Стаціонарна послідовність приклад. Визначення числової послідовності

Найпростіше число - це натуральне число. Їх використовують у повсякденному життідля підрахунку предметів, тобто. для обчислення їх кількості та порядку.

Що таке натуральне число: натуральними числаминазивають числа, які використовуються для підрахунку предметів або для вказівки порядкового номерабудь-якого предмета з усіх одноріднихпредметів.

Натуральні числа- Це числа, починаючи з одиниці. Вони утворюються природним чиномза рахунку.Наприклад, 1,2,3,4,5... -перші натуральні числа.

Найменше натуральне число- один. Найбільшого натурального числа немає. При рахунку число нуль не використовують, тому нуль натуральне число.

Натуральний ряд чисел- Це послідовність всіх натуральних чисел. Запис натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

У натуральному ряду кожне число більше за попереднє на одиницю.

Скільки чисел у натуральному ряду? Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа немає.

Десяткової тому що 10 одиниць будь-якого розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної так як значення цифри залежить від місця у числі, тобто. від розряду, де її записано.

Класи натуральних чисел.

Будь-яке натуральне число можна написати за допомогою 10-ти арабських цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для читання натуральних чисел їх розбивають починаючи праворуч на групи по 3 цифри в кожній. 3 перші цифри справа – це клас одиниць, 3 наступні – це клас тисяч, далі класи мільйонів, мільярдів татак далі. Кожна з цифр класу називається йогорозрядом.

Порівняння натуральних чисел.

З 2-х натуральних чисел менше число, яке за рахунку називається раніше. Наприклад, число 7 менше 11 (Записують так:7 < 11 ). Коли одне число більше за друге, Це записують так:386 > 99 .

Таблиця розрядів та класів чисел.

Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність деяке дійсне число x n то кажуть, що задана числова послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 називають членом послідовності з номером 1 або першим членом послідовності, число x 2 - членом послідовності з номером 2 або другим членом послідовності і т.д. Число x n називають членом послідовності з номером n.

Існують два способи завдання числових послідовностей – за допомогою та за допомогою рекурентної формули.

Завдання послідовності за допомогою формули спільного членапослідовності- Це завдання послідовності

x 1 , x 2 , … x n , …

за допомогою формули, що виражає залежність члена x n від номера n .

приклад 1 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана за допомогою формули загального члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Завдання послідовності за допомогою формули, що виражає член послідовності x n через члени послідовності з попередніми номерами, називають завданням послідовності за допомогою рекурентної формули.

x 1 , x 2 , … x n , …

називають зростаючою послідовністю, більшепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n

x n + 1 >x n

Приклад 3 . Послідовність натуральних чисел

1, 2, 3, … n, …

є зростаючою послідовністю.

Визначення 2. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають спадною послідовністю,якщо кожен член цієї послідовності меншепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

x n + 1 < x n

Приклад 4 . Послідовність

задана формулою

є спадною послідовністю.

Приклад 5 . Числова послідовність

1, - 1, 1, - 1, …

задана формулою

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не є ні зростаючою, ні спадаючоюпослідовністю.

Визначення 3. Зростаючі та спадні числові послідовності називають монотонними послідовностями.

Обмежені та необмежені послідовності

Визначення 4. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою зверху, якщо існує таке число M, кожен член цієї послідовності меншечисла M.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 5. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою знизу,якщо існує таке число m, кожен член цієї послідовності більшечисла m.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 6. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу.

Іншими словами, існують такі числа M та m, що для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

m< x n < M

Визначення 7. Числові послідовності, які не є обмеженими, називають необмеженими послідовностями.

Приклад 6 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана формулою

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

обмежена знизунаприклад, числом 0. Однак ця послідовність необмежена зверху.

Приклад 7 . Послідовність

задана формулою

є обмеженою послідовністю , оскільки для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «Резольвента» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ та ОДЕ з математики.

Для школярів, які бажають добре підготуватися та здати ЄДІ з математики чи російської мовина високий бал, навчальний центр"Резольвента" проводить

Розглянемо деяке безліч (клас) множин, кожна з яких містить один елемент. Будь-яке натуральне число – це характеристика класу рівносильних кінцевих множин, тоді поставимо у відповідність до цього класу натуральне число «одиниця» і позначимо його символом «1». Виберемо з даного класубудь-яке «одиничне» безліч, нехай, і додамо до цього безліч ще один елемент, отримаємо нове безліч. Якщо утворити клас кінцевих множин, рівносильних множині, то новому класу поставимо у відповідність натуральне число «два» і позначимо його символом «2». Подальше продовження цього нескінченного процесу утворення нових кінцевих множин та відповідних їм класів призводить до утворення двох нескінченних послідовностей:

(а) нескінченної послідовності множин (1); кожна з цих множин є представником відповідного класу;

(b) нескінченної послідовності натуральних чисел 1; 2; 3; r…(2), кожне із цих чисел є характеристикою відповідного класу.

