Порядком прямокутної матриці n m називається число. Поняття матриці

Матрицею розмірності називається таблиця чисел, що містить рядків та стовпців. Числа називаються елементами цієї матриці, де номер рядка, номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент. Матриця, що містить рядків та стовпців, має вигляд: .

Види матриць:

1) при – квадратна , причому називають порядком матриці ;

2) квадратна матриця, у якої всі недіагональні елементи дорівнюють нулю

– діагональна ;

3) діагональна матриця, яка має всі діагональні елементи рівні

одиниці – одинична і позначається;

4) при – прямокутна ;

5) при - матриця-рядок (вектор-рядок);

6) при - матриця-стовпець (вектор-стовпець);

7) за всіх – нульова матриця.

Зауважимо, що основний числовою характеристикоюквадратної матриці є її визначником. Визначник, відповідний матриці -го порядку, також має порядок.

Визначником матриці 1-го порядку називається число.

Визначником матриці 2-го порядку називається число . (1.1)

Визначником матриці 3-го порядку називається число . (1.2)

Наведемо необхідні подальшого викладу визначення.

Мінором М ij елемента а ij матриці n-гопорядку А називається визначник матриці ( n-1)-держаку, отриманої з матриці А шляхом викреслення i-ого рядка та j-го стовпця.

Алгебраїчним доповненням А ij елемента а ij матриці n- гопорядка А називається мінор цього елемента, взятий зі знаком .

Сформулюємо основні властивостівизначників, властиві визначникам всіх порядків та спрощують їх обчислення.

1. Під час транспонування матриці її визначник не змінюється.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак.

3. Визначник, що має два пропорційні (рівні) рядки (стовпці), дорівнює нулю.

4. Загальний множникелементів якогось рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.

5. Якщо елементи якогось рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників.

6. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого його рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на будь-яке число.

7. Визначник матриці дорівнює сумітворів елементів будь-якого його рядка (стовпця) на алгебраїчні доповненняцих елементів.

Пояснимо цю властивість з прикладу визначника 3-го порядку. У даному випадкувластивість 7 означає, що - Розкладання визначника по елементах 1-го рядка. Зауважимо, що з розкладання вибирають той рядок (стовпець), де є нульові елементи, оскільки відповідні їм доданки в розкладанні звертаються в нуль.

Властивість 7 є теоремою про розкладання визначника, сформульовану Лапласом.

8. Сума творів елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на додатки алгебри відповідних елементів іншого його рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Остання властивість часто називають псевдорозкладом визначника.

Запитання для самоперевірки.

1. Що називається матрицею?

2. Яка матриця називається квадратною? Що розуміється під її порядком?

3. Яка матриця називається діагональною, одиничною?

4. Яка матриця називається матрицею-рядком і матрицею-стовпцем?

5. Що є основною числовою характеристикою квадратної матриці?

6. Яке число називається визначником 1-го, 2-го та 3-го порядку?

7. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням елемента матриці?

8. Які основні властивості визначників?

9. За допомогою якої властивості можна визначити обчислювач будь-якого порядку?

Дії над матрицями(схема 2)

На безлічі матриць визначено ряд операцій, основними серед яких є такі:

1) транспонування - Заміна рядків матриці на стовпці, а стовпців на рядки;

2) множення матриці на число проводиться поелементно, тобто , де , ;

3) додавання матриць, визначене тільки для матриць однієї розмірності;

4) множення двох матриць, визначене лише узгоджених матриць.

Сумою (різницею) двох матриць називається така результуюча матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі (різниці) відповідних елементів матриць-складників.

Дві матриці називаються узгодженими якщо кількість стовпців першої з них дорівнює кількості рядків іншого. Добутком двох узгоджених матриць і називається така результуюча матриця , що , (1.4)

де , . Звідси випливає, що елемент -ого рядка і -го стовпця матриці дорівнює сумі попарних творів елементів -ого рядка матриці на елементи -го стовпця матриці.

