Операції з нечіткими множинами. Принцип роботи НПЕ

Алгебраїчний твір Aі Bпозначається ABі визначається так:

xE  AB ( x) =  A ( x) B ( x).

Алгебраїчна сума цих множин позначається і визначається так:

xE =  A ( x) +  B ( x) A ( x) B ( x).

Для операцій (, ) виконуються властивості:

- Комутативність;

- асоціативність;

A = , A  = A, AE = A, A E = E

- Теореми де Моргана.

Не виконуються:

Ідемопотентність;

- дистрибутивність;

а також A = , A = E.

Зауваження. Докази властивостей операцій над нечіткими множинамими залишаємо читачеві.

Наприклад доведемо якість: . Позначимо  A ( x) через a ,  B ( x) через b . Тоді у лівій частині для кожного елемента х маємо: 1- ab , а у правій: (1- a )+(1-b )-(1-a )(1-b ) = 1-a +1-b- 1+a +b-ab = 1-ab .

Доведемо, властивість дистрибутивності не виконується, тобто. A(B C)  (AB) (AC). Для лівої частини маємо: a (b +c-bc ) = ab +ac-abc ; для правої: ab +ac -(ab )(ac ) = ab +ac +a 2 bc . Це означає, що дистрибутивність не виконується при aa 2 .

Зауваження.При спільному використанніоперацій (, ,,) виконуються властивості:

А(BC) = (AB)(A  C);

А (BC) = (AB)(AC);

А (BC) = (AB)(AC);

А (BC)=(AB)(AC).

Продовжимо огляд основних операцій над нечіткими множинами.

На основі операції алгебраїчного твору (принаймні для цілих  ця основа очевидна) визначається операція зведення у ступінь  нечіткої множини A, де  - додатне число. Нечітка безліч Aвизначається функцією власності  A  =   A (x). Окремим випадком зведення у ступінь є:

CON(A) = A 2- Операція концентрування,

DIL(A) = A 0,5- Операція розтягування,

які використовуються під час роботи з лінгвістичними невизначеностями.

Множення на число.Якщо  - позитивне число, таке, що   A ( x) 1, то нечітка множина Aмає функцію приналежності:

A( x) = A( x).

Випукла комбінація нечітких множин.Нехай A 1 , A 2 ,.., A n - нечіткі множини універсальної множини E, а  1 ,  2 , ...,  n- Невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1.

Випуклою комбінацією A 1 , A 2 ,.., A n називається нечітка множина Aз функцією приналежності:

xE A ( x 1 , x 1 ,..., x n) =  1  A1 ( x) +  2  A2 ( x) + ... +  n  Ai ( x).

Декартове твір нечітких множин.Нехай A 1 , A 2 , ..., A n - нечіткі підмножини універсальних множин E 1 , E 2 , ..., E n відповідно. Декартове твір A = A 1  A 2  ... A n є нечітким підмножиною множини E = E 1  E 2  ...  E n з функцією приналежності:

 A ( x 1 ,x 1 , ...,x n) = min(  A1 ( x 1),  A2 ( x 2) , ... ,  Ai ( x n)).

Оператор збільшення нечіткостівикористовується для перетворення чітких множин у нечіткі і для збільшення нечіткості нечіткої множини.

Нехай A- нечітка множина, E- Універсальна безліч і для всіх xE визначено нечіткі множини K( х) . Сукупність усіх K( х) називається ядром оператора збільшення нечіткості Ф. Результатом дії оператора Фна нечітку множину A є нечітка множина виду:

Ф(A, K) =  A ( x)K( х),

де  A ( x)K( х) - Добуток числа на нечітку безліч.

приклад:

E = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1) = 1/1+0,4/2;

K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K(3) = 1/3+0,5/4;

K(4) = 1/4.

Ф(A,K) = A(1) K(1)  A(2)K(2)  A(3)K(3) A(4)K(4) =

0,8(1/1+0,4/2)  0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Чітка безліч -рівня (або рівня ) . Безліч -рівня нечіткої множини Aуніверсальної множини Eназивається чіткепідмножина A універсальної множини E, Яке визначається у вигляді:

A ={x / A(x )), де 1.

Приклад: A= 0,2/x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4

тоді A 0.3 = {x 3 ,x 4 },

A 0.7 = {x 4 }.

Досить очевидна властивість: якщо  1  2 , то A 1  A 2 .

Теорема про декомпозицію.Будь-яка нечітка безліч Aрозкладемо за його множинами рівня у вигляді:

A = A , де A - Добуток числа  на безліч A, і  "пробігає" область значень Mфункції приналежності нечіткогобезлічі A.

Приклад:A = 0,1/x 1 + 0/x 2 + 0,7/x 3 + 1/x 4 представимо у вигляді:

A = 0,1(1,0,1,1)  0,7(0,0,1,1,)  1(0,0,0,1)=

= (0,1/x 1 + 0/x 2 + 0,1/x 3 + 0,1/x 4) (0/x 1 + 0/x 2 + 0,7/x 3 + 0,7 /x 4)

(0/x1+0/x2+0/x3+1/x4) = 0,1/x1+0/x2+0,7/x3+1/x4.