Порівняння послідовностей (1) і (2) призводить до наступних висновків:

1). У (1) є початковий елементі (2) є початковий елемент 1;

2). У (1) за кожною множиною безпосередньо слідує єдина множина, в якій на один елемент більше, ніж у множині попереднього класу, тому в (2) за кожним натуральним числом безпосередньо слідує лише одне натуральне число, більше попереднього на одиницю.

3). У (1) кожен клас, крім початкового, безпосередньо слідує лише за одним класом, тому в (2) кожне натуральне число, крім одиниці, безпосередньо слідує лише за одним натуральним числом.

4). У (1) кожна множина даного класу є або підмножиною будь-якої множини наступного за ним класу, або рівносильно підмножині будь-якої множини наступного за ним класу, тому в (2) натуральні числа розташовані так, що кожне з них менше будь-якого, наступного за ним: 1<2<3<…..<n<n+ 1<… (3).

Маючи основні положення методу математичної індукції, можна стверджувати, що (2) – це послідовність натуральних чисел.

3. Використання послідовності натуральних чисел визначення чисельності кінцевої множини.

Визначити чисельність кінцевої множини – це означає порахувати кількість елементів у цій множині, для такого підрахунку використовується поняття відрізка .

Опр. 4. Відрізком послідовності (2) називається безліч перших натуральних чисел послідовності (2), що не перевищують числа « n».

приклад. .

Для визначення чисельності, наприклад, множини наведемо послідовність його елементів у взаємно однозначну відповідність з елементами відрізка :

. Оскільки , то безліч Доможна поставити у відповідність число «6», це число називають числом елементів множини K: n(K)=6,кажуть, що число «6» виражає чисельність множини До.

Опр. 5. Рахункомелементів множини називається процес приведення у взаємно однозначну відповідність елементів множини Доз елементами відрізка натурального ряду.

При перерахунку елементів кінцевої множини натурального ряду чисел з'ясовується не тільки кількість елементів множини, а й визначається порядок розташування елементів у множині. У першому випадку натуральне число "n" показує, скільки елементів містить безліч, "n" - називається кількіснимчислом. У другому випадку натуральне число «n» є порядковим номером деякого елемента множини, воно називається порядковим числом.

4. Операція складання чисел у множині N.

У безлічі N натуральних чисел, крім відносин рівності та нерівності, вводяться ряд операцій. Кожну з операцій можна запровадити теорію з урахуванням теорії множин.

Опр .6 . Сумою двох даних натуральних чисел

називається натуральне число, де.

5) , - властивість монотонності суми (при додаванні нерівних чисел отримуємо нерівні числа того ж сенсу).

Наводиться визначення числової послідовності. Розглянуто приклади необмежено зростаючих, схожих і послідовностей, що розходяться. Розглянуто послідовність, що містить усі раціональні числа.

Визначення.
Числовою послідовністю ( x n ) називається закон (правило), згідно з яким, кожному натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставиться у відповідність деяке число x n.
Елемент x n називають n-м членом чи елементом послідовності.

Послідовність позначається як n -го члена, укладеного у фігурні дужки: . Також можливі такі позначення: . Вони явно вказується, що індекс n належить безлічі натуральних чисел і сама послідовність має нескінченне число членів. Ось кілька прикладів послідовностей:
, , .

Тобто числова послідовність - це функція, областю визначення якої є безліч натуральних чисел. Число елементів послідовності нескінченне. Серед елементів можуть і члени, мають однакові значення. Також послідовність можна розглядати як нумеровану множину чисел, що складається з нескінченного числа членів.

Головним чином нас буде цікавити питання - як поводяться послідовності, що при n прагне до нескінченності: . Цей матеріал викладається в розділі Межа послідовності – основні теореми та властивості. А тут ми розглянемо кілька прикладів послідовностей.

Приклади послідовностей

Приклади послідовностей, що необмежено зростають

Розглянемо послідовність. Загальний член цієї послідовності. Випишемо кілька перших членів:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи необмежено зростають у бік позитивних значень. Можна сміливо сказати, що це послідовність прагне : при .

