Певний інтеграл як верхня функція. Open Library - відкрита бібліотека навчальної інформації

Інтеграл зі змінною верхньою межею.Значення певного інтеграла залежить від цього, якою літерою позначена змінна інтегрування: (щоб переконатися у цьому, досить виписати інтегральні суми, вони збігаються). У цьому розділі змінну інтегрування будемо позначати буквою t , а буквою x позначимо верхню межу інтегрування. Вважатимемо, що верхня межа інтеграла може змінюватися, тобто. що x - Змінна, в результаті інтеграл буде функцією Ф( x ) свого верхньої межі: . Легко довести, що якщо f (t ) інтегрована, то Ф( x ) безперервна, але для нас важливіша наступна фундаментальна теорема:
Теорема про інтеграл зі змінною верхньою межею. Якщо функція f (t ) безперервна в околиці точки t = x , то цій точці функція Ф( x ) диференційована, та .
Іншими словами, похідна певного інтеграла від безперервної функції по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції в цій межі.
Док-во. Дамо верхній межі x збільшення . Тоді , де c - точка, що лежить між x і (існування такої точки затверджується теоремою про середнє; цифри над знаком рівності - номер застосованої властивості певного інтегралу). . Спрямуємо. При цьому ( c - точка, розташована між x та ). Так як f (t ) безперервна в точці t = x , то . Отже, існує , і . Теорему доведено.

Зазначимо перший важливий наслідок цієї теореми. По суті, ми довели, що будь-яка безперервна функція f (x ) має первісну, і ця первісна визначається формулою

36. Формула Ньютона-Лейбніца.

Якщо f (x ) безперервна на відрізку [ a , b ], і F (x ) - деяка первісна функція, то .
Док-во.Ми встановили, що функція - первісна безперервна f (x ). Так як F (x ) - теж первісна, то Ф( x ) = F (x ) + C . Покладемо у цій рівності x = a . Так як , то. У рівності перепозначимо змінні: для змінної інтегрування t повернемося до позначення x , верхня межа x позначимо b . Звісно, .
Різниця у правій частині формули Ньютона-Лейбніца позначається спеціальним символом: (тут читається як "підстановка від a до b "), тому формулу Ньютона-Лейбніца зазвичай записують так: .

37. Інтегрування частинами і заміна змінної у певному інтегралі.

Якщо u(x) та v(x) - дві функції, задані на проміжку [ a, b] і які мають там безперервні похідні, то

Формула (24) є формула інтегрування частинами певних інтегралів.

Доказ дуже простий. Саме,

Оскільки за формулою інтегрування частинами буде

то звідки слід (24).

Нехай f(zp, q], а φ (x) - безперервна функція, задана на проміжку [ a, b], що має там безперервну ж похідну φ "(x) і задовольняє нерівності p ≤ φ (x) ≤ q.

В такому випадку

Формула (22) виражає собою правило заміни змінної у певному інтегралі. Воно нагадує правило заміни змінної в інтегралі невизначеному, але відрізняється від нього тим, що тут відпадає потреба у поверненні до старої змінної, тому що формула (22) являє собою рівність двох постійних чисел. Зауважимо ще, що ця формула замінює собою для випадку певних інтегралів обидва види правила підстановки в невизначених інтегралах; тільки, застосовуючи її на практиці, іноді доводиться читати її зліва направо, а іноді - праворуч наліво.

Переходячи до доказу теореми, позначимо інтеграли, що входять до лівої та правої частини формули (22), відповідно через Iлев та Iправ.

Нехай F(z) - функція первісна для f(z). Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца

Iправ = F[φ (b)] - F[φ (a)]. (23)

Щодо Iлев, то

Але згідно з теоремою буде

Iлев = F[φ (b)] - F[φ (a)].

Звідси і з (23) випливає, що Iлев = Iправ.

38. Інтеграли від парних, непарних та періодичних функцій.

Теореія 1. Нехай f(x) – інтегрована на проміжку [-a,a] парна функція:

Для доказу подаємо вихідний інтеграл у вигляді суми двох інтегралів:

Твердження доведене.

Теореія 2. Нехай f(x) – інтегрована на проміжку [-a,a] непарна функція:

Теорема доводиться аналогічним чином:

не залежить від? Зокрема,

Обчислимо похідну по λ від виразу у правій частині цієї рівності:

Невласні інтеграли

Невласний інтеграл із нескінченною межею (ами) інтегрування

Іноді такий невласний інтеграл ще називають невласним інтегралом першого роду. У загальному виглядіневласний інтеграл з нескінченною межею найчастіше виглядає так: . У чому його на відміну від певного інтеграла? У верхній межі. Він нескінченний: .