Якщо область значень функції приналежності складається з n градацій  1   2   3  ...  n , то A(При фіксованих значеннях градацій) представимо у вигляді:

A =  i A i ,

тобто. визначається сукупністю звичайних множин ( A 1 , A 2 , ..., Ai ), де A1  A2  , ...,  Ai.

7. Лінгвістичні змінні. Приклади лінгвістичних змінних. Концепція терму. Визначення кількості термів

Лінгвістична змінна- Теоретично нечітких множин, змінна, яка може набувати значення фраз з природного або штучної мови. Наприклад, лінгвістична змінна «швидкість» може мати значення «висока», «середня», «дуже низька» тощо. буд. Фрази, значення яких набуває змінна, своєю чергою є іменами нечітких змінних і описуються нечітким безліччю.

Приклад: нечіткий вік

Розглянемо лінгвістичну змінну, яка описує вік людини, тоді:

x: "вік";

X: безліч цілих чисел з інтервалу;

T(x): значення "молодий", "зрілий", "старий". безліч T(x) - безліч нечітких змінних, для кожного значення: «молодий», «зрілий», «старий», необхідно задати функцію приналежності, яка задає інформацію про те, людей якого віку вважати молодими, зрілими, старими;

G: "дуже", "не дуже". Такі добавки дозволяють утворювати нові значення: «дуже молодий», «не дуже старий» та ін.

M: математичне правило, що визначає вид функції приналежності кожного значення утвореного з допомогою правила G.

Терм- Вираз формальної мови(Системи) є формальним ім'ям об'єкта або ім'ям форми. Концепція термавизначається індуктивно. Термом називається символьне вираз: t(X1, X2, … , Xn), де t - ім'я терма, звана функтор або «функціональна літера», а X1, X2, … , Xn - терми, структуровані чи найпростіші.

8. Нечіткі відносини та їх властивості

Одним з основних понять теорії нечітких множин вважається поняття нечіткого відношення. Ці відносини дозволяють формалізувати неточні твердження типу «майже одно» чи «значно більше, ніж». Наведемо визначення нечіткого відношення та комбінації нечітких відносин.

Нечітке відношення між двома непустими множинами (чіткими) і називатимемо нечітку множину, визначену на декартовому творі

Нечіткий логічний висновок - це процес отримання нечітких висновків на основі нечітких умов або передумов.

Що стосується нечіткої системи управління об'єктом, нечіткий логічний висновок - це процес отримання нечітких висновків про необхідне управління об'єктом на основі нечітких умов або передумов, що являють собою інформацію про поточному станіоб'єкт.

Логічний висновокздійснюється поетапно.

Фаззифікація (введення нечіткості) – це встановлення відповідності між чисельним значенням вхідної змінної системи нечіткого виведення та значення функції належності терму лінгвістичної змінної. На етапі фазифікації значення всіх вхідних змінним системинечіткого виведення, отриманим зовнішнім по відношенню до системи нечіткого виведення способом, наприклад, за допомогою статистичних даних, ставляться у відповідність конкретні значенняфункцій належності відповідних лінгвістичних термів, що використовуються в умовах (антецедентах) ядер нечітких продукційних правил, що становлять основу нечітких продукційних правил системи нечіткого виведення. Фаззифікація вважається виконаною, якщо знайдено ступінь істинності (a) всіх елементарних логічних висловлюваньвиду «Є», що входять до антецедентів нечітких продукційних правил, де - деякий терм з відомою функцієюприналежності µ(x) - чітке чисельне значення, що належить універсуму лінгвістичної змінної.

Поняття нечіткого алгоритму, вперше запроваджене Л.А. Заде є важливим інструментом для наближеного аналізу складних системта процесів прийняття рішень. Під нечітким алгоритмом (fuzzy algorithm) розуміється впорядкована множина нечітких інструкцій (правил), у формулюванні яких містяться нечіткі вказівки (терми).

Перехід від отриманої нечіткої множини до єдиного чіткого значення ()о, яке і визнається потім як рішення поставленого завдання, називається дефаззифікацією (defuzzyfication).

11. Алгоритм Мамдані (Mamdani) знайшов застосування у перших нечітких системах автоматичного управління. Був запропонований у 1975 році англійським математиком Е.Мамдані для керування паровим двигуном.

Формування бази правил системи нечіткого виведення здійснюється у вигляді впорядкованого узгодженого списку нечітких продукційних правил у вигляді IF A THEN B, де антецеденти ядер правил нечіткої продукції побудовані за допомогою логічних зв'язок"І", а консеквенти ядер правил нечіткої продукції прості.

Фаззифікація вхідних змінних здійснюється описаним вище способом, так само, як і загальному випадкупобудови системи нечіткого виведення.

Агрегування умов правил нечіткої продукції здійснюється за допомогою класичної нечіткої логічної операції«І» двох елементарних висловлювань A, B: T(A ∩ B) = min( T(A); T(B) ) .

Активізація підукладень правил нечіткої продукції здійснюється методом min-активізації μ(y) = min(c; μ(x) ) , де μ(x) і c – відповідно функції належності термів лінгвістичних змінних та ступеня істинності нечітких висловлювань, що утворюють відповідні наслідки (консеквенти ) ядер нечітких продукційних правил.