Тепер розглянемо послідовність із загальним членом. Ось її кілька перших членів:
.
Зі зростанням номера n елементи цієї послідовності необмежено зростають по абсолютній величині, але не мають постійного знака. Тобто ця послідовність прагне: при.

Приклади послідовностей, що сходяться до кінцевого числа

Розглянемо послідовність. Її загальний член. Перші члени мають такий вигляд:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи цієї послідовності наближаються до свого граничного значення a = 0 : при . Отже, кожен наступний член ближче до нуля, ніж попередній. У певному сенсі вважатимуться, що є наближене значення числа a = 0 з похибкою. Ясно, що зі зростанням n ця похибка прагне нуля, тобто вибором n , похибка можна зробити як завгодно малою. Причому для будь-якої заданої похибки ε > 0 можна вказати такий номер N, що для всіх елементів з номерами більшими за N:, відхилення числа від граничного значення a не перевищить похибки ε:.

Далі розглянемо послідовність. Її загальний член. Ось кілька її перших членів:
.
У цій послідовності члени з парними номерами дорівнюють нулю. Члени з непарними n рівні. Тому, зі зростанням n, їх величини наближаються до граничного значення a = 0 . Це випливає також із того, що
.
Також як і в попередньому прикладі, ми можемо вказати як завгодно малу похибку ε > 0 , для якої можна знайти такий номер N , що елементи з номерами більшими ніж N відхилятимуться від граничного значення a = 0 на величину, яка не перевищує заданої похибки. Тому ця послідовність сходить до значення a = 0 : при .

Приклади послідовностей, що розходяться

Розглянемо послідовність із наступним загальним членом:

Ось її перші члени:


.
Видно, що члени з парними номерами:
,
сходяться до значення a 1 = 0 . Члени з непарними номерами:
,
сходяться до значення a 2 = 2 . Сама ж послідовність, зі зростанням n, не сходиться до жодного значення.

Послідовність із членами, розподіленими в інтервалі (0;1)

Тепер розглянемо цікавішу послідовність. На числовий прямий візьмемо відрізок. Поділимо його навпіл. Отримаємо два відрізки. Нехай
.
Кожен із відрізків знову поділимо навпіл. Отримаємо чотири відрізки. Нехай
.
Кожен відрізок знову поділимо навпіл. Візьмемо


.
І так далі.

В результаті отримаємо послідовність, елементи якої розподілені у відкритому інтервалі (0; 1) . Яку б ми не взяли крапку із закритого інтервалу , ми завжди можемо знайти члени послідовності, які виявляться як завгодно близько до цієї точки, або збігаються з нею.

Тоді з вихідної послідовності можна виділити таку підпослідовність, яка сходитиметься до довільної точки з інтервалу . Тобто зі зростанням номера n, члени підпослідовності все ближче підходитимуть до наперед обраної точки.

Наприклад, для точки a = 0 можна вибрати наступну підпослідовність:
.
= 0 .

Для точки a = 1 виберемо таку підпослідовність:
.
Члени цієї підпослідовності сходяться до значення a = 1 .

Оскільки існують підпослідовності, що сходяться до різних значень, то сама вихідна послідовність не сходиться до жодного числа.

Послідовність, що містить усі раціональні числа

Тепер побудуємо послідовність, яка містить усі раціональні числа. Причому кожне раціональне число входитиме в таку послідовність нескінченне число разів.

Раціональне число r можна подати у такому вигляді:
,
де – ціле; - Натуральне.
Нам потрібно кожному натуральному числу n поставити у відповідність пару чисел p і q так, щоб будь-яка пара p і q входила до нашої послідовності.

Для цього на площині проводимо осі p і q. Проводимо лінії сітки через цілі значення p і q. Тоді кожен вузол цієї сітки буде відповідати раціональному числу. Усі безліч раціональних чисел буде представлено безліччю вузлів. Нам потрібно знайти спосіб пронумерувати всі вузли, щоби не пропустити жоден вузол. Це легко зробити, якщо нумерувати вузли квадратів, центри яких розташовані в точці (0; 0) (Див. малюнок). При цьому нижні частини квадратів з q < 1 нам не потрібні. Тому вони не відображені на малюнку.

Отже, для верхньої сторони першого квадрата маємо:
.
Далі нумеруємо верхню частину наступного квадрата:

.
Нумеруємо верхню частину наступного квадрата:

.
І так далі.

У такий спосіб ми отримуємо послідовність, що містить усі раціональні числа. Можна помітити, що будь-яке раціональне число входить до цієї послідовності нескінченне число разів. Справді, поруч із вузлом , у цю послідовність також входитимуть вузли , де - натуральне число. Але всі ці вузли відповідають тому самому раціональному числу.

