Знаходження значення виразу, приклади, рішення. Раціональні способи обчислення значень виразів

МБОУ ЗОШ №5 – «Школа здоров'я та розвитку» м. Райдужний Розв'язання завдань В7 ступеня та коріння за матеріалами відкритого банку завдань ЄДІ з математики 2013 Автор: вчитель математики Є.Ю. Семенова Завдання відкритого банку завдань 1. Знайдіть значення виразу 652 - 562. Рішення. 652  562  (65  56)(65  56)  9  121  3  11  33. 2 7  . 2 2. Знайдіть значення виразу Рішення. 2 7  2 14  14 4  7 28   2. 14 14 3. Знайдіть значення виразу Рішення.  13  7  13  7   2 2  13  7  13  13  7  13  7  6. 7 . Завдання відкритого банку задач 4. Знайдіть значення виразу 50,36  250,32 . Рішення.   50,36  250,32  50,36  52 0,32  50,36  50,64  50,360,64  51 5. . 9 Рішення. 36,5 36,5 36,5 6,5 4,5 2    3  3  9. 2,25 2,25 4,5 2 9 3 3   4 9 5 18 6. Знайдіть значення 7  49 . Рішення. 4 9 5 18 7  49 4 9   5 2 18 7  7 4 9 5 9  7 7  7 4 5  9 9 9 9  7 2 35,5 7. Знайдіть значення виразу. 64,5 Рішення. 23,5  35,5 23,5  35,5 23,5  35,5 3 3,5  4,5 5,5  4,5 1 1    2  3  2   1,5. 4,5 4,5 4,5 4,5 6 2 3 2 2  3 8. Знайдіть значення виразу 35 4,7  75,7: 5 3,7 . Рішення. 35 4,7  75,7: 5 3,7  5  7  4,7  5 4,73,7  7 4,75,7  75,7  53,7 5 4,7 7 4,7 75,7 53,7 7 5 1 71 1,4. 5 2,8  4,2 9. Знайдіть значення виразу Рішення. 2,8  4,2 2,8  4,2 28  42    49  7. 0, 24 24 0,24 0,24 . Завдання відкритого банку задач 10. Знайдіть значення виразу Рішення.  6 5 3  3  1 : .   7 7 28    27  27 6 5 3 12  3 12  28  3  1 :       :        7 7  28  7 7  28  7 7  3  27 28 12 28 27  28 12  28       9  4  4 3 11. Знайдіть значення виразу Рішення. 9 9 7  18 7 . 6 7 7  18 7 18 72  18 7 18 72  7 18 73 18     1  1. 3 3 6 18 3 7 7 7 7 Завдання. 5 5 10  5 16 . 5 5 10  5 16 5 10  16 5   32  2. 5 5 5  13 14 2 2 13. Знайдіть значення виразу  12 2    2 2  12 2   1 3 1 4 2    2 2    1   212 .    1 1 1 2 4 31 2 1 2  3  4 12   12   2       2   2.  2  2                 Завдання відкритого банку завдань  2 5 14. Знайдіть значення виразу  109  Рішення.  3 5 2 15 3  2  5   109 3 5      2   3 15 5     5     29  59 2 3 15   .   2 15 3     29  510  9 9  5. 2 5 1 7 2 7 6 7 15. Знайдіть значення виразу 0,8  5 . Рішення. 1 7 2 7 6 7 1 7 2 7 1 7 2 7 6 7 6 7 6 4 5 4 5 4 0,8  5  20     5 4  5  20. 1 5 57 Завдання відкритого банку завдань  13  7  16. Знайдіть значення виразу. 2 10  91 Рішення.  13  7  10  91  2 2  2 13  2 13 7  7 13  2 91  7   10  91 10  91   20  2 91 2 10  91   2. 10  91 10  91 17. Знайдіть значення виразу 5  3 9  6 9. Рішення. 5  3 9  6 9  5  6 92  6 9  5  6 92  9  5  6 93  5  9  5  . 495,2. 7 8,4   5,2 495,2 72 710,4 10,48,4 2    7  7  49. 78,4 78,4 78,4 19. Знайдіть значення виразу Решення. 5a   6b  30a b  2 3 2 3 2 5a   6b  30a b  2 6 2 6  2 2 6 2  5. 302  a 6  b 2 5  6 a b 2 3 2 . Завдання відкритого банку задач 20. Знайдіть значення виразу Рішення.    11m  3m  7m 5 6 3 10 15 2 x 10  2x 4 3 10 15 2 7m 30  11m 30 18m 3 . 3x 3  x 9    11m  3m  7m 5 6 33  x 3  x 9 27x 6 27  10  . 4 6 x  2x 2x 2 3x 3  x 9 . x 10  2x 4 . Завдання відкритого банку задач 22. Знайдіть значення виразу Рішення. a 2b -6 16  3 -2 -1 - 4 . 4a  b a b a 2b 6 16 a 2b 6  16 16a 2b 6 1  1 4    . 3 −2 3 −2 −1 − 4 2 −6 a b 64 a b  a b 64 a b 4 4a  b 23. Знайдіть значення виразу Рішення. 2x   x  : 3x 3 4 2 6 12  16x  12  x 12 3x 12   1 2 3 12  . Завдання відкритого банку задач 24. Знайдіть значення виразу x  x 2  4x  4 при х  2. Рішення. x  x 2  4x  4  x  x  22 Т.к. при х  2  x  x  2  x  x  2  2, x  2  x  2. 25. Знайдіть значення виразу 11a 6   b 3  3a. 11a 6   b 3  3a 2b   : 4a b  3 6 6   : 4a b  3 6 6 3 6 6 3 6 6  3 , 6 6 6 6 4a b 4a b b Т.к. b = 2, то 4  0,5. 3 2

А. 3040 нар. Б. 304 p. Ст 1600 р. Р. 3100 p. 3. Учні класу у середньому виконали по 7,5 завдання із запропонованого тесту. Максим виконав 9 завдань. На скільки відсотків його результат вищий за середній? Відповідь: _________ 4. Ряд складається з натуральних чисел. Яка з наступних статистичних характеристикне може виражатися дробовим числом? А. Середнє арифметичне Б. Мода В. Медіана Г. Такої характеристики серед даних немає 5. Яке з рівнянь не має коріння? A. x = x Б. x = 6 В. x = 0 Г. x = -5 6. На координатній прямій відзначені числа А і В (рис. 35). Порівняйте числа -А і В. А. -А< В Б. –А >В В. –А = В Р. Порівняти неможливо 7. Спростіть вираз a (a – 2) – (a – 1)(а + 1). Відповідь: _________ 8. Значення яких змінних треба знати, щоб знайти значення виразу (5а – 2b)(5а + 2b) – 4b (3а – b) + 6а (2b – 1)? А. а та b Б. а В. b Г. Значення виразу не залежить від значень змінних 9. Розв'яжіть рівняння (x – 2)2 + 8x = (х – 1)(1 + х). Відповідь: _________ 10. Розв'яжіть систему рівнянь ( 3x−2y=5, 5x+6y=27. Відповідь: _________ 11. За 3 год їзди на автомобілі та 4 год їзди на поїзді туристи проїхали 620 км, причому швидкість поїзда була на 10 км /год більше швидкостіавтомобіля. Які швидкість поїзда та швидкість автомобіля? Позначивши через x км/год швидкість автомобіля і через км/год швидкість поїзда, склали системи рівнянь. Яка з них складена правильно? А. ( 3x+4y=620, x−y=10 Б. ( 3x+4y=620, y−x=10 В. ( 4x+3y=620, x−y=10 Р. ( 4x+3y=620) , y−x=10 12. Яка з точок не належить графіку функції у = –0,6x + 1 А. (3; –0,8) Б. (–3; 0,8) B. (2; 0,2) Р. (–2; 2,2) 13. У якій координатній чверті немає жодної точки графіка функції у = –0,6x + 1,5? лінійну функцію, Графік якої перетинає вісь х в точці (2; 0) і вісь у в точці (0; 7). Відповідь: _________ Варіант 2 1. Знайдіть значення виразу x x−2 якщо x = 2,25. Відповідь: _________ 2. Товар коштував 1600 грн. Скільки коштував товар після підвищення ціни на 5%? А. 1760 р. Б. 1700 нар. В. 1605 р. Р. 1680 нар. 3. За зміну токарі цеху обробили загалом по 12,5 деталей. Петров обробив за цю зміну 15 деталей. На скільки відсотків його результат вищий за середній? Відповідь: ____________ 4. У ряді даних усі числа цілі. Яка з наведених нижче характеристик не може виражатися дробовим числом? А. Середнє арифметичне Б. Мода В. Медіана Г. Такої характеристики серед даних немає 5. Яке з рівнянь не має коріння? A. x = 0 Б. x = 7 В. x = -x Г. x = -6 6. На координатній прямій відзначені числа В і С (рис. 36). Порівняйте числа і -С. А. В > -З Б. B< –С В. В = –С Г. Сравнить невозможно 7. Упростите выражение х (х – 6) – (х – 2)(х + 2). Ответ: ___________ 8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (3х – 4у)(3х + 4у) – 3х (3х – у) + 3у (1 – х)? А. x Б. у В. x и у Г. Значение выражения не зависит от значений переменных 9. Решите уравнение (х + 3)2 – х = (х – 2)(2 + x). Ответ: ___________ 10. Решите систему уравнений { 2x+5y=−1, 3x−2y=8. Ответ: ___________ 11. Масса 5 см3 железа и 10 см3 меди равна 122 г. Масса 4 см3 железа більше маси 2 см3 міді на 14,6 г. Які щільність заліза та щільність міді? Позначивши через x г/см3 щільність заліза і через г/см3 щільність міді, склали системи рівнянь. Яка із систем складена правильно? А. (5x+10y=122, 4x−2y=14,6 Б. (5x+10y=122, 4y−2x=14,6 Ст) (10x+5y=122, 4x−2y=14,6 Р.) ( 10x+5y=122, 4y−2x=14,6 12. Яка з точок не належить графіку функції у = –1,2x – 1,4? А. (–1; –0,2) Б. (–2 1) У. (0; –1,4) Р. (–3; 2,2) 13. У якій координатної чверті немає жодної точки графіка функції у = 1,8x – 7,2? Задайте формулою лінійну функцію, графік якої перетинає вісь x у точці (–4; 0) та вісь у у точці (0; 3).