Акумуляція підзаключень правил нечіткої продукції проводиться за допомогою класичного для нечіткої логіки max-об'єднання функцій належності ∀ x ∈ X μ A B x = max( μ A x ; μ B x ).

Дефаззифікація проводиться методом центру тяжкості чи центру площі.

12 Для реалізації систем з урахуванням нечітких правил розроблено безліч алгоритмів нечіткого вывода. Алгоритми нечіткого висновку різняться переважно видом використовуваних правил, логічних операцій та різновидом способу дефазифікації. Розроблено моделі нечіткого висновку Мамдані, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Наприклад, правила нечіткого виведення задані таким чином:

П1: якщо x є A, то w є D, П2: якщо y є B, то w є E, П3: якщо z є C, w є F,

де x, y, z – імена вхідних змінних (чіткого формату);

w – ім'я змінної виведення;

A, B, C, D, E, F – задані функціїприладдя.

FAT-теорема Б. Коско: Будь-яка класична математика може бути апроксимована засобами математики нечіткою. Тобто. можна побудувати нечітку систему максимально наближає функцію коливання курсу певної валюти.

Основні переваги системи пояснень у ЕС.

1) Пояснення допомагають користувачеві використовувати систему для вирішення своїх завдань,

2) Так як ЕС використовуються в слабоформалізованих областях, де немає чітких алгоритмів, то пояснення дозволяють користувачеві переконатись у правильності отриманих результатів, підвищують його ступінь довіри до ЕС,

3) Служать для навчання користувача,

4) Служать для налагодження бази знань ЕС

Основні недоліки системи пояснень у ЕС.

1) Запити на пояснення інтерпретуються тільки в одному вузькому значенні (питання ЧОМУ і ЯК інтерпретуються тільки в термінах цілей та правил),

2) Не всі дії системи можуть бути пояснені (наприклад, чому спочатку перевірялася одна гіпотеза, а потім інша),

3) Пояснення, що ґрунтуються фактично на треку виконання програми, тому при зміні інтерпретатора необхідно змінювати і систему пояснень.

Ретельне опрацювання та облік ризиків стало невід'ємною частиною та важливою складовою успіху діяльності кожної компанії. Проте все частіше компаніям доводиться приймати рішення в умовах невизначеності, які можуть призвести до непередбачених наслідків та, відповідно, небажаних наслідків та збитків. Особливо серйозні наслідки можуть мати неправильні рішення щодо довгострокових інвестицій, які зазвичай маються на увазі при оцінці інвестиційних проектів. Тому своєчасне виявлення, а також адекватна та найточніша оцінка ризиків є однією з нагальних проблемсучасного інвестиційного аналізу

На жаль, існуючі на сьогоднішній день методи обліку та оцінки ризиків не позбавлені суб'єктивізму та суттєвих передумов, що призводять до неправильних оцінок ризику проектів. Теорія нечіткої логіки – це новий підхід, що динамічно розвивається, до оцінки ризику. У Останнім часомнечітке моделювання є однією з найактивніших і перспективних напрямів прикладних дослідженьу сфері управління та прийняття рішень.

У цій роботі представлені:

Визначення ризику та невизначеності,

обґрунтування необхідності застосування нових підходів до аналізу ризику,

короткий описметоду нечіткої логіки,

приклади застосування нечіткої логіки

Завдання, що вирішуються нейронними мережами, дуже різноманітні. Не дивно, що цей метод знайшов застосування у таких сферах, як медицина, фінансовий менеджмент та політична наука. У цілому нині можна звести основну частину вирішуваних з допомогою ІНС проблем до кількох категорій завдань.

Класифікація. Завданням нейронної мережі є розподіл об'єктів за кількома заздалегідь встановленими класами, що не перетинаються.

У політичній науцінейромережевий метод використовується на вирішення завдань класифікації, зокрема у івент-аналізі. Заздалегідь визначається клас конфліктних подійних послідовностей, що ведуть до мирного врегулювання, та клас конфліктних подійних послідовностей, що ведуть до військового протистояння.

Штучний нейрон (математичний нейрон Маккалока - Піттса, формальний нейрон) - вузол штучної нейронної мережі, що є спрощеною моделлюприродний нейрон. Математично, штучний нейрон зазвичай представляють деяку нелінійну функцію від єдиного аргументу - лінійної комбінації всіх вхідних сигналів. Цю функцію називають функцією активації або функцією спрацьовування, функцією передавання. Отриманий результат посилається єдиний вихід. Такі штучні нейрони поєднують у мережі - з'єднують виходи одних нейронів із входами інших. Штучні нейрони та мережі є основними елементами ідеального нейрокомп'ютера.

18. Функція активації (активаційна функція, функція збудження) – функція, яка обчислює вихідний сигнал штучного нейрона. Як аргумент приймає сигнал Y, одержуваний на виході вхідного суматора Sigma. Найчастіше використовуються наступні функціїактивації.

1. Поодинокий стрибок або жорстка порогова функція

Проста шматково-лінійна функція. Якщо вхідне значення менше порогового, то значення функції активації дорівнює мінімальному допустимому, інакше максимально допустимому.

