Числова послідовність може мати. Числові послідовності

Визначення.
Числовою послідовністю ( x n ) називається закон (правило), згідно з яким, кожному натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставиться у відповідність деяке число x n.
Елемент x n називають n-м членомчи елементом послідовності.

Послідовність позначається як n -го члена, укладеного у фігурні дужки: . Також можливі такі позначення: . Вони явно вказується, що індекс n належить безлічі натуральних чисел і сама послідовність має нескінченне числочленів. Ось кілька прикладів послідовностей:
, , .

Тобто числова послідовність - це функція, областю визначення якої є безліч натуральних чисел. Число елементів послідовності нескінченне. Серед елементів можуть зустрічатися члени, які мають однакові значення. Також послідовність можна розглядати як нумеровану множину чисел, що складається з нескінченного числа членів.

Головним чином нас буде цікавити питання - як поводяться послідовності, що при n прагне до нескінченності: . Цей матеріал викладається в розділі Межа послідовності – основні теореми та властивості. А тут ми розглянемо кілька прикладів послідовностей.

Приклади послідовностей

Приклади послідовностей, що необмежено зростають

Розглянемо послідовність. Загальний член цієї послідовності. Випишемо кілька перших членів:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи необмежено зростають убік позитивних значень. Можна сміливо сказати, що це послідовність прагне : при .

Тепер розглянемо послідовність з спільним членом. Ось її кілька перших членів:
.
Зі зростанням номера n елементи цієї послідовності необмежено зростають по абсолютної величини, але не мають постійного знаку. Тобто ця послідовність прагне: при.

Приклади послідовностей, що сходяться до кінцевого числа

Розглянемо послідовність. Її загальний член. Перші члени мають такий вигляд:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи цієї послідовності наближаються до свого граничного значення a = 0 : при . Отже, кожен наступний член ближче до нуля, ніж попередній. У певному сенсі вважатимуться, що є наближене значення числа a = 0 з похибкою. Ясно, що зі зростанням n ця похибка прагне нуля, тобто вибором n , похибка можна зробити як завгодно малою. Причому для будь-якої заданої похибки ε > 0 можна вказати такий номер N, що для всіх елементів з номерами більшими за N:, відхилення числа від граничного значення a не перевищить похибки ε:.

Далі розглянемо послідовність. Її загальний член. Ось кілька її перших членів:
.
У цій послідовності члени з парними номерами дорівнюють нулю. Члени з непарними n рівні. Тому, зі зростанням n, їх величини наближаються до граничного значення a = 0 . Це випливає також із того, що
.
Також як і в попередньому прикладі, ми можемо вказати як завгодно малу похибку ε > 0 , для якої можна знайти такий номер N , що елементи з номерами більшими ніж N відхилятимуться від граничного значення a = 0 на величину, яка не перевищує заданої похибки. Тому ця послідовність сходить до значення a = 0 : при .

Приклади послідовностей, що розходяться

Розглянемо послідовність із наступним загальним членом:

Ось її перші члени:


.
Видно, що члени з парними номерами:
,
сходяться до значення a 1 = 0 . Члени з непарними номерами:
,
сходяться до значення a 2 = 2 . Сама ж послідовність, зі зростанням n, не сходиться до жодного значення.

Послідовність із членами, розподіленими в інтервалі (0;1)

Тепер розглянемо цікавішу послідовність. На числовий прямий візьмемо відрізок. Поділимо його навпіл. Отримаємо два відрізки. Нехай
.
Кожен із відрізків знову поділимо навпіл. Отримаємо чотири відрізки. Нехай
.
Кожен відрізок знову поділимо навпіл. Візьмемо


.
І так далі.

В результаті отримаємо послідовність, елементи якої розподілені у відкритому інтервалі (0; 1) . Яку б ми не взяли крапку із закритого інтервалу , ми завжди можемо знайти члени послідовності, які виявляться як завгодно близько до цієї точки, або збігаються з нею.

Тоді з вихідної послідовності можна виділити таку підпослідовність, яка сходитиметься до довільної точки з інтервалу . Тобто зі зростанням номера n, члени підпослідовності все ближче підходитимуть до наперед обраної точки.