Отже, якщо числове вираз складено з чисел і знаків +, −, · і:, то по порядку зліва направо потрібно спочатку виконати множення та поділ, а потім – додавання та віднімання, що дозволить знайти потрібне значення виразу.

Наведемо рішення прикладів пояснення.

приклад.

Обчисліть значення виразу 14−2·15:6−3.

Рішення.

Щоб знайти значення виразу, потрібно виконати всі вказані в ньому дії відповідно до прийнятого порядку виконання цих дій. Спочатку по порядку зліва направо виконуємо множення та поділ, отримуємо 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Тепер також по порядку зліва направо виконуємо дії, що залишилися: 14−5−3=9−3=6 . Так ми виявили значення вихідного виразу, воно дорівнює 6 .

Відповідь:

14−2·15:6−3=6 .

приклад.

Знайдіть значення виразу.

Рішення.

У даному прикладінам спочатку потрібно виконати множення 2 · (-7) і поділ з множенням у виразі . Згадавши, як виконується , знаходимо 2·(−7)=−14 . А для виконання дій у виразі спочатку , після чого , і виконуємо: .

Підставляємо отримані значення вихідне выражение: .

А що робити, коли під знаком кореня знаходиться числове вираження? Щоб отримати значення такого кореня, потрібно спочатку знайти значення підкореного виразу, Дотримуючись прийнятого порядку виконання дій. Наприклад, .

У числових виразах коріння слід сприймати як деякі числа, і коріння доцільно відразу замінити їх значеннями, після чого знаходити значення отриманого виразу без коріння, виконуючи дії прийнятої послідовності.

приклад.

Знайдіть значення виразу з корінням.

Рішення.

Спочатку знайдемо значення кореня . Для цього, по-перше, обчислимо значення підкореного виразу, маємо −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. А по-друге, знаходимо значення кореня.

Тепер обчислимо значення другого кореня з вихідного виразу: .

