Розподіл больцмана стислий. Барометрична формула

Через хаотичний рух зміни в положенні кожної частинки (молекули, атома і т.д.) фізичної системи (макроскопічного тіла) носять характер випадкового процесу. Тому можна говорити про можливість виявити частинку в тій чи іншій області простору.

З кінематики відомо, що положення частинки у просторі характеризується її радіусом-вектором чи координатами.

Розглянемо ймовірність dW() виявити частинку в області простору, що визначається малим інтервалом значень радіуса-вектора , якщо фізична система перебуває у стані термодинамічної рівноваги.

Векторний інтервал вимірюватимемо обсягом dV=dxdydz.

Щільність ймовірності (функція ймовірності розподілу значень радіусу-вектора )

Частка в Наразічасу реально десь знаходиться у зазначеному просторі, отже має виконуватися умова нормування:

Знайдемо функцію ймовірності розподілу частинок f() класичного ідеального газу. Газ займає весь об'єм V і перебуває у стані термодинамічної рівноваги з температурою Т.

За відсутності зовнішнього силового поля, всі положення кожної частки рівноймовірні, тобто. газ займає весь об'єм з однаковою густиною. Тому f() = const.

Використовуючи умову нормування, знайдемо, що

т . е. f(r)=1/V.

Якщо кількість частинок газу N, то концентрація n = N/V.

Отже, f(r) = n/N.

Висновок : відсутність зовнішнього силового поляймовірність dW() Виявити частинку ідеального газу в обсязі dV не залежить від положення цього обсягу в просторі, тобто. .

Помістимо ідеальний газ у зовнішнє силове поле.

Внаслідок просторового перерозподілу частинок газу щільність ймовірності f() ¹ const.

Концентрація частинок газу n і його Р будуть різними, тобто. у межіде D N - середня кількість частинок обсягом DV і тиск у межі, де D F- абсолютне значеннясередньої сили, що діє нормально на майданчик DS.

Якщо сили зовнішнього поляє потенційними та діють в одному напрямку (наприклад, сила тяжіння Землі спрямована вздовж осі z), то сили тиску, що діють на верхнє dS 2 і нижнє dS 1 основи об'єму dV, не дорівнюють один одному (рис. 2.2).

Рис. 2.2

У цьому випадку різниця сил тиску dF на основи dS 1 і dS 2 повинна бути компенсована дією сил зовнішнього поля .

Сумарна різниця сил тиску dF = nGdV,

де G – сила, що діє на одну частинку з боку зовнішнього поля.

Різниця сил тиску (за визначенням тиску) dF = dPdxdy. Отже, dP = nGdz.

З механіки відомо, що потенційна енергія частки у зовнішньому силовому полі пов'язана із силою цього поля співвідношенням .

Тоді різниця тисків на верхню та нижню основи виділеного об'єму dP = - n dW p.

У стані термодинамічної рівноваги фізичної системиїї температура Т у межах обсягу dV скрізь однакова. Тому використовуємо рівняння стану ідеального газу тиску dP = kTdn.

Вирішивши спільно останні дві рівності отримаємо, що

- ndW p = kTdn або .

Після перетворень знайдемо, що

або

де ℓ nn o - постійна інтегрування (n o - концентрації частинок там місці, де W p =0).

Після потенціювання, отримаємо

Імовірність виявити частинку ідеального газу в обсязі dV, розташованого біля точки, що визначається радіусом-вектором , представимо у вигляді

де Р о = n o kT.

Застосуємо розподіл Больцмана до атмосферного повітря, що у полі тяжіння Землі.

До складу атмосфери Землівходять гази: азот – 78,1 %; кисень - 21%; аргон-0,9%. Маса атмосфери -5,15× 10 18 кг. На висоті 20-25 км – шар озону.

Поблизу земної поверхніпотенційна енергія частинок повітря на висоті h W p =m o gh, деm o - Маса частки.

Потенційна енергія лише на рівні Землі (h=0) дорівнює нулю (W p =0).

Якщо в стані термодинамічної рівноваги частинки земної атмосфери мають температуру Т, то зміна тиску атмосферного повітряз висотою відбувається за законом

Формула (2.15) називається барометричною формулою ; застосовується для розріджених сумішей газів.

Висновок : для земної атмосферищо важче газ, то швидше падає його тиск залежно від висоти, тобто. у міру збільшення висоти атмосфера має дедалі більше збагачуватися легкими газами. Через зміну температури атмосфера не перебуває у рівноважному стані. Отже, барометричну формулу можна застосовувати до малих ділянок, у яких зміни температури немає. Крім того, на нерівноважність земної атмосфери впливає гравітаційне поле Землі, яке не може утримати її поблизу поверхні планети. Відбувається розсіювання атмосфери і тим швидше, ніж слабше гравітаційне поле. Наприклад, земна атмосферарозсіюється досить повільно. За час існування Землі (~ 4-5 млрд. років) вона втратила малу частину своєї атмосфери (в основному легких газів: водню, гелію та ін.).

Гравітаційне поле Місяця слабше земного, тому він практично повністю втратив свою атмосферу.

Нерівноважність земної атмосфери можна довести в такий спосіб. Припустимо, що атмосфера Землі прийшла у стан термодинамічної рівноваги і у будь-якій точці її простору вона має постійну температуру. Застосуємо формулу Больцмана (2.11), у якій роль потенційної енергії виконує потенційна енергія гравітаційного поляЗемлі, тобто.

де g- гравітаційна стала; М з – маса Землі;m o- Маса частки повітря; r- Відстань частки від центру Землі.= R з , де R з - радіус Землі, то

Це означає, що n ¥ ¹ 0. Але кількість частинок в атмосфері Землі – звісно. Тому така кількість часток не може бути поширена за нескінченним обсягом.

Отже, справді земна атмосфера неспроможна перебувати у рівноважному стані.

Барометрична формула - Залежність тиску або щільності газу від висоти в полі тяжкості.

Для ідеального газу, що має постійну температуру і знаходиться в однорідному полі тяжкості (у всіх точках його об'єму прискорення вільного падінняоднаково), барометрична формула має наступний вигляд:

де - тиск газу в шарі, розташованому на висоті, - тиск на нульовому рівні

(), - молярна масагазу, - газова постійна, - абсолютна температура. З барометричної формули випливає, що концентрація молекул (або щільність газу) зменшується з висотою за тим самим законом:

де - маса молекули газу, - постійна Больцмана.

Барометрична формула може бути отримана із закону розподілу молекул ідеального газу за швидкостями та координатами у потенційному силовому полі. При цьому повинні виконуватись дві умови: сталість температури газу та однорідність силового поля. Аналогічні умови можуть виконуватися і для найдрібніших твердих частинок, зважених у рідині чи газі.

Розподіл Больцмана- це розподіл за енергіями частинок (атомів, молекул) ідеального газу умовах термодинамічного рівноваги. Розподіл Больцмана було відкрито 1868 - 1871 рр. австралійським фізиком Л. Больцманом. Відповідно до розподілу, число частинок n i з повною енергією E i дорівнює:

n i =A ω i e E i /Kt (1)

де ω i - статистична вага (число можливих станівчастинки з енергією e i). Постійна А виходить із умови, що сума n i за всіма можливими значеннями i дорівнює заданому повному числу частинок N у системі (умова нормування):

У разі коли рух частинок підпорядковується класичної механіки, енергію E i можна вважати що складається з кінетичної енергії E iкін частинки (молекули або атома), її внутрішньої енергії E iвн (напр., енергії збудження електронів) і потенційної енергії E i , піт у зовнішньому полі, що залежить від положення частинки в просторі:

E i = E i, кін + E i, вн + E i, піт (2)

Розподіл часток за швидкостями є окремим випадком розподілу Больцмана. Воно має місце, коли можна знехтувати внутрішньою енергією збудження

E i,вн і впливом зовнішніх полів E i,пот. Відповідно до (2) формулу (1) можна подати у вигляді твори трьохекспонент, кожна з яких дає розподіл частинок за одним видом енергії.

У постійному полі тяжкості, що створює прискорення g, для часток атмосферних газів поблизу поверхні Землі (або інших планет) потенційна енергія пропорційна їх масі m і висоті H над поверхнею, тобто. E i, піт = mgH. Після підстановки цього значення у розподіл Больцмана та підсумовування за всілякими значеннями кінетичної та внутрішньої енергіїчастинок виходить барометрична формула, що виражає закон зменшення густини атмосфери з висотою.

У астрофізиці, особливо у теорії зоряних спектрів, розподіл Больцмана часто використовується визначення відносної заселеності електронами різних рівнів енергії атомів. Якщо позначити індексами 1 та 2 два енергетичні станиатома, то з розподілу випливає:

n 2 /n 1 = (ω 2 /ω 1) e-(E 2 -E 1)/kT (3) (ф-ла Больцмана).

Різниця енергій E 2 -E 1 для двох нижніх рівнів енергії атома водню >10 эВ, а значення kT, що характеризує енергію теплового рухучастинок для атмосфер зірок типу Сонця, становить лише 0,3-1 эВ. Тому водень у таких зоряних атмосферах перебуває у незбудженому стані. Так, в атмосферах зірок, що мають ефективну температуру Те > 5700 К (Сонце та ін. Зірки), відношення чисел атомів водню у другому та основному станах дорівнює 4,2 10 -9 .

Розподіл Больцмана було отримано у межах класичної статистики. У 1924-26 рр. було створено квантову статистику. Вона призвела до відкриття розподілів Бозе – Ейнштейна (для частинок із цілим спином) та Фермі – Дірака (для частинок із напівцілим спином). Обидва ці розподіли переходять у розподіл, коли середня кількість доступних для системи квантових станів значно перевищує кількість частинок у системі, т.ч. коли одну частку припадає багато квантових станів чи, ін. словами, коли ступінь заповнення квантових станів мала. Умову застосування розподілу Больцмана можна записати у вигляді нерівності.

Одним із найважливіших об'єктів вивчення статистичної фізики є так званий ідеальний газ. Під цією назвою мають на увазі газ, взаємодія між частинками (молекулами) якого настільки слабка, що їх можна знехтувати. Фізично допустимість такої зневаги може бути забезпечена або дещицею взаємодії частинок за будь-яких відстаней між ними, або достатньою розрідженістю газу. В останньому найбільш важливому випадку розрідженість газу призводить до того, що його молекули майже завжди знаходяться на значних відстанях один від одного, на яких сили взаємодії вже досить малі.

Відсутність взаємодії між молекулами дозволяє звести квантовомеханічну задачу визначення рівнів енергії всього газу в цілому до завдання про визначення рівнів енергії окремої молекули. Ці рівні ми будемо позначати за допомогою , де індекс k являє собою сукупність квантових чисел, Що визначають стан молекули Енергії виражаються тоді як сум енергій кожної з молекул.

Треба, однак, мати на увазі, що навіть за відсутності безпосередньої силової взаємодії квантової механікимає місце своєрідне взаємне вплив частинок, що у однаковому квантовому стані (звані обмінні ефекти). Так, якщо частинки підпорядковуються статистиці Фермі, цей вплив проявляється в тому, що в кожному квантовому стані може знаходитися одночасно не більше однієї частинки); аналогічний вплив, що проявляється іншим чином, має місце і для частинок, що підпорядковуються статистиці Бозе.

Позначимо за допомогою число частинок у газі, що знаходяться в k-му квантовомустан; числа називають числами заповнення різних квантових станів.

Поставимо завдання про обчислення середніх значень цих чисел, причому звернемося до докладному вивченнюнадзвичайно важливого випадку, коли всі числа

Фізично цей випадок відповідає досить розрідженому газу. Надалі буде встановлено критерій, що забезпечує виконання цієї умови, але вже зараз вкажемо, що вона виконується для всіх звичайних молекулярних або атомних газів. Ця умова порушилася б лише за таких великих щільності, за яких речовина фактично вже жодною мірою не можна було б розглядати як ідеальний газ.