Добуток матриць не комутативно, тобто А . У В . А. Виняток становить, наприклад, добуток квадратних матриць на одиничну А . Е = Е . А.

приклад 1.1.Перемножити матриці A та B, якщо:

.

Рішення.Так як матриці узгоджені (кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці), то скористаємося формулою (1.4):

Запитання для самоперевірки.

1. Які дії здійснюються над матрицями?

2. Що називається сумою (різницею) двох матриць?

3. Що називається добутком двох матриць?

Метод Крамера розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь (схема 3)

Дамо низку необхідних визначень.

Система лінійних рівняньназивається неоднорідний , якщо хоча б один її вільний член відмінний від нуля, та однорідний якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю.

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел, який, будучи підставленим замість змінних у систему, перетворює кожне її рівняння на тотожність.

Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення, та несумісний якщо вона рішень не має.

Спільна система рівнянь називається певною якщо вона має єдине рішення, і невизначеною якщо вона має більше одного рішення.

Розглянемо неоднорідну квадратну системулінійних рівнянь алгебри, що має наступний загальний вигляд:

. (1.5) Головною матрицею системи лінійних рівнянь алгебри називається матриця, складена з коефіцієнтів, що стоять при невідомих: .

Визначник головної матриці системи називається головним визначником і позначається.

Допоміжний визначник виходить з головного визначника шляхом заміни стовпця на стовпець вільних членів.

Теорема 1.1 (теорема Крамера).Якщо головний визначник квадратної системи лінійних рівнянь алгебри відмінний від нуля, то система має єдине рішення, що обчислюється за формулами:

Якщо головний визначник, то система або має нескінченна безлічрішень (при всіх нульових допоміжних визначниках), або взагалі рішення не має (за відмінності від нуля хоча б одного з допоміжних визначників)

У світлі наведених вище визначень теорема Крамера може бути сформульована інакше: якщо головний визначник системи лінійних рівнянь алгебри відмінний від нуля, то система є спільною певною і при цьому ; якщо головний визначник нульової, то система є або спільною невизначеною (за всіх ), або несумісною (за відмінності хоча б одного з нуля).

Після цього слід провести перевірку одержаного рішення.

приклад 1.2.Вирішити систему методом Крамера

Рішення.Оскільки головний визначник системи

відмінний від нуля, система має єдине рішення. Обчислимо допоміжні визначники

Скористайтеся формулами Крамера (1.6): , ,

Запитання для самоперевірки.

1. Що називається розв'язком системи рівнянь?

2. Яка система рівнянь називається спільною, несумісною?

3. Яка система рівнянь називається певною, невизначеною?

4. Яка матриця системи рівнянь називається головною?

5. Як обчислити допоміжні визначники системи лінійних рівнянь алгебри?

6. У чому полягає суть методу Крамера розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри?

7. Якою може бути система лінійних рівнянь алгебри, якщо її головний визначник дорівнює нулю?

Розв'язання квадратних систем лінійних рівнянь алгебри методом зворотної матриці (схема 4)

Матриця, що має відмінний від нуля визначник, називається невиродженою ; має визначник рівний нулю – виродженою .

Матриця називається зворотною для заданої квадратної матриці якщо при множенні матриці на зворотну їй як праворуч, так і зліва, виходить одинична матриця, тобто . (1.7)

Зауважимо, що в даному випадку добуток матриць і комутативно.

Теорема 1.2.Необхідним та достатньою умовоюіснування зворотної матриці для заданої квадратної матриці, є відмінність від нуля визначника заданої матриці

Якщо головна матриця системи виявилася під час перевірки виродженою, то неї немає зворотної, і аналізований метод застосувати не можна.

Якщо головна матриця невироджена, тобто визначник 0, для неї можна знайти зворотну матрицю за наступним алгоритмом.

1. Обчислити додатки алгебри всіх елементів матриці .

2. Виписати знайдені додатки алгебри в матрицю транспоновано.

