Окружність все, що необхідно знати. Конспект проекту з математики: "Кількість і коло - це одна і та ж фігура чи ні?"

Форми кола, кола ми зустрічаємо всюди: це колесо машини, лінія горизонту, і диск Місяця. Математики почали займатися геометричною фігурою – навколо на площині – дуже давно.

Навколо з центром і радіусом називається безліч точок площини, віддалених від відстані, не більше . Коло обмежене колом, що складається з точок, віддалених від центру точно на відстань . Відрізки, що з'єднують центр з точками кола, мають довжину і називаються радіусами (кола, кола). Частини кола, куди він ділиться двома радіусами, називаються круговими секторами (рис. 1). Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола, - ділить коло на два сегменти, а коло - на дві дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведений з центру до хорди, ділить її і дуги, що нею стягуються навпіл. Хорда тим довша, чим ближче вона розташована до центру; найдовші хорди – хорди, що проходять через центр, – називаються діаметрами (кола, кола).

Якщо пряма віддалена від центру кола на відстань, то при вона не перетинається з колом, при перетинається з колом по хорді і називається січною, має з колом і колом єдину загальну точкуі називається дотичною. Дотична характеризується тим, що вона перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку торкання. До кола з точки, що лежить поза ним, можна провести дві дотичні, причому їх відрізки від цієї точки до точок дотику рівні.

Дуги кола, як і кути, можна вимірювати в градусах та його частках. За градус приймають частину всього кола. Центральний кут (рис. 3) вимірюється тим самим числом градусів, як і дуга , яку він спирається; вписаний кут вимірюється половиною дуги. Якщо вершина кута лежить усередині кола, то цей кут у градусною мірою дорівнює напівсумідуг і (рис. 4, а). Кут з вершиною поза коло (рис. 4, б), що висікає на колі дуги і вимірюється напіврізністю дуг і . Нарешті, кут між дотичною та хордою дорівнює половині укладеної між ними дуги кола (рис. 4, в).

Коло та коло мають нескінченна безлічосей симетрії.

З теорем про вимір кутів і подібності трикутників випливають дві теореми про пропорційні відрізки в колі. Теорема про хордах каже, що й точка лежить усередині кола, то добуток довжин відрізків які проходять неї хорд постійно. На рис. 5,a. Теорема про січну і дотичну (маються на увазі довжини відрізків частин цих прямих) стверджує, що якщо точка лежить поза коло, то твір січе на неї зовнішню частинутеж незмінно і дорівнює квадрату дотичної (рис. 5, б).

Ще в давнину намагалися вирішити завдання, пов'язані з колом, - виміряти довжину кола або його дуги, площу кола чи сектора, сегмента. Перша з них має суто «практичне» рішення: можна укласти вздовж кола нитку, а потім розгорнути її і прикласти до лінійки або ж відзначити на колі крапку і «прокатати» її вздовж лінійки (можна, навпаки, «обкотити» лінійкою коло). Так чи інакше виміри показували, що відношення довжини кола до її діаметра те саме для всіх кіл. Це ставлення прийнято позначати грецькою літерою(«пі» - початкова літера грецького слова perimetron, яке означає «коло»).

Однак давньогрецьких математиків такий емпіричний, досвідчений підхід до визначення довжини кола не задовольняв: коло - це лінія, тобто, за Евклідом, "довжина без ширини", а таких ниток не буває. Якщо ж ми котимо коло по лінійці, виникає питання: чому при цьому ми отримаємо довжину кола, а не якусь іншу величину? До того ж, такий підхід не дозволяв визначити площу кола.

Вихід був знайдений такий: якщо розглянути вписані в коло правильні -кутники , то при , що прагне до нескінченності, у межі прагнуть до . Тому природно ввести такі, вже суворі, визначення: довжина кола - це межа послідовності периметрів правильних вписаних в коло -кутників, а площа кола - межа послідовності їх площ. Такий підхід прийнятий і в сучасній математиці, причому по відношенню не тільки до кола і кола, але і до інших кривих або обмежених криволінійними контурами областях: замість правильних багатокутників розглядають послідовності ламаних з вершинами на кривих або контурах областей, а межа береться при прагненні довжини найбільшого ланки ламаної нанівець.

