вектора є малою величиною і має розгляд лише перших членів розкладання потенціалів в ряд;

член першого порядку у розкладанні не дорівнює 0, інакше потрібно використовувати наближення більш високої мультипольності;

в рівняннях розглядаються градієнти потенціалів не вище за перший порядок.

Типовий приклад диполя - два заряди, рівних за величиною і протилежних за знаком, що знаходяться один від одного на відстані, дуже малій порівняно з відстанню до точки спостереження. Поле такої системи повністю описується дипольним наближенням.

Електричний диполь- ідеалізована електронейтральна система, що складається з точкових та рівних за абсолютною величиною позитивного та негативного електричних зарядів.

Іншими словами, електричний диполь є сукупністю двох рівних за абсолютною величиною різноіменних точкових зарядів, що знаходяться на певній відстані один від одного

Добуток вектора проведеного від негативного заряду до позитивного, на абсолютну величину зарядів називається дипольним моментом:

У зовнішньому електричному полі на електричний диполь діє момент сил, який прагне повернути його так, щоб дипольний момент розгорнувся вздовж напрямку поля.

Потенційна енергія електричного диполя у (постійному) електричному полі дорівнює (У разі неоднорідного поляце означає залежність як від моменту диполя - його величини і напрями, а й від місця, точки знаходження диполя).

Вдалині від електричного диполя напруженість його електричного поля зменшується з відстанню як швидше, ніж у точкового заряду ().

Будь-яка в цілому електронейтральна система, що містить електричні заряди, у деякому наближенні (тобто власне у дипольному наближенні) може розглядатися як електричний диполь з моментом де - зарядного елемента, - його радіус-вектор. У цьому дипольне наближення буде коректним, якщо відстань, у якому вивчається електричне полі системи, велике проти її характерними розмірами.

Часто виникає необхідність знайти характеристики електричного поля, створюваного системою зарядів, локалізованих у невеликій області простору. Прикладом такої системи зарядів можуть бути атоми і молекули, які з електрично заряджених ядер і електронів. Якщо потрібно знайти поле на відстанях, які значно більше розмірівобласті розташування частинок, немає необхідності користуватися точними, але громіздкими формулами, досить обмежиться більш простими наближеними виразами.
Нехай електричне поле створюється набором точкових зарядів q k (k = 1, 2, …, N), розташованих у межах невеликої області простору, характерні розміри якої позначимо l(Рис. 285).

Мал. 285
Для розрахунку характеристик електричного поля, у певній точці A, що знаходиться на відстані r, що значно перевищує lвсі заряди системи можна «об'єднати» і розглядати систему зарядів як точковий заряд Q, величина якого дорівнює сумі зарядів вихідної системи

Цей заряд можна подумки розташувати в будь-якій точці області розташування системи зарядів q k (k = 1, 2, …, N), так як при l<< r , Зміна положення в межах малої області незначно вплине на зміну поля в точці, що розглядається.
В рамках такого наближення напруженість та потенціал електричного поля визначаються за відомими формулами

Якщо сумарний заряд системи дорівнює нулю, то указне наближення є надто грубим, що призводить до висновку про відсутність електричного поля.
Точніше наближення можна отримати, якщо подумки зібрати окремо позитивні і негативні заряди аналізованої системи. Якщо їх «центри» зміщені один щодо одного, то електричне поле такої системи може бути описане як поле двох точкових зарядів, рівних за величиною та протилежних за знаком, зміщених один щодо одного. Точнішу характеристику системи зарядів у цьому наближенні ми дамо трохи пізніше, після вивчення властивостей електричного диполя.
Електричним диполем називається система, що складається з двох точкових зарядів однакових за величиною та протилежних за знаком, розташованих на малій відстані один від одного.
Розрахуємо характеристики електричного поля, що створюється диполем, що складається з двох точкових зарядів +qі −q, розташованих на відстані aодин від одного (рис. 286).

Мал. 286
Спочатку знайдемо потенціал та напруженість електричного поля диполя на його осі, тобто на прямій, що проходить через обидва заряди. Нехай крапка A, знаходиться на відстані rвід центру диполя, причому вважатимемо, що r >> a. Відповідно до принципу суперпозиції потенціал поля в даній точці описується виразом

На останньому кроці ми знехтували другою малою величиною (a/2) 2порівняно з r 2. Величину вектора напруженості електричного поля також можна обчислити на основі принципу суперпозиції

Напруженість поля можна обчислити, використовуючи співвідношення між потенціалом та напруженістю поля E x = −Δφ/Δx. У даному випадкувектор напруженості спрямований уздовж осі диполя, тому його модуль розраховується так


Зверніть увагу, що поле диполя слабшає швидше за поле точкового заряду, так потенціал поля диполя зменшується назад пропорційно квадрату відстані, а напруженість поля - назад пропорційно кубу відстані.
Аналогічним, але більш громіздким способом можна знайти потенціал і напруженість поля диполя в довільній точці, положення якої визначимо за допомогою полярних координат: відстань до центру диполя rта кута θ (Рис. 287).

