Якщо в матриці рядок із нулів. Поняття матриці

Матриця – це особливий об'єкт у математиці. Зображується у формі прямокутної або квадратної таблиці, складеної з певної кількостірядків та стовпців. У математиці є велика різноманітність видів матриць, що різняться за розмірами чи змістом. Числа її рядків та стовпців називаються порядками. Ці об'єкти використовуються в математиці для впорядкування запису систем лінійних рівняньта зручного пошуку їх результатів. Рівняння з використанням матриці вирішуються за допомогою методу Карла Гауса, Габріеля Крамера, мінорів та алгебраїчних доповнень, а також багатьма іншими способами. Базовим умінням під час роботи з матрицями є приведення до стандартного вигляду. Однак спочатку давайте розберемося, які види матриць виділяють математики.

Нульовий тип

Усі компоненти цього виду матриці – нулі. Тим часом кількість її рядків і стовпців абсолютно різна.

Квадратний тип

Кількість стовпців та рядків цього виду матриці збігається. Інакше кажучи, вона є таблицею форми "квадрат". Число її стовпців (або рядків) називаються порядком. Приватними випадками вважають існування матриці другого порядку (матриця 2x2), четвертого порядку (4x4), десятого (10x10), сімнадцятого (17x17) і так далі.

Вектор-стобіць

Це один з найпростіших видів матриць, що містить тільки один стовпець, який включає три чисельних значення. Вона представляє низку вільних членів (чисел, незалежних від змінних) у системах лінійних рівнянь.

Вигляд, аналогічний попередньому. Складається із трьох чисельних елементів, у свою чергу організованих в один рядок.

Діагональний тип

Числові значення в діагональному вигляді матриці набувають лише компоненти головної діагоналі (виділена зеленим кольором). Основна діагональ починається з елемента, що знаходиться у правому верхньому кутку, а закінчується числом у третьому стