Період cosx. Вирази через комплексні змінні

З центром у точці A.
α - Кут, виражений у радіанах.

Визначення
Сінус (sin α)- це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношеннюдовжини протилежного катета|BC| до довжини гіпотенузи | AC |

Косінус (cos α)- це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини прилеглого катета|AB| до довжини гіпотенузи | AC |

Прийняті позначення

;
;
.

;
;
.

Графік функції синус, y = sin x

Графік функції косинус, y = cos x

Властивості синуса та косинуса

Періодичність

Функції y = sin xта y = cos xперіодичні з періодом 2 π.

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

Область визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Функції синус і косинус безперервні у своїй області визначення, тобто всім x (див. доказ безперервності). Їх основні властивостіпредставлені у таблиці (n – ціле).

Основні формули

Сума квадратів синуса та косинуса

Формули синуса та косинуса від суми та різниці

;
;

Формули твору синусів та косинусів

Формули суми та різниці

Вираз синуса через косинус

;
;
;
.

Вираз косинуса через синус

;
;
;
.

Вираз через тангенс

; .

При , маємо:
; .

При:
; .

Таблиця синусів та косинусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні змінні

;

Формула Ейлера

Вирази через гіперболічні функції

;
;

Похідні

; . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Зворотні функції

Зворотними функціямидо синуса і косинусу є арксинус і арккосинус відповідно.

Арксінус, arcsin

Арккосинус, arccos

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Відеоурок «Періодичність функцій у = sin х, у = cos х» розкриває поняття періодичності функції, розглядає опис прикладів розв'язання задач, у яких використовується поняття періодичності функції. Даний відеоурок є наочним посібникомпояснення теми учням. Також цей посібник може стати самостійною частиноюуроку, звільняючи вчителя для проведення індивідуальної роботиз учнями.

Наочність у поданні цієї теми дуже важлива. Щоб уявити поведінку функції, побудову графіка, її необхідно візуалізувати. Зробити побудови за допомогою класної дошкиі крейди не завжди вдається так, щоб вони були зрозумілі всім учням. У відеоуроці є можливість при побудові виділяти частини малюнку кольором, робити перетворення за допомогою анімації. Таким чином, побудови стають більш зрозумілими для більшості учнів. Також можливості відеоуроку сприяють кращого запам'ятовуванняматеріалу.

Демонстрація починається з подання теми уроку, а також нагадування учням матеріалу, вивченого на минулих уроках. Зокрема, підсумовується перелік властивостей, виявлених у функціях у = sin х, і навіть у = cos х. Серед властивостей функцій, що розглядаються, відзначені область визначення, область значень, парність (непарність), інші особливості - обмеженість, монотонність, безперервність, точки найменшого (найбільшого) значення. Учням повідомляється, що на даному уроцівивчається ще одна властивість функції – періодичність.

Представлено визначення періодичної функції y=f(x), де xx, у якій виконується умова f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) для деякого Т≠0. Інакше число Т називають період функції.

Для функцій синуса і косинуса, що розглядаються, виконання умови перевіряється, застосовуючи формули приведення. Очевидно, що вид тотожності sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) відповідає виду виразу визначального умова періодичності функції. Таку ж рівність можна відзначити для косинуса cos(x-2π) = cos x = cos (x + 2π). Отже, ці тригонометричні функції є періодичними.

Далі наголошується, як властивість періодичності допомагає будувати графіки періодичних функцій. Розглядається функція у = sin x. На екрані будується координатна площина, де відзначені абсциси від -6π до 8π з кроком π. На поверхні будується частина графіка синуса, представлений однією хвилею на відрізку . На малюнку демонструється, як графік функції формується по всій області визначення зсувом побудованого фрагмента, і отримуючи довгу синусоїду.

Будується графік функції у = cos х, використовуючи властивість її періодичності. Для цього на малюнку будується координатна площина, де зображується фрагмент графіка. Зазначається, зазвичай такий фрагмент будується на відрізку [-π/2;3π/2]. Аналогічно графіку функції синуса, побудова графіка косинуса виконується зсувом фрагмента. В результаті побудови утворюється довга синусоїда.

Побудова графіка періодичної функції має особливості, які можна використовувати. Тому вони даються у узагальненому вигляді. Наголошується, що для побудови графіка такої функції спочатку будують гілка графіка на деякому проміжку довжиною Т. потім необхідно зрушити побудовану гілка вправо та вліво на Т, 2Т, 3Т і т.д. при цьому вказується ще на одну особливість періоду – для будь-якого цілого k≠0 число kТ також є періодом функції. Проте Т називається основним періодом, оскільки він найменших із усіх. Для тригонометричних функційсинуса та косинуса основним періодом є 2π. Однак також є періодами 4π, 6π тощо.

Далі пропонується розглянути знаходження основного періоду функції у = cos 5х. Рішення починається з припущенням, що Т – період функції. Отже, необхідне виконання умови f(x-Т)=f(x)=f(x+Т). У цьому тотожності f(x)= cos 5х, а f(x+Т)=cos 5(x+Т)= cos (5x+5Т). У цьому cos (5x+5Т)= cos 5х, отже 5Т=2πn. Тепер можна знайти Т = 2 / 5. Завдання вирішено.