Мал. 287
За принципом суперпозиції потенціал поля у точці Aдорівнює

Враховуючи що r >> a, формулу (6) можна спростити за допомогою наближень

у цьому випадку отримуємо

Вектор напруженості електричного поля. Eзручно розкласти на дві складові: радіальну E r, спрямовану вздовж прямої, що з'єднує дану точкуз центром диполя, та перпендикулярну їй E θ(Рис. 288).

Мал. 288
При такому розкладі кожна компонента спрямована вздовж напрямку зміни кожної координат точки спостереження, тому може бути знайдена зі співвідношення, що зв'язує напруженість поля і зміна потенціалу.
Для того, щоб знайти компоненти вектора напруженості поля, запишемо відношення зміни потенціалу при зміщенні точки спостереження у напрямку відповідних векторів (рис. 289).

Мал. 289
Радіальна складова тоді висловиться співвідношенням


Для розрахунку перпендикулярної складової слід врахувати, що величина малого усунення в перпендикулярному напрямку виражається через зміну кута наступним чином Δl = rΔθ.
Тому величина цієї компоненти поля дорівнює


При виведенні останнього співвідношення використано тригонометрична формуладля різниці косінусів і наближене співвідношення, справедливе при малих Δθ :
sinΔθ ≈ Δθ.
Отримані співвідношення повністю визначають поле диполя у довільній точці та дозволяють побудувати картину силових ліній цього поля (рис. 290).

Мал. 290
Тепер звернемо увагу, що у всіх формулах, що визначають потенціал та напруженість поля диполя, фігурує лише добуток величини одного із зарядів диполя на відстань між зарядами. Тому саме цей твір є повною характеристикою електричних властивостейі називається дипольним моментомсистеми. Оскільки диполь є системою двох точкових зарядів, він володіє осьовий симетрієювіссю якої є пряма, що проходить через заряди. Отже, для завдання повної характеристикидиполя слід зазначити та орієнтацію осі диполя. Найпростіше це зробити, задаючи вектор дипольного моменту, величина якого дорівнює дипольному моменту, а напрямок збігається з віссю диполя

де a− вектор, що з'єднує негативний та позитивний заряди диполя 1 . Така характеристика диполя дуже зручна і дозволяє у багатьох випадках спрощувати формули, надаючи їм векторного вигляду. Так, наприклад, потенціал поля диполя у довільній точці, що описується формулою (6), може бути записаний у векторній формі

Після введення векторної характеристики диполя, його дипольного моменту, з'являється можливість використовувати ще одну спрощувальну модель - точковий диполь: систему зарядів, геометричними розмірами якої можна знехтувати, але має дипольний момент 2 .
Розглянемо поведінку диполя електричному полі.

Мал. 291
Нехай два точкові заряди, що знаходяться на фіксованій відстані один від одного, поміщені в однорідне електричне поле. З боку поля на заряди діють сили F = ±qE, рівні за величиною та протилежні за напрямом. Сумарна сила, що діє на диполь дорівнює нулю, проте ці сили додаються різним точкамтому сумарний момент цих відмінний від нуля, а дорівнює

де α − кут меду вектором напруженості поля та вектором дипольного моменту. Наявність моменту сили призводить до того, що дипольний момент системи прагне повернутися в напрямку вектора напруженості електричного поля.
Зверніть увагу, що момент сили, що діє на диполь, повністю визначається його дипольним моментом. Як показали раніше, якщо сума сил, які діють систему, дорівнює нулю, то сумарний момент сил залежить від осі, щодо якої цей момент розраховується. Положення рівноваги диполя відповідають як напрямок по полю α = 0 , так і проти нього α = π , проте легко показати, що перше положення рівноваги стійке, а друге ні.
Якщо електричний диполь знаходиться у неоднорідному електричному полі, то сили, що діють на заряди диполя різні, тому результуюча сила відрізняється від нуля.
Для спрощення вважатимемо, що вісь диполя збігається з напрямком вектора напруженості зовнішнього електричного поля. Сумісний вісь xсистеми координат із напрямком вектора напруженості (рис. 292).

Мал. 292
Результуюча сила, що діє на диполь, дорівнює векторній сумі сил, що діють на заряди диполя,

Тут E(x)− напруженість поля в точці розташування негативного заряду, E(x + a)− напруженість у точці позитивного заряду. Так як відстань між зарядами замало, різниця напруженостей представлена ​​як добуток швидкості зміни напруженості на розмір диполя. Таким чином, у неоднорідному полі, на диполь діє сила, спрямована у бік зростання поля, або диполь втягується в область сильнішого поля.
На закінчення повернемося до строгому визначеннюдипольного моменту довільної системи зарядів Вектор дипольного моменту системи, що складається з двох зарядів (рис. 293),

Мал. 293
може бути записаний у вигляді

Якщо тепер пронумерувати заряди, то ця формула набуває вигляду

де величини зарядів розуміються в алгебраїчному сенсіз урахуванням їх знаків. Остання формула припускає очевидне узагальнення (обґрунтуванням якого є принцип суперпозиції) на систему довільного числазарядів

Ця формула визначає дипольний момент довільної системи зарядів, її допомогою довільна система зарядів може бути замінена на точковий диполь (рис. 294).

Мал. 294
Положення диполя всередині області розташування зарядів довільно, природно, якщо електричне поле розглядається на відстанях значно перевищують розмір системи.

 Завдання для самостійної роботи.
 1. Доведіть, що для довільної системи зарядів, алгебраїчна сумаяких дорівнює нулю, дипольний момент, який визначається за формулою (11), не залежить від вибору системи відліку.
 2. Визначте «центри» позитивних і негативних зарядів системи за формулами аналогічними формулами для координат центру мас системи. Якщо всі позитивні і всі негативні заряди зібрати у своїх «центрах», то отримаємо диполь, що складається з двох зарядів. Покажіть, що його дипольний момент збігається із дипольним моментом, розрахованим за формулою (11).
 3. Отримайте двома способами формулу, що виражає силу взаємодії точкового диполя та точкового заряду, що знаходиться на осі диполя: по-перше, знайдіть силу, що діє на точковий заряд з боку диполя; по-друге, знайдіть силу, що діє диполь з боку точкового заряду; по-третє, переконайтеся, що ці сили рівні за модулем і протилежні за напрямом.

1 Напрямок вектора дипольного моменту, в принципі, можна задати і протилежним, але історично склалося завдання напряму дипольного моменту від негативного до позитивного заряду. При такому визначенні силові лінії є продовженням вектора дипольного моменту.
2 Чергова, абсурдна на перший погляд, але зручна абстракція – матеріальна точка, що має два заряди, рознесені у просторі.

Щоб зрозуміти механізм поведінки діелектриків у полі на мікроскопічному рівні, нам треба спочатку пояснити, як може електрично нейтральна система реагувати на зовнішнє електричне поле. Найпростіший випадок- повна відсутність зарядів – нас не цікавить. Ми знаємо, що в діелектриці є електричні заряди - у складі атомів, молекул, іонів. кристалічних ґраті т. д. Тому ми розглянемо наступну за простотою конструкції електронейтральну систему - два рівні за величиною і протилежні за знаком точкових заряду + qі – q, що знаходяться на відстані lодин від одного. Така система називається електричним диполем.

Мал. 3.6. Електричний диполь

Лінії напруженості електричного поля та еквіпотенційні поверхніелектричного диполя виглядають так (рис. 3.7, 3.8, 3.9)

Мал. 3.7. Лінії напруженості електричного поля електричного диполя

Мал. 3.8. Еквіпотенційні поверхні електричного диполя

Мал. 3.9. Лінії напруженості електричного поля та еквіпотенційні поверхні

Основною характеристикою диполя є. Введемо вектор l, спрямований від негативного заряду (– q) до позитивного (+ q), тоді вектор р званий електричним моментом диполяабо просто дипольним моментом, визначається як

Розглянемо поведінку «жорсткого» диполя – тобто відстань якого не змінюється – у зовнішньому полі Е (Рис. 3.10).

Мал. 3.10. Сили, що діють на електричний диполь, поміщений у зовнішнє поле

Нехай напрямок дипольного моменту складає з вектором Е кут. На позитивний заряд диполя діє сила, що збігається у напрямку Е і рівна F 1 = +q E , а на негативний - протилежно спрямована та рівна F 2 = –q E . Обертальний момент цієї пари сил дорівнює

Так як ql = р, то М = рЕ sin або у векторних позначеннях

(Нагадаємо, що символ

означає векторний витвір векторів а і b .) Таким чином, при незмінному дипольному моменті молекули () механічний момент, що діє на неї, пропорційний напруженості Е зовнішнього електричного поля і залежить від кута між векторами. р і E .

Під дією моменту сил Мдиполь повертається, при цьому відбувається робота

яка йде збільшення його потенційної енергії. Звідси отримуємо потенційну енергію диполя в електричному полі

якщо покласти const = 0.

