Силові лінії та еквіпотенційні поверхні взаємно перпендикулярні. Еквіпотенційні поверхні та силові лінії електростатичного поля

Еквіпотенційні поверхні це такі поверхні кожна з точок, яких мають однаковий потенціал. Тобто на еквіпотенційній поверхні електричний потенціалмає постійне значення. Такою поверхнею є поверхні провідників, оскільки їхній потенціал однаковий.

Уявімо таку поверхню, для двох точок якої різниця потенціалів дорівнюватиме нулю. Це і буде еквіпотенційна поверхня. Оскільки потенціал у ній однаковий. Якщо розглядати еквіпотенційну поверхню у двомірному просторі, допустимо на кресленні, то вона матиме форму лінії. Робота сил електричного поляпо переміщенню електричного зарядууздовж цієї лінії дорівнюватиме нулю.

Однією з властивостей еквіпотенційних поверхонь є те, що вони завжди перпендикулярні до силових ліній поля. Цю властивість можна сформулювати і навпаки. Будь-яка поверхня, яка перпендикулярна у всіх точках до ліній електричного поля і називається еквіпотенційною.

Також такі поверхні ніколи не перетинаються між собою. Оскільки це означало б відмінність потенціалу межах однієї поверхні, що суперечить визначенню. Ще вони завжди замкнуті. Поверхні рівного потенціалу що неспроможні розпочатися і піти у нескінченність, які мають у своїй чітких кордонів.

Як правило, на кресленнях немає потреби зображати поверхні цілком. Найчастіше зображують перпендикулярний переріз до еквіпотенційних поверхонь. Таким чином вони вироджуються в лінії. Цього виявляється цілком достатньо для оцінки розподілу даного поля. При зображенні графічно поверхні розташовують з однаковим інтервалом. Тобто між двома сусідніми поверхнями дотримується однаковий крок скажемо в один вольт. Тоді за густотою ліній утворених перерізом еквіпотенційних поверхонь можна будувати висновки про напруженості електричного поля.

Наприклад розглянемо поле, створюване точковим електричним зарядом. Силові лініїтакого поля радіальні. Тобто, вони починаються в центрі заряду і спрямовані на нескінченність, якщо заряд позитивний. Або спрямовані на заряд, якщо він негативний. Еквіпотенційні поверхні такого поля матимуть форму сфер із центром у заряді та розбіжних від нього. Якщо ж зобразити двомірний переріз, тоді еквіпотенційні лінії будуть у вигляді концентричних кіл, центр яких також розташований в заряді.

Малюнок 1 - еквіпотенційні лінії точкового заряду

Для однорідного полятакого як, наприклад, поле між обкладками електричного конденсатора поверхні рівного потенціалу будуть мати форму площин. Ці площини розташовані паралельно одна одній однаковій відстані. Щоправда на краях обкладок картина поля спотвориться внаслідок крайового ефекту. Але ми уявімо, що обкладки нескінченно довгі.

Малюнок 2 еквіпотенційні лініїоднорідного поля

Щоб зобразити еквіпотенційні лінії для поля, створюваного двома рівними за величиною і протилежними за знаку зарядами мало застосувати принцип суперпозиції. Так як у цьому випадку при накладенні двох зображень точкових зарядів будуть точки перетину ліній поля. А цього бути не може, тому що поле не може бути спрямоване одразу в дві різні сторони. І тут завдання вирішити аналітично.

Малюнок 3 - Картина поля двох електричних зарядів

Еквіпотенційна поверхня еквіпотенційна поверхня

поверхня, всі точки якої мають один і той самий потенціал. Еквіпотенційна поверхня ортогональна силовим лініям поля. Поверхня провідника в електростатиці є еквіпотенційною поверхнею.