Умова для середніх чисел заповнення означає, що у кожний час у кожному квантовому стані фактично перебуває трохи більше однієї частки. У зв'язку з цим можна нехтувати не лише безпосередньою силовою взаємодією частинок, а й їх непрямою квантовомеханічною взаємним впливом, згаданим вище. Ця обставина, у свою чергу, дозволяє застосувати до окремих молекул формулу розподілу Гіббса.

Дійсно, розподіл Гіббса був виведений нами для тіл, які є відносно малими, але в той же час макроскопічними частинами якихось великих замкнутих систем. Макроскопічність тіл давала можливість вважати їх квазізамкнутими, тобто в відомому сенсізнехтувати їхньою взаємодією з іншими частинами системи. У цьому випадку квазізамкнутими є окремі молекулигазу, хоча вони аж ніяк не являють собою макроскопічних тіл.

Застосувавши до молекул газу формулу розподілу Гіббса, ми можемо стверджувати, що ймовірність молекули перебувати в стані, а тому і середня кількість молекул у цьому стані, пропорційна:

де а - постійна, що визначається умовою нормування

(N – повне число частинок у газі). Розподіл молекул ідеального газу по різним станам, Яке визначається формулою (37,2), називається розподілом Больцмана (воно було відкрито Больцманом для класичної статистики в 1877).

Постійний коефіцієнт (37,2) може бути виражений через термодинамічні величинигазу. Для цього дамо ще один висновок цієї формули, заснований на застосуванні розподілу Гіббса до сукупності всіх частинок газу, що знаходяться в квантовому стані.

Ми маємо право зробити це (навіть якщо числа не малі), оскільки безпосередньої силової взаємодії між цими та іншими частинками (як і між усіма взагалі частинками ідеального газу) немає, а квантовомеханічні обмінні ефекти мають місце лише для частинок, що знаходяться в тому самому стані. Вважаючи в загальною формулоюрозподілу Гіббса зі змінним числом частинок і приписуючи індекс k величині отримаємо розподіл ймовірностей різних значеньу вигляді

і ми отримуємо розподіл Больцмана у вигляді

Таким чином, коефіцієнт у формулі (37,2) надаєте» вираженим через хімічний потенціалгазу.

РОЗПОДІЛ БОЛЬЦМАНА

Скористаємося отриманою нами раніше барометричною формулою:

та отримаємо залежність концентрації молекул від висоти. Оскільки

Якщо зобразити графіки залежностей відповідно до (9.17) при різних температурах, то легко бачити, що зі зниженням температури основна частина молекул розташовується ближче до Землі. При абсолютному нулівсі молекули мали б розташуватися лежить на поверхні. Навпаки, при високих температурахмолекули розташовуються майже рівномірно.

Конкретний розподіл молекул встановлюється внаслідок дії протилежних факторів: сила тяжіння концентрує молекули поблизу поверхні, а тепловий рух розкидає по всіх висотах.

У чисельнику показника ступеня експоненти (9.17) стоїть фактично енергія молекули в полі сили тяжіння ε р . Тому (9.17) можна записати у вигляді

Больцмандовів, що розподіл (9.18) справедливий для сукупності будь-яких однакових частинок, що знаходяться в тепловому русі в будь-якому потенційному полі . Тому розподіл (18) називають розподілом Больцмана . Цей розподіл можна подати у вигляді

де - кількість молекул, що потрапляють у межі об'єму , розташованого в точці з координатами x, y, z.

Цей розподіл можна поєднати з розподілом Максвелла, виділивши з молекули, компоненти швидкості яких лежать у межах від до, від до , від до:

Дуже часто енергія частинок може лише дискретні значення із ряду: . В цьому випадку Розподіл Больцмана дає кількість частинок , які перебувають у стані з енергією і має вигляд:

де - Коефіцієнт пропорційності, який визначається з умови нормування. В цьому випадку умова нормування зводиться до вимоги, щоб сума частинок у всіх станах дорівнювала загальної кількостічастинок у системі :

Знайдемо значення множника, що нолрмує, підставивши (9.21) в (9.22):

Таким чином, остаточно розподіл Больцмана для систем із дискретними дозволеними значеннями енергії можна записати у вигляді:

СТАТИСТИЧНА ВАГА

Поняття « статистична вага» (використовується також термін термодинамічна ймовірність) є одним з основних у статистичній фізиці. Щоб сформулювати його визначення, необхідно спочатку визначити поняття макростані мікростан.