Наприклад, для точки a = 0 можна вибрати наступну підпослідовність:
.
= 0 .

Для точки a = 1 виберемо таку підпослідовність:
.
Члени цієї підпослідовності сходяться до значення a = 1 .

Оскільки існують підпослідовності, що сходяться до різним значенням, то сама вихідна послідовність не сходиться до жодного числа.

Послідовність, що містить усі раціональні числа

Тепер побудуємо послідовність, яка містить усі раціональні числа. Причому кожне раціональне число входитиме в таку послідовність нескінченне число разів.

Раціональне число r можна представити в наступному вигляді:
,
де – ціле; - Натуральне.
Нам потрібно кожному натуральному числу n поставити у відповідність пару чисел p і q так, щоб будь-яка пара p і q входила до нашої послідовності.

Для цього на площині проводимо осі p і q. Проводимо лінії сітки через цілі значення p і q. Тоді кожен вузол цієї сітки буде відповідати раціональному числу. Усі безліч раціональних чисел буде представлено безліччю вузлів. Нам потрібно знайти спосіб пронумерувати всі вузли, щоби не пропустити жоден вузол. Це легко зробити, якщо нумерувати вузли квадратів, центри яких розташовані в точці (0; 0) (Див. малюнок). При цьому нижні частини квадратів з q < 1 нам не потрібні. Тому вони не відображені на малюнку.

Отже, для верхньої сторони першого квадрата маємо:
.
Далі нумеруємо верхню частинунаступного квадрата:

.
Нумеруємо верхню частину наступного квадрата:

.
І так далі.

У такий спосіб ми отримуємо послідовність, що містить усі раціональні числа. Можна помітити, що будь-яке раціональне число входить до цієї послідовності нескінченне число разів. Дійсно, поряд з вузлом , в цю послідовність також входитимуть вузли , де - натуральне число. Але всі ці вузли відповідають тому самому раціональному числу.

Тоді з побудованої нами послідовності ми можемо виділити підпослідовність (що має нескінченну кількість елементів), всі елементи якої рівні наперед заданому раціональному числу. Оскільки побудована нами послідовність має підпослідовності, що сходяться до різним числам, то послідовність не сходиться до жодного числа.

Висновок

Тут ми дали точне визначення числової послідовності. Також ми порушили питання про її збіжність, ґрунтуючись на інтуїтивних уявленнях. Точне визначеннязбіжності розглядається на сторінці Визначення межі послідовності. Пов'язані з цим властивості та теореми викладені на сторінці

Послідовність як якість особистості – схильність невідступно слідувати чомусь, неухильно проводити в життя що-небудь, здійснювати дії, які безперервно йдуть одна за одною.

Один знатний купець, почувши про дивовижних здібностяхнабожного старця, прийшов до нього в печеру з проханням: «О, шановний праведник! Напиши для моєї родини якесь добре побажання. Я дуже люблю своїх дітей та онуків. І я хочу, щоб вони були щасливими. Дай нам свій заповіт». Благочестивий старець узяв папір, перо — і купець одразу отримав те, про що питав. Побажання було дуже коротким: "Помер дід, помер син, помер онук". — Що ти тут написав, божевільний?! – замахав руками розгніваний купець. - Хіба я прийшов до тебе за прокльонами? - Ти нічого не зрозумів, - відповів праведник. – Усі ми колись повернемося до Небесного Батька. Але прокляття було б, якби я написав: «Помер онук, помер син, помер дід». А ця послідовність правильна. Якщо ви підете у такому порядку, це буде щастям.

Послідовна людина – герой нашого часу, у якому як ніколи високо цінуються практично-аналітичний склад розуму, здоровий прагматизм та реалізм. Роботодавці, які представляють великі організації з амбітними цілямиі завданнями, віддають перевагу людям, у яких послідовність стала яскраво вираженою якістю особистості. У претендентах їх спокушає надійність, передбачуваність, розважливість, рішучість та переконаність у своїх поглядах. Будь-якому керівнику буде до душі впевнена в собі людина, яка вивіреними, відточеними та непохитними діями послідовно найкоротшим шляхомвиконує поставлене перед ним завдання.