ЕКВІПОТЕНЦІЙНА ПОВЕРХНІСТЬ, поверхня, у всіх точках якої потенціал (див.ПОТЕНЦІАЛ (у фізиці))електричного поля має однакове значення j = const. На площині ці поверхні є еквіпотенційними лініями поля. Використовуються для зображення розподілу потенціалу.
Еквіпотенційні поверхні замкнуті і не перетинаються. Зображення еквіпотенційних поверхонь здійснюють таким чином, щоб різниці потенціалів між сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. У цьому випадку в тих ділянках, де лінії еквіпотенційних поверхонь розташовані густіше, більша напруженість поля.
Між двома будь-якими точками на еквіпотенційній поверхні різниця потенціалів дорівнює нулю. Це означає, що вектор сили в будь-якій точці траєкторії руху заряду еквіпотенційної поверхні перпендикулярний вектору швидкості. Отже, лінії напруженості (див.НАПРУЖНІСТЬ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ) електростатичного поляперпендикулярні до еквіпотенційної поверхні. Іншими словами: еквіпотенційна поверхня ортогональна до силових ліній (див.СИЛОВІ ЛІНІЇ)поля, а вектор напруженості електричного поля Е завжди перпендикулярний еквіпотенційним поверхням і завжди спрямований у бік зменшення потенціалу. Робота сил електричного поля за будь-якого переміщення заряду по еквіпотенційної поверхні дорівнює нулю, оскільки?j = 0.
Еквіпотенційними поверхнями поля точкового заряду є сфери, в центрі яких розташований заряд. Еквіпотенційні поверхні однорідного електричного поля є площиною, перпендикулярні лініямнапруги. Поверхня провідника в електростатичному полі є еквіпотенційною поверхнею.

Енциклопедичний словник. 2009 .

Дивитись що таке "еквіпотенційна поверхня" в інших словниках:

Поверхня, всі точки якої мають той самий потенціал. Еквіпотенційна Поверхня ортогональна до силових ліній поля. Поверхня провідника в електростатиці є еквіпотенційною поверхнею. Великий Енциклопедичний словник

Поверхня, всі точки до рій мають той самий потенціал. Напр., поверхня провідника в електростатиці Е. п. Фізичний енциклопедичний словник. М: Радянська енциклопедія. Головний редакторА. М. Прохоров. 1983 р. … Фізична енциклопедія

еквіпотенційна поверхня- - [Я.Н.Лугинський, М.С.Фезі Жилінська, Ю.С.Кабіров. Англо-російський словник з електротехніки та електроенергетики, Москва, 1999 р.] Тематики електротехніка, основні поняття EN surface of equal potentialsequal energy surfaceequipotential… Довідник технічного перекладача

Еквіпотенційні поверхні електричного диполя(зображені темним їх перерізом площиною малюнка; кольором умовно передано значення потенціалу в різних точкахнайбільш високі значенняпурпурним і червоним, … Вікіпедія

еквіпотенційна поверхня- vienodo potenciale paviršejs statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. equiptential surface vok. Äquipotentialfläche, f rus. еквіпотенційна поверхня f pranc. surface de potentiel constant, f; surface d’égal potentiel, f; surface… … Fizikos terminų žodynas

Поверхня рівного потенціалу, поверхня, всі точки якої мають той самий Потенціал. Наприклад, поверхня провідника в електростатиці Е. п. У силовому полі Силові лінії нормальні (перпендикулярні) до Е. п. Велика радянська енциклопедія

- (Від лат. aequus рівний і потенціал) геом. місце точок в полі, до рим відповідає одне і те ж значення потенціалу. Е. п. перпендикулярні силовим лініям. Еквіпотенційною є, напр., поверхня провідника, що знаходиться в електростатич. Великий енциклопедичний політехнічний словник

Напрям силової лінії(Лінії напруженості) в кожній точці збігається з напрямком . Звідси слідує що напруженість дорівнює різниці потенціалів U на одиницю довжини силової лінії .

