Раціональні рівняння, що наводяться до квадратних. Звіти з практики

Є кілька класів рівнянь, які вирішуються приведенням їх до квадратних рівнянь. Одним із таких рівнянь є біквадратні рівняння.

Біквадратні рівняння

Біквадратні рівняння – це рівняння виду a*x^4 + b*x^2 + c = 0,де a не дорівнює 0.

Біквадратні рівняння розв'язуються за допомогою підстановки x 2 = t. Після такої підстановки отримаємо квадратне рівняння щодо t. a*t^2+b*t+c=0. Вирішуємо отримане рівняння, маємо в загальному випадку t1 та t2. Якщо на цьому етапі вийшов негативний корінь, можна виключити з рішення, оскільки ми брали t=x^2, а квадрат будь-якого числа є число позитивне.

Повертаючись до вихідних змінних, маємо x 2 = t1, x 2 = t2.

х1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Розберемо невеликий приклад:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Введемо заміну t=x^2. Тоді вихідне рівняння набуде наступного вигляду:

Вирішуємо це квадратне рівняннябудь-яким з відомих способів, знаходимо:

Корінь -1 не підходить, оскільки рівняння x^2 = -1 немає сенсу.

Залишається другий корінь 4/9. Переходячи до вихідних змінних маємо наступне рівняння:

x1=-2/3, x2=2/3.

Це буде рішенням рівняння.

Відповідь: x1=-2/3, x2=2/3.

Ще один із видів рівнянь, що наводяться до квадратних, є дробові раціональні рівняння. Раціональні рівняння - це рівняння у яких ліва та праві частини є раціональними висловлюваннями. Якщо у раціональному рівнянні ліва або права частини будуть дробовими виразами, таке раціональне рівняння називається дробовим.

Схема розв'язання дробового раціонального рівняння

1. Знайти спільний знаменник усіх дробів, що входять до рівняння.

2. Помножити обидві частини рівняння загальний знаменник.

3. Вирішити отримане ціле рівняння.

4. Здійснити перевірку коренів, і виключити ті з них, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

Розглянемо приклад:

Розв'язати дробове раціональне рівняння: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Дотримуватимемося загальної схеми. Знайдемо спочатку спільний знаменник усіх дробів.

Отримаємо x * (x-5).

Помножимо кожен дріб на спільний знаменник і запишемо отримане ціле рівняння.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Спростимо отримане рівняння. Отримаємо,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 = 0;

Отримали просте наведене квадратне рівняння.Вирішуємо його будь-яким із відомих способів, отримуємо коріння x=-2 та x=5. Тепер робимо перевірку отриманих рішень. Підставляємо числа -2 та 5 у спільний знаменник.

При х=-2 загальний знаменник x*(x-5) не перетворюється на нуль, -2*(-2-5)=14. Значить число -2 буде коренем вихідного дробового раціонального рівняння.

Тема урока: Розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних.

Цілі уроку:

освітня: Познайомити учнів із біквадратним рівнянням,спираючись на попередній досвід учнів за рішенням квадратних рівнянь, закріпити вміння розв'язувати рівняння, що наводяться до квадратним способомпідстановки та визначати, яку підстановку раціональніше робити.

розвиваюча: сприяти розвитку уваги, логічного мислення, умінь аналізувати, порівнювати та робити висновки

яка виховує: розвиток уміння планувати роботу, шукати раціональні шляхиїї виконання, здібності аргументовано відстоювати свою думку

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

Здрастуйте, хлопці.

Серед наук із усіх найголовніших
Найважливіша лише одна.
Вчіть алгебру, вона голова наук,
Для життя дуже всім потрібна,

Коли ти досягнеш наук висоти,
Пізнаєш ціну знанням своїм,
Зрозумієш, що алгебри краси,
Для життя будуть скарбом хорошим.

2. Мотивація уроку.

Епіграфом нашого уроку є слова Галілео Галілей «Без наполегливої ​​розумової праці ніхто не може далеко просунутися в математиці. Але кожен, кому знайома радість пізнання, хто побачив красу математики, не шкодуватиме витрачених зусиль». ДЩоб успішно розв'язувати рівняння, що зводяться до квадратних, необхідно добре знати теорію розв'язання цих квадратних рівнянь. Тому повторимо необхідні надалі поняття та формули. І. П. Павлов «Вивчіть ази науки, перш ніж зійти на її вершини. Ніколи не беріться за наступне, не засвоївши попереднє»

3. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна робота із класом.