Один і той же стан макроскопічноготіламожна охарактеризувати по-різному. Якщо стан охарактеризовано завданням макроскопічних параметрів стану (тиск, об'єм, температура, щільність тощо) то такий стан називатимемо макростаном .

Якщо стан охарактеризовано шляхом завдання координат і швидкостей всіх молекул тіла, такий стан називатимемо мікростаном .

Очевидно, що те саме макростан може бути реалізовано у різний спосіб, тобто різними мікростанами. Число різних мікростанів, якими може бути реалізовано цей макростан називається статистичною вагою або термодинамічною ймовірністю .

Для пояснення зазначених понять розглянемо Модель(!) - посудина, в якій знаходяться N молекул. Припустимо, що посудина розділена на дві однакові частини, і різні макростани відрізняються кількістю молекул у лівій та правій половинах судини. Тому у рамках моделібудемо рахувати стан молекули заданим, якщо відомо, в якій із половин судини вона знаходиться.

Різні мікростани відрізняються тим, які саме молекули знаходяться праворуч і зліва. 1,2 – 3,4 (як показано малюнку 9.5) одне із станів. 1,3 – 2,4 – інший мікростан.

Кожна з молекул може з рівною ймовірністюперебувати і ліворуч, і праворуч. Тому ймовірність i тієї молекулі знаходиться, наприклад, справа дорівнює ½. Поява в лівій частині судини тієї молекули поряд з тією є статистично незалежною подією тому ймовірність знаходження ліворуч двох молекул дорівнює ½ ½ = ¼; трьох молекул – 1/8; чотирьох - 1/16 і т.д. Отже, ймовірність будь-якого розміщення (мікростану) молекул дорівнює .

Твердження про те, що, ймовірності кожного їх мікростану рівні, називаються ергодичною гіпотезою , і воно є основою статистичної фізики.

Розглянемо N = 4. Кожне з розміщень молекул у половинах судини є конкретним мікростаном. Тоді макростану з числом молекул зліва відповідає 1 мікростан. Статистична вага такого макростану дорівнює 1, а ймовірність його реалізації – 1/16. Для інших макростолянь можна стверджувати таке:

Відповідає 6 мікростанів статистична вага 6, 6/16

Відповідає 4 мікростану статистична вага 4, 4/16

Відповідає 1 мікростан статистична вага 1, 1/16

Тепер можна побачити, що внаслідок прийняття ергодичної гіпотези, статистична вага виявляється пропорційною ймовірності (звичайний!) реалізації цього макростану.

Якщо в посудині міститься N молекул, то можна довести, що статвес макростану, що полягає в тому, що зліва n молекул, а праворуч (N - n)

Якщо для чотирьох молекул можливість зібратися в одній з половин судини становить 1/16, тобто цілком відчутну величину, то вже для N = 24 ця можливість становить порядку .

При нормальних умовахв 4 см 3 повітря міститься близько 1020 молекул. Імовірність зібратися їм у одній з частин судини оцінюється величиною.

Таким чином, зі збільшенням кількості молекул у системі ймовірність суттєвих відхилень від приблизної рівності кількостей молекул у частинах судини дуже швидко зменшується.Це відповідає тому, що стан станів з приблизно рівною кількістю молекул у половинах виявляється дуже великим і швидко зменшується в міру відхилення від рівності молекул в частинах.

Якщо число N не дуже велике, то з часом спостерігаються – помітні відхилення кількості молекул в одній із половини від N/2 . Випадкові відхиленняфізичної величиниx від її середнього значення називаються флуктуаціям:

Середнє арифметичне абсолютної флуктуації одно нулю. Тому як характеристику флуктуацій частіше розглядають середню квадратичну флуктуацію :

Більш зручною та показовою є відносна флуктуація :

Причому у статистичній фізиці доводиться співвідношення:

тобто. величина відносної флуктуації обернено пропорційно кореню з кількості частинок у системі . Це твердження підтверджує наш якісний висновок.