Послідовність – рідна сестра цілеспрямованості – здатності рішуче, наполегливо й наполегливо прагнути реалізації своєї мети. Послідовна людина не впустить мети, вона знає свій шлях і нікуди з неї не згорне. Шлях до високої метиможе бути звивистий і довгий. Сторонньому спостерігачеві можуть здатися абсурдними якісь окремі дії послідовності. А «скринька просто відкривається» - вона чітко бачить кінцевий результатсвоїх дій. Окремі дії складаються в логічний ланцюжок, Що приводить послідовність до задуманої мети.

Послідовність - улюблениця мети, їй внутрішньо властиві постійність і зосередженість на якомусь виді робіт, без яких неможливо досягти скільки-небудь гідної мети. Послідовна людина безперервно, не відволікаючись від поставленого завдання, виконує до кінця одну справу і потім переходить до іншого. Він точно і правильно розподіляє час за етапами та періодами, причому постійно обмірковуючи, де і як можна заощадити час.

Найчастіше люди заграють із послідовністю і, не будучи її справжнім власником, відразу отримують від життя повчальний урок за її ілюзію. Необдумано і швидко прийнявши якесь рішення вчора, вони вже вранці не знаходять собі місця – бути непослідовним соромно і неавторитетно. Тому вчорашнє рішення, хоч би яким дурним воно було, доводиться неохоче виконувати, щоб не «впустити честь мундира». Але раптом з'ясовується його суперечливість і шкідливість для справи. Включати впертість? Собі ще більше нашкодити. Піти назад? Говоритимуть, що має сім п'ятниць на тижні. І починається шарахання в думках, діях та вчинках. Людину лихоманить страх перед покаранням, а й перед начальством невигідно оголювати фрагментарність своєї натури. У результаті лжепретенденту на послідовність дорого обходиться ілюзія своєї особистісної цілісності.

Послідовність завжди високо котирувалася громадською думкою, Вважалася одним з атрибутів справедливості, тому люди успадкували від своїх далеких предків прагнення виглядати послідовними у своїх словах і справах. Вона завжди асоціювалася з інтелектуальністю, силою, логікою, раціональністю, стабільністю та чесністю. Як сказав великий англійський фізик Майкл Фарадей, послідовність часом схвалюється в більшою мірою, Чим правота. Коли Фарадея якось після лекції запитали, чи не вважає він, що ненавидимий ним вчений суперник завжди неправий, Фарадей сердито подивився на запитувача і відповів: «Він не настільки послідовний». Непослідовна людина – невигідна соціальний статусяк символ легковажності, непостійності та ненадійності. З ним ніхто не хоче мати справи. Цілком зрозуміло, чому люди побоюються уславитися непослідовними – це пряма загроза опинитися на громадських задвірках.

Страх бути непослідовним – напрочуд цікавий та привабливий об'єкт маніпуляцією людьми. Послідовність, як велика людська гідність, Як чудова якість особистості, стає гачком, за який маніпулятори чіпляють люди заради досягнення своїх корисливих цілей. Справа в тому, що атрибутом послідовності є автоматизм, певна машинальність у виконанні своїх дій. В цілому автоматизм раціональний і корисний, дозволяючи людині не замислюватися щоразу над кожною своєю дією і тим самим економити масу часу.

Роберт Б. Чалдіні зауважив: «Оскільки нам зазвичай корисно бути послідовними, ми піддаємося спокусі бути такими автоматично, навіть у ситуаціях, коли це нерозсудливо. Якщо послідовність проявляється бездумно, вона може бути згубною… Автоматичне прагнення до послідовності є свого роду щитом, який виставляє мислення. Не дивно, що цей механізм інтенсивно використовується тими, хто воліє, щоб ми не реагували на їхні вимоги. Для таких експлуататорів наше автоматичне прагнення до послідовності є золотою жилою. Вони вміють так спритно змусити нас програвати свої «магнітофонні записи послідовності», коли їм це вигідно, що ми навіть не усвідомлюємо, що нас упіймали. У чудово відточеному стилі джіу-джитсу такі люди вибудовують взаємини з нами таким чином, що наше власне бажаннябути послідовним приносить їм прямий зиск».

