Як вирішуються числові вирази. Числові вирази, перетворення! Умови для вираження, яке не має сенсу

На цьому уроці ви розгляньте тему « Числові вирази. Порівняння числових виразів». Це заняттяпознайомить вас із визначенням числових виразів. Ви дізнаєтеся, що числові вирази можна прочитати. Також ви навчитеся знаходити їх значення та порівнювати. Декілька практичних прикладівдопоможуть закріпити вивчений матеріал.

Урок: Числові вирази. Порівняння числових виразів

Подивіться дані висловлювання і постарайтеся знайти серед них зайве.

20 + а
з + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

Зайвою є запис 18 > 9 (18 більше 9). Як ви вважаєте чому?

Правильна відповідь: тому що лише в ній використано знак порівняння. У решті використані знаки дії.

Записані вирази можна розділити на дві групи:

Літерні вирази Числові вирази
20 + a 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)

Літерні вирази- це вирази, у яких використовуються літери латинського алфавіту.

Числові вирази- Числа, з'єднані знаками дії. Числові вирази можна прочитати.

6 + 8 … (сума 6 та 8)

15 - (10 + 2) ... (від 15 відняти суму 10 і 2)

Знайдемо значення виразів:

15 - (10 + 2) = …
Спочатку виконуємо дію, записану у дужках. До 10 додаємо 2.
10 + 2 = 12
Тепер потрібно від 15 відняти 12.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

Тепер виконаємо завдання:

Ми повторили, що означає знайти значення числового виразу.

Тепер ми маємо навчитися порівнювати числові вирази. Порівняти числове вираз - знайти значення кожного з виразів та їх порівняти.

Давайте порівняємо значення двох виразів. Для цього знайдемо значення кожного з них.

Тепер порівняємо значення ще двох виразів:

У цій статті розглянуто, як знаходити значення математичних виразів. Почнемо з простих числових виразів і далі розглядатимемо випадки у міру зростання їх складності. Наприкінці наведемо вираз, що містить літерні позначення, дужки, коріння, спеціальні математичні знаки, ступеня, функції та ін. Всю теорію, за традицією, забезпечимо багатими та докладними прикладами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Як знайти значення числового виразу?

Числові висловлювання, крім іншого, допомагають описувати умову задачі математичною мовою. Взагалі математичні вирази можуть бути як дуже простими, що складаються з кількох чисел і арифметичних знаків, і дуже складними, містять функції, ступеня, коріння, дужки тощо. В рамках завдання часто необхідно знайти значення того чи іншого виразу. Про те, як це робити, та піде мованижче.

Найпростіші випадки

Це випадки, коли вираз не містить нічого, крім чисел та арифметичних дій. Для успішного знаходження значень таких виразів знадобляться знання порядку виконання арифметичних дій без дужок, а також уміння виконувати дії з різними числами.

Якщо у виразі є лише числа та арифметичні знаки "+", "·", "-", "÷", то дії виконуються зліва направо в наступному порядку: спочатку множення та поділ, потім додавання та віднімання. Наведемо приклади.

Приклад 1. Значення числового виразу

Нехай потрібно знайти значення виразу 14-2 · 15 ÷ 6-3.

Виконаємо спочатку множення та розподіл. Отримуємо:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Тепер проводимо віднімання та отримуємо остаточний результат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Приклад 2. Значення числового виразу

Обчислимо: 0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Спочатку виконуємо перетворення дробів, розподіл та множення:

0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Тепер займемося додаванням та відніманням. Згрупуємо дроби та приведемо їх до спільного знаменника:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Шукане значення знайдено.

Вирази з дужками

Якщо вираз містить дужки, то вони визначають порядок дій у цьому виразі. Спочатку виконуються дії у дужках, а потім уже всі інші. Покажемо на прикладі.

Приклад 3. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу 0,5 · (0,76 - 0,06).

У виразі присутні дужки, тому спочатку виконуємо операцію віднімання у дужках, а вже потім – множення.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Значення виразів, що містять дужки в дужках, знаходиться за таким же принципом.

Приклад 4. Значення числового виразу

Обчислимо значення 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Виконувати дії будемо починаючи з внутрішніх дужок, переходячи до зовнішніх.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2, 5 = 1 + 2 · 6 = 13.

У знаходженні значень виразів з дужками головне - дотримуватися послідовності дій.

Вирази з корінням

Математичні вирази, значення яких потрібно знайти, можуть містити знаки кореня. Причому сам вираз може бути під знаком кореня. Як бути у такому разі? Спочатку потрібно знайти значення виразу під коренем, а потім витягти корінь із числа, отриманого в результаті. По можливості від коренів у числових виразах потрібно краще позбавлятися, замінюючи на числові значення.

Приклад 5. Значення числового виразу

Обчислимо значення виразу з корінням - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 .

Спочатку обчислюємо підкорені вирази.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 · 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Тепер можна обчислити значення всього виразу.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 = 2 + 3 · 1, 5 = 6, 5

Часто знайти значення виразу з корінням часто потрібно спочатку провести перетворення вихідного виразу. Пояснимо це ще на одному прикладі.