Рідше зустрічаються інтеграли з нескінченною нижньою межею або з двома нескінченними межами: .

Ми розглянемо найпопулярніший випадок. Техніка роботи з іншими різновидами – аналогічна, і наприкінці параграфу буде посилання такі приклади.

Чи завжди існує невласний інтеграл? Ні, не завжди. Підінтегральна функція повинна бути безперервною на проміжку

Довідка: строго кажучи, твердження неправильне: якщо є розриви функції, то у ряді випадків можна розбити напівінтервал на кілька частин та обчислити кілька невласних інтегралів. Для простоти тут і далі я говоритиму, що невласного інтеграла не існує.

Зобразимо на кресленні графік підінтегральної функції. Типовий графік та криволінійна трапеція для даного випадку виглядає так:

Тут все добре, підінтегральна функція безперервна на напівінтервалі, отже, невласний інтеграл існує. Зверніть увагу, що криволінійна трапеція у нас – нескінченна(Не обмежена справа) фігура.
Невласний інтеграл чисельно дорівнює площі заштрихованої фігури, при цьому можливі два випадки:

1) Перше, думка, яка спадає на думку: «якщо постать нескінченна, то », Іншими словами, площа теж нескінченна. Так може бути. У цьому випадку кажуть, що невласний інтеграл розходиться.

2) Але. Хоч як це парадоксально прозвучить, площа нескінченної фігури може дорівнювати… кінцевого числа! Наприклад: . Чи може так бути? Просто. У другий випадок невласний інтеграл сходиться.

У яких випадках невласний інтеграл розходиться, а якому сходиться? Це залежить від підінтегральної функції, і конкретні прикладими незабаром розглянемо.

А що буде, якщо нескінченна криволінійна трапеція розташована нижче за осю? У цьому випадку невласний інтеграл (Розходиться) або дорівнює кінцевому негативному числу.

Невласний інтеграл може бути негативним.

Важливо! Коли Вам для рішення запропонований БУДЬ-ЯКИЙ невласний інтеграл, то, взагалі кажучи, ні про яку площу не йдеться і креслення будувати не потрібно. Ваше завдання визначити ЧИСЛО або довести, що невласний інтеграл розходиться. Геометричний змістневласного інтеграла я розповів лише для того, щоб легше було зрозуміти матеріал.

Якщо невласний інтеграл дуже схожий на певний інтеграл, то згадаємо формулу Ньютона-Лейбніца: . Насправді формула застосовна і до невласним інтегралам, Тільки її потрібно трохи модифікувати. В чому різниця? У нескінченній верхній межі інтегрування: . Напевно, багато хто здогадався, що це вже пахне застосуванням теорії меж, і формула запишеться так: .

Лекція №15.

Визначений інтеграл

Нехай на відрізку
задана функція
. Розіб'ємо відрізок
точкамина елементарних відрізків

довжини
. У кожному з цих відрізків
візьмемо довільну точку і складемо суму
звану інтегральною сумою (Рімана) для функції
на відрізку
.

Визначення 37.1.Нехай межа послідовності інтегральних сум при прагненні
до нуля існує, кінцевий і не залежить від способу розбиття відрізка
, ні від вибору точок . Ця межа називаєтьсяпевним інтегралом від функції
на відрізку
і позначається

(1)

При цьому число називається нижньою межею , число - Його верхньою межею; функція
–підінтегральною функцією , вираз
–підінтегральним виразом , а завдання про знаходження
–інтегруванням функції
на відрізку
.

Усі безперервні на відрізку
функції інтегровані у цьому відрізку. Інтегрованими будуть і обмежені функції, що мають на
кінцева кількість точок розриву.

Властивості певного інтегралу

1. Певний інтеграл – це число! Його значення залежить лише від виду функції
та меж інтегрування, але не від змінної інтегрування, яку можна позначати будь-якою буквою:

.

Інтеграл
був введений у припущенні, що
. Узагальнемо поняття певного інтеграла на випадок, коли
і
.

2.
.3.

Розглянемо властивості певного інтеграла, які мають аналоги у разі інтеграла невизначеного.

4. Якщо
, то
.

5. Інтеграл від алгебраїчної сумидвох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій:
.

Перейдемо тепер до властивостей певного інтегралу, які мають аналогів у разі невизначеного інтеграла.

6. Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів кожної з виниклих частин, тобто. за будь-яких ,,.

.

7. Якщо
на відрізку
, то
.

8. Нехай на відрізку
, де
,
. Тоді

.

9. Теорема про середнє.Якщо функція
безперервна на відрізку
, то знайдеться таке число
, що

.