Тест «Продовжити фразу» (наступна самоперевірка та оцінка знань).

Квадратним рівнянням називається рівняння виду …

Коріння квадратного рівняння знаходиться за формулою.

Кількість коренів квадратного рівняння залежить від …

Наведеним квадратним рівнянням називається рівняння виду …

Способи розв'язання квадратних рівнянь: …

Які рівняння називаються дробовими раціональними?

Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь.

Основна властивість пропорції.

Коли дріб дорівнює 0?

Розв'язання рівняння x-8x -9 = 0 відомими способами.

4.Вивчення нового матеріалу.

Біквадратні рівняння

Розглянути рішення прикладу підручника.

Рішення № 733 (1, 2, 4)

Метод введення нової змінної

Запропонуйте способи розв'язання наступного рівняння:

Складання алгоритму розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних.

Алгоритм рішення:

Ввести заміну змінної

Скласти квадратне рівняння з новою змінною

Вирішити нове квадратне рівняння

Урок-дослідження на тему "Рівняння, що наводяться до квадратних"

"Цінити людей треба за тими цілями, які вони перед собою ставлять"

Н.Н.Міклухо-Маклай.

Цілі:

Навчальна: привести в систему знання учнів з цієї теми (повторити теорію, виробити вміння визначати вид рівняння та вибирати раціональний спосіброзв'язання даного рівняння);

Розвиваюча: інтенсивна та творче мислення, бажання пошуку рішення;

Виховує: прищеплення інтересу до усній роботі, виховання навичок свідомого засвоєння матеріалу

показати спосіб розв'язання рівнянь методом запровадження нової змінної.

Хід уроку

Сьогодні на уроці мені хотілося б вас запросити глибше заглянути в чудовий світматематики – у світ рівнянь, світ пошуку, у світ досліджень.

Щоб математику вчити,
Її спершу треба любити.

Подивимося, як у нас насправді справи в цьому плані по відношенню до всіх вивчених рівнянь.

Але для початку давайте перевіримо домашнє завдання

Інтерактивна дошка. Слайд із рішенням (поміняйтеся зошитами)

Вторинне занурення у тему

Щоб математику зрозуміти,
Її детально потрібно знати.

Наскільки ми знаємо тему в деталях, спробуємо розібратися у ході наступної роботи:

Слайд. І згадаємо, а що таке рівняння? («фіранка» відкриває правильну відповідь)

(Рівність, що містить невідоме).

А що означає вирішити рівняння?

(Значить знайти всі його коріння або довести, що їх немає).

А що є коренем рівняння?

(Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне рівність).

Які види рівнянь ви знаєте і вмієте вирішувати? (лінійні, квадратні, дробово-раціональні, біквадратні).

Усі способи розв'язків, відомих вам рівнянь, можна образно подати у вигляді “ключів”. Символ уроку – зв'язування ключів –

"Лінійні рівняння", "Квадратні рівняння", "Дробно-раціональні рівняння", "Рівняння, що приводяться до квадратних". "Біквадратні рівняння"

(на дошку вивішуємо ключі)

Слайд (родиці) та види рівнянь

знайти коріння рівнянь.

Рішення на дошці

х 4 – 10 х 2 + 9 = 0, рівняння біквадратне

(х-10) 2-3(х-10)-4=0

Підіб'ємо підсумок нашої дослідницької роботи.

Висновок:Отже, два різних на вигляд рівняння ми вирішили одним і тим же методом – методом введення нової змінної, де початкове рівняння наводиться до квадратного.

А тепер давайте спробуємо скласти алгоритм розв'язання

І наше завдання полягає в тому, щоб спробувати відточити цей ключ, навчитися відкривати таємницю рівнянь таким ключем.

Власне творча частина

Щоб математикою захопити,
Увагу потрібно до неї залучити.

Спробуємо переконатись, наскільки вдасться привернути увагу

Розглянемо рішення рівнянь вищих ступенів, використовуючи
розкладання на множники.