Приклад 6. Значення числового виразу

Скільки буде 3 + 1 3 - 1 - 1

Як бачимо, ми не маємо можливості замінити корінь точним значенням, що ускладнює процес рахунку. Однак, у даному випадкуможна застосувати формулу скороченого множення.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Таким чином:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Вирази зі ступенями

Якщо у вираженні є ступеня, їх значення треба обчислити перш, ніж приступати до решти дій. Буває так, що сам показник чи основа ступеня є виразами. У такому разі спочатку обчислюють значення цих виразів, а потім уже значення ступеня.

Приклад 7. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 .

Починаємо обчислювати по порядку.

2 3 · 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Залишилося тільки провести операцію додавання і дізнатися значення виразу:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Також часто доцільно буває провести спрощення вираження з використанням властивостей ступеня.

Приклад 8. Значення числового виразу

Обчислимо значення наступного виразу: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показники ступенів знову такі, що їх точні числові значення здобути не вдасться. Спростимо вихідний вираз, щоб знайти його значення.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 = 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 = 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Вирази з дробами

Якщо вираз містить дроби, то при обчисленні такого виразу всі дроби у ньому потрібно подати у вигляді звичайних дробівта обчислити їх значення.

Якщо в чисельнику та знаменнику дробу присутні вирази, то спочатку обчислюються значення цих виразів, і записується фінальне значення самого дробу. Арифметичні дії виконуються у стандартному порядку. Розглянемо рішення прикладу.

Приклад 9. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу, що містить дроби: 3 , 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Як бачимо, у вихідному виразі є три дроби. Обчислимо спочатку їх значення.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 · 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Перепишемо наш вираз і обчислимо його значення:

1 , 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при знаходженні значень виразів зручно проводити скорочення дробів. Існує негласне правило: будь-який вираз перед знаходженням його значення найкраще спростити по максимуму, зводячи всі обчислення до найпростіших випадків.

Приклад 10. Значення числового виразу

Обчислимо вираз 25-1-25-74-3.

Ми не можемо націло витягти корінь із п'яти, проте можемо спростити вихідне вираження шляхом перетворень.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Вихідний вираз набуває вигляду:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Обчислимо значення цього виразу:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Висловлювання з логарифмами

Коли у виразі є логарифми, їх значення, якщо це можливо, обчислюється з самого початку. Наприклад, у виразі log 24 + 2 · 4 можна відразу замість log 24 записати значення цього логарифму, а потім виконати всі дії. Отримаємо: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Під самим знаком логарифму і в його підставі також можуть бути числові вирази. У такому разі, насамперед знаходяться їх значення. Візьмемо вираз log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Маємо:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Якщо ж обчислити точне значення логарифму неможливо, спрощення виразу допомагає знайти значення.

Приклад 11. Значення числового виразу

Знайдемо значення виразу log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0,2 27 .

log 2 log 2256 = log 2 8 = 3 .

За якістю логарифмів:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1 .

Знову застосовуючи властивості логарифмів, для останнього дробу у виразі отримаємо:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Тепер можна переходити до обчислення значення вихідного виразу.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0,2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Вирази з тригонометричними функціями

Буває, що у виразі є тригонометричні функції синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також функції, зворотні їм. Зі значення обчислюються перед виконанням всіх інших арифметичних дій. Інакше вираз спрощується.

Приклад 12. Значення числового виразу

Знайдіть значення виразу: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ .

Спочатку обчислюємо значення тригонометричних функцій, що входять до виразу.

sin - 5 π 2 = - 1

Підставляємо значення вираз і обчислюємо його значення:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3 .

Значення виразу знайдено.

Часто для того, щоб знайти значення виразу з тригонометричними функціями, його попередньо потрібно перетворити. Пояснимо на прикладі.

Приклад 13. Значення числового виразу

Потрібно знайти значення вираз cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 .

Для перетворення будемо використовувати тригонометричні формуликосинуса подвійного кутата косинуса суми.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Загальний випадок числового виразу

У загальному випадку тригонометричний виразможе містити всі описані вище елементи: дужки, ступеня, коріння, логарифми, функції. Сформулюємо загальне правилознаходження значень таких виразів.

Як знайти значення виразу

1. Коріння, ступеня, логарифми і т.д. замінюються їх значеннями.
2. Виконуються дії у дужках.
3. дії, Що Залишилися, виконуються по порядку зліва направо. Спочатку - множення та розподіл, потім - додавання та віднімання.

Розберемо приклад.

Приклад 14. Значення числового виразу

Обчислимо, чому дорівнює значення виразу - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 lne 2 + 1 + 3 9 .

Вираз досить складний і громіздкий. Ми невипадково вибрали саме такий приклад, постаравшись вмістити у нього всі описані вище випадки. Як знайти значення такого виразу?