Аналогічним чином визначається довжина дуги кола: дуга поділяється на рівних частин, точки поділу з'єднуються ламаною і довжина дуги належить рівної межіпериметрів таких ламаних при , що прагне нескінченності. (Подібно давнім грекам, ми не уточнюємо саме поняття межі - воно відноситься вже не до геометрії і було цілком строго введено лише в XIX ст.)

Із самого визначення числа випливає формула для довжини кола:

Для довжини дуги можна записати аналогічну формулу: оскільки для двох дуг і із загальним центральним кутомз міркувань подібності випливає пропорція , та якщо з неї - пропорція , після початку межі ми отримуємо незалежність (від радіусу дуги) відносини . Це відношення визначається тільки центральним кутом і називається радіанною мірою цього кута і всіх дуг, що відповідають йому, з центром в . Тим самим виходить формула для довжини дуги:

де - радіальний захід дуги.

Записані формули для і - це лише переписані визначення чи позначення, але з допомогою виходять вже далекі від просто позначень формули для площ кола і сектора:

Для виведення першої формули достатньо перейти до межі у формулі для площі вписаного в коло правильного -кутника:

За визначенням ліва частинапрагне площі кола , а права - до

і , основи його медіан і , середини та відрізків прямих від точки перетину його висот до його вершин.

Це коло, знайдене у XVIII ст. великим вченим Л. Ейлером (тому її часто також називають колом Ейлера), була знову відкрита в наступному столітті вчителем провінційної гімназії в Німеччині. Звали цього вчителя Карл Фейєрбах (він був рідним братом відомого філософаЛюдвіга Фейєрбаха). Додатково К. Фейєрбах з'ясував, що коло дев'яти точок має ще чотири точки, тісно пов'язані з геометрією будь-якого трикутника. Це - точки її торкання з чотирма кілками спеціального виду(Рис. 2). Одна з цих кіл вписана, інші три - вписані. Вони вписані у кути трикутника і торкаються зовнішнім чином його сторін. Точки торкання цих кіл з колом дев'яти точок і називаються точками Фейєрбаха. Таким чином, коло дев'яти точок є насправді коло тринадцяти точок.

Окружність цю дуже легко побудувати, якщо знати дві її властивості. По-перше, центр кола дев'яти точок лежить у середині відрізка, що з'єднує центр описаного біля трикутника кола з точкою - його ортоцентром (точка перетину його висот). По-друге, її радіус для цього трикутника дорівнює половині радіусу описаного у нього кола.

Розбираємось у тому що таке коло та коло. Формула площі кола та довжини кола.

Ми щодня зустрічаємо безліч предметів, за формою які утворюють коло або навпроти коло. Іноді виникає питання, що таке коло і чим воно відрізняється від кола. Звісно, ​​ми всі проходили уроки геометрії, але іноді не завадить освіжити знання вельми простими поясненнями.

Що таке довжина кола та площа кола: визначення

Отже, коло є замкненою кривою лінією, яка обмежує або навпаки, утворює коло. Обов'язкова умовакола - у неї є центр і всі точки рівновіддалені від нього. Простіше кажучи, коло це гімнастичний обруч (або як його часто називають хула-хуп) на плоскій поверхні.

Довжина кола це загальна довжина тієї самої кривої, яка утворює коло. Як відомо незалежно від розмірів кола співвідношення її діаметра і довжини дорівнює числу π = 3,141592653589793238462643.

З цього випливає, що π=L/D, де L — довжина кола, а D — діаметр кола.

Якщо Вам відомий діаметр, то довжину можна знайти за простою формулою: L=π*D

Якщо відомий радіус: L=2 πR

Ми розібралися, що таке коло і можемо перейти до визначення кола.

Коло - це геометрична фігура, яка оточена коло. Або ж, коло це постать, межа якої складається з великої кількостіточок рівновіддалених від центру фігури. Вся площа, що знаходиться всередині кола, включаючи її центр, називається колом.

Варто зауважити, що у кола і кола, що знаходиться в ньому, значення радіуса і діаметра однакові. А діаметр у свою чергу вдвічі більший за радіус.