З малюнка видно, що зовнішнє електричне поле прагне повернути диполь таким чином, щоб вектор його електричного моменту р збігся у напрямку з вектором Е . У цьому випадку , а, отже, і М = 0. З іншого боку, потенційна енергія диполя в зовнішньому полі приймає мінімальне значення, що відповідає положенню стійкогорівноваги. У разі відхилення диполя від цього положення знову виникає механічний момент, який повертає диполь у початкове положення. Інше положення рівноваги, коли дипольний момент спрямований проти поля є нестійким. Потенційна енергія у разі приймає максимальне значенняі при невеликих відхиленнях від такого положення сили, що виникають, не повертають диполь назад, а ще більше відхиляють його.

На рис. 3.11 показаний досвід, що ілюструє виникнення моменту електричних силдію на діелектрик в електричному полі. На подовжений діелектричний зразок, розташований під деяким кутом до силових ліній електростатичного полядіє момент сил, що прагне розгорнути цей зразок вздовж поля. Діелектрична паличка, підвішена за середину всередині плоского конденсатора, розгортається перпендикулярно до його пластин після подачі на них високої напругивід електростатичної машини. Поява крутного моменту обумовлена ​​взаємодією паляризованої палички з електричним полемконденсатора.

Мал. 3.11. Момент електричних сил, що діють на діелектрик в електричному полі

У разі неоднорідного поля на аналізований диполь діятиме ще й рівнодіюча сила F рівн, що прагне його зрушити. Ми розглянемо тут окремий випадок. Направимо вісь х вздовж поля Е . Нехай диполь під дією поля вже повернувся вздовж силової лінії, тому негативний заряд знаходиться в точці з координатою x, а позитивний заряд розташований у точці з координатою х +l. Уявімо, що величина напруженості поля залежить від координати х. Тоді рівнодіюча сила F рівн дорівнює

Такий же результат може бути отриманий з загального співвідношення

де енергія П визначена (3.8). Якщо Е збільшується зі зростанням x, то

та проекція рівнодіючої сили позитивна. Це означає, що вона прагне втягнути диполь у область, де напруженість поля більша. Цим пояснюється відомий ефект, коли нейтральні шматочки паперу притягуються до наелектризованого гребінця. У плоскому конденсаторі з однорідним полемвони б залишилися нерухомими.

Розглянемо кілька дослідів, що ілюструють виникнення сили, що діє на діелектрик, поміщений у неоднорідне електричне поле.

На рис. 3.12 показано втягування діелектрика у простір між обкладками плоского конденсатора. У неоднорідному електростатичному полі діелектрик діють сили, втягують їх у область сильнішого поля.

Мал. 3.12. Втягування рідкого діелектрика в плоский конденсатор

Це демонструється за допомогою прозорої судини, в яку поміщено плоский конденсатор, і налито деяку кількість рідкого діелектрика - гасу (рис.3.13). Конденсатор приєднано до високовольтного джерела живлення - електростатичної машини. При її роботі на нижньому краюконденсатора в області неоднорідного поля на гас діє сила, що втягує його в простір між пластинами. Тому рівень гасу всередині конденсатора встановлюється вище, ніж зовні. Після вимкнення поля рівень гасу між пластинами падає до рівня в посудині.

Мал. 3.13. Втягування гасу у простір між обкладками плоского конденсатора

У реальних речовинах нечасто зустрічаються диполі, утворені лише двома зарядами. Зазвичай ми маємо справу з складнішими системами. Але поняття електричного дипольного моменту можна застосувати і до систем з багатьма зарядами. У цьому випадку дипольний момент визначається як

де - величина заряду з номером iі радіус-вектор, що визначає його місцезнаходження, відповідно. У разі двох зарядів ми приходимо до колишнього виразу

Нехай наша система зарядів електрично нейтральна. У ній є позитивні заряди, величини яких та розташування ми позначимо індексом «+». Індексом «–» ми забезпечимо абсолютні величининегативних зарядів та їх радіус-вектори. Тоді вираз (3.10) може бути записаний у вигляді

У (3.11) у першому доданку підсумовування ведеться за всіма позитивними зарядами, а у другому - за всіма негативними зарядами системи.

Вирази (3.13) аналогічні формулам для центру мас у механіці, тому ми назвали їх центрами позитивних і негативних зарядів, відповідно. З цими позначеннями та з урахуванням співвідношення (3.12) ми записуємо електричний дипольний момент(3.11) системи зарядіву вигляді

де l -Вектор, проведений з центру негативних зарядів до центру позитивних зарядів. Сенс нашої вправи полягає в демонстрації, що будь-яку електрично нейтральну систему зарядів можна представити як еквівалентний диполь.