Нарешті, ми можемо визначити значення вихідного висловлювання, замінивши коріння їх значеннями: .

Відповідь:

Досить часто, щоб стало можливо знайти значення виразу з корінням, попередньо доводиться проводити його перетворення. Покажемо рішення прикладу.

приклад.

Яке значення виразу .

Рішення.

Ми не маємо можливості замінити корінь із трьох його точним значенням, що не дозволяє нам обчислити значення цього виразу описаним вище способом. Однак ми можемо обчислити значення цього виразу, виконавши нескладні перетворення. Застосуємо формулу різниці квадратів: . Враховуючи , отримуємо . Таким чином, значення вихідного виразу дорівнює 1.

Відповідь:

.

Зі ступенями

Якщо основа і показник ступеня є числами, їх значення обчислюється за визначенням ступеня, наприклад, 3 2 =3·3=9 чи 8 −1 =1/8 . Зустрічаються також записи, коли основа та/або показник ступеня є деякими виразами. У цих випадках потрібно знайти значення виразу на підставі, значення виразу в показнику, після чого обчислити значення самого ступеня.

приклад.

Знайдіть значення виразу зі ступенями виду 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Рішення.

У вихідному вираженні два ступені 2 3 4-10 і (1-1/2) 3,5-2 1/4 . Їх значення необхідно обчислити до виконання інших процесів.

Почнемо зі ступеня 2 3 · 4-10. У її показнику знаходиться числове вираз, обчислимо його значення: 3 · 4-10 = 12-10 = 2 . Тепер можна знайти значення самого ступеня: 2 3 · 4-10 = 2 2 = 4 .

В основі та показнику ступеня (1-1/2) 3,5-2·1/4 знаходяться вирази, обчислюємо їх значення, щоб потім знайти значення ступеня. Маємо (1−1/2) 3,5−2·1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Тепер повертаємося до вихідного виразу, замінюємо у ньому ступеня їх значеннями, і знаходимо потрібне нам значення виразу: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Відповідь:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Варто зауважити, що найпоширеніші випадки, коли доцільно провести попереднє спрощення виразу зі ступенямина базі .

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Судячи з показників ступенів, що знаходяться в даному виразі, точні значенняступенів отримати не вдасться. Спробуємо спростити вихідний вираз, можливо це допоможе визначити його значення. Маємо

Відповідь:

.

Ступені у виразах часто йдуть рука об руку з логарифмами, але про знаходження значень виразів з логарифмами ми поговоримо в одному з .

Знаходимо значення виразу з дробами

Числові вирази у своєму записі можуть містити дроби. Коли потрібно знайти значення подібного виразу, дроби, відмінні від звичайних дробів, слід замінити їх значеннями перед виконанням інших дій.

У чисельнику і знаменнику дробів (які від звичайних дробів) можуть бути як деякі числа, і висловлювання. Щоб обчислити значення такого дробу, потрібно обчислити значення виразу в чисельнику, обчислити значення виразу в знаменнику, після чого обчислити значення самого дробу. Такий порядок пояснюється тим, що дріб a/b , де a і b – деякі вирази, по суті є окремим видом (a):(b) , оскільки .

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть значення виразу з дробами .

Рішення.

У вихідному числовому вираженні три дроби та . Щоб знайти значення вихідного виразу, нам спочатку потрібно ці дроби, замінити їх значеннями. Зробимо це.

У чисельнику та знаменнику дробу знаходяться числа. Щоб знайти значення такого дробу, замінюємо дробову межу знаком поділу, і виконуємо цю дію: .

У чисельнику дробу вираз 7−2·3 , його значення знайти легко: 7−2·3=7−6=1 . Таким чином, . Можна перейти до знаходження значення третього дробу.

Третій дріб у чисельнику і знаменнику містить числові вирази, тому спочатку потрібно обчислити їх значення, а це дозволить знайти значення самого дробу. Маємо .

Залишилося підставити знайдені значення у вихідне вираз, і виконати дії, що залишилися: .

Відповідь:

.