Відомо, що при обчисленні складного значення дробового вигляду, спочатку окремо знаходяться значення чисельника та знаменника дробу відповідно. Будемо послідовно перетворювати і спрощувати цей вираз.

Насамперед обчислимо значення підкореного виразу 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Щоб зробити це, потрібно знайти значення синуса і виразу, який є аргументом тригонометричної функції.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Тепер можна дізнатися значення синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Обчислюємо значення підкореного виразу:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Зі знаменником дробу все простіше:

Тепер ми можемо записати значення всього дробу:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

З урахуванням цього, запишемо всі вирази:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Остаточний результат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

У цьому випадку ми змогли обчислити точні значеннякоріння, логарифми, синуси і т.д. Якщо такої можливості немає, можна спробувати позбутися їх шляхом математичних перетворень.

Обчислення значень виразів раціональними способами

Обчислювати значення числових потрібно послідовно та акуратно. Цей процесможна раціоналізувати та прискорити, використовуючи різні властивостідій із числами. Наприклад, відомо, що добуток дорівнює нулю, якщо нулю дорівнює хоча б один із множників. З урахуванням цієї властивості, можна відразу сказати, що вираз 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 дорівнює нулю. При цьому зовсім не обов'язково виконувати дії по порядку, описаному в статті вище.

Також зручно використовувати властивість віднімання рівних чисел. Не виконуючи жодних дій, можна замовити, що значення виразу 56 + 8 - 3 , 789 lne 2 - 56 + 8 - 3 , 789 lne 2 також дорівнює нулю.

Ще один прийом, що дозволяє прискорити процес - використання тотожних перетворень таких як угруповання доданків та множників та винесення спільного множниказа дужки. Раціональний підхіддо обчислення виразів із дробами - скорочення однакових виразіву чисельнику та знаменнику.

Наприклад, візьмемо вираз 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не виконуючи дій у дужках, а скорочуючи дріб, можна сказати, що значення виразу дорівнює 13.

Знаходження значень виразів із змінними

Значення буквеного виразуі вирази із змінними перебуває для конкретних заданих значень літер та змінних.

Знаходження значень виразів із змінними

Щоб знайти значення буквеного виразу та виразу зі змінними, потрібно у вихідний вираз підставити задані значеннялітер і змінних, після чого обчислити значення одержаного числового виразу.

Приклад 15. Значення виразу зі змінними

Обчислити значення виразу 0 5 x - y при заданих x = 2 4 і y = 5 .

Підставляємо значення змінних у вираз і обчислюємо:

0,5 x - y = 0,5 · 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8 .

Іноді можна так перетворити вираз, щоб отримати його значення незалежно від значень літер і змінних, що входять до нього. Для цього літер і змінних у виразі потрібно по можливості позбутися, використовуючи тотожні перетворення, властивості арифметичних дій та всі можливі інші способи

Наприклад, вираз х + 3 - х, очевидно, має значення 3 і для обчислення цього значення зовсім необов'язково знати значення змінної ікс. Значення даного виразу дорівнює трьом всім значень змінної ікс з її області допустимих значень.

Ще один приклад. Значення виразу x x дорівнює одиниці всім позитивних іксів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У пп. 8.2.1 було показано, що алгебраїчні поняттяє засобами узагальнення, мовою опису арифметичних процесів. Поняття математичного вираження іншої природи, ніж поняття додавання, віднімання, множення та поділу. Відносини між цими поняттями вважатимуться відносинами форми і змісту: математичні висловлювання є однією з форм знакового, письмового позначення арифметичних процесів. Числове вираз вважатимуться також однією з форм числа, оскільки кожне числове вираз має єдине числове значення - число.

Вирази з'являються у навчанні математики, як тільки в першому класі з'являються записи виду 2 + 3, 4 - 3 при вивченні дей-

ств складання та віднімання. Спочатку їх так і називають: запис додавання, запис віднімання. Як відомо, ці записи мають і власні імена: «сума», «різниця», які можуть бути введені на одному уроці разом з відповідними діями або через деякий час. А поняття висловлювання предметом вивчення слід робити лише після того, як у учнів вже буде певний практичний досвід дій із такими записами. При цьому вчитель може використовувати термін «вираз» у своїй промові, не вимагаючи від дітей його вживання, але вводячи його в пасивну лексикуучнів. Саме так відбувається, коли повсякденному життіколи діти чують нове слово, віднесене до візуально виділеного об'єкта. Наприклад, вказуючи на записи додавання та віднімання через кілька уроків після введення цих дій, вчитель каже: «Прочитайте ці записи, ці вирази: …», «Знайдіть у підручнику під № … вираз, у якому з семи потрібно відняти три. …», «Розгляньте ці вирази (показує на дошці). Прочитайте те, що дозволяє знайти число, на 3 більше ніж 5, у якому є число, на 3 більше ніж 5; на 3 менше ніж 5».

При вивченні числових виразів у початковій школірозглядають наступні поняттята способи дій.