Відповідь: -1; -0,5; 1.

Щоб з математикою дружити,
У всьому логічним треба бути.

Немає сумніву в тому, що рівняння, які запропонують без логіки, здолати практично неможливо. Зараз ми переконаємося в цьому.

Яку підстановку можна виконати у кожному рівнянні.

А тепер спробуйте звести дане рівняння до квадратного, підстановку ми вже визначили (за бажанням виберіть для себе будь-яке рівняння) і перевіримо.

Підбиття підсумків.

Рефлексія

Сьогодні на уроці ми лише спробували з вами злегка "відточити" наш "ключик", вам доведеться ще більша робота, щоб цей ключ працював досконало.

Будинки: Збірник ГІА-2010р стор 151 №128,129, №130,131. Дякую вам за урок. Мені цікаво було працювати з вами. Бажаю удачі вам, нових пошуків та відкриттів.

4. Підбиття підсумків уроку.

Що нового дізналися на уроці?

Які завдання були складними? Що запам'яталося?

Як працював клас на уроці?

Хто працював найкраще?

Оцінити відповіді учнів біля дошки.

Поставити позначки за урок, обґрунтувавши їхнє виставлення.

У цій статті я покажу вам алгоритми розв'язання семи типів раціональних рівнянь, які за допомогою заміни змінних зводяться до квадратних. У більшості випадків перетворення, що призводять до заміни, дуже нетривіальні, і самостійно про них здогадатися досить важко.

Для кожного типу рівнянь я поясню, як у ньому робити заміну змінною, а потім у відповідному відеоуроці покажу детальне рішення.

У вас є можливість продовжити розв'язання рівнянь самостійно, а потім звірити своє рішення із відеоуроком.

Тож почнемо.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Зауважимо, що у лівій частині рівняння стоїть твір чотирьох дужок, а правій - число.

1. Згрупуємо дужки по дві так, щоб сума вільних членів була однаковою.

2. Перемножити їх.

3. Введемо заміну змінної.

У нашому рівнянні згрупуємо першу дужку з третьою, а другу з четвертою, оскільки (-1)+(-4)=(-7)+2:

У цьому місці заміна змінної стає очевидною:

Отримуємо рівняння

Відповідь:

2 .

Рівняння цього типу схоже на попереднє з однією відмінністю: у правій частині рівняння стоїть твір числа на . І вирішується воно зовсім інакше:

1. Групуємо дужки по дві так, щоб добуток вільних членів був однаковим.

2. Перемножуємо кожну пару дужок.

3. З кожного множника виносимо за дужку х.

4. Ділимо обидві частини рівняння на .

5. Вводимо заміну змінної.

У цьому рівнянні згрупуємо першу дужку з четвертою, а другу з третьою, тому що :

Зауважимо, що у кожній дужці коефіцієнт при і вільний член однакові. Винесемо з кожної дужки множник:

Оскільки х=0 перестав бути коренем вихідного рівняння, розділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо:

Отримаємо рівняння:

Відповідь:

3 .

Зауважимо, що у знаменниках обох дробів стоять квадратні тричлени, які мають старший коефіцієнт і вільний член однакові. Винесемо, як і в рівнянні другого типу х за дужку. Отримаємо:

Розділимо чисельник та знаменник кожного дробу на х:

Тепер можемо ввести заміну змінної:

Отримаємо рівняння щодо змінної t:

4 .

Зауважимо, що коефіцієнти рівняння симетричні щодо центрального. Таке рівняння називається зворотним .

Щоб його вирішити,

1. Розділимо обидві частини рівняння на (Ми можемо це зробити, тому що х = 0 не є коренем рівняння.) Отримаємо:

2. Згрупуємо доданки таким чином:

3. У кожній групі винесемо за дужку загальний множник:

4. Введемо заміну:

5. Виразимо через t вираз:

Звідси

Отримаємо рівняння щодо t:

Відповідь:

5. Однорідні рівняння.

Рівняння, що мають структуру однорідного, можуть зустрітися при вирішенні показових, логарифмічних та тригонометричних рівняньтому її потрібно вміти розпізнавати.

Однорідні рівняння мають таку структуру:

У цьому рівні А, У і З - числа, а квадратиком і кружечком позначені однакові висловлювання. Тобто у лівій частині однорідного рівняння стоїть сума одночленів, які мають однаковий ступінь(у даному випадкуступінь одночленів дорівнює 2), і вільний член відсутній.

Для того щоб вирішити однорідне рівняння, розділимо обидві частини на

Увага! При розподілі правої та лівої частини рівняння на вираз, що містить невідоме, можна втратити коріння. Тому необхідно перевірити, чи не є коріння того виразу, на яке ми ділимо обидві частини рівняння, корінням вихідного рівняння.

Ходімо першим шляхом. Отримаємо рівняння:

Тепер ми вводимо заміну змінної:

Спростимо вираз і отримаємо біквадратне рівняння щодо t:

Відповідь:або

7 .

Це рівняння має таку структуру:

Щоб його вирішити, потрібно у лівій частині рівняння виділити повний квадрат.

Щоб виділити повний квдарат, потрібно додати або відняти вдоволений твір. Тоді ми отримаємо квадрат суми різниці. Для успішної заміни змінної це має визначальне значення.

Почнемо зі знаходження подвоєного твору. Саме воно буде ключиком для заміни змінної. У нашому рівнянні подвоєний твір дорівнює

Тепер прикинемо, що нам зручніше мати – квадрат суми чи різниці. Розглянемо, для початку суму виразів:

Чудово! це виразі точно точно подвоєному твору. Тоді, щоб у дужках отримати квадрат суми, потрібно додати і відняти подвійний твір:

Відкритий урок з алгебри у 9 класі.

Тема: Рівняння, що наводяться до квадратних.

Цілі уроку: 1) узагальнення та поглиблення знань учнів за рішенням квадратних рівнянь;

2) сприяти формуванню умінь застосовувати різні способи розв'язання рівнянь;

3) розвинути творчі здібностіучнів шляхом вирішення завдань, що містять модулі та параметри.

Хід уроку:

Вступна розмова.

При розв'язанні рівнянь учні нерідко здійснюють ряд перетворень, що призводять до хибних висновків.

Наприклад:

1. РУ х(х+3)=2х

Ділимо обидві частини рівняння на х:

У цьому рішенні втратили корінь Х=0. У чому помилка?

Розділили на Х, а змінна Х може дорівнювати 0. А на нуль ділити не можна.

Відповідь: -1; 0.

Т.к. знаменники обох частин однакові, то

За такого рішення виник сторонній корінь Х=1. Де помилка?

Спільний знаменникне може дорівнювати 0.

Відповідь: Х = 2.

Щоб не допустити подібних помилок, потрібно знати правила рівносильних переходівпід час вирішення рівнянь.

Усне опитування.

Які рівняння називаються рівняннями 1 ступеня?

Як розв'язати лінійні рівняння?

Скільки розв'язків може мати лінійне рівняння?

Яке рівняння називається рівнянням другого ступеня?

Наведене квадратне рівняння?

Як розв'язується квадратні рівняння?

Скільки коренів може мати квадратне рівняння?

якщо Д 0, то квадратне рівняння має 2 корені.

якщо Д = 0 то один корінь.

10.Як розкласти на множники квадратний тричлен?

3. Пояснення нової теми.

Сьогодні ми вирішуватимемо рівняння, що наводяться до квадратних, і рівняння 3 і 4 ступенів. У їх вирішенні великий внесок зробили італійські математики 16 століття.

Сципіон Даль Ферро(1465-1526) та його учень Фіорі

Ніколо Тарталья(1499-1557)

Історична довідкапро цих учених.

Розглянемо одне з рівнянь італійських математиків:

Це рівняння можна вирішити за формулою Кардано для вирішення рівнянь виду, що загрожує складними обчисленнями.

Можна вирішити шляхом розкладання на множники лівої частини рівняння.

Відповідь: 1; -4; 3.

Вирішимо це рівняння у різний спосіб:

метод розкладання на множники.

обидва значення задовольняють умові

Не задовольняє умову

Відповідь: 0; -2; 2.

графічний спосіб

Будуємо графік функції

і шукаємо абсциси точок перетину графіка з віссю oх.

3) Метод запровадження нової змінної.

Нехай тоді

Це рівняння також можна вирішити кількома способами.

Введемо нову змінну