Коло має площу на площині, яку можна дізнатися за допомогою простої формули:

Де S – площа кола, а R – радіус даного кола.

Чим коло відрізняється від кола: пояснення

Основна відмінність між колом і колом - це те, що коло - геометрична фігура, а коло - замкнута крива. Також зверніть увагу на відмінності між колом та колом:

• Окружність це замкнута лінія, А коло - площа всередині цього кола;
• Коло це крива лінія на площині, а коло - простір, зімкнутий в кільце коло;
• Подібність між колом і колом: радіус та діаметр;
• У кола та кола єдиний центр;
• Якщо заштриховується місце всередині кола, воно перетворюється на коло;
• У кола є довжина, але її немає у кола, і навпаки, у кола є площа, якої немає у кола.

Коло та коло: приклади, фото

Для наочності пропонуємо розглянути фото, на якому ліворуч зображено коло, а праворуч – коло.

Формула довжини кола та площі кола: порівняння

Формула довжини кола L=2 πR

Формула площі кола S= πR²

Зверніть увагу, що в обох формулах є радіус і число π. Дані формули рекомендується вивчити напам'ять, тому що вони найпростіші і обов'язково знадобляться повсякденному життіта на роботі.

Площа кола за довжиною кола: формула

S=π(L/2π)=L²/4π, де S — площа кола, L — довжина кола.

Відео: Що таке коло, коло та радіус

Окружність - Це плоска замкнута лінія, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від деякої точки (точки О), яка називається центром кола.
(Коло - геометрична фігура, що складається з усіх точок, розташованих на заданій відстані від цієї точки.)

Коло - Це частина площини, обмежена колом. Точка О також називається центром кола.

Відстань від точки кола до її центру, а також відрізок, що з'єднує центр кола з її точкою, називається радіусом кола/кола.
Подивіться, як використовується коло та коло у нашому житті, мистецтві, дизайні.

Хорда - грецька - струна, що стягує щось
Діаметр - "вимірювання через"

КРУГЛА ФОРМА

Кути можуть зустрічатися в дедалі більшій кількості, набувати, відповідно, дедалі більшого розвороту - поки не зникнуть остаточно і площина не стане кругом.Це дуже простий і водночас дуже складний випадок, Про який мені хотілося б поговорити докладно. Тут слід зазначити, що як простота, і складність обумовлені відсутністю кутів. Коло просте, оскільки тиск його кордонів, порівняно з прямокутними формами, нівелювання – відмінності тут не такі великі. Він складний, оскільки верх невідчутно перетікає у ліве та праве, а ліве та праве – у низ.

В. Кандинський

У Стародавню Греціюколо та коло вважалися вінцем досконалості. Дійсно, в кожній своїй точці коло влаштовано однаковим чином, що дозволяє їй рухатися само по собі. Ця властивість кола уможливила виникнення колеса, оскільки вісь і втулка колеса повинні весь час бути в дотику.

У школі вивчається багато корисних властивостейкола. Однією з найкрасивіших теорем є така: проведемо через задану точкупряме, що перетинає задане коло, тоді добуток відстаней від цієї точки до точок перетину кола з прямою не залежить від того, як саме була проведена пряма. Цій теоремі близько двох тисяч років.

На рис. 2 зображені два кола і ланцюжок кіл, кожна з яких стосується цих двох кіл і двох сусідів по ланцюжку. Швейцарський геометр Якоб Штейнер близько 150 років тому довів таке твердження: якщо при деякому виборі третього кола ланцюжок замкнеться, то він замкнеться і за будь-якого іншого вибору третього кола. Звідси випливає, що якщо одного разу ланцюжок не замкнувся, то він не замкнеться за будь-якого вибору третього кола. Художнику, який малювавзображений ланцюжок, довелося б чимало потрудитися, щоб він вийшов, або звернутися до математика для розрахунку розташування двох перших кіл, при якому ланцюжок замикається.

Спочатку ми згадали про колесо, але ще до колеса люди використовували круглі колоди.- ковзанки для перевезення ваг.