3. Скласти зворотну матрицю за такою формулою: (1.8)

4. Зробити перевірку правильності знайденої матриці А-1 згідно з формулою (1.7). Зауважимо, що дана перевіркаможе бути включена в підсумкову перевірку рішення системи.

Система (1.5) лінійних рівнянь алгебри може бути представлена ​​у вигляді матричного рівняння: , де - головна матриця системи, - стовпець невідомих, - стовпець вільних членів. Помножимо це рівняння зліва на зворотну матрицю, отримаємо:

Так як за визначенням зворотної матриці, то рівняння набуває вигляду або . (1.9)

Таким чином, щоб вирішити квадратну систему лінійних рівнянь алгебри потрібно стовпець вільних членів помножити зліва на матрицю, зворотну для головної матриці системи. Після цього слід перевірити отримане рішення.

приклад 1.3.Вирішити систему методом зворотної матриці

Рішення.Обчислимо головний визначник системи

. Отже, матриця невироджена та зворотна до неї матриця існує.

Знайдемо алгебраїчні доповнення всіх елементів головної матриці:

Запишемо додатки алгебри транспоновано в матрицю

. Скористаємося формулами (1.8) та (1.9) для знаходження рішення системи

Запитання для самоперевірки.

1. Яка матриця називається виродженою, невиродженою?

2. Яка матриця називається зворотною для заданої? Яка умова її існування?

3. Яким є алгоритм знаходження зворотної матриці для заданої?

4. Якому матричного рівнянняеквівалентна система лінійних рівнянь алгебри?

5. Як вирішити систему лінійних рівнянь алгебри за допомогою зворотної матриці для головної матриці системи?

Дослідження неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри(схема 5)

Дослідження будь-якої системи лінійних рівнянь алгебри починається з перетворення її розширеної матриці методом Гаусса. Нехай розмірність головної матриці системи дорівнює.

Матриця називається розширеною матрицею системи , якщо поруч із коефіцієнтами при невідомих, вона містить стовпець вільних членів. Отже, розмірність дорівнює .

Метод Гауса заснований на елементарні перетворення , до яких належать:

- Перестановка рядків матриці;

- множення рядків матриці на відмінне від керма число;

- поелементне складання рядків матриці;

- Викреслення нульового рядка;

– транспонування матриці (у разі перетворення виробляються по стовпцям).

Елементарні перетворення приводять початкову систему до системи, еквівалентної їй. Системи називаються еквівалентними якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень.

Рангом матриці називається найвищий порядоквідмінних від нуля її мінорів. Елементарні перетворення рангу матриці не змінюють.

На питання про наявність рішень у не однорідної системилінійних рівнянь відповідає така теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капеллі).Неоднорідна система лінійних рівнянь алгебри спільна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу її головної матриці, тобто.

Позначимо кількість рядків, що залишилися в матриці після методу Гауса, через (відповідно, в системі залишається рівнянь). Ці рядки матриці називаються базисними .

Якщо , то система має єдине рішення (є спільною певною), її матриця елементарними перетвореннями наводиться до трикутного вигляду. Таку систему можна вирішити методом Крамера, за допомогою зворотної матриці або універсальним методомГауса.

Якщо (кількість змінних у системі більша ніж рівнянь), матриця елементарними перетвореннями наводиться до східчастого вигляду. Така система має безліч рішень та є спільною невизначеною. У разі для знаходження рішень системи необхідно виконати ряд операцій.

1. Залишити у лівих частинах рівнянь системи невідомих ( базисні змінні ), решту невідомих перенести на праві частини ( вільні змінні ). Після поділу змінних на базисні та вільні системинабуває вигляду:

. (1.10)

2. З коефіцієнтів при базисних змінних скласти мінор ( базисний мінор ), який має бути відмінний від нуля.

3. Якщо базисний мінор системи (1.10) дорівнює нулю, то одну з базисних змінних замінити на вільну; отриманий базисний мінор перевірити на відміну від нуля.