Поняття: математичний вираз, числовий вираз (вираз), види числових виразів(в одну дію і в кілька дій; зі дужками і без дужок; що містять дії одного ступеня та дії двох щаблів); числове значення виразу; правила порядку дій; порівняння відносин.

Способи дій: читання виразів в одну - дві дії; запис виразів під диктування в одну - дві дії; визначення порядку дій; обчислення значення виразів за правилами порядку дій; порівняння двох числових виразів; перетворення виразів - заміна одного виразу рівним йому іншим з урахуванням властивостей дій.

Введення понять.Урок введення поняття виразукорисно розпочати з обговорення записів. Які записи бувають? Навіщо люди пишуть? Навіщо ви вчитеся писати? Які записи ми робимо щодо математики? (Діти звертаються до своїх зошитів, до підручника, до заздалегідь підготовлених карток з прикладами записів із тих, які у період навчання робили учні.) Які групи можна розділити записи щодо математики?

В результаті такого обговорення акцентуємо увагу на двох основних групах записів: запис чисел та запис арифметичних дій. Записи арифметичних дій, у свою чергу, ділимо на дві групи: без обчислень і з обчисленнями, тобто виду 2 + 3 і 2 + 3 = 5. На підставі цієї класифікації повідомляємо учням, що запис додавання та віднімання виду 2 + 3 і 7 -5,а також будь-який запис складений з таких записів, наприклад, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 і подібні до них, прийнято називати (домовилися називати) математичним

виразом,або просто виразом. Далі, як і запровадження інших понять, необхідне виконання завдань розпізнавання, навчання універсальному навчальному дії - розпізнаванню об'єктів, які стосуються досліджуваному понятию. До об'єктів, що розпізнаються, повинні бути включені такі, які володіють не всіма загальними (істотними) властивостями поняття і тому не представляють дане поняттяі підпадають під поняття, але мають різні варіативні (несуттєві) властивості. Наприклад: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6 = 18-3-3 = 15- 3 = 12.

Оскільки записи, звані висловлюваннями, вже використовувалися, читалися і записувалися учнями, необхідно узагальнити методи читання висловлювань. Наприклад, вираз 17 - 10 може бути прочитаний як "різниця чисел 17 і 10", як завдання - "з 17 відняти 10", "зменшити число 17 на 10" або "знайти число, менше сімнадцяти на десять" і за подібними назвами навчаємо учнів записувати вирази. У надалі питання: як прочитати записаний вираз і як записати названий вираз обговорюються з появою нових видів виразів.

На тому ж уроці, де вводимо поняття виразу, вводимо і поняття значення виразу -число, що у результаті виконання всіх його арифметичних дій.

Для підбиття підсумку введення понять та планування подальшої роботи, корисно обговорити на цьому чи на наступних урокахЗапитання: Скільки існує виразів? Чим один вираз може бути подібним до іншого? Чим може відрізнятись від іншого? Чим усі вирази схожі один на одного? Про що можуть повідомити висловлювання? Що можна робити із виразами? Чому потрібно (можна навчитися), вивчаючи вирази?

Відповідаючи на останнє запитання разом із учнями формулюємо навчальні цілі майбутньої діяльності: можна навчитися і будемо вчитися читати та записувати вирази, знаходити значення виразів, порівнювати вирази.

Читання та запис виразів.Оскільки вирази суть записи, потрібно вміти їх читати. Основні способи читання задаються під час введення дій. Читати вираз можна як найменування, як список знаків, як завдання чи питання. Після вивчення відносин «менше (більше) на», «менше (більше)» між числами виразу читаються ще й як твердження або питання про відносини рівності та нерівності. Кожен спосіб читання розкриває певну межу сенсу відповідної дії чи дій. Тому дуже корисно заохочувати різні способичитання. Зразок читання задає вчитель під час введення дії чи під час розгляду відповідного поняття, властивості чи відносини.

Основу читання будь-якого виразу становить читання висловлювання на одну дію. Навчання читання відбувається як і навчання любо-

му читання під час виконання завдань, потребують такого читання. Це можуть бути спеціальні завдання: «Прочитай вирази». Читання необхідно під час перевірки значень виразу (читають вираз у складі рівності), при повідомленні про результати порівняння. Важливо і зворотна дія: запис виразу за його назвою або заданим завданням, відношенню. Такі дії учні виконують під час проведення математичних диктантів, спеціально призначених для формування вміння записувати вирази або у складі завдань на обчислення, порівняння та ін.