А чи можна використовувати ковзанки не круглої, а якоїсь іншої форми? Німецькаінженер Франц Рело виявив, що таку ж властивість мають ковзанки, форму яких зображено на рис. 3. Ця фігура виходить, якщо провести дуги кіл з центрами у вершинах рівностороннього трикутника, що з'єднує дві інші вершини. Якщо провести до цієї фігури дві паралельні дотичні, то відстань міжними дорівнюватиме довжині сторони вихідного рівностороннього трикутника, так що такі котки нічим не гірші за круглі. Надалі були придумані й інші постаті, здатні виконувати роль ковзанок.

Енц. "Я пізнаю світ. Математика", 2006

У кожного трикутника є, і до того ж єдина, коло дев'яти точок. Цеколо, що проходить через наступні три трійки точок, положення яких визначено для трикутника: основи його висот D1 D2 та D3, основи його медіан D4, D5 та D6середини D7, D8 та D9 відрізків прямих від точки перетину його висот Н до його вершин.

Це коло, знайдене у XVIII ст. великим вченим Л. Ейлером (тому її часто також називають колом Ейлера), була знову відкрита в наступному столітті вчителем провінційної гімназії в Німеччині. Звали цього вчителя Карл Фейєрбах (він був рідним братом відомого філософа Людвіга Фейєрбаха).Додатково К. Фейєрбах з'ясував, що коло дев'яти точок має ще чотири точки, тісно пов'язані з геометрією будь-якого трикутника. Це точки її торкання з чотирма колами спеціального виду. Одна з цих кіл вписана, інші три - вписані. Вони вписані у кути трикутника і торкаються зовнішнім чином його сторін. Точки торкання цих кіл з колом дев'яти точок D10, D11, D12 і D13 називаються точками Фейєрбаха. Таким чином, коло дев'яти точок є насправді коло тринадцяти точок.

Окружність цю дуже легко побудувати, якщо знати дві її властивості. По-перше, центр кола дев'яти точок лежить у середині відрізка, що з'єднує центр описаного біля трикутника кола з точкою Н-його ортоцентром (точка перетину його висот). По-друге, її радіус для цього трикутника дорівнює половині радіусу описаного у нього кола.

Енц. довідник юного математика, 1989

Це замкнена плоска лінія, всяка точки якої рівновіддалена від однієї і тієї ж точки ( O), званої центром.

Прямі ( OA, OB, OС. ..), що з'єднують центр з точками кола - це радіуси.

З цього отримуємо:

1. Усі радіуси однієї коларівні.

2. Два кола з однаковими радіусами будуть рівними.

3. Діаметрдорівнює двом радіусам.

4. Точка, крапка, що лежить всередині кола, ближче до центру, а точка, що лежить поза колом, далі від центру, ніж точки кола.

5. Діаметр, Перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і обидві дуги, що стягуються нею, навпіл.

6. Дуги, укладені між паралельними хордами, рівні.

Під час роботи з колами застосовують такі теореми:

1. Теорема . Пряме і коло не може мати більше двох загальних точок.

З цієї теореми отримуємо два логічно витікаючі слідства:

Ніяка частина колане може поєднатися з прямою, тому що в іншому випадку коло з прямою мало б більше двох загальних точок.

Лінія, ніяка частина якої не може поєднатися з прямою, називається кривий.

З попереднього випливає, що коло є крива лінія.

2. Теорема . Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло і лише одну.

Як слідстводаної теореми отримуємо:

Три перпендикулярадо сторін трикутникавписаного в коло проведені через їх середини, перетинаються в одній точці, яка є центром кола.

Розв'яжемо завдання. Потрібно знайти запропонований центр кола.

Зазначимо на запропонованій три будь-які точки A, B і С, накреслимо через них дві хординаприклад, AB і СB, і з середини цих хорд вкажемо перпендикуляри MN та PQ. Шуканий центр, будучи однаково віддалений від A, B і З, повинен лежати і MN, і PQ, отже, перебуває на перетині цих перпендикулярів, тобто. у точці O.

Шкільна пора для більшості дорослих асоціюється з безтурботним дитинством. Звичайно, багато хто неохоче відвідує школу, але тільки там вони можуть отримати базові знання, які згодом знадобляться їм у житті. Одним із таких є питання про те, і коло. Зплутати ці поняття досить просто, адже слова є однокорінними. Але різниця між ними не настільки велика, як може здатися недосвідченій дитині. Діти цю темулюблять через її простоту.