функція активації. Жорстка порогова функція

2. Лінійний поріг чи гістерезис

Нескладна шматково-лінійна функція. Має дві лінійні ділянки, де функція активації тотожно дорівнює мінімально допустимій і максимально допустимого значенняі є ділянка, де функція суворо монотонно зростає.

функція активації. Лінійний поріг

3. Сігмоїдальна функція або сигмоїд

Монотонно зростаюча усюди диференційована S-подібна нелінійна функціяіз насиченням. Сігмоїд дозволяє посилювати слабкі сигналиі не насичуватись від сильних сигналів. Гроссберг (1973 рік) виявив, що така нелінійна функція активації вирішує поставлену їм дилему шумового насичення.

Штучна нейронна мережа (ІНС) - математична модель, і навіть її програмне чи апаратне втілення, побудована за принципом організації та функціонування біологічних нейронних мереж - мереж нервових клітинживий організм. Це поняття виникло щодо процесів, які у мозку, і за спробі змоделювати ці процеси. Першою такою спробою були нейронні мережі У. Маккалока та У. Піттса. Після розробки алгоритмів навчання одержувані моделі стали використовувати в практичних цілях: у завданнях прогнозування, для розпізнавання образів, у завданнях управління та ін.

ІНС (Штучні Нейронні Мережа) може розглядатися як спрямований граф із зваженими зв'язками, в якому штучні нейрони є вузлами. По архітектурі зв'язків ІНС можуть бути згруповані у два класи: мережі прямого поширення, в яких графи не мають петель, та рекурентні мережі, або мережі зі зворотними зв'язками. У найбільш поширеному сімействі мереж першого класу, званих багатошаровим перцептроном, нейрони розташовані шарами і мають односпрямовані зв'язки між шарами. На малюнку представлені типові мережі кожного класу. Мережі прямого поширення є статичними тому, що у заданий вхід вони виробляють одну сукупність вихідних значень, які залежать від попереднього стану мережі. Рекурентні мережі є динамічними, оскільки в силу зворотних зв'язківу них модифікуються входи нейронів, що призводить до зміни стану мережі. 22

23. Перцептрон-математична модель процесу сприйняття (Див. Сприйняття). Стикаючись із новими явищами чи предметами, людина їх дізнається, тобто відносить до того чи іншого поняття (класу). Так, ми легко впізнаємо знайомих, навіть якщо вони змінили зачіску чи одяг, можемо читати рукописи, хоча кожен почерк має свої особливості, дізнаємося мелодію у різному аранжуванні тощо. Ця здатність людини і отримала назву феномена сприйняття. Людина вміє виходячи з досвіду виробляти нові поняття, вчитися новій системікласифікації. Наприклад, під час навчання розрізнення рукописних знаків учневі показують рукописні знаки і повідомляють, яким літерам вони відповідають, тобто яких класів ці знаки ставляться; в результаті він виробляється вміння правильно класифікувати знаки.

Кожна окрема клітина називається вузлом або персептроном:

нейронна мережа, що складається з шару вузлів між входом і виходом - одношаровим персептроном: а мережа, що складається з декількох шарів - багатошаровим персептроном:

Справедливе твердження, що багатошаровий персептрон ефективніший, ніж одношаровий

Навчання – це процес, у якому вільні параметри нейронної мережі налаштовуються у вигляді моделювання середовища, у якому ця мережа вбудована. Тип навчання визначається способом підстроювання цих параметрів.

Це визначення процесу навчання нейронної мережі передбачає таку послідовність подій:

У нейронну мережу надходять стимули із зовнішнього середовища.

Внаслідок першого пункту змінюються вільні параметри нейронної мережі.

Після зміни внутрішньої структури нейронна мережа відповідає на порушення вже в інший спосіб.

Вищезазначений список чітких правил вирішення проблеми навчання нейронної мережі називається алгоритмом навчання. Неважко здогадатися, що немає універсального алгоритму навчання, придатного всім архітектур нейронних мереж. Існує лише набір засобів, представлений безліччю алгоритмів навчання, кожен із яких має свої переваги. Алгоритми навчання відрізняються один від одного способом налаштування синаптичних вагів нейронів. Ще однією відмінною характеристикоює спосіб зв'язку навчальної нейронної мережі з зовнішнім світом. У цьому контексті говорять про парадигму навчання, пов'язану з моделлю довкілля, В якій функціонує дана нейронна мережа.

Навчання нейронної мережі з учителем передбачає, що для кожного вхідного вектора з навчальної множини існує необхідне значення вихідного вектора, що називається цільовим. Ці вектори утворюють навчальну пару. Ваги мережі змінюють доти, доки кожного вхідного вектора буде отримано прийнятний рівень відхилення вихідного вектора від цільового.

Навчання нейронної мережі без вчителя є набагато правдоподібнішою моделлю навчання з точки зору біологічного коріння штучних нейронних мереж. Навчальна множина складається лише з вхідних векторів. Алгоритм навчання нейронної мережі підлаштовує ваги мережі те щоб виходили узгоджені вихідні вектори, тобто. щоб пред'явлення досить близьких векторів вхідних давало однакові виходи.

Нехай є нейронна мережа, що виконує перетворення векторів F:X®Y з ознакового простору входів X у вектора Y вихідного простору Y. Мережа знаходиться в стані W з простору станів W. Нехай далі є навчальна вибірка (Xa,Ya), a = 1 ..p. Розглянемо повну помилку E, що робиться мережею може W.

Зазначимо дві властивості повної помилки. По-перше, помилка E=E(W) є функцією стану W, визначеної просторі станів. За визначенням, вона набуває невід'ємних значень. По-друге, у деякому навченому стані W*, в якому мережа не робить помилок на навчальній вибірці, дана функціянабуває нульового значення. Отже, навчені стану є точками мінімуму введеної функції E(W).

Лекція №4. Операції з нечіткими множинами

Визначення операцій, що виконуються з нечіткими множинами, багато в чому аналогічно операціям із звичайними (чіткими) множинами.

Еквівалентність.Дві нечіткі множини Аі Уеквівалентні (це
позначається як ) тоді і лише тоді, коли для всіх має місце .

Рис. 2.4. Операції з нечіткими множинами

Увімкнення. Нечітка безліч Аміститься в нечіткій множині У() тоді і тільки тоді, коли

Об'єднання, або диз'юнкція(disjunction), двох нечітких множин А і відповідає логічної операції " АБОі визначається як найменша нечітка множина, що містить обидва множини А і В. Функція приналежності для цієї множини знаходиться за допомогою операції взяття максимуму(Рис.2.4, б)

Перетин, або кон'юнкція(Conjunction), відповідає логічній операції " Іі визначається як найбільша нечітка множина, що є одночасно підмножиною обох множин.

Функція приналежності множини виражається за допомогою операції знаходження мінімуму(Рис. 2.4, в)

Доповнення(complement) нечіткої множини А, що позначається через (або A), відповідає логічному запереченню " НЕі визначається формулою (рис. 2.4, г)

Легко бачити, що стосовно класичних "чітких" множин, для яких функції приналежності приймають лише 2 значення: 0 або 1, формули визначають відомі операціїлогічного "АБО", "І", "НЕ".

Наведемо визначення ще двох досить поширених операцій над нечіткими множинами - твори алгебри та алгебраїчної суми нечітких множин.

Алгебраїчний твір АВнечітких множин Аі Увизначається так:

Алгебраїчна сума:

Крім перелічених є й інші операції, які виявляються корисними під час роботи з лінгвістичними змінними.

Операція концентрації(concentration) CON(А) визначається як алгебраїчне твір нечіткої множини Ана самого себе: тобто.

В результаті застосування цієї операції до множини Азменшуються ступеня належності елементів хцій множині, причому якщо , то це зменшення відносно мало, а для елементів з малим ступенем приналежності - відносно велике. У природною мовоюзастосування цієї операції до того чи іншого значення лінгвістичної змінної А відповідає використанню підсилюючого терму "дуже" (наприклад, "дуже високий", "дуже старий" і т.д.).

Операція розтягування(dilation) DIL(A) визначається як

DIL(A)= A 0,5 , де

Дія цієї операції протилежна дії операції концентрації і відповідає невизначеному терму "досить", що виконує функцію ослаблення наступного за ним (основного) терму А: "досить високий", "досить старий" і т.п.

Можна ввести інші аналогічні за змістом операції, що дозволяють модифікувати значення лінгвістичної змінної, збільшуючи, таким чином, їх кількість. Так, терм "більше ніж" можна визначити наступним чином:

складовий терм "дуже-дуже":

Розглянемо застосування зазначених операцій на наступному наочний приклад. Нехай змінна ххарактеризує "вік людини", X- інтервал. Тоді нечіткі підмножини, що описуються термами "молодий" і "старий", можна уявити за допомогою функції приналежності (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графічне уявленнялінгвістичної змінної "вік людини"

Тоді, відповідно до виразу, знаходимо (рис. 2.5)

Так само, використовуючи (2.10) і (2.14), отримуємо (рис. 2.5)

Наприклад, якщо конкретній людинівиповнилося 55 років (тобто. х= 55), то відповідно до цих функцій приналежності маємо:

Досі передбачалося, що мова йдепро єдину змінну , що приймає значення на речовій числовій осі.

Логічні операції

Увімкнення.Нехай Аі У- нечіткі множини на універсальній множині е.Кажуть що Аміститься в В,якщо

Позначення: А⊂ Ст.

Іноді використовують термін домінування,тобто. у випадку, коли А⊂ В,кажуть що Удомінує А.

Рівність.А і В рівні, якщо

Позначення: А = В.

Доповнення.Нехай М = , Аі У– нечіткі множини, задані на Є. Аі Удоповнюють один одного, якщо

Позначення:

Очевидно, що (додаток визначено для М= , але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого М).

Перетин. А⋂ У- найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно в Аі В:

Об'єднання.A∪У- найменше нечітке підмножина, що включає як А,так і В,з функцією приналежності:

Різниця. з функцією приналежності:

Диз'юнктивна сума

А ⊕ У = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ ( ̅A ⋂ B )

з функцією приналежності:

приклади. Нехай

Тут:

1) А ⊂ В,тобто А міститься в Bабо Bдомінує А; З незрівнянноні з A, ні з В,тобто. пари ( А, С) та ( А, С) - пари недомінованих нечітких множин.

2) A≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .

4) А⋂ В = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /х 4 .

5) A∪ У= 0,7/ x 1+ 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

6) А - В= А⋂̅В = 0,3/x 1 + 0,l/ x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

У- А= ̅А⋂ У= 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/ x 3 + 0/x 4 .

7) А⊕ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Наочне уявлення логічних операцій над нечіткими множинами. Для нечітких множин можна будувати візуальне подання. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення μ А (х),на осі абсцис у довільному порядкурозташовані елементи Е(Ми вже використовували таке уявлення в прикладах нечітких множин). Якщо Еза своєю природою впорядковано, цей порядок бажано зберегти у розташуванні елементів на осі абсцис. Таке уявлення робить наочними прості логічні операції над нечіткими множинами (див. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Графічна інтерпретація логічних операцій: α - нечітка безліч А; б- нечітка безліч ̅А, в - А⋂̅А; г- A∪ ̅А

На рис. 1.3α заштрихована частина відповідає нечіткому множині Аі, якщо говорити точно, зображує область значень Аі всіх нечітких множин, що містяться в А.На рис. 1.3 б, в, гдані ̅ А, А ⋂ ̅ A, A U ̅А.

Властивості операцій ∪ і ⋂

Нехай А, В, С- нечіткі множини, тоді виконуються такі властивості:

На відміну від чітких множин, для нечітких множин загалом

випадку:

A⋂̅A ≠∅, A ∪ ̅A ≠ E

(що, зокрема, проілюстровано вище з прикладу наочного уявлення нечітких множин).

Зауваження . Введені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max min. Теоретично нечітких множин розробляються питання побудови узагальнених, параметризованих операторів перетину, об'єднання та доповнення, що дозволяють врахувати різноманітні смислові відтінки відповідних їм зв'язок «і», «або», «ні».

Один з підходів до операторів перетину та об'єднання полягає в їх визначенні класі трикутних норм та конорм.

Трикутною нормою(t-Нормою) називається двомісна дійсна функція T: x → , що задовольняє наступним умовам:

Приклади трикутних норм

min( μ A, μ B)

твір μ A· μ B

max(0, μ A+ μ B- 1 ).

Трикутною конормою(t-конормою) називається двомісна дійсна функція S: x → із властивостями:

Прикладиt-конорм

max( μ A, μ B)

μ A+ μ B- μ A· μ B

min(1, μ A+ μ B).

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами

Алгебраїчний твір Аі Упозначається A· Уі визначається так:

Алгебраїчна сумацих множин позначається А+ Ві визначається так:

Для операцій (-, +) виконуються властивості:

Не виконуються:

Зауваження.При спільному використанні операцій ( U, ⋂, + , ) виконуються властивості:

На основі операції алгебраїчного твору визначається операція зведення у ступінь αнечіткої множини А,де α - додатне число. Нечітка безліч А αвизначається функцією приналежності μ α A = μ α A ( x). Окремим випадком зведення у ступінь є:

1) CON( А) = А 2- Операція концентрування (ущільнення);

2) DIL( А) = А 0,5- Операція розтягування,

які використовуються під час роботи з лінгвістичними невизначеностями (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Ілюстрація до поняття операцій концентрування (ущільнення) та розтягування

Множення на число.Якщо α - позитивне число, таке, що, то нечітка безлічαАмає функцію приналежності:

μ αА(х) = αμA(x).

Випукла комбінація нечітких множин.Нехай A 1 , А 2,..., Аn- нечіткі множини універсальної множини Е, a ω 1 , ω 2 , …, ωn- Невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1.

Випуклою комбінацією A 1 , А 2 , ..., Аnназивається нечітка безліч Аз функцією приналежності:

Декартове(пряме) твір нечітких множин.Нехай A 1 , А 2 , ..., Аn- нечіткі підмножини універсальних множин Е 1, Е 2, ..., Еnвідповідно. Декартово, або прямий твір А = А 1 x А 2 x... x Аnє нечітким підмножиною множини Е = Е 1 x Е 2 x... x Еnз функцією приналежності:

Оператор збільшення нечіткостівикористовується для перетворення чітких множин у нечіткі і для збільшення нечіткості нечіткої множини.

Нехай А- нечітка множина, Е- Універсальна безліч і для всіх хϵ Евизначено нечіткі множини До(х).Сукупність усіх До(х)називається ядром оператора збільшення нечіткості Ф. Результатом дії оператора Ф на нечітку множину Ає нечітка безліч виду

де μ А(х)К(х)- Добуток числа на нечітку безліч.

приклад . Нехай

Е =(1,2,3,4); А = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4; До(1)= 1/1 + 0,4/2;

До(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; До(3) = 1/3 + 0,5/4; До(4)= 1/4.

Тоді

Чітка безліч α-рівня(або рівня α).Безліч α-рівня нечіткої множини Ауніверсальної множини Еназивається чіткепідмножина А αуніверсальної множини Е,що визначається у вигляді

А α ={ x/μ A(x) ≥ α },

де α ≤ 1.

приклад.Нехай А = 0,2/x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4 , тоді A 0,3 = { x 3 , x 4 } , A 0,7 = {х 4} .

Досить очевидна властивість: якщо α 1≥ 2, то А α1≤ А α2.

Увімкнення. Нехай A і B – нечіткі множини на універсальній множині E. Кажуть, що A міститься в B, якщо "x ÎE m A (x) > m B (x). Позначення: A Ì B.

Рівність. A та B рівні, якщо "xÎE m A (x) = m B (x). Позначення: A = B.

Доповнення. Нехай M = , A та B – нечіткі множини, задані на E. A та B доповнюють один одного, якщо
"xÎE m A (x) = 1 – m B (x). Позначення: B = або A = . Очевидно, що . (Додаток визначено для M = , але очевидно, його можна визначити для будь-якого впорядкованого M) .

Перетин. A Ç B - найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно в A і B;

m A Ç B(x) = min(m A ( x), m B ( x)}.

Об'єднання.А È В – найменше нечітке підмножина, що включає як А, так і В, з функцією приналежності

m A È B(x) = max ((m A ( x), m B ( x)}.

Різниця. А \ B= А Ç з функцією власності:

m A\B ( x) = min (m A ( x), 1 - m B ( x)}.

Наприклад.

Нехай: A = 0,4 / x 1 0,2 / x 2 0 / x 3 1 1 / x 4;

1. A B, тобто. A міститься в B, незрівнянно ні з A, ні з B.

2. A ¹ B ¹ C .

3. = 0,6/ x 1 È 0,8/ x 2 È 1/ x 3 È 0/ x 4 ;
= 0,3/ x 1 È 0,1/ x 2 È 0,9/ x 3 È 0/ x 4 .

Для нечітких множин можна будувати візуальну виставу. Розглянемо прямокутну системукоординат, на осі ординат якої відкладаються значення m A ( x), на осі абсцис у довільному порядку розташовані елементи E (ми вже використовували таке уявлення в прикладах нечітких множин). Якщо E впорядковано за своєю природою, то цей порядок бажано зберегти в розташуванні елементів на осі абсцис. Таке уявлення робить наочними прості операції над нечіткими множинами.

Рис. 1. Мал. 2

Рис. 3. Мал. 4.

На рис. 1 темна частина відповідає нечіткий множині A і, якщо говорити точно, зображує область значень А і всіх нечітких множин, що містяться в A. Рис. 2 – 4 дані , A Ç , AÈ , відповідно.

Властивості операцій І та Ç.

Нехай А, В, С – нечіткі множини, тоді виконуються такі співвідношення:

а) - Комутативність;

б) - Асоціативність;

в) – ідемопотентність;

г) - Дистрибутивність;

д) AÈÆ = A, де Æ - Порожня множина, тобто. m Æ (x) = 0"xÎE;

AÇE = A, де E – універсальна множина;

е) - Теореми де Моргана.

На відміну від чітких множин, для нечітких множин у загальному випадку AÇ Æ, AÈ ¹ E, що зокрема проілюстровано вище в прикладі наочного уявлення нечітких множин.

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами

Алгебраїчний добуток A і B позначається A×B і визначається так:

"xÎE m A × B ( x) = m A ( x)m B ( x).

Алгебраїчна сума цих множин позначається А + і визначається так:

"xÎE m A+В ( x) = m A ( x) + m B ( x)-m A ( x)m B ( x).

Для операцій (×, +) виконуються властивості:

· - Комутативність;

· - Асоціативність;

· A×Æ = Æ, A+Æ = A, A×E = A, A+E = E;

· - Закони де Моргана.

Не виконуються:

· - Ідемопотентність;

· - Дистрибутивність;

· А також A× = Æ, A+ = E.

Доведемо перший закон де Моргана. Позначимо mA(x) через a, mB(x) через b. Тоді в лівій частині рівності для кожного елемента х маємо: 1– ab, а у правій, згідно з формулою алгебраїчної складання: (1 - a) + (1 - b) - (1 - a) (1 - b) = 1 - ab.

Доведемо, що перше властивість дистрибутивності не виконується, тобто. A×(B+C) ¹ (A×B) + (A×C). Для лівої частини маємо: a(b+c – bc) = ab + ac - abc; для правої: ab + ac - (ab) (ac) = ab + ac + a 2 bc. Це означає, що дистрибутивність не виконується при a1a 2 .

Зауваження.При спільному використанні операцій (È, Ç,+,×) виконуються властивості:

· А×(B×C) = (A×B)×(A×C);

· А× (B Ç C) = (A×B) Ç (A×C);

· А + (B C) = (A + B) È (A + C);

· А + (B C) = (A + B) C (A + C).

Декартове твір нечітких множин. Нехай A 1 , A 2 , ..., A n – нечіткі підмножини універсальних множин E 1 , E 2 , ..., E n відповідно. Декартове твір A = A 1 ´A 2 ´ ...´A n є нечітким підмножиною множини E = E 1 ´E 2 ´ ... ´E n з функцією приладдя:

m A ( x 1 ,x 1 , ...,x n) = min(m A1 ( x 1), m A2 ( x 2) , ... , m Ai ( x n)).

Принцип узагальнення

Принцип узагальнення – одна з основних ідей теорії нечітких множин – носить евристичний характер і використовується для розширення сфери застосування нечітких множин на відображення. Будемо говорити, що є нечітка функція f, визначена на множині X зі значенням у множині Y, якщо вона кожному елементу xÎX ставить у відповідність елемент yÎY зі ступенем приналежності m f(x,y). Нечітка функція f визначає нечітке відображення f : X Y.

Принцип узагальнення полягає в тому, що при заданому чіткому f: X®Y або нечіткому f : X Y відображенні для будь-якої нечіткої множини А, заданої на Х, визначається нечітка множина f(A) на Y, що є чином A.

Нехай f: X®Y задане чітке відображення, а A = (m A (x)/х) – нечітка множина в Х. Тоді А при відображенні f є нечітка множина f(A) на Y з функцією приналежності:

m f(A) (y) = ; yÎY,

де f -1 (y) = (x | f (x) = y).

У разі нечіткого відображення f : X Y, коли для будь-яких xÎX і yÎY визначена двомісна функція приналежності m f (x, y), образом нечіткої множини А, заданої на Х, є нечітке безліч f( A) на Yз функцією приналежності m f (A) (y) = ( min (m A (x), m f (x, y))).

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ

1. Нехай: A = 0,4 / x 1 0,2 / x 2 0 / x 3 1 / x 4;

B = 0,7/ x 1 È 0,9/ x 2 È 0,1/ x 3 È1/ x 4 ;
C = 0,1 / x 1 / 1 / x 2 / 0,2 / x 3 / 0,9 / x 4 .

Побудувати множини: а) AÇB;

в) А\В; В\А.

2. Для універсальної множини E = (Запорожець, Жигулі, Мерседес, Феррарі) прямим методом побудувати нечіткі множини: а) "швидкісні";

б) "середні";

в) "тихохідні".

3. Нехай E = (1, 2, 3, ..., 100) і відповідає поняттю "вік". Прямим методом побудувати нечіткі множини

а) "літній";

б) "пора заміж";

в) "призовник",

і побудувати апроксимуючу формулу для відповідних функцій приналежності.

4. У разі завдання 2 побудувати нечіткі множини а) – в) непрямим методом з урахуванням парних порівнянь елементів Е.

РОЗДІЛ 2. БІНАРНІ ВІДНОСИНИ

І ФУНКЦІЯ ВИБОРУ

Лекція №4. Операції з нечіткими множинами

Рис. 2.4. Операції з нечіткими множинами

Увімкнення. Нечітка безліч Аміститься в нечіткій множині У() тоді і тільки тоді, коли

Функція приналежності множини виражається за допомогою операції знаходження мінімуму(Рис. 2.4, в)

Алгебраїчний твір АВнечітких множин Аі Увизначається так:

Алгебраїчна сума:

Крім перелічених є й інші операції, які виявляються корисними під час роботи з лінгвістичними змінними.

В результаті застосування цієї операції до множини Азменшуються ступеня належності елементів хцій множині, причому якщо , то це зменшення відносно мало, а для елементів з малим ступенем приналежності - відносно велике. У природній мові застосування цієї операції до того чи іншого значення лінгвістичної змінної А відповідає використанню терму, що посилює, "дуже" (наприклад, "дуже високий", "дуже старий" і т.д.).

Операція розтягування(dilation) DIL(A) визначається як

DIL(A)= A 0,5 , де

складовий терм "дуже-дуже":

Розглянемо застосування зазначених операцій на наступному прикладі. Нехай змінна ххарактеризує "вік людини", X- інтервал. Тоді нечіткі підмножини, що описуються термами "молодий" і "старий", можна уявити за допомогою функції приналежності (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графічне уявлення лінгвістичної змінної "вік людини"

Тоді, відповідно до виразу, знаходимо (рис. 2.5)

Так само, використовуючи (2.10) і (2.14), отримуємо (рис. 2.5)

Наприклад, якщо конкретній людині виповнилося 55 років (тобто. х= 55), то відповідно до цих функцій приналежності маємо:

До цих пір передбачалося, що йдеться про єдину змінну , Що приймає значення на числової числової осі.

Для випадку двох речових змінних (і) можна говорити про нечіткому відношенні R: X→Y, яке визначає деяку відповідність між елементами множини X і множини У за допомогою двовимірної функціїприладдя μ( х,у):

Наведемо ще один приклад.

Припустимо, що ми маємо два набори чисел

і нехай суб'єктивні думкиекспертів про порівняльну величину цих чисел представлені у вигляді нечітких відносин:

R 1 (x, y) = "x більше, ніж у",

R 2 (x, y) = "x приблизно дорівнює у".

Задамо відношення R1 за допомогою табл.2.1, а відношення R2 - за допомогою табл. 2.2.

Тут ( i,j) - й елемент таблиці дорівнює значеннювідповідної функції приладдя для i-го значення хі j-го значення у. Тоді операції об'єднання та перетину зазначених відносин можуть бути інтерпретовані як

Функції власності та за допомогою операцій знаходження максимуму та мінімуму, і набувають вигляду табл. 2.3, 2.4.