10. Якщо функція
інтегрована на відрізку
, то функція
також інтегрована на відрізку
і має місце нерівність

Геометричний зміст певного інтегралу

Поняття певного інтеграла введено в такий спосіб, що у разі, коли функція
невід'ємна на відрізку
, де
,
чисельно дорівнює площі під кривою
на
.

З огляду на сказане ми можемо вказати значення деяких інтегралів, використовуючи відомі планиметричні формули для площ плоских фігур. Наприклад,

,
,
і т.д.

(Перший з інтегралів - площа квадрата зі стороною одиничної довжини; другий - площа прямокутного трикутника, обидва катета якого одиничної довжини; третій - площа чверті кола одиничного радіусу.)

Певний інтеграл як функція верхньої межі

Раніше, будуючи нові функції з відомих, ми використовували чотири арифметичні діїта суперпозицію функцій. Нині ми розглянемо принципово інший спосіб побудови нових функцій із відомих.

Якщо
інтегрована на відрізку
, то, очевидно, вона інтегрована також на будь-якому відрізку
, вкладеному в
.

Покладемо за визначенням

,

де
, а функція
називається інтегралом зі змінною верхньою межею.

Нехай
на відрізку
. Тоді значення функції
у точці дорівнює площі
під кривою
на відрізку
.

Це дозволяє по-новому поглянути на деякі відомі функції Наприклад,
, де
тому значення функції
у точці чисельно дорівнює площі
під гіперболою на відрізку
.

Розглянемо тепер властивості функції
.

Теорема 1. Нехай функція
безперервна на відрізку
. Тоді в кожній точці відрізка
похідна функції
за змінною верхньою межею дорівнює підінтегральній функції
, тобто.

. (2)

Доведення.

Покажемо, що функція

(3)

є первісної функції
.

Згідно з визначенням похідної,

.

Застосовуючи теорему про середнє до проміжку
, представимо інтеграл у чисельнику у вигляді
, де
і
при
.

Отже,
.

Теорема 2.Якщо функція
безперервна на відрізку
, то функція
також безперервна на
.

Обчислення певного інтеграла можливе із застосуванням первісної функції
за формулою Ньютона-Лейбніца.

Теорема 3.Якщо функція
безперервна на відрізку
і
- Первісна функції
, то

. (4)

Формула (4) називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення.

Повернімося до рівняння (3). Вважаючи
, знаходимо значення постійної :

.

Вважаючи в цьому ж рівнянні
, отримуємо:

.

Знаходження певних інтегралів з використанням формули (4) здійснюється у два кроки: на першому кроці знаходять первинну
для підінтегральної функції
; на другому – застосовується власне формула (3) – знаходиться збільшення первісної, рівне шуканому інтегралу. Введемо позначення для збільшення первісної

.

Усі методи, що застосовуються при обчисленні первісної, переносяться на обчислення певного інтегралу.

Теорема 4. (Заміна змінної в певному інтегралі).Якщо виконані умови:

1) функція
безперервна на відрізку
;

2) відрізок
є безліччю значень функції
, визначеної на відрізку
і має на ньому безперервну похідну;

3)
і
, то справедлива формула

.

Приклад 1. Обчислити
.

Рішення.Покладемо
. Тоді
і
.

Якщо
, то
, і якщо
, то
. Отже,

Формула заміни змінної для певного інтеграла навіть зручніша, ніж для невизначеного. Нам не потрібно повертатися до вихідних змінних, а натомість потрібно поміняти межі інтегрування.

Розглянемо, як виконується інтегрування частинами певному інтегралі.

Теорема 5.Якщо функції
і
мають безперервні похідні на відрізку
, то справедлива формула

.

Приклад 2. Обчислити
.

Рішення.

Геометричні додатки певного інтегралу

Обчислення площ плоских фігур.Якщо безперервна крива задана у прямокутних координатах рівнянням
, де
на відрізку
, то площа криволінійної трапеції, обмеженою цією кривою, двома вертикалями
;
та відрізком осі абсцис
, обчислюється за формулою

.

приклад 3.Обчислити площу, обмежену параболою
, Прямими
,
і віссю абсцис.

Рішення.

приклад 4.Обчислити площу, обмежену кривою
та віссю ординат.

Рішення.Тут змінено ролі осей координат, тому шукана площа виражатиметься інтегралом

.

У випадку, якщо площа обмежена двома безперервними кривими
;
та двома вертикалями
;
, де
, для обчислення площі фігури маємо формулу

Приклад 5.Обчислити площу , укладену між кривими
і
.

Р ешение.Знайдемо точки перетину кривих:
,

,
. На відрізку

. Значить,

.