Часто при знаходженні значень виразів із дробами доводиться виконувати спрощення дробових виразів , що базується на виконанні дій з дробами та на скороченні дробів.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Корінь з п'яти націло не витягується, тому знаходження значення вихідного висловлювання спочатку спростимо його. Для цього позбавимося ірраціональності в знаменникупершого дробу: . Після цього вихідний вираз набуде вигляду . Після віднімання дробів пропаде коріння, що дозволить визначити значення спочатку заданого выражения: .

Відповідь:

.

З логарифмами

Якщо числове вираз містить , і якщо є можливість позбутися їх, це робиться перед виконанням інших дій. Наприклад, при знаходженні значення виразу log 2 4+2·3 , логарифм log 2 4 замінюється його значенням 2 після чого виконуються інші дії в звичайному порядку, тобто, log 2 4+2·3=2+2·3=2 +6=8.

Коли під знаком логарифму та/або в його підставі знаходяться числові вирази, то спочатку знаходяться значення, після чого обчислюється значення логарифму. Наприклад розглянемо вираз із логарифмом виду . В основі логарифму та під його знаком знаходяться числові вирази, знаходимо їх значення: . Тепер знаходимо логарифм, після чого завершуємо обчислення: .

Якщо ж логарифми не обчислюються точно, то знайти значення вихідного виразу може допомогти його спрощення з використанням . При цьому потрібно добре володіти матеріалом статті перетворення логарифмічних виразів.

приклад.

Знайдіть значення виразу з логарифмами .

Рішення.

Почнемо з обчислення log 2 (log 2256) . Оскільки 256=2 8 , то log 2 256=8 , отже, log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Логарифми log 6 2 та log 6 3 можна згрупувати. Сума логарифмів log 6 2+log 6 3 дорівнює логарифму добутку log 6 (2·3) , таким чином, log 6 2+log 6 3=log 6 (2·3)=log 6 6=1.

Тепер розберемося з дробом. Для початку основу логарифму в знаменнику перепишемо у вигляді звичайного дробуяк 1/5 , після чого скористаємось властивостями логарифмів, що дозволить нам отримати значення дробу:
.

Залишилося лише підставити отримані результати у вихідний вираз і закінчити знаходження його значення:

Відповідь:

Як знайти значення тригонометричного виразу?

Коли числове вираз містить або т.п., їх значення обчислюються перед виконанням інших дій. Якщо під знаком тригонометричних функційстоять числові вирази, спочатку обчислюються їх значення, після чого знаходяться значення тригонометричних функцій.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Звернувшись до статті, отримуємо та cosπ=−1 . Підставляємо ці значення у вихідний вираз, воно набуває вигляду . Щоб визначити його значення, спочатку необхідно виконати зведення на ступінь, після чого закінчити обчислення: .

Відповідь:

.

Варто зазначити, що обчислення значень виразів із синусами, косинусами тощо. часто вимагає попереднього перетворення тригонометричного виразу .

приклад.

Чому дорівнює значення тригонометричного виразу .

Рішення.

Перетворимо вихідний вираз, використовуючи , даному випадкунам потрібна формула косинуса подвійного кутата формула косинуса суми:

Зроблені перетворення допомогли нам знайти значення виразу.

Відповідь:

.

Загальний випадок

У загальному випадкучислове вираз може містити і коріння, і ступеня, і дроби, і якісь функції, і дужки. Знаходження значень таких виразів полягає у виконанні наступних дій:

• спочатку коріння, ступеня, дроби тощо. замінюються їх значеннями,
• далі дії у дужках,
• і по порядку зліва направо виконується дії, що залишилися - множення і розподіл, а за ними - додавання і віднімання.

Перелічені дії виконуються до одержання кінцевого результату.

приклад.

Знайдіть значення виразу .

Рішення.

Вигляд цього виразу досить складний. У цьому вся виразі бачимо дріб, коріння, ступеня, синус і логарифм. Як знайти його значення?

Просуваючись по запису зліва направо, ми натикаємося на дріб . Ми знаємо, що під час роботи з дробами складного виглядунам потрібно окремо обчислити значення чисельника, окремо – знаменника, і, нарешті, знайти значення дробу.

У чисельнику ми маємо корінь виду . Щоб визначити його значення, спочатку треба обчислити значення підкореного виразу . Тут є синус. Знайти його значення ми зможемо лише після обчислення значення виразу . Це ми можемо зробити: . Тоді, звідки і .