Розглянемо прийом маніпуляторів «Починай із малого». Якось сказавши «Так», підтвердивши свою згоду, надалі людинастає поступливішим і згідливішим. Поступившись у дрібницях, наступне прохання, якщо вона буде логічним продовженням першого прохання, людина виконує, відштовхуючись тільки від принципу послідовності. «Ми їдемо у відпустку, – каже сусід, – у нас до Вас величезне прохання – поливати квіти у квартирі. Ось ключі». Ви даєте згоду та почуваєте себе безкорисливою людиною, мало не альтруїстом. Через півроку він знову звертається до Вас: «Ми відлітаємо з дружиною на два тижні до Тайланду. Знову до Вас величезне прохання – поливати квіти та доглядати за нашим песиком. Його треба вранці та ввечері вигулювати, а корм ми Вам залишаємо». Вам вже незручно бути непослідовним, можна, звичайно, відмовитись, але Ви вже розумієте, як неприємно потім буде на душі, адже Ви – альтруїст, треба відповідати високого значенняцього слова.

До прийомів маніпуляції на прагненні людей бути послідовними можна також віднести письмову згоду. Більшість людей, підписуючись під якоюсь заявою чи анкетою, надалі автоматично починають захищати те, що там було прописано, навіть якщо підпис ставився на «автопілоті», машинально чи під впливом обставин.

"Добре" себе зарекомендував прийом "публічна заява про хороший стан справ". Коли з людей хочуть вивудити гроші на благодійність, починають здалеку: наприклад, із питань про фінансовий стан фірми чи саму людину. «Як ваша фірма почувається на ринку? Чи вважаєте ви себе процвітаючим і активною людиною?». Коли люди розслабляються, йде атака: «Чи погодитеся допомогти нужденним?». Людям, які заявили про хорошому станісправ, вже важко бути непослідовними. Маніпулятори досить потирають руки і радіють, що люди мають таку якість особистості як «годувальниця ти наша, Послідовність!»

Петро Ковальов

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Послідовність- це набірелементів деякої множини:

• для кожного натурального числа можна вказати елемент даної множини;
• це число є номером елемента та позначає позицію даного елементау послідовності;
• для будь-якого елемента (члена) послідовності можна вказати наступний за ним елемент послідовності.

Таким чином, послідовність виявляється результатом послідовноговибору елементів заданої множини. І якщо будь-який набір елементів є кінцевим, і говорять про вибірку кінцевого об'єму, то послідовність виявляється вибіркою нескінченного об'єму.

Послідовність за своєю природою – відображення, тому його не слід змішувати з безліччю, яка «пробігає» послідовність.

У математиці розглядається безліч різних послідовностей:

• тимчасові ряди як числової, так і не числової природи;
• послідовності елементів метричного простору
• послідовності елементів функціонального простору
• послідовності станів систем управління та автоматів.

Метою вивчення різноманітних послідовностей є пошук закономірностей, прогноз майбутніх станів та генерація послідовностей.

Визначення

Нехай задано деяку кількість $X$елементів довільної природи. | Будь-яке відображення $f\backslash colon\backslash mathbb(N)\backslash to\; X$безлічі натуральних чисел $\backslash mathbb(N)$в задана безліч $X$називається послідовністю(елементів множини $X$).

Образ натурального числа $n$, а саме, елемент $x\_n=f(n)$, називається $n$-їм членомабо елементом послідовності, а порядковий номерчлена послідовності – її індексом.

Пов'язані визначення

• Підмножина $f\backslash left[\backslash mathbb(N)\backslash right]$безлічі $X$, що утворено елементами послідовності, називається носієм послідовності: поки індекс пробігає безліч натуральних чисел, точка, що «зображує» послідовність, «переміщається» носієм.

• Якщо взяти зростаючу послідовність натуральних чисел, то її можна розглядати як послідовність індексів деякої послідовності: якщо взяти елементи вихідної послідовності з відповідними індексами (взято з зростаючої послідовності натуральних чисел), то можна знову отримати послідовність, яка називається підпослідовністюзаданої послідовності.

Коментарі

• Не слід змішувати носій послідовності та саму послідовність! Наприклад, точка $a\backslash in\; X$як одноточкове підмножина $\backslash (a\backslash )\backslash subset\; X$є носієм стаціонарної послідовностівиду $a,a,a,\backslash dots$.