Аналогічно кількості молекул в одній із половин судини флуктуюють поблизу середніх значень та інші макроскопічні характеристики стану – тиск, щільність тощо.

Розглянемо природу рівноважних та нерівноважних станівта процесів з погляду статистичної фізики. Рівноважним, за визначенням, є такий стан, який має тенденції до зміни з часом. Ясно, що така властивість найбільшою мірою матиме найбільш ймовірний з усіх макростанів системи, тобто стан, що реалізується наї великою кількістюмікростанів, а значить має найбільшу статистичну вагу. Тому рівноважний станможна визначити як стан, статва якого максимальна .

Прикладом типового незворотного процесу може бути поширення весь обсяг судини молекул газу, спочатку зосереджених у одній з його половин. Цей процес є незворотнім, тому що ймовірність того, що в результаті теплового руху всі молекули зберуться в одній із половин судини, дуже мала. Відповідно завжди незворотнім є процес, протилежний якому вкрай малоймовірний .

ЛЕКЦІЯ № 10 СТАТИЧНА ФІЗИКА ТА ТЕРМОДИНАМІКА

10.1. ЕНТРОПІЯ

Як ми встановили, ймовірність стану системи пропорційна її статичній вазі, тому як характеристика ймовірності стану можна було б використовувати сам статвес W. Однак W не є адитивною величиною. Тому для характеристики стану системи використовують величину

яку називають ентропієюсистеми. Дійсно, якщо ми розглянемо дві системи по 4 молекули в кожній, то статистична вага стану, коли в кожній з підсистем знаходиться, наприклад, по одній молекулі зліва дорівнюватиме 16, тобто. . Це співвідношення справедливе будь-яких станів. Отже, статвес неаддитивний. В той же час ентропіястану результуючої системи, тобто. є величиною адитивною.

Оскільки при протіканні незворотних процесів в ізольованій системі вона переходить із менш ймовірних у вірогідніші стани, можна стверджувати, що ентропія ізольованої системи зростає при протіканні в ній незворотних процесів .

Рівноважний стан є найімовірнішим станом, отже, Ентропія системи, що перейшла в рівноважний стан, максимальна.

Тому можна стверджувати, що ентропія ізольованої системи залишається постійною, якщо вона перебуває у рівноважному стані, або зростає, якщо в ній протікають незворотні процеси.

Твердження про те, що ентропія ізольованої системи не зменшується, називається другим початком термодинаміки або законом зростання ентропії .

Ентропія є, очевидно, функцією стану і має визначатися параметрами стану. Найбільш простими властивостямимає одноатомний ідеальний газ – його стану повністю визначається завданням двох параметрів, наприклад, температури та об'єму. Відповідно його ентропію можна визначити як функцію температури та об'єму: . Відповідні обчислення показують, що ентропія моляться ідеального газу визначається виразом

де є певна константа, з точністю до якої визначається ентропія.

Формула(6) виявляється справедливою для будь-яких тіл, необхідно лише щоб повідомлення кількості тепла було оборотним .

Зупинимося на фізичної сутності ентропії .

Введемо визначення: стан, що здійснюється відносно малою кількістю способів буде називатися упорядкованим або невипадковим . Стан, який здійснюється великою кількістю способів – безладним або випадковим .

Тоді можна стверджувати, що ентропія є кількісним мірою ступеня безладдя в системі . Повідомлення системі кількості тепла призводить до посилення теплового руху молекул, а отже, і до зростання ентропії. У цьому, що стоїть температура системи, то менше частка безладдя внесеного повідомленням даного , у яких полягає фізичний сенсформули (6).