Покажемо на прикладах способи читання основних видів простих виразів:

1) 2 + 3 до двох додати три; скласти числа два та три; сум
ма чисел два і три; два плюс три; знайти суму чисел два та три;

Знайти суму доданків два і три; знайти число, на три більше,
ніж число два; два збільшити на три; перше доданок 2, друге
доданок 3, знайти суму;

2) 5 - 3 з п'яти відняти (у жодному разі не "відібрати 1"!) три;

Різниця чисел п'ять і три; п'ять мінус три; знайти різницю
чисел п'ять і три; зменшуване п'ять, віднімається три, знайти раз
ність; знайти число на три менше, ніж п'ять; п'ять зменшити
на три;

3) 2 · 3 два взяти доданком три рази; по два взяти тричі;

Два помножити на три; добуток чисел два і три; перший
множник два, другий - три, знайти твір; знайти вироби
ведення чисел два та три; двічі три, тричі дві; два збільшити
У три рази; знайти число втричі більше, ніж два; перший багато
мешканець два, другий три, знайти твір;

4) 12:4 дванадцять поділити на чотири; приватне чисел двінад
цать і чотири приватне дванадцяти та чотирьох); приватна від поділу
дванадцяти на чотири; ділене дванадцять, дільник чотири, знайти
приватне (для 13:4 – знайти приватне та залишок); зменшити 12 в че
чотири рази; знайти число, вчетверо менше, ніж дванадцять.

Читання виразів, що містять більше двох дій, викликає у молодших школярівпевні проблеми. У плановані предметні результатитому вміння читати такі вирази мо-

1 «ВІДБИТИ, … 1. кого (що).Взяти в когось. силою, позбавити когось. О. Гроші. О. сина. О. надію. О. свого часу у кого-н.(перен.: змусити витратити час на когось що-н.). О. життя у когось.(Вбити). 2. що.Поглинути, викликати витрата чогось. Робота забрала багато сил у когось. 3. що.Відвести вбік, відокремити від чогось. О. сходи від стіни.…». [Ожегов С. І. Тлумачний словник/ С. І. Ожегов, Н. Ю. Шведова. - М., 1949 -1994.]

жет бути поміщено в підвищений або високий рівеньволодіння математичною мовою. Називаються вирази з двома і більше діями з останньої дії, компонентами якого вважаються вирази. Однак деякі види висловлювань входять до текстів правил. Знання словесних формулювань правил означає знання способів (способу) читання. Наприклад, розподільна властивістьмноження щодо складання або правило множення суми на число у самій назві правила дає назву виразу виду ( А+ □ ) · й. А на формулюванні якості називаються два види виразів: «Виробництво суми на число дорівнює сумі творів кожного доданку на це число». Способи читання виразів у два і більше дій можуть бути задані розпорядженнями алгоритмічного виду. У підрозділі 4.2 наведено приклад такого алгоритму. Опанування способами читання таких виразів відбувається при виконанні тих же видів завдань, що і під час навчання читання виразів в одну дію.

Знаходження значення виразів. правила порядку дій.З початку вивчення арифметичних дій та появи виразів негласно приймається правило: дії потрібно виконувати зліва направо у порядку їх запису. Проблема порядку дій виявляється тоді, коли виникають труднощі позначення виразом деяких предметних ситуацій. Наприклад, потрібно взяти 7 синіх кубиків, на 2 менше білих і дізнатися, скільки всього кубиків взято. Виконуємо практично всі дії, позначаючи кількість кубиків цифрами, а дії – знаками арифметичних дій. Відрахуємо 7 синіх кубиків. Щоб взяти на 2 менше білих, відсунемо на час два сині кубики і шляхом складання пар візьмемо стільки білих кубиків, скільки синіх без двох. Білі та сині кубики об'єднаємо. Наші дії з кубиками у записі арифметичними діями: 7+7-2. Але в такому записі дії потрібно виконувати в порядку запису, а це не ті дії, якими ми складали запис! Наявне протиріччя. Нам потрібно, щоб спочатку 2 віднімали з 7 (дізнаємося необхідне число білих кубиків), а потім до 7 - числу синіх кубиків додався результат віднімання 7 і 2. Як бути?

Вихід із цієї та подібних ситуацій може бути таким: потрібно якимось чином у записі виразу виділити ту дію чи дії, які потрібно виконувати не в порядку запису ліворуч – праворуч. І такий спосіб виокремлення є. Це дужки,які якраз і придумані для ситуацій, коли дії у виразі потрібно виконувати не в порядку прямування зліва направо. З дужками математичний запис наших практичних дійз кубиками буде виглядати так: 7+(7 - 2). Дії, записані в дужках, прийнято виконувати насамперед. Щоб освоїти та присвоїти цю властивість дужок, складаємо з учнями різні вирази, Ставимо в них по-різному дужки, обчислюємо, порівнюємо результати. Замі-

чаєм: іноді зміна порядку дій не змінює значення висловлювання, інколи ж - змінює. Наприклад, 12 – 6 + 2 = 8, (12 – 6) + 2 = 8, 12 – (6 + 2) = 4.

При введенні дужок загальноприйняті правила порядку дій явно ще не вивчаються, хоча два правила вже практично застосовуються: а) якщо у виразі без дужок тільки додавання та віднімання, то дії виконуються в порядку їх запису зліва направо; б) дії у дужках виконуються першими.

Знову гостро проблема порядку дій виникає після появи виразів, що містять дії множення та (або) поділу та дії додавання та (або) віднімання. У цей період потреба в правилах порядку дій може бути усвідомлена учнями і саме в цей період учні можуть обговорювати цю проблему, формулювати і розуміти загальноприйняті формулювання правил порядку дій.

Забезпечити розуміння необхідності таких правил можна створити за допомогою експериментування з виразом у кілька дій. Наприклад, обчислимо значення виразу 7 - 3 · 2 + 15: 5, виконуючи дії у трьох різних послідовностях: 1) - · + (у порядку запису); 2) - + ·: (Спочатку додавання і віднімання, потім множення і поділ); 3) ·: - + (спочатку множення та розподіл, потім додавання та віднімання). В результаті отримаємо три різні значення: 1) 4 (зуп. 3); 2) 13 (зуп. 3); 3) 6. Обговорюючи з учнями ситуацію, робимо висновок: потрібно домовитися і прийняти лише одну послідовність як загальноприйнятого правиладій. А оскільки значення виразів обчислювали ще й до нас та ще й не одну сотню років, то, мабуть, такі домовленості вже є. Знаходимо їх у підручнику.

Далі обговорюємо з учнями необхідність знання цих правил та вміння їх застосовувати. Обґрунтувавши для себе таку необхідність, учні цілком можуть спробувати самі визначити для себе види навчальної роботи, Виконуючи яку, вони зможуть запам'ятати правила і навчитися їх безпомилково виконувати. Таке визначення видів навчальної роботи може бути намічено у груповій роботі і на тому ж уроці деякі види такої роботи можуть бути виконані. У процесі роботи групи учні знайомляться із змістом відповідних сторінок підручника та зошита для самостійної роботидо підручника можуть самі доповнити навчальні завдання, виконати деякі з них, перевірити себе і потім зробити звіт роботи в групі за тим, що вже освоїли в результаті роботи в групі. Наприклад: «У нашій групі всі навчилися у висловлюваннях без дужок у три-чотири дії визначати порядок дій, звертаючись до тексту правила у підручнику, і позначати цей порядок номерами дій над знаками дій у виразі». Потім ставиться мета навчитися знаходити значення таких «великих» виразів - у три-чотири і більше дій на багатьох уроках навчання

ті, що виконують навчальні діїдля її досягнення. Спосіб знаходження значень складового виразуможе бути представлений алгоритмічному вигляді.

Алгоритм знаходження значення числового виразу(Заданий словесним розпорядженням у вигляді переліку кроків).

1. Якщоу виразі є дужки, товиконати дії у дужках як у виразі без дужок. 2. Якщоу виразі немає дужок, то:а) якщоу виразі тільки додавання та (або) віднімання або тільки множення та (або) поділ, товиконати ці дії по порядку зліва-направо; б) якщо у виразі є дії з групи додавання - віднімання та з групи множення - поділ, товиконати спочатку множення та розподіл по порядку зліва-направо, потімвиконати додавання та віднімання по порядку зліва-направо. 3. Результат останньої дії назвати значенням виразу.

Особливу роль навчанні відіграють способи знаходження значень виразів на основі властивостей дій. Такі методи у тому, що спочатку висловлювання перетворюються з урахуванням властивостей процесів, і потім застосовуються правила порядку процесів. Наприклад, потрібно знайти значення виразу: 23 + 78 + 77. За правилами порядку дій потрібно спочатку до 23 додати 78, а до результату додати 17. комбінаційні властивостіабо правило "Складати числа можна в будь-якому порядку" дозволяє нам цей вираз замінити рівним йому з іншим порядком дій 23 + 77 + 78. Виконавши дії відповідно до правил порядку дій, легко отримаємо результат 100 + 78 = 178.

Власне математична діяльність, математичний розвиток учнів відбувається саме тоді, коли вони шукають раціональні або оригінальні способиперетворення виразів з наступними зручними обчисленнями. Тому необхідно виробляти в учнів звичку в будь-яких не калькуляторних обчисленнях, шукати способи спрощення обчислень, перетворення виразів для того, щоб замість громіздких, негарних обчислень шукане значення виразу знаходилося за допомогою простих і красивих випадків обчислення. Завдання формулюються для цього так «Обчисли зручним (або раціональним) способом…».

Знаходження значень буквених виразів -важливе вміння, яке формує уявлення про змінну та є основою розуміння надалі функціональної залежності. Дуже зручною формою завдань перебування значень буквених виразів й у спостереження залежності значення висловлювання від значень входять до нього букв є табличная. Наприклад, за табл. 8.1 учні можуть встановити низку залежностей: якщо значення ає послідовними числами, то значення 2ає послідовні парні числа, а значення 3а -кожні треті числа, починаючи зі значення 3апри найменшому значенні ата ін.

Таблиця 8.1

Порівняння виразів.На вирази переносяться відносини, що пов'язують значення виразів. Основний спосіб порівняння -знаходження значень порівнюваних виразів та порівняння значень виразу. Алгоритм порівняння:

1. Знайти значення порівнюваних виразів. 2. Порівняти отримані числа. 3. Результат порівняння чисел перенести на вирази. Якщо потрібно, поставити між виразами відповідний знак. Кінець.