Параметричне завдання верхнього кордонукриволінійної трапеції

При обчисленні площі криволінійної трапеції, якщо верхня межа задана параметричними рівняннями

,

у формулі
треба зробити заміну змінною, поклавши
,
тоді отримаємо
, де aі b- Значення параметра , що відповідають значенням
і
, тобто.
;
.

Приклад 6.Знайти площу фігури, обмеженою однією аркою циклоїди
і віссю
.

Рішення.Шукана площа

Площа фігури в полярної системикоординат

Нехай у полярній системі координат задана функція
, де - Полярний радіус, - Полярний кут. Нехай, далі, функція
безперервна при зміні кута в межах
(
і - У радіанах). Фігура, обмежена лінією
, з якою будь-який промінь, що виходить з полюса , перетинається не більше ніж в одній точці, і двома променями
і
, називається криволінійним сектором.

.

Приклад 7.Обчислити площу фігури, обмеженою кривою
.

Рішення.Знайдемо область визначення кута з умови, що
. Маємо:
, тобто.

Відповідно величина кута змінюється у таких межах:

залежно від значення
. Знайдемо межі зміни величини кута :

де - область визначення -го пелюстки.

Достатньо обчислити площу однієї пелюстки

Отже, площа всіх пелюсток

Нехай функція f(t) визначена і безперервна на деякому проміжку, що містить точку a.Тоді кожному числу xз цього проміжку можна поставити у відповідність число ,

визначивши цим на проміжку функцію I(x), яка прийнято називати певним інтегралом зі змінною верхньою межею. Зазначимо, що у точці x = aця функція дорівнює нулю. Обчислимо похідну цієї функції у точці x. Для цього спочатку розглянемо збільшення функції у точці xпри збільшенні аргументу D x:

D I(x) = I(x + D x) – I(x) =

.

Як показано на Мал. 4, величина останнього інтеграла у формулі для збільшення D I(x) дорівнює площі криволін ейної трапеції, зазначеної штрихуванням. При малих величинах D x(тут, так само як і скрізь у цьому курсі, говорячи про малі величини прирощень аргументу чи функції, маємо на увазі абсолютні величиниприрощень, оскільки самі прирощення бувають і позитивними, і негативними) ця площа виявляється приблизно рівної площіпрямокутника, позначеного малюнку подвійний штрихуванням. Площа прямокутника визначається формулою f(x)D x. Звідси отримуємо співвідношення

.

В останній наближеній рівності точність наближення тим вища, чим менша величина D x.

Зі сказаного випливає формула для похідної функції I(x):

.

Похідна певного інтеграла по верхній межі в точці x дорівнює значенню підінтегральної функції в точці x. Звідси випливає, що функція є первісною для функції f(x), причому такою первісною, яка приймає у точці x = aзначення, рівне нулю. Цей факт дає можливість уявити певний інтеграл у вигляді

. (1)

Нехай F(x)теж є первісною для функції f(x), тоді за теоремою про загальний вигляд усіх первісних функції I(x) = F(x) + C, де C- неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ число. При цьому права частинаформули (1) набуває вигляду

I(x) – I(a) = F(x) + C– (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)

З формул (1) та (2) після заміни xна bслід формула для обчислення певного інтеграла від функції f(t) по проміжку [ a;b]:

,

яка прийнято називати формулою Ньютона-Лейбніца. Тут F(x)- будь-яка первісна функції f(x).

Для того, щоб обчислити певний інтеграл від функції f(x) по проміжку [ a;b], потрібно знайти якусь первісну F(x) функції f(x) і підрахувати різницю значень первісної в точках bі a. Різниця цих значень первісної прийнято позначати символом, тобто. .

Наведемо приклади обчислення певних інтегралів за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

Приклад 1. .

При обчисленні певних інтегралів можна застосовувати формулу заміни змінної:

.

Тут aі bвизначаються відповідно з рівнянь j(a) = a; j(b) = b, а функції f,j, j¢повинні бути безперервними на відповідних проміжках.

приклад 2..

Зробимо заміну: ln x = tабо x = e t, тоді якщо x = 1, то t = 0, а якщо x = e, то t = 1. В результаті отримаємо:

.

Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, при обчисленні певного інтеграла за допомогою заміни змінних немає вкрай важливості повертатися до колишньої змінної інтегрування. Достатньо лише запровадити нові межі інтегрування.