Якщо кількість тепла повідомляється системі в ході незворотного процесу, то її ентропія зростає не тільки за рахунок одержання тепла, а й за рахунок перебігу необхідних процесів, оскільки незворотний процессупроводжується зростанням ймовірності стану системи, її статистичної ваги

У цьому випадку під (7) мається на увазі температура резервуара, з якого система отримує . Об'єднуючи (6) та (7) разом можна записати:

При абсолютному нулі будь-яка система перебуває в основному стані, Т. е. стані з найменшою енергією. Статична вага цього цілком певного стану дорівнює одиниці , отже ентропія системи дорівнює нулю. Це відповідає теоремі Нернста , згідно з якою ентропія будь-якого тіла прагне нулю при прагненні нулю його температури :

Теорему Нернста називають також третім початком термодинаміки .

Отримана в § 92 барометрична формула

(Див. (92.4)) дає залежність тиску від висоти над поверхнею Землі для уявної ізотермічної атмосфери. Замінимо у показнику експоненти відношення рівним йому ставленням (- маса молекули, k – постійна Больцмана). Крім того, підставимо відповідно до (86.7) замість вираз а замість - вираз Скоротивши потім обидві частини рівності на прийдемо до формули

Тут - концентрація молекул (тобто число їх у одиниці обсягу) на висоті - концентрація молекул на висоті

З формули (100.2) випливає, що зі зниженням температури число частинок на висотах, відмінних від нуля, зменшується, звертаючись у нуль при (рис. 100.1). За абсолютного нулі всі молекули розташувалися б на земній поверхні.

При високих температурах, навпаки, слабо зменшується з висотою, отже молекули виявляються розподіленими за висотою майже рівномірно.

Цей факт має просте фізичне пояснення. Кожен конкретний розподіл молекул по висоті встановлюється внаслідок дії двох тенденцій: 1) тяжіння молекул до Землі (що характеризується силою ) прагне розташувати їх лежить на Землі; 2) тепловий рух (характеризується величиною) прагне розкидати молекули поступово по всіх висотах. Чим більше і менше Т, тим більше переважає перша тенденція, і молекули згущуються біля Землі. У межі при теплове рух дуже припиняється, і під впливом тяжіння молекули розміщуються на земній поверхні. За високих температур переважає тепловий рух, і щільність молекул повільно зменшується з висотою.

на різній висотімолекула має різний запас тенціальної енергії:

Отже, розподіл молекул за висотою є водночас і розподілом їх за значеннями потенційної енергії. З урахуванням (100.3) формулу (100.2) можна записати так:

де - щільність молекул там місці, де потенційна енергія молекули має значення - щільність молекул там, де потенційна енергія молекули дорівнює нулю.

З (100.4) випливає, що молекули розташовуються з більшою щільністютам, де менша їх потенційна енергія, і, навпаки, із меншою щільністю - у місцях, де їх потенційна енергія більша.

Відповідно до (100.4) відношення в точках, де потенційна енергія молекули має значення дорівнює

Больцман довів, що розподіл (100.4) справедливий у випадку потенційного полясил земного тяжіння, а й у будь-якому потенційному полі сил для сукупності будь-яких однакових частинок, що у стані хаотичного теплового руху. Відповідно до цього розподіл (100.4) називають розподілом Больцмана.

У той час, як закон Максвелла дає розподіл частинок за значеннями кінетичної енергії, закон Больцмана дає розподіл частинок за значеннями потенційної енергії. Для обох розподілів характерна наявність експоненційного множника, у показнику якого стоїть відношення кінетичної або потенційної енергії однієї молекули до величини, що визначає середню енергіютепловий рух молекули.

Згідно з формулою (100.4) кількість молекул, що потрапляють у межі об'єму розташованого в точці з координатами х, у, z, дорівнює

Ми отримали ще один вираз закону розподілу Больцмана.

Розподіли Максвелла і Больцмана можна об'єднати в один закон Максвелла - Больцмана, згідно з яким число молекул, компоненти швидкості яких лежать у межах від до координати в межах від х, у, z до одно, А - коефіцієнт пропорційності, який повинен задовольняти умові

(N - повне число частинок у системі).

Підставивши знайдене з останнього співвідношення значення А формулу (100.8), отримаємо остаточне вираження розподілу Больцмана для випадку дискретних значеньенергії.