Зі знаменником все просто: .

Таким чином, .

Після підстановки цього результату у вихідний вираз, воно набуде вигляду. В отриманому вираженні міститься ступінь. Щоб знайти її значення, спочатку доведеться знайти значення показника, маємо .

Отже, .

Відповідь:

.

Якщо ж немає можливості обчислити точні значення коренів, ступенів тощо, то можна спробувати позбутися їх за допомогою будь-яких перетворень, після чого повернутися до обчислення значення за вказаною схемою.

Раціональні способи обчислення значень виразів

Обчислення значень числових виразів потребує послідовності та акуратності. Так, необхідно дотримуватись послідовності виконання дій, записаної в попередніх пунктах, але не потрібно це робити сліпо та механічно. Цим хочемо сказати, що часто можна раціоналізувати процес знаходження значення висловлювання. Наприклад, значно прискорити та спростити знаходження значення виразу дозволяють деякі властивості дій з числами.

Наприклад, ми знаємо таку властивість множення: якщо один із множників у творі дорівнює нулю, те значення твори дорівнює нулю. Використовуючи цю властивість, ми можемо відразу сказати, що значення виразу 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45 · 36-2 · 4 + 456: 3 · 43) дорівнює нулю. Якби ми дотримувалися стандартного порядку виконання дій, то спочатку нам довелося б обчислювати значення громіздких виразів у дужках, а це зайняло б масу часу, і в результаті все одно вийшов би нуль.

Також зручно користуватися властивістю віднімання рівних чисел: якщо від числа відібрати рівне йому число, то в результаті вийде нуль. Цю властивість можна розглядати ширше: різницю двох однакових числових виразів дорівнює нулю. Наприклад, не обчислюючи значення виразів у дужках можна знайти значення виразу (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3), воно дорівнює нулю, так як вихідний вираз є різницею однакових виразів.

Раціональному обчисленню значень виразів можуть сприяти тотожні перетворення. Наприклад, буває корисна угруповання доданків та множників, не менш часто використовується винесення загального множника за дужки. Так значення виразу 53·5+53·7−53·11+5 дуже легко знаходиться після винесення множника 53 за дужки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Безпосереднє обчисленнязайняло б набагато більше часу.

На закінчення цього пункту звернемо увагу на раціональний підхіддо обчислення значень виразів із дробами – однакові множники у чисельнику та знаменнику дробу скорочуються. Наприклад, скорочення однакових виразів у чисельнику та знаменнику дробу дозволяє відразу знайти її значення, яке дорівнює 1/2.

Знаходження значення буквеного виразу та виразу зі змінними

Значення буквеного виразу та виразу зі зміннимизнаходиться для конкретних заданих значеньлітер та змінних. Тобто, мова йдепро знаходження значення літерного виразу для даних значень літер або знаходження значення виразу зі змінними для вибраних значень змінних.

Правилознаходження значення літерного виразу або виразу зі змінними для даних значень літер або вибраних значень змінних таке: у вихідний вираз потрібно підставити дані значення літер або змінних, та обчислити значення отриманого числового виразу, Воно і є потрібним значенням.

приклад.

Обчисліть значення виразу 0,5 x-y при x = 2,4 і y = 5 .

Рішення.

Щоб знайти необхідне значення виразу, спочатку потрібно підставити вихідне вираз дані значення змінних, після чого виконати дії: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8 .

Відповідь:

−3,8 .

На закінчення відзначимо, що іноді виконання перетворень буквених виразіві виразів зі змінними дозволяє отримати їх значення, незалежно від значень літер та змінних. Наприклад, вираз x+3−x можна спростити, після чого воно набуде вигляду 3 . Звідси можна дійти невтішного висновку, що значення виразу x+3−x дорівнює 3 будь-яких значень змінної x з її області допустимих значень (ОДЗ). Ще приклад: значення виразу дорівнює 1 для всіх позитивних значень x , так областю допустимих значеньзмінною x у вихідному виразі є безліч позитивних чисел, і у цій галузі має місце рівність .

Список літератури.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.