Саме вздовж силової лінії відбувається максимальна зміна потенціалу. Тому завжди можна визначити між двома точками, вимірюючи Uміж ними, причому тим точніше, чим ближчі точки. У однорідному електричному полі силові лінії прямі. Тому тут визначити найпростіше:

Графічне зображення силових ліній та еквіпотенційних поверхонь показано на малюнку 3.4.

При переміщенні цієї поверхні на d lпотенціал не зміниться:

Звідси випливає, що векторна проекція на d lрівнонулю , тобто Отже, у кожній точці спрямована нормалі до еквіпотенційної поверхні.

Еквіпотенційних поверхонь можна провести скільки завгодно багато. За густотою еквіпотенційних поверхонь можна судити про величину , це буде за умови, що різниця потенціалів між двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями дорівнює постійній величині.

Формула виражає зв'язок потенціалу з напруженістю і дозволяє відомим значеннямφ знайти напруженість поля у кожній точці. Можна вирішити і зворотне завдання, тобто. за відомими значеннями у кожній точці поля знайти різницю потенціалівміж двома довільними точками поля. Для цього скористаємося тим, що робота, яка здійснюється силами поля над зарядом qпри переміщенні його з точки 1 в точку 2, можливо, обчислена як:

З іншого боку роботу можна подати у вигляді:

тоді

Інтеграл можна брати по будь-якій лінії, що з'єднують точку 1 і точку 2, бо робота сил поля залежить від шляху. Для обходу по замкнутому контурі отримаємо:

тобто. дійшли до відомої нам теореми про циркуляцію вектора напруженості: циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контурудорівнює нулю.

Поле, що має цю властивість, називається потенційним.

Зі обертання в нуль циркуляції вектора випливає, що лінії електростатичного поля не можуть бути замкнутими: вони починаються на позитивних зарядах (витоки) і на негативних зарядах закінчуються (стоки) або йдуть у нескінченність(Рис. 3.4).

Це співвідношення правильне лише електростатичного поля. Згодом ми з вами з'ясуємо, що поле зарядів, що рухаються, не є потенційним, і для нього це співвідношення не виконується.

Для більшої наочності електричне поле часто зображується за допомогою силових ліній та еквіпотенційних поверхонь.

Силові лінії – це безперервні лінії, які стосуються яких у кожній точці, якою вони проходять, збігаються з вектором напруженості електричного поля (рис. 1.5). Густота силових ліній (кількість силових ліній, що проходять через одиницю площі) пропорційна напруженості електричного поля.

Еквіпотенційні поверхні (еквіпотенціалі) – поверхні рівного потенціалу. Це поверхні (лінії), під час руху якими потенціал не змінюється. Інакше різниця потенціалів між двома будь-якими точками еквіпотенціалі дорівнює нулю. Силові лінії перпендикулярні еквіпотенціалям і спрямовані у бік зменшення потенціалу. Це випливає із рівняння (1.10).

Розглянемо як приклад електричне поле, створюване з відривом від точкового заряду. Відповідно (1.11,б) вектор напруженості збігається з напрямком вектора якщо заряд позитивний, і протилежний йому, якщо заряд негативний. Отже, силові лінії розходяться радіально від заряду (рис. 1.6, а, б). Густота силових ліній, як і напруженість, обернено пропорційна квадрату відстані (
) до заряду. Еквіпотенціалі електричного поля точкового заряду є сферами з центром у місці розташування заряду.

1.6. Теорема Гауса для електричного поля у вакуумі

Основним завданням електростатики є завдання про знаходження напруженості та потенціалу електричного поля у кожній точці простору. У п. 1.4 ми розв'язали задачу про поле точкового заряду, а також розглянули поле системи точкових зарядів. У цьому параграфі мова підепро теорему, що дозволяє розраховувати електричне поле складніших заряджених об'єктів. Наприклад, зарядженої довгої нитки (прямої), зарядженої площини, зарядженої сфери та інших. Розрахувавши напруженість електричного поля в кожній точці простору, використовуючи рівняння (1.12) і (1.13), можна обчислити потенціал у кожній точці або різницю між двома будь-якими точками, тобто. розв'язати основне завдання електростатики.