Що таке коло?

Окружність - це замкнута лінія, кожна точка якої рівно віддалена від центральної. Самим яскравим прикладомкола є обруч, який являє собою замкнуте тіло. Власне, і говорити особливо про коло не доводиться. У питанні про те, що таке коло і коло, значно цікавіша друга його частина.

Що таке коло?

Уявіть, що ви вирішили прикрасити намальовану вище коло. Для цього можна вибрати будь-які фарби: сині, жовті чи зелені – кому що ближче до душі. І ось ви почали заповнювати порожнечу чимось. Після того, як це було закінчено, у нас вийшла фігура, яка називається колом. Власне, коло - це частина поверхні, окреслена колом.

У кола є кілька важливих параметрів, частина яких також характерна і для кола. Перший – це радіус. Їм називається відстань між центральною точкою кола (ну або кола) і самим колом, що створює межі кола. Друга важлива характеристика, яка неодноразово використовується у шкільних завданнях – це діаметр (тобто відстань між протилежними точками кола).

Ну і, нарешті, третя характеристика, властива колу - це площа. Дана властивість специфічна тільки для нього, коло не має площі через те, що в неї немає нічого всередині, а центр, на відміну від кола, швидше уявний, ніж справжній. У самому колі можна встановити чіткий центр, через який провести ряд ліній, які ділять його на сектори.

Приклади кола у реальному житті

Насправді можливих предметів, які можна назвати різновидом кола, достатньо. Наприклад, якщо подивитися на колесо машини прямо, то вам приклад готового кола. Так, він необов'язково має бути заповнений однотонно, цілком можливі різні візерунки всередині нього. Другий приклад кола – це сонце. Звичайно, на нього подивитися буде важко, але воно на небі виглядає, як маленький кружечок.

Так, сама зірка Сонце – це не коло, вона має ще й обсяг. Але ось саме сонце, яке ми бачимо над нашою головою в літній часє типовим колом. Щоправда, майдан у нього все одно вирахувати не вийде. Адже порівняння його з колом наводиться лише для наочності, щоб було простіше зрозуміти, що таке коло та коло.

Відмінності кола від кола

Отже, який висновок ми можемо зробити? Чим відрізняється коло від кола, то це тим, що в останнього є площа, і в більшості випадків коло є межею кола. Хоча бувають і винятки на перший погляд. Може здатися іноді, що немає кола у колі, але це не так. У будь-якому випадку щось таке є. Просто коло може бути дуже маленьким, і тоді його не видно неозброєним оком.

Також коло може бути те, що виділяє коло з фону. Наприклад, на наведеному вище зображенні блакитне коло знаходиться на білому тлі. А ось та риса, за якою ми розуміємо, що тут починається постать, і називається в даному випадкуколо. Таким чином, коло - кола. Ось чим відрізняється коло від кола.

Що таке сектор?

Сектор - це ділянка кола, яка утворюється двома проведеними ним радіусами. Щоб зрозуміти це визначення, потрібно просто згадати піцу. Коли її розрізають на рівні шматочки, всі вони і є секторами кола, яке представлене у вигляді такої смачної страви. При цьому абсолютно необов'язково сектори мають бути рівними. Вони можуть бути різної величини. Наприклад, якщо відрізати половину піци, вона також буде сектором цього кола.

Предмет, який відображається цим поняттям, може мати лише коло. теж можна провести, звичайно, але після цього вона стане довкола) не має площі, тому й сектор виділити не вийде.

Висновки

Так, тема про коло та коло (що це таке) дуже проста для розуміння. Але взагалі все те, що стосується цих, є найскладнішим для вивчення. Школяреві потрібно бути готовим до того, що коло - фігура примхлива. Але, як кажуть, важко у навчанні – легко у бою. Так, геометрія – наука складна. Зате успішне її освоєння дозволяє зробити маленький крок у бік успіху. Тому що старання під час навчання дозволяють не лише поповнювати багаж власних знань, але й отримувати необхідні життя навички. Власне, цього й націлена школа. А відповідь на питання про те, що таке коло та коло, є вторинною, хоч і важливою.