• Будь-яке відображення безлічі $\backslash mathbb(N)$у собі також є послідовністю.

• У математичному аналізі важливим поняттямє межа числової послідовності.

Позначення

Послідовності виду

$x\_1,\; \backslash quad\; x\_2,\; \backslash quad\; x\_3,\; \backslash quad\backslash dots$

прийнято компактно записувати за допомогою круглих дужок:

$(x\_n)$або $(x\_n)\_(n=1)^(\backslash infty)$

іноді використовуються фігурні дужки:

$\backslash (x\_n\backslash )\_(n=1)^(\backslash infty)$

Допускаючи деяку вільність мови, можна розглядати і кінцеві послідовності виду

$(x\_n)\_(n=1)^N$,

які є образ початкового відрізка послідовності натуральних чисел.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Послідовність"

Примітки

Література

• Послідовність // Енциклопедичний словник юного математика/ Упоряд. А. П. Савін. – М.: Педагогіка, 1985. – С. 242-245. – 352 с.

Уривок, що характеризує Послідовність

Коли П'єр повернувся додому, йому подали дві принесені цього дня афіші Растопчина.
У першій йшлося про те, що чутка, ніби графом Растопчиним заборонено виїзд із Москви, – несправедливий і що, навпаки, граф Растопчин радий, що з Москви виїжджають пані та купецькі дружини. «Менше страху, менше новин, – говорилося в афіші, – але я життям відповідаю, що лиходій у Москві не буде». Ці слова вперше ясно виявили П'єру, що французи будуть у Москві. У другій афіші говорилося, що головна квартира наша у Вязьмі, що граф Вітгснштейн переміг французів, але оскільки багато жителів бажають озброїтися, то для них є приготована в арсеналі зброя: шаблі, пістолети, рушниці, які жителі можуть отримувати за дешевою ціною. Тон афіш був уже не такий жартівливий, як у колишніх чигиринських розмовах. П'єр замислився над цими афішами. Очевидно, та страшна грозова хмара, яку він закликав усіма силами своєї душі і яка водночас збуджувала в ньому мимовільний жах, – очевидно, хмара ця наближалася.

Вступ………………………………………………………………………………3

1.Теоретична частина……………………………………………………………….4

Основні поняття та терміни…………………………………………………....4

1.1 Види послідовностей…………………………………………………...6

1.1.1.Обмежені та необмежені числові послідовності…..6

1.1.2.Монотонність послідовностей…………………………………6

1.1.3.Безкінечно великі і нескінченно малі послідовності…….7

1.1.4.Властивості нескінченно малих послідовностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся і розбіжні послідовності та його свойства..…9

1.2 Межа послідовності………………………………………………….11

1.2.1.Теореми про межі послідовностей……………………………15

1.3.Арифметична прогресія…………………………………………………17

1.3.1. Властивості арифметичної прогресії…………………………………..17

1.4 Геометрична прогресія…………………………………………………..19

1.4.1. Властивості геометричної прогресії…………………………………….19

1.5. Числа Фібоначчі……………………………………………………………..21

1.5.1 Зв'язок чисел Фібоначчі з іншими галузями знань…………………….22

1.5.2. Використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи…………………………………………………………………………….23

2. Власні дослідження…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список використаної литературы…………………………………………....31

Вступ.

Числові послідовності це дуже цікава та пізнавальна тема. Ця тема зустрічається у завданнях підвищеної складності, які пропонують учням автори дидактичних матеріалів, у завданнях математичних олімпіад, вступних іспитіву Вищі Навчальні закладита на ЄДІ. Мені цікаво дізнатися зв'язок математичних послідовностейз іншими галузями знань.

Ціль дослідницької роботи: Розширити знання про числову послідовність

1. Розглянути послідовність;

2. Розглянути її властивості;

3. Розглянути аналітичне завданняпослідовності;

4. Продемонструвати її роль розвитку інших галузей знань.

5. Продемонструвати використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи.

1. Теоретична частина.

Основні поняття та терміни.