Так само як і при знаходженні значень виразів цінуються способи порівняння, що ґрунтуються на властивостях арифметичних дій, властивостях числових рівностей та нерівностей, оскільки таке порівняння потребує дедуктивних міркувань і тому забезпечує розвиток логічного мислення.

Наприклад, потрібно порівняти 73 + 48 і 73 + 50. Відома властивість: «Якщо одне доданок збільшити або зменшити на кілька одиниць, то сума збільшиться або зменшиться на стільки ж одиниць». Отже, значення першого виразу менше, ніж значення другого, а отже, перший вираз менше другого, а друге – більше першого. Ми порівняли вирази без знаходження значень виразів, без виконання будь-яких арифметичних дій шляхом застосування відомої властивості додавання. Для таких випадків корисним є порівняння виразів, записаних з використанням узагальнюючої символіки. Порівняйте вирази. © + Фі © + (Ф+ 4), © + Фі © + (Ф- 4).

Цікаві способи порівняння, засновані на перетворенні порівнюваних виразів - заміною їх рівними. Наприклад: 18 · 4 та 18 + 18 + 18 + 18; 25 · (117 - 19) та 25 · 117 - 19; 25 · (117 -119) та 25 · 117 - - 19 · 117 і т.п. Перетворюючи вираз однієї частини виходячи з властивостей дій ми отримуємо висловлювання, порівнювати які можна через порівняння чисел - компонентів однієї й тієї ж дії.

приклад. 126 + 487 і 428 + 150. Для порівняння застосуємо переміщувальну властивість. Отримаємо: 487 + 126 і 428 і 150. Перетворимо перший вираз: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (1 + 20) = 463 + 150. Тепер порівнювати потрібно вирази 463 + 150 та 428 + 150.

Як знайти периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 3 см і 5 см (рис. 67)?

Відповідаючи це питання, ви можете зробити такий запис: 2 * 3 + 2 * 5 .

Такий запис є числове вираз.

Наведемо ще кілька прикладів числових виразів: 12 : 4 − 1, (5 + 17 ) + 11, (19 − 7 ) * 3 . Ці вирази складені з чисел, знаків арифметичних дій та дужок.

Зауважимо, що не всякий запис, складений із чисел, знаків арифметичних дій та дужок є числовим виразом. Наприклад, запис +) +3 − (2 є безглуздим набором символів.

Завершивши розв'язання задачі про периметр прямокутника, отримаємо відповідь 16 см. У таких випадках кажуть, що число 16 є значенням виразу 2 * 3 + 2 * 5 .

А чому дорівнює периметрпрямокутника, сторони якого дорівнюють 3 см і a см? Відповіддю буде вираз 2*3+2*a.

Запис 2 * 3 + 2 * a є буквене вираз.

Наведемо ще кілька прикладів буквених виразів: (a + b) + 11, 5 + 3 * x, n: 2 − k * 5 . Ці вирази складені з чисел, літер, знаків арифметичних дій та дужок.

Як правило, у буквених виразах знак множення пишуть лише між числами. В інших випадках його опускають. Наприклад, замість 5*y, m*n, 2*(a+b) відповідно пишуть 5y, mn, 2(a+b).

Нехай сторони прямокутника дорівнюють a см і b см. У цьому випадку літерний вираз для знаходження його периметра виглядає так: 2 a + 2 b.

Підставимо в цей вираз замість букв a та b відповідно числа 3 і 5 . Отримаємо числовий вираз 2 * 3 + 2 * 5, який ми вже записували для знаходження периметра прямокутника. Якщо ж замість a і b підставити, наприклад, числа 4 і 9, отримаємо числове вираз 2 * 4 + 2 * 9 . Взагалі, з одного буквеного виразу можна отримати нескінченно багато числових виразів.

Позначимо периметр прямокутника літерою P. Тоді рівність

P = 2 a + 2 b

можна використовувати для знаходження периметра будь-якогопрямокутника. Такі рівності називають формулами.

Наприклад, якщо сторона квадрата дорівнює a, його периметр обчислюється по формуле:

P = 4 a

Рівність

s = vt

де s − пройдений шлях, v − швидкість руху, а t − час, за який пройдено шлях s, називають формулою шляху.

приклад 1 . Зібрані в саду яблука фермер розклав у п'ять ящиків по кг і в ящиків по 20 кг. Скільки кілограмів яблук зібрав фермер? Обчисліть значення одержаного виразу при a = 18, b = 9 .

У п'яти ящиках міститься 5 кг яблук, а в ящиках - 20 кг. Усього фермер зібрав (5 a + 20 b) кг яблук.

Якщо a = 18, b = 9, то отримуємо: 5 * 18 + 20 * 9 = 90 + 180 = 270 (кг).