Тоді з побудованої нами послідовності ми можемо виділити підпослідовність (що має нескінченну кількість елементів), всі елементи якої рівні наперед заданому раціональному числу. Оскільки побудована нами послідовність має підпослідовності, що сходяться до різних чисел, то послідовність не сходиться до якого числа.

Висновок

Тут ми дали точне визначення числової послідовності. Також ми порушили питання про її збіжність, ґрунтуючись на інтуїтивних уявленнях. Точне визначення збіжності розглядається на сторінці Визначення межі послідовності. Пов'язані з цим властивості та теореми викладені на сторінці

1 Визначення

2 Приклади

3 Операції над послідовностями

4 Підпослідовності

• 4.1 Приклади

  4.2 Властивості

5 Гранична точка послідовності

6 Межа послідовності

7 Деякі види послідовностей

• 7.1 Обмежені та необмежені послідовності

  • 7.1.1 Критерій обмеженості числової послідовності

    7.1.2 Властивості обмежених послідовностей

7.2 Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності

• 7.2.1 Властивості нескінченно малих послідовностей

7.3 Сходні та розбіжні послідовності

• 7.3.1 Властивості послідовностей, що сходяться

7.4 Монотонні послідовності

7.5 Фундаментальні послідовності

Числова послідовність- це послідовністьелементів числового простору.

Числові послідовності є одним з основних об'єктів розгляду математичний аналіз.

Визначення

Нехай безліч X- це чи безліч речових чисел, чи безліч комплексних чисел. Тоді послідовність елементів множини Xназивається числовою послідовністю.

Приклади

Операції над послідовностями

на безлічівсіх послідовностей елементів множини Xможна визначити арифметичніта інші операціїякщо такі визначені на безлічі X. Такі операції зазвичай визначають природним чином, тобто поелементно.

Наприклад, так визначаються арифметичні операції для числових послідовностей.

Сумою x n) та ( y nz n) така, що z n = x n + y n .

Різниця числових послідовностей ( x n) та ( y n) називається числова послідовність ( z n) така, що z n = x n − y n .

Твором числових послідовностей x nі y nназивається числова послідовність ( z n) така, що .

Приватним числової послідовності x nта числової послідовності y n, всі елементи якої відмінні від нуля, називається числова послідовність . Якщо у послідовності y nна позиції все ж таки є нульовий елемент, то результат поділу на таку послідовність все одно може бути визначений, як послідовність .

Звичайно, арифметичні операції можуть бути визначені не тільки на множині числових послідовностей, але і на будь-яких множинах послідовностей елементів множин, на яких визначені арифметичні операції, будь то поляабо навіть кільця.

Підпослідовності

Підпослідовність послідовності ( x n) - це послідовність , де ( k n) - Зростаюча послідовність елементів множини натуральних чисел.

Іншими словами, підпослідовність виходить із послідовності видаленням кінцевого чи лічильного числа елементів.

Приклади

Послідовність простих чиселє підпослідовністю послідовності натуральних чисел.

Послідовність натуральних чисел, кратних 12 , є підпослідовністю послідовності парнихнатуральних чисел.

Властивості

Будь-яка послідовність є своєю підпослідовністю.

Підпослідовність послідовності, що сходить, сходиться до того ж межі, що і вихідна послідовність.

Якщо всі підпослідовності деякої вихідної послідовності сходяться, їх межі рівні.

Будь-яка підпослідовність нескінченно великої послідовності також є нескінченно великою.

З будь-якої необмежену числову послідовність можна виділити нескінченно велику підпослідовність, всі елементи якої мають певний знак.

З будь-якої числової послідовності можна виділити або послідовність, що сходить, або нескінченно велику підпослідовність, всі елементи якої мають певний знак.

Гранична точка послідовності

Основна стаття: Гранична точка

Гранична точка послідовності - це точка, у будь-якій околиці якої міститься нескінченно багато елементів цієї послідовності. Для схожих числових послідовностей гранична точка збігається з межею.

Межа послідовності

Основна стаття: Межа послідовності

Межа послідовності - це об'єкт, якого члени послідовності наближаються зі зростанням номера. Так у довільному топологічному просторімежею послідовності називається елемент, у будь-якій околиціякого лежать усі члени послідовності, починаючи з деякого. Зокрема для числових послідовностей межа - це число, у будь-якій околиці якого лежать всі члени послідовності починаючи з деякого.

Часткова межа послідовності - це межа однієї з її підпослідовностей. У схожих числових послідовностей він завжди збігається зі звичайною межею.

Верхня межа послідовності - Це найбільша гранична точка цієї послідовності.

Нижня межа послідовності - Це найменша гранична точка цієї послідовності.

Деякі види послідовностей

Стаціонарна послідовність - це послідовність, усі члени якої, починаючи з деякого, рівні.

(x n) стаціонарна

Обмежені та необмежені послідовності

У припущенні про лінійної впорядкованостібезлічі Xелементів послідовності можна запровадити поняття обмежених і необмежених послідовністю.

Обмежена зверху послідовність Xвсі члени якої не перевищують деякого елемента з цієї множини. Цей елемент називається верхньою гранню даної послідовності.

(x n) обмежена зверху

Обмежена знизу послідовність - це послідовність елементів множини X, для якої в цій множині знайдеться елемент, що не перевищує всіх її членів. Цей елемент називається нижньою гранню даної послідовності.

(x n) обмежена знизу

Обмежена послідовність (обмежена з обох сторін послідовність ) - це послідовність, обмежена і згори, і знизу.

(x n) обмежена

Необмежена послідовність - це послідовність, яка є обмеженою.

(x n) необмежена

Критерій обмеженості числової послідовності

Числова послідовність є обмеженою тоді і лише тоді, коли існує таке число, що модулівсіх членів послідовності не перевищують його.

(x n) обмежена

Властивості обмежених послідовностей

Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності

Нескінченна мала послідовність - це послідовність, межаякої дорівнює нулю.

Нескінченно велика послідовність - це послідовність, межа якої дорівнює нескінченності.

Властивості нескінченно малих послідовностей

Нескінченно малі послідовності відрізняються цілим рядом чудових властивостей, які активно використовуються в математичний аналіз, а також у суміжних з ним та більш загальних дисциплінах.

Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена.

Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю.

Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі.

Якщо ( x n) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, то існує послідовність (1 / x n), яка є нескінченно малою. Якщо ж ( x n) все ж таки містить нульові елементи, то послідовність (1 / x n n, і все одно буде нескінченно малою.

Якщо (α n) - нескінченно мала послідовність, що не містить нульових членів, то існує послідовність (1/α n), яка є нескінченно великою. Якщо ж (α n) все ж таки містить нульові елементи, то послідовність (1 / α n) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, І все одно буде нескінченно великий.

Сходні та розбіжні послідовності

Сходова послідовність - це послідовність елементів множини X, що має межау цій множині.

Розбіжна послідовність - це послідовність, яка не є схожою.

Властивості послідовностей, що сходяться

Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю.

Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності.

Будь-яка послідовність елементів, що сходяться хаусдорфового просторумає лише одну межу.

Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться.

Послідовність сходиться тоді і лише тоді, коли вона є обмеженою і при цьому її верхня та нижня межізбігаються.

Якщо послідовність ( x n) сходиться, але не є нескінченно малою, то, починаючи з деякого номера, визначено послідовність (1 / x n), яка є обмеженою.

Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить.

Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней.

Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої.

Якщо всі елементи деякої послідовності, починаючи з деякого номера, лежать на відрізку між відповідними елементами двох інших, що сходяться до однієї і тієї ж межі послідовностей, то ця послідовність також сходить до такої ж межі.

Будь-яку послідовність ( x n) можна уявити у вигляді ( x n) = (a + α n), де a- межа послідовності ( x n), а α n- Деяка нескінченно мала послідовність.

Будь-яка послідовність, що сходить фундаментальної. При цьому фундаментальна числова послідовність завжди сходиться (як будь-яка фундаментальна послідовність елементів повного простору).

Монотонні послідовності

Основна стаття:

Монотонна послідовність - це незростаюча, або незнижена послідовність. При цьому передбачається, що на множині, з якої беруться елементи послідовності, введено відношення порядку.

Фундаментальні послідовності

Основна стаття:

Фундаментальна послідовність (послідовність, що сходить у собі , послідовність Коші ) - це послідовність елементів метричного простору, в якій для будь-якого наперед заданої відстані знайдеться такий елемент, відстань від якого до будь-якого з наступних елементів не перевищує заданого. Для числових послідовностей поняття фундаментальної і послідовностей, що сходяться, еквівалентні, проте в загальному випадку це не так.

Послідовність Числовий ряд Математика

Сходящих рядів Числовийряд - нескінченна послідовністьчисел сполучена знаком... потік подій Потік подій- послідовністьподій які наступають у випадкові... -ва: 1. F(x) визначена на всій числовийпрямий R; 2.F(x) не зменшується, тобто. ...