Визначення. Числова послідовність - функція виду y = f (x), x О N, де N - безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y = f(n) або y1, y2,…, yn,…. Значення y1, y2, y3, називають відповідно першим, другим, третім, ... членами послідовності.

Число a називається межею послідовності x = (x n ), якщо довільного заздалегідь заданого скільки завгодно малого позитивного числа ε знайдеться таке натуральне число N, що з усіх n>N виконується нерівність |x n - a|< ε.

Якщо число a є межа послідовності x = (x n ), то кажуть, що x n прагне a і пишуть

Послідовність (yn) називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Послідовність (yn) називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності об'єднують загальним терміном– монотонні послідовності.

Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду.

Арифметична прогресія- це послідовність (an), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює суміпопереднього члена і однієї й тієї ж числа d, називають арифметичної прогресією, а число d – різницею арифметичної прогресії.

Таким чином, арифметична прогресія– це числова послідовність (an), задана рекурентно співвідношеннями

a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрична прогресія- це послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те число q.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність (bn), задана рекурентно співвідношеннями

b1 = b, bn = bn-1q (n = 2, 3, 4 ...).

1.1 Види послідовностей.

1.1.1 Обмежені та необмежені послідовності.

Послідовність (bn) називають обмеженою зверху, якщо є таке число М, що з будь-якого номера n виконується нерівність bn≤ M;

Послідовність (bn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число М, що для будь-якого номера n виконується нерівність bn≥ М;

Наприклад:

1.1.2 Монотонність послідовностей.

Послідовність (bn) називають незростаючою (неубутньою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Послідовність (bn) називають спадною (зростаючою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn> bn+1 (bn

Убутні і зростаючі послідовності називають строго монотонними, незростаючі-монотонними у сенсі.

Послідовності, обмежені одночасно зверху та знизу, називаються обмеженими.

Послідовність всіх цих типів носять загальну назву-монотонні.

1.1.3 Нескінченно великі та малі послідовності.

Нескінченно мала послідовність - це числова функція або послідовність, яка прагне нуля.

Послідовність an називається нескінченно малою, якщо

Функція називається нескінченно малою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)=0.

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)=0 або ℓimx→-∞ f(x)=0

Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a) = 0.

Нескінченно велика послідовність-числова функція чи послідовність, яка прагне нескінченності.

Послідовність an називається нескінченно великою, якщо

ℓimn→0 an=∞.

Функція називається нескінченно великою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функція називається нескінченно великою на нескінченності, якщо

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ або ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Властивості нескінченно малих послідовностей.

Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена.

Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю.

Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі.

Якщо (xn) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, існує послідовність (1/xn) , яка є нескінченно малою. Якщо ж все ж таки (xn) містить нульові елементи, то послідовність (1/xn) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно малою.

Якщо (an) - нескінченно мала послідовність, яка містить нульових членів, існує послідовність (1/an), яка є нескінченно великий. Якщо ж все ж таки (an) містить нульові елементи, то послідовність (1/an) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно великий.

1.1.5 Схожі та розбіжні послідовності та їх властивості.

Сходящаяся послідовність- це послідовність елементів множини Х, що має межу в цьому множині.

Розбіжна послідовність- це послідовність, яка не є схожою.

Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю.

Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності.

Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться.

Якщо послідовність (xn) сходиться, але не є дуже малою, то, починаючи з деякого номера, визначена послідовність (1/xn), яка є обмеженою.

Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить.

Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней.

Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої.

Вида y= f(x), xПро N, де N- множина натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y=f(n) або y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Значення y 1 ,y 2 ,y 3 ,… називають відповідно першим, другим, третім, … членами послідовності.

Наприклад, для функції y= n 2 можна записати:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способи завдання послідовностей.Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливими є три: аналітичний, описовий і рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана її формула n-го члена:

y n=f(n).

приклад. y n= 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий Метод завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, йдеться про стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

Приклад 2. "Послідовність складається з усіх простих чисел у порядку зростання". Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності в даному прикладі важко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere- Повертатися. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкові члени послідовності.

приклад 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4,….

Тут y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можна бачити, що отриману у цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: y n= 4n – 1.

приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….

Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають у математиці, оскільки вона має низку цікавих властивостей та додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі - на ім'я італійського математика 13 ст. Задати послідовність Фібоначчі рекурентно дуже легко, а аналітично – дуже важко. n-е число Фібоначчі виражається через його порядковий номер наступною формулою.

На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, що задає послідовність одних тільки натуральних чисел, міститься квадратне коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.

Властивості числових послідовностей.

Числова послідовність – окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються й у послідовностей.

Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

приклад 1. y 1 = 1; y n= n 2 – зростаюча послідовність.

Отже, вірна наступна теорема (характеристичне властивість арифметичної прогресії). Числова послідовність є арифметичною тоді і лише тоді, коли кожен її член, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

приклад. При якому значенні xчисла 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 утворюють кінцеву арифметичну прогресію?

Згідно характеристичної властивості, задані висловлювання повинні задовольняти співвідношення

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Вирішення цього рівняння дає x= –5,5. При цьому значення xзадані вирази 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 приймають, відповідно, значення -14,5, –31,5, –48,5. Це – арифметична прогресія, її різниця дорівнює –17.

Геометрична прогресія.

Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне й те число q, називають геометричною прогресією, а число q– знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність ( b n), задана рекурентно співвідношеннями

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bі q –задані числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Приклад 1. 2, 6, 18, 54, ... - Зростаюча геометрична прогресія b = 2, q = 3.

Приклад 2. 2, -2, 2, -2, … – геометрична прогресія b= 2,q= –1.

Приклад 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресія b= 8, q= 1.

Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q> 1, і спадної, якщо b 1 > 0, 0 q

Одне з очевидних властивостей геометричної прогресії у тому, що й послідовність є геометричної прогресією, те й послідовність квадратів, тобто.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює b 1 2 , а знаменник – q 2 .

Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд

b n= b 1 q n– 1 .

Можна одержати формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

нехай S n –сума її членів, тобто.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Приймається, що q№ 1. Для визначення S nзастосовується штучний прийом: виконуються деякі геометричні перетвореннявирази S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Таким чином, S n q= S n +b n q – b 1 і, отже,

Це формула з умми n членів геометричної прогресіїдля випадку, коли q≠ 1.

При q= 1 формулу можна виводити окремо, очевидно, що у разі S n= a 1 n.

Геометрична прогресія названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попереднього і наступного членів. Справді, оскільки

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

отже, b n 2= b n- 1 b n+ 1 і вірна наступна теорема (характеристичне властивість геометричної прогресії):

числова послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює творупопереднього та наступного членів.

Межа послідовності.

Нехай є послідовність ( c n} = {1/n}. Цю послідовність називають гармонійною, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнім гармонійним між попереднім і наступним членами. Середнє геометричних чисел aі bє число

В іншому випадку послідовність називається розбіжною.

Спираючись на це визначення, можна, наприклад, довести наявність межі A = 0у гармонійної послідовності ( c n} = {1/n). Нехай ε – скільки завгодно мале додатне число. Розглядається різниця

Чи існує таке N, що для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /N? Якщо взяти як Nбудь-яке натуральне число, що перевищує 1/ε , то для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /n ≤ 1/N ε , що й потрібно було довести.

Довести наявність межі в тій чи іншій послідовності іноді дуже складно. Найпоширеніші послідовності добре вивчені і наводяться в довідниках. Є важливі теореми, дозволяють зробити висновок наявність межі в даної послідовності (і навіть обчислити його), спираючись на вже вивчені послідовності.

Теорема 1. Якщо послідовність має межу, вона обмежена.

Теорема 2. Якщо послідовність монотонна і обмежена, вона має межу.

Теорема 3. Якщо послідовність ( a n} має межу A, то послідовності ( ca n}, {a n+ с) та (| a n|} мають межі cA, A +c, |A| відповідно (тут c- Довільне число).

Теорема 4. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі B pa n + qb n) має межу pA+ qB.

Теорема 5. Якщо послідовності ( a n) та ( b n)мають межі, рівні Aі Bвідповідно, то послідовність ( a n b n) має межу AB.

Теорема 6. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі Bвідповідно, і, крім того, b n ≠ 0 та B ≠ 0, то послідовність ( a n / b n) має межу A/B.

Ганна Чугайнова