Відповідь: (5 a + 20 b) кг, 270 кг.

приклад 2 . Знайдіть, повзуючись формулою колії, швидкість, з якою поїзд пройшов 324 км за 6 год.

Оскільки s = vt, то v = s: t. Тоді можна записати v = 324: 6 = 54 (км/год).

Відповідь: 54 км/год.

приклад 3 . Буратіно купив m булочок по 2 сольдо та торт за 5 сольдо. Складемо формулу для обчислення вартості покупки та знайдіть цю вартість, якщо:

1) m = 4;

2) m=12.

За m булочок Буратіно заплатив 2 m сольдо.

Позначивши вартість купівлі буквою k, одержуємо формулу k = 2 m + 5 .

1) Якщо m = 4, то k = 2 * 4 + 5 = 13;

2) якщо m = 12, то k = 2 * 12 + 5 = 29.

Відповідь: k = 2 m + 5, 13 сольдо, 29 сольдо.

Числовий вираз– це будь-який запис із чисел, знаків арифметичних дій та дужок. Числове вираз може складатися і з одного числа. Нагадаємо, що основними арифметичними діями є «складання», «віднімання», «множення» та «розподіл». Цим діям відповідають знаки "+", "-", "∙", ":".

Звичайно ж, щоб у нас вийшло числове вираження, запис із чисел та арифметичних знаків має бути осмисленим. Так, наприклад, такий запис 5: + ∙ не можна назвати числовим виразом, тому що це випадковий набір символів, що не має сенсу. Навпаки, 5 + 8 ∙ 9 - вже справжнє числове вираз.

Значення числового виразу.

Відразу скажемо, що якщо ми виконаємо дії, вказані в числовому вираженні, то в результаті ми отримаємо число. Це число називається значенням числового виразу.

Спробуємо вирахувати, що в нас вийде в результаті виконання дій нашого прикладу. Відповідно до порядку виконання арифметичних дій, спочатку виконаємо операцію множення. Помножимо 8 на 9. Отримаємо 72. Тепер складемо 72 та 5. Отримаємо 77.
Отже, 77 – значеннячислового виразу 5 + 8 ∙ 9.

Числова рівність.

Можна це записати так: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Тут ми вперше використовували знак «=» («Рівне»). Такий запис, при якому два числові вирази розділені знаком «=», називається числовою рівністю. При цьому, якщо значення лівої та правої частини рівності збігаються, то рівність називають вірним. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – правильна рівність.
Якщо ми напишемо 5 + 8 ∙ 9 = 100, це вже буде неправильна рівність, Оскільки значення лівої та правої частини даної рівності вже не збігаються.

Слід зазначити, що у числовому виразі ми можемо використовувати дужки. Дужки впливають на порядок виконання дій. Так, наприклад, видозмінимо наш приклад, додавши дужки: (5 + 8) ∙ 9. Тепер спочатку потрібно скласти 5 та 8. Отримаємо 13. А потім помножити 13 на 9. Отримаємо 117. Таким чином, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значеннячислового виразу (5 + 8) ∙ 9.

Щоб правильно прочитати вираз, потрібно визначити, яка саме дія виконується останнім для обчислення значення даного числового виразу. Так, якщо остання дія віднімання, то вираз називають «різницею». Відповідно, якщо остання дія сума - "сумою", розподіл - "приватним", множення - "твором", зведення в ступінь - "ступенем".

Наприклад, числове вираз (1+5)(10-3) читається так: «добуток суми чисел 1 і 5 на різницю чисел 10 і 3».

Приклади числових виразів.

Наведемо приклад більш складного числового виразу:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

У дужках у нас вираз $\frac(1)(4)+3,75$. Перетворюємо десятковий дріб 3,75 у звичайну.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Отже, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Далі, у чисельнику дробу \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]у нас вираз 1,25 +3,47 +4,75-1,47. Для спрощення цього виразу застосуємо переміщувальний закондодавання, що свідчить: «Від зміни місць доданків сума не змінюється». Тобто 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

У знаменнику дробу вираз $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Отримуємо $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4=1$

Коли числові вирази немає сенсу?

Розглянемо ще один приклад. У знаменнику дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$значенням виразу $3\centerdot 3-9$ є 0. А, як ми знаємо, поділ на нуль неможливий. Отже, у дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ немає значення. Про числові вислови, які не мають значення, кажуть, що вони «не мають сенсу».

Якщо ми в числовому виразі крім чисел використовуватимемо літери, то в нас вийде вже алгебраїчне вираз .

Дата публікації: 30.08.2014 10:58 UTC

• Геометрія, решебник до книги Балаяна Е.М. «Геометрія. Завдання на готових кресленнях для підготовки до ОДЕ та ЄДІ: 7-9 класи», 7 клас, Балаян Е.М., 2019
• Тренажер з геометрії, 7 клас, до підручника Атанасяна Л.С. та ін. «Геометрія. 7-9 класи», ФГОС, Глазков Ю.А., Єгупова М.В., 2019