У другому завданні необхідно знайти основний період функції y=sin(2x/7). Передбачається, що основний період функції Т. для цієї функції f(x)= sin(2x/7), а через період f(x+Т)=sin(2x/7)(х+Т)= sin(2x/7) + (2/7) Т). після приведення отримуємо (2/7)Т=2πn. Однак нам необхідно знайти основний період, тому беремо найменше значення(2/7)Т=2π, з якого знаходимо Т=7π. Завдання вирішено.

Наприкінці демонстрації результати прикладів узагальнюються, сформувавши правило визначення основного періоду функції. Зазначається, що з функцій у=sinkxи y=coskx основними періодами є 2π/k.

Відеоурок «Періодичність функцій у = sin х, у = cos х» може застосовуватися на традиційному уроціматематики підвищення ефективності уроку. Також даний матеріалрекомендується використовувати вчителю, який здійснює дистанційне навчанняпідвищення наочності пояснення. Відео може бути рекомендоване учню, що відстає, для поглиблення розуміння теми.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

"Періодичність функцій у = cos x, y = sin x".

Для побудови графіків функцій y = sin x та у = cos x були використані властивості функцій:

1 область визначення,

2 область значення,

3 парність або непарність,

4 монотонність,

5 обмеженість,

6 безперервність,

7 найбільше та найменше значення.

Сьогодні ми вивчимо ще одну властивість: періодичність функції.

ВИЗНАЧЕННЯ. Функцію у = f (x), де х ϵ Х(гравець дорівнює еф від ікс, де ікс належить множині ікс), називають періодичною, якщо існує відмінне від нуля число Т таке, що для будь-якого х із множини Х виконується подвійна рівність: f (x - Т) = f (x) = f (x + Т) (еф від ікс мінус те дорівнює еф від ікс і дорівнює еф від ікс плюс те). Число Т, яке задовольняє таку подвійну рівність, називають періодом функції

А оскільки синус і косинус визначені на всій числовій прямій і для будь-якого х виконуються рівності sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (синус від ікс мінус два пі дорівнює синусуікс і дорівнює синусу від ікс плюс два пі) і

cos (x - 2π) = cos x = cos (x + 2π) (косинус від ікс мінус два пі дорівнює косинус ікс і дорівнює косінус від ікс плюс два пі), то синус і косинус - це періодичні функції з періодом 2π.

Періодичність дозволяє швидко збудувати графік функції. Адже для того, щоб побудувати графік функції y = sin x досить побудувати одну хвилю (найчастіше на відрізку (від нуля до двох пі), а потім за допомогою зсуву побудованої частини графіка вздовж осі абсцис вправо і вліво на 2π, потім на 4π і так далі отримати синусоїду.

(показати зсув праворуч і ліворуч на 2π, 4π)

Аналогічно для графіка функції

у = cos x, тільки будуємо одну хвилю найчастіше на відрізку [; ] (від мінус пі на два до трьох пі на два).

Узагальним вище сказане та зробимо висновок: для побудови графіка періодичної функціїз періодом Т спочатку потрібно побудувати гілка (або хвилю, або частину) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше це проміжок з кінцями в точках 0 і Т або ж - і (мінус те на два і те на два), а потім зрушити цю гілку вздовж осі х(ікс) праворуч і ліворуч на Т, 2Т, 3Т і т.д.

Очевидно, що якщо періодична функція з періодом Т, то при будь-якому цілому k0 (як не рівному нулю) Число виду kT (ка те) теж період цієї функції. Зазвичай намагаються виділити найменший позитивний період, Який називають основним періодом.

Як період функцій у = cos x, y = sin x можна було б взяти - 4π, 4π, - 6π, 6π і т.д. (мінус чотири пі, чотири пі, мінус шість пі, шість пі і так далі). Але число 2 є основним періодом і тієї, і іншої функції.

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД 1. Знайти основний період функції у = сos5x (ігрок дорівнює косинус п'яти ікс).

Рішення. Нехай Т – основний період функції у = сos5x. Покладемо

f (x) = сos5x, тоді f (x + Т) = сos5(x + Т) = сos (5x + 5Т) (еф від ікс плюс те дорівнює косінусу п'яти, помноженого на суму ікса і те дорівнює косінусу від суми п'яти ікс та п'яти те).

сos (5x + 5Т) = сos5x. Звідси 5Т= 2πn (п'ять те дорівнює два пі ен), але за умовою потрібно знайти основний період, отже, 5Т= 2π. Отримуємо Т=

(Період цієї функції дорівнює два пі, поділене на п'ять).

Відповідь: Т =.

ПРИКЛАД 2. Знайти основний період функції у = sin (гравець дорівнює синус приватного двох ікс на сім).

Рішення. Нехай Т - основний період функції у = sin. Покладемо

f (x) = sin , тоді f (x + Т) = sin (x + Т) = sin (x + Т) (еф від ікс плюс те дорівнює синусу добутку двох сьомих і суми ікса і те дорівнює синусу від суми двох сьомих ікс та двох сьомих те).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність

sin (x + Т) = sin. Звідси Т= 2πn (дві сьомі те дорівнює два пі ен), але за умовою потрібно знайти основний період, отже, Т= 2π. Отримуємо Т=7

(Період цієї функції дорівнює семи пі).

Відповідь: Т = 7.

Узагальнюючи результати, отримані в прикладах, можна зробити висновок: основний період функцій y = sin kx або у = cos kx (ігрок дорівнює синус ка ікс або гравець дорівнює косинус ка ікс) дорівнює (два пі, поділено на ка).