4. Застосовуючи формули (1.6) методу Крамера, вважаючи праві частини рівнянь їх вільними членами, знайти вираз базисних змінних через вільні в загальному вигляді. Отриманий упорядкований набір змінних системи є її загальним рішенням .

5. Надаючи вільним змінним (1.10) довільні значення, обчислити відповідні значення базисних змінних. Отриманий упорядкований набір значень всіх змінних називається приватним рішенням системи, що відповідає даним значенням вільних змінних. Система має безліч приватних рішень.

6. Отримати базисне рішення системи – приватне рішення, одержуване за нульових значень вільних змінних.

Зауважимо, що кількість базисних наборів змінних системи (1.10) дорівнює числу поєднань з елементів елементів . Так як кожному базисному набору змінних відповідає своє базисне рішення, отже, базисних рішень у системи також.

p align="justify"> Однорідна система рівнянь завжди спільна, так як має хоча б одне - нульове (тривіальне) рішення. Для того щоб однорідна система лінійних рівнянь зі змінними мала ненульові рішення, необхідно і достатньо, щоб її головний визначник дорівнював нулю. Це означає, що ранг її головної матриці менше числаневідомих. У цьому випадку дослідження однорідної системи рівнянь на загальне та приватні рішення проводиться аналогічно до дослідження неоднорідної системи. Рішення однорідної системи рівнянь мають важливим властивістю: якщо відомі два різних рішеньоднорідної системи лінійних рівнянь, їх лінійна комбінація також є рішенням цієї системи. Неважко переконатися у справедливості наступної теореми.

Теорема 1.4.Загальне рішення неоднорідної системи рівнянь є сумою загального рішення відповідної однорідної системи та деякого приватного розв'язання неоднорідної системи рівнянь

приклад 1.4.

Дослідити задану систему та знайти одне приватне рішення:

Рішення.Випишемо розширену матрицю системи та застосуємо до неї елементарні перетворення:

. Так як і , то за теоремою 1.3 (Кронекера-Капеллі) задана системалінійних рівнянь алгебри спільна. Кількість змінних, тобто, значить, система є невизначеною. Кількість базисних наборів змінних системи дорівнює

. Отже, базовими можуть бути 6 комплектів змінних: . Розглянемо один із них. Тоді систему, отриману внаслідок методу Гауса, можна переписати як

. Головний визначник . За допомогою методу Крамер шукаємо загальне рішення системи. Допоміжні визначники

За формулами (1.6) маємо

. Дане вираз базисних змінних через вільні є загальним рішенням системи:

При конкретних значенняхвільних змінних із загального рішення одержуємо приватне рішення системи. Наприклад, приватне рішення відповідає значенням вільних змінних . При отримуємо базисне рішення системи

Запитання для самоперевірки.

1. Яка система рівнянь називається однорідною, неоднорідною?

2. Яка матриця називається розширеною?

3. Перерахуйте основні елементарні перетворення матриць. Який метод розв'язання систем лінійних рівнянь ґрунтується на цих перетвореннях?

4. Що називається рангом матриці? Яким чином його можна обчислити?

5. Про що говорить теорема Кронекера-Капеллі?

6. До якого виду може бути наведена система лінійних рівнянь алгебри в результаті її вирішення методом Гауса? Що це означає?

7. Які рядки матриці називаються базисними?

8. Які змінні системиназиваються базисними, які вільними?

9. Яке рішення неоднорідної системи називається приватним?

10. Яке її рішення називається базисним? Скільки базових рішень має неоднорідна система лінійних рівнянь?

11. Яке рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри називається загальним? Сформулюйте теорему про загальному рішеннінеоднорідної системи рівнянь.

12. Які основні властивості розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь алгебри?