Нехай функція f(t) визначена і безперервна на деякому проміжку, що містить точку a.Тоді кожному числу xз цього проміжку можна поставити у відповідність число ,

визначивши цим на проміжку функцію I(x), яка називається певним інтегралом зі змінною верхньою межею. Зазначимо, що у точці x = aця функція дорівнює нулю. Обчислимо похідну цієї функції у точці x. Для цього спочатку розглянемо збільшення функції у точці xпри збільшенні аргументу D x:

D I(x) = I(x + D x) – I(x) =

.

Як показано на Мал. 4, величина останнього інтеграла у формулі для збільшення D I(x) дорівнює площі криволінійної трапеції, позначеної штрихуванням. При малих величинах D x(Тут, так само як і скрізь у цьому курсі, говорячи про малі величини прирощень аргументу або функції, маємо на увазі абсолютні величини прирощень, так як самі прирощення можуть бути і позитивними, і негативними) ця площа виявляється приблизно рівною площі прямокутника, зазначеного на малюнку подвійним штрихуванням. Площа прямокутника визначається формулою f(x)D x. Звідси отримуємо співвідношення

.

В останній наближеній рівності точність наближення тим вища, чим менша величина D x.

Зі сказаного випливає формула для похідної функції I(x):

.

Похідна певного інтеграла по верхній межі у точці x дорівнює значенню підінтегральної функції у точці x. Звідси випливає, що функція є первісною для функції f(x), причому такою первісною, яка приймає у точці x = aзначення, що дорівнює нулю. Цей факт дає можливість уявити певний інтеграл у вигляді

. (1)

Нехай F(x)теж є первісною для функції f(x), тоді за теоремою про загальний вигляд усіх первісних функцій I(x) = F(x) + C, де C- Деяке число. При цьому права частина формули (1) набуває вигляду

I(x) – I(a) = F(x) + C– (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)

З формул (1) та (2) після заміни xна bслідує формула для обчислення певного інтеграла від функції f(t) по проміжку [ a;b]:

,

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца. Тут F(x)- будь-яка первісна функції f(x).

Для того щоб обчислити певний інтеграл від функції f(x) по проміжку [ a;b], потрібно знайти якусь первісну F(x) функції f(x) і підрахувати різницю значень первісної в точках bі a. Різниця цих значень первісної прийнято позначати символом, тобто. .

Заміна змінної у певному інтегралі.При обчисленні певних інтегралів з використанням формули Ньютона-Лейбніца переважно жорстко не розмежовувати етапи розв'язання задачі (знаходження первісної підінтегральної функції, знаходження збільшення первісної). Такий підхід, що використовує, зокрема, формули заміни змінної та інтегрування частинами для певного інтеграла, зазвичай дозволяє спростити запис рішення.

ТЕОРЕМА. Нехай функція φ(t) має безперервну похідну на відрізку [α,β], а=φ(α), в=φ(β) та функція f(х) безперервна в кожній точці х виду х=φ(t), де t [α,β].

Тоді справедлива така рівність:

Ця формула називається формули заміни змінної у певному інтегралі.

Подібно до того, як це було у разі невизначеного інтеграла, використання заміни змінної дозволяє спростити інтеграл, наблизивши його до табличного (табличного). При цьому на відміну від невизначеного інтегралу даному випадкунемає необхідності повертатися до вихідної змінної інтеграції. Достатньо лише знайти межі інтегрування α і β за новою змінною t як рішення щодо змінної t рівнянь φ(t)=а та φ(t)=в. Насправді, виконуючи заміну змінної, часто починають із те, що вказують вираз t=ψ(х) нової змінної через стару. У цьому випадку знаходження меж інтегрування змінної t спрощується: α=ψ(а), β=ψ(в).

Приклад 19. Обчислити

Покладемо t = 2-х 2 . Тоді dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx і xdx=- dt. Якщо х=0, то t=2-0 2 =2, і якщо х=1, то t = 2-1 2 = 1. Отже:

Інтегрування частинами.Метод інтегрування частинами дозволяє звести вихідний невизначений інтегралдо більш простому виглядуабо до табличного інтегралу. Цей метод найчастіше застосовується, якщо підінтегральна функція містить логарифмічні, показові, зворотні тригонометричні, тригонометричні функції, і навіть їх комбінації.

Формула інтегрування частинами наступна.

Тобто підінтегральний вираз f(x)dxподаємо у вигляді добутку функції u(x)на d(v(x))- диференціал функції v(x). Далі знаходимо функцію v(x)(найчастіше методом безпосереднього інтегрування) та d(u(x))- диференціал функції u(x). Підставляємо знайдені вирази у формулу інтегрування частинами і вихідний невизначений інтеграл зводиться до різниці . Останній невизначений інтеграл може бути взятий з використанням будь-якого методу інтегрування, у тому числі методу інтегрування частинами.