Для математичного опису введемо поняття векторного потоку напруженості або потоку електричного поля. Потоком (Ф) вектора електричного поля через плоску поверхню площі
називається величина:

, (1.16)

. (1.15, а)

У разі коли поверхня не плоска, для обчислення потоку її необхідно поділити на малі частини
, які можна вважати приблизно плоскими, а потім записати вираз (1.16) або (1.16,а) для кожного шматка поверхні і скласти їх. У межі, коли поверхня S iдуже мала (
), таку суму називають поверхневим інтегралом та позначають
. Таким чином, потік вектора напруженості електричного поля через довільну поверхню визначається виразом:

. (1.17)

Як приклад розглянемо сферу радіусу центром якої служить позитивний точковий заряд , та визначимо потік електричного поля через поверхню цієї сфери. Силові лінії (див., наприклад, рис.1.6, а) що виходять із заряду, перпендикулярні поверхні сфери, і в кожній точці сфери модуль напруженості поля один і той же

.

Площа сфери
,

тоді


.

Величина
і є потік електричного поля через поверхню сфери. Таким чином, отримуємо
. Видно, що потік через поверхню сфери електричного поля не залежить від радіусу сфери, а залежить від самого заряду . Тому, якщо провести ряд концентричних сфер, то потік електричного поля через ці сфери буде однаковим. Очевидно, що кількість силових ліній, що перетинають ці сфери, також буде однаковою. Умовилися кількість силових ліній, що виходять із заряду, приймати рівним потоку електричного поля:
.

Якщо сферу замінити будь-якою іншою замкнутою поверхнею, то потік електричного поля та кількість силових ліній, що її перетинають, не зміняться. Крім того, потік електричного поля через замкнуту поверхню, а значить і кількість силових ліній, що пронизують цю поверхню, дорівнює
як для поля точкового заряду, але й поля, створюваного будь-якою сукупністю точкових зарядів, зокрема – зарядженим тілом. Тоді величину слід вважати як алгебраїчну суму всієї сукупності зарядів, що знаходяться всередині замкнутої поверхні. У цьому полягає суть теореми Гаусса, яка формулюється так.

Потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнуту поверхню, всередині якої знаходиться система зарядів, дорівнює
, де
 алгебраїчна сума цих зарядів.

Математично теорему можна записати у вигляді

. (1.18)

Зазначимо, що якщо на деякій поверхні Sвектор постійний і паралельний вектору то потік через таку поверхню. Перетворюючи перший інтеграл, ми спочатку скористалися тим, що вектори і паралельні, а отже
. Потім винесли величину за знак інтеграла через те, що вона стала в будь-якій точці сфери . Застосовуючи теорему Гауса для вирішення конкретних завдань, спеціально як довільна замкнута поверхня намагаються вибирати поверхню, для якої виконуються описані вище умови.

Наведемо кілька прикладів застосування теореми Гаусса.

Рішення.Припустимо для визначеності, що нитка заряджена позитивно. В силу симетрії завдання можна стверджувати, що силові лінії будуть прямими, що радіально розходяться від осі нитки прямими (рис.1.9), густота яких у міру віддалення від нитки зменшується за якимось законом. За цим же законом буде зменшуватись і величина електричного поля . Еквіпотенційними поверхнями будуть циліндричні поверхніз віссю, що збігається з ниткою.

Нехай заряд одиниці довжини нитки дорівнює . Ця величина називається лінійною щільністю заряду і вимірюється СІ в одиницях [Кл/м]. Для розрахунку напруженості поля застосуємо теорему Гауса. Для цього як довільна замкнута поверхня виберемо циліндр радіусу та довжини вісь якого збігається з ниткою (рис.1.9). Обчислимо потік електричного поля через площу поверхні циліндра. Повний потік складається з потоку через бічну поверхнюциліндра та потоку через основи

Однак,
, оскільки в будь-якій точці на підставах циліндра
. Це означає що
у цих точках. Потік через бічну поверхню
. По теоремі Гауса цей повний потік дорівнює
. Таким чином, отримали

.

Сума зарядів, що знаходяться всередині циліндра, виразимо через лінійну щільність заряду :
. Враховуючи що
, отримаємо

,

, (1.19)

тобто. напруженість і густота силових ліній електричного поля рівномірно зарядженої нескінченної нитки зменшується пропорційно відстані (
).

Знайдемо різницю потенціалів між точками, що знаходяться на відстанях і від нитки (що належать еквіпотенційним циліндричним поверхням з радіусами і ). Для цього скористаємося зв'язком напруженості електричного поля з потенціалом (1.9,в):
. Враховуючи вираз (1.19), отримаємо диференціальне рівняння з змінними, що розділяються:

.

Рішення.Електричне поле рівномірно зарядженої площини показано на рис. 1.10. В силу симетрії силові лінії мають бути перпендикулярні до площини. Тому відразу можна зробити висновок про те, що густота ліній, а отже, і напруженість електричного поля при віддаленні від площини не змінюватимуться. Еквіпотенційні поверхні є площинами, паралельними даної зарядженої площини. Нехай заряд одиниці площі площини дорівнює . Ця величина називається поверхневою щільністю заряду і вимірюється СІ в одиницях [Кл/м 2 ].

Застосуємо теорему Гауса. Для цього як довільна замкнута поверхня виберемо циліндр завдовжки вісь якого перпендикулярна площині, а основи рівновіддалені від неї (рис.1.10). Загальний потік електричного поля
. Потік через бічну поверхню дорівнює нулю. Потік через кожну з підстав дорівнює
тому
. По теоремі Гауса отримаємо:

.

Суму зарядів, що знаходяться всередині циліндра знайдемо через поверхневу щільність заряду :
. Тоді, звідки:

. (1.20)

З отриманої формули видно, що напруженість поля рівномірно зарядженої площини залежить від відстані до зарядженої площині, тобто. у будь-якій точці простору (в одній напівплощині) однакова і за модулем, і за напрямом. Таке поле називається однорідним.Силові лінії однорідного поля паралельні, їхня густота не змінюється.

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками однорідного поля (належним еквіпотенційним площинам) і , що лежить в одній напівплощині щодо зарядженої площини (рис.1.10)). Направимо вісь вертикально вгору, тоді проекція вектора напруженості на цю вісь дорівнює модулю вектора напруженості
. Скористаємося рівнянням (1.9):

.

Постійну величину (поле однорідно) можна винести з-під знака інтеграла:
. Інтегруючи, отримуємо: . p align="justify"> Отже, потенціал однорідного поля лінійно залежить від координати.

Різниця потенціалів між двома точками електричного поля є напруга між цими точками ( ). Позначимо відстань між еквіпотенційними площинами
. Тоді можна записати, що в однорідному електричному полі:

. (1.21)

Ще раз наголосимо, що при використанні формули (1.21) слід пам'ятати, що величина  не відстань між точками 1 та 2, а відстань між еквіпотенційними площинами, яким ці точки належать.

приклад 1.4.Розрахувати напруженість електричного поля двох паралельних площин, однорідно заряджених із поверхневими щільностями зарядів
і
.

Рішення.Скористаємося результатом прикладу 1.3 та принципом суперпозиції. Відповідно до цього принципу результуюче електричне поле у ​​будь-якій точці простору
, де і - напруженості електричних полів першої та другої площин. У просторі між площинами вектора і спрямовані в один бік, тому модуль напруженості результуючого поля. В зовнішньому просторі вектора і спрямовані у різні сторони, тому(рис. 1.11). Таким чином, електричне поле є лише у просторі між площинами. Воно однорідне, оскільки є сумою двох однорідних полів.

Рішення.У силу симетрії розподілу заряду силові лінії мають бути спрямовані вздовж радіусів сфери.

Розглянемо область усередині сфери. Як довільна поверхня виберемо сферу радіусу
центр якої збігається з центром зарядженої сфери. Тоді потік електричного поля через сферу S:
. Сума зарядів усередині сфери радіусу дорівнює нулю, оскільки всі заряди розташовуються на поверхні сфери радіусу
. Тоді за теоремою Гауса:
. Оскільки
, то
. Таким чином, усередині рівномірно зарядженої сфери поля немає.

Розглянемо область поза сферою. Як довільна поверхня виберемо сферу радіусу
центр якої збігається з центром зарядженої сфери. Потік електричного поля через сферу :
. Сума зарядів усередині сфери дорівнює повному заряду зарядженої сфери радіусу . Тоді за теоремою Гауса:
. Враховуючи що
, Отримаємо:

.

Розрахуємо потенціал електричного поля. Зручніше розпочати із зовнішньої області
оскільки ми знаємо, що на нескінченній відстані від центру сфери потенціал приймається рівним нулю. Використовуючи рівняння (1.11,а) отримуємо диференціальне рівняння з змінними, що розділяються:

.

Константа
, оскільки
при
. Таким чином, у зовнішньому просторі (
):
.

Крапки на поверхні зарядженої сфери (
) матимуть потенціал
.

Розглянемо область
. В цій області
, Тому з рівняння (1.11,а) отримуємо:


. Через безперервність функції
константа повинна дорівнювати значення потенціалу на поверхні зарядженої сфери:
. Таким чином, потенціал у всіх точках усередині сфери:
.

Графічне зображення полів можна скласти не тільки з лініями напруженості, але і за допомогою різниці потенціалів. Якщо об'єднати в електричному полі точки з рівними потенціалами, то ми отримаємо поверхні рівного потенціалу або як їх ще називають еквіпотенційні поверхні. У перетині з площиною креслення еквіпотенційні поверхні дають еквіпотенційні лінії. Зображуючи еквіпотенційні лінії, які відповідають різним значеннямпотенціалу, ми одержуємо наочну картину, яка відбиває, як змінюється потенціал конкретного поля. Переміщення вздовж еквіпотенційної поверхні заряду роботи не вимагає, тому що всі точки поля по такій поверхні мають рівний потенціал і сила, що діє на заряд, завжди перпендикулярна до переміщення.

Отже, лінії напруженості завжди перпендикулярні до поверхонь з рівними потенціалами.

Найбільш наочна картина поля буде представлена, якщо зображати еквіпотенційні лінії з рівними змінамипотенціалу, наприклад, 10 В, 20В, 30 В і т.д. У такому разі швидкість зміни потенціалу буде обернено пропорційна відстані між сусідніми еквіпотенційними лініями. Тобто густота еквіпотенційних ліній пропорційна напруженості поля (що вище напруженість поля, то вже зображуються лінії). Знаючи еквіпотенційні лінії, можна побудувати лінії напруженості поля і навпаки.

Отже, зображення полів за допомогою еквіпотенційних ліній та ліній напруженості рівнозначні.

Нумерація еквіпотенційних ліній на кресленні

Досить часто еквіпотенційні лінії на кресленні нумерують. Щоб вказати різницю потенціалів на кресленні, довільну лінію позначають цифрою 0, біля решти ліній розставляють цифри 1,2,3 тощо. Ці цифри вказують різницю потенціалів у вольтах обраної еквіпотенційної лінії та лінії, яку обрали нульовою. При цьому зазначаємо, що вибір нульової лінії не є важливим, оскільки фізичний сенсмає тільки різницю потенціалів для двох поверхонь, і вона залежить від вибору нуля.

Поле точкового заряду з позитивним зарядом

Розглянемо як приклад поле точкового заряду, що має позитивний заряд. Лініями поля точкового заряду є прямі радіальні, отже, еквіпотенційні поверхні - це система концентричних сфер. Лінії поля перпендикуляри поверхонь сфер у кожній точці поля. Еквіпотенційними лініями служать концентричні кола. Для позитивного зарядурисунок 1 представляє еквіпотенційні лінії. Для негативного зарядурисунок 2 представляє еквіпотенційні лінії.

Що очевидно з формули, яка визначає потенціал поля точкового заряду при нормуванні потенціалу на нескінченність ($varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\right).\]

Система паралельних площин, що знаходяться на рівних відстаняходин від одного є еквіпотенційними поверхнями однорідного електричного поля.

Приклад 1

Завдання: Потенціал поля, що створюється системою зарядів, має вигляд:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

де $a,b$ - постійні більше нуля. Яка форма мають еквіпотенційні поверхні?

Еквіпотенційні поверхні, як знаємо, - це поверхні, у яких будь-яких точках потенціали рівні. Знаючи вищесказане, вивчимо рівняння, запропоноване за умов завдання. Розділимо праву та ліву частини рівняння $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ на $\varphi $, отримаємо:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\right).\]

Запишемо рівняння (1.1) у канонічному вигляді:

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\right))^2) = 1 \ (1.2) \]

З рівняння $(1.2)\$ видно, що заданою фігуроює еліпсоїд обертання. Його півосі

\[\sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).

Відповідь: Еквіпотенційна поверхня заданого поля - еліпсоїд обертання з півосями ($\sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac( \varphi) (b)) $).

Приклад 2

Завдання: Потенціал поля, має вигляд:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]

де $a,b$ - $const$ більше нуля. Що є еквіпотенційними поверхнями?

Розглянемо випадок при $varphi >0$. Наведемо рівняння, задане в умовах задачі до канонічному вигляду, Для цього розділимо обидві частини рівняння на $ Varphi , $ Отримаємо:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\) right).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi) (b)) = 1 \ \ left (2.2 \ right).

У (2.2) ми отримали канонічне рівнянняоднопорожнинного гіперболоїду. Його півосі рівні ($\sqrt(\frac(\varphi)(a))\left(дійсна\на піввісь\right),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a))\left(дійсна\ на піввісь\right) ), \ \ sqrt ( \ frac ( \ varphi ) (b)) (уявна \ піввісь) $).

Розглянемо випадок, коли $varphi

Представимо $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Наведемо рівняння, задане в умовах завдання до канонічного вигляду, для цього розділимо обидві частини рівняння на мінус модуль $\varphi ,$ отримаємо:

\[-\frac(a)(\left|\varphi \right|)x^2-(\frac(a)(\left|\varphi \right|)y)^2+\frac(b)(\ left|\varphi \right|)z^2=1\ \left(2.3\right).\]

Перепишемо рівняння (1.1) у вигляді:

\[-\frac(x^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(b))=1\ \left(2.4\right).

Ми отримали канонічне рівняння двопорожнинного гіперболоїду, його півосі:

($\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a))\left(уявний\ піввісь\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a) )\left(уявна\ піввісь\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\ дійсна\ піввісь)$).

Розглянемо випадок, коли $\varphi =0.$ Тоді рівняння поля має вигляд:

Перепишемо рівняння (2.5) у вигляді:

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1) )(\sqrt(a))\right))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\right))^2)=0\ left(2.6\right).\]

Ми отримали канонічне рівняння прямого круглого конуса, який спирається на еліпс з півосями $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b))(\sqrt(a) )) $).

Відповідь: Як еквіпотенційні поверхні для заданого рівнянняпотенціалу ми отримали: при $varphi >0$ -- однопорожнинний гіперболоїд, при $varphi