Зауважимо, що елементами матриці можуть бути не лише числа. Уявімо, що ви описуєте книги, які стоять на вашій книжковій полиці. Нехай у вас на полиці порядок і всі книги стоять на строго певних місцях. Таблиця , яка міститиме опис вашої бібліотеки (по полицях і слідування книг на полиці), теж буде матрицею. Але така матриця буде не числовою. Інший приклад. Замість чисел стоять різні функціїоб'єднані між собою деякою залежністю. Отримана таблиця також називатиметься матрицею. Іншими словами, Матриця, це будь-яка прямокутна таблиця, складена з одноріднихелементів. Тут і далі ми говоритимемо про матриці, складені з чисел.

Замість круглих дужок для запису матриць застосовують квадратні дужки або прямі подвійні вертикальні лінії

(2.1*)

Визначення 2. Якщо у виразі(1) m = n, то говорять про квадратної матриці, а якщо , то про прямокутної.

Залежно від значень m та n розрізняють деякі спеціальні видиматриць:

Найважливішою характеристикою квадратнийматриці є її визначникабо детермінант, Що складається з елементів матриці і позначається

Очевидно, що D E = 1; .

Визначення 3. Якщо , то матриця A називається невиродженою або не особливою.

Визначення 4. Якщо detA = 0, то матриця A називається виродженою або особливою.

Визначення 5. Дві матриці A і B називаються рівними та пишуть A = B, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні елементи рівні, тобто.

Наприклад, матриці та рівні, т.к. вони дорівнюють за розміром і кожен елемент однієї матриці дорівнює відповідному елементу іншої матриці. А ось матриці і не можна назвати рівними, хоча детермінанти обох матриць рівні, і розміри матриць однакові, але не всі елементи, що стоять на тих самих місцях рівні. Матриці та різні, тому що мають різний розмір. Перша матриця має розмір 2х3, а друга 3х2. Хоча кількість елементів однакова - 6 і самі елементи однакові 1, 2, 3, 4, 5, 6, але вони стоять на різних місцях у кожній матриці. А ось матриці і дорівнюють, згідно з визначенням 5.

Визначення 6. Якщо зафіксувати кілька стовпців матриці A і така сама кількість ee рядків, тоді елементи, що стоять на перетині зазначених стовпців і рядків утворюють квадратну матрицю n - го порядку, визначник якої називається мінором k – го порядку матриці A.

приклад. Виписати три мінори другого порядку матриці

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що складається з m однакової довжини рядків або n однакової довжини стовпців.

aij- елемент матриці, який знаходиться в i -ому рядку та j -м стовпці.

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літероюнаприклад, Аабо У.

У загальному вигляді матрицю розміром m× nзаписують так

Приклади:

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратний, причому число її рядків або стовпців називається порядкомматриці. У наведених прикладах квадратними є друга матриця – її порядок дорівнює 3, і четверта матриця – її порядок 1.

Матриця, в якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутної. У прикладах це перша матриця та третя.

Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче за головну діагональ, рівні нулю, називається трикутноїматрицею.

.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім, можливо, стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональноїматрицею. Наприклад, або .

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

назад до змісту

(36) 85. Що таке лінійні операції над матрицями? приклади.

У всіх випадках, коли вводяться нові математичні об'єкти, необхідно домовлятися про правила дій над ними, а також визначити - які об'єкти вважаються рівними між собою.

Природа об'єктів не має жодного значення. Це можуть бути речові чи комплексні числа, вектори, матриці, рядки чи щось інше.

До стандартних дій ставляться лінійні операції, А саме: множення на число та додавання; в даному конкретному випадку - множинні матриці на число та додавання матриць.

При множенні матриці на число кожен матричний елемент множиться на це число, а додавання матриць має на увазі попарне додавання елементів, розташованих в еквівалентних позиціях.

Термінологічний вираз "лінійна комбінація<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Матриці A = || a i j|| і B = || a i j|| вважаються рівними, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні матричні елементи попарно рівні:

Додавання матрицьОперація додавання визначена лише для матриць однакових розмірів. Результатом складання матриць A = | a i j|| і B = | b i j|| є матриця C = | c i j|| , елементи якої дорівнюють сумі відповідних матричних елементів.

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціта основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити із матрицями. З чого почати знайомство із матрицями? Звичайно, з найпростішого - визначень, основних понять та найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють усі, хто приділить їм хоч трохи часу!

Визначення матриці

Матриця- Це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою – таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються великими латинськими літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядки та матриці-стовпці, які називають векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків та стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n , де m – кількість рядків, а n - Кількість стовпців.

Елементи, для яких i=j (a11, a22, .. ) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити із матрицями? Складати/віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції складання та віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати лише матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – достатньо лише скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо складання двох матриць A і розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожен її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться в повному обсязі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити одна на одну тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. При цьому кожен елемент матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумі творів відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад із реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки та стовпці змінюються місцями. Наприклад, транспонуємо матрицю A з першого прикладу:

Визначник матриці

Визначник, про детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди вигадали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У результаті, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що останній ривок!

Визначник – це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна на вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто що складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут уже складніше, але можна впоратися.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі творів елементів головної діагоналі і творів елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної головної діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі і добуток елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів практично доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції з матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або навпаки - зіткнутися з набагато складнішими випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтеся за допомогою, отримуйте якісне та докладне рішення, насолоджуйтесь успіхами у навчанні та вільним часом.

Матрицеюрозміру m ? nназивається прямокутна таблиця чисел, що містять m рядків та n стовпців. Числа, що становлять матрицю, називаються елементамиматриці.

Матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту ( A, B, C ...), А для позначення елементів матриці використовуються малі літери з подвійною індексацією:

Де i- номер рядка, j- Номер стовпця.

Наприклад, матриця

Або в скороченому записі, A = (); i=1,2…, m; j=1,2, …, n.

Використовуються інші позначення матриці, наприклад: , ? ?.

Дві матриці Аі Уодного розміру називаються рівними, якщо вони збігаються поелементно, тобто. = , де i= 1, 2, 3, …, m, а j= 1, 2, 3, …, n.

Розглянемо основні типи матриць:

1. Нехай m = n, тоді матриця А – квадратна матриця, яка має порядок n:

Елементи утворюють головну діагональ, елементи утворюють побічну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі її елементи, крім, можливо, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю:

Діагональна, а значить квадратна, матриця називається одиничноюякщо всі елементи головної діагоналі рівні 1:

Зауважимо, що одинична матриця є матричним аналогом одиниці у багатьох дійсних чисел, а також підкреслимо, що одинична матриця визначається тільки для квадратних матриць.

Наведемо приклади одиничних матриць:

Квадратні матриці

називаються верхньою та нижньою трикутними відповідно.

• 2. Нехай m= 1, тоді матриця А- матриця-рядок, що має вигляд:
• 3. Нехай n=1, тоді матриця А- матриця-стовпець, яка має вигляд:

4. Нульовою матрицею називається матриця порядку mn, всі елементи якої дорівнюють 0:

Зауважимо, що нульова матриця може бути квадратною, матрицею-рядком або матрицею-стовпцем. Нульова матриця є матричний аналог нуля в багатьох дійсних чисел.

5. Матриця називається транспонованою до матриці та позначається, якщо її стовпці є відповідними за номером рядками матриці.

приклад. Нехай

Зауважимо, якщо матриця Амає порядок mn, то транспонована матриця має порядок nm.

6. Матриця А називається симетричною, якщо А=, та кососиметричною, якщо А = .

приклад. Дослідити на симетричність матриці Аі У.

отже, матриця А- симетрична, оскільки А =.

отже, матриця У- кососиметрична, оскільки В = -.

Зауважимо, що симетрична та кососиметрична матриці завжди квадратні. На головній діагоналі симетричної матриці можуть стояти будь-які елементи, а симетрично щодо головної діагоналі повинні стояти однакові елементи, тобто На головній діагоналі кососиметричної матриці завжди стоять нулі, а симетрично щодо головної діагоналі

матриця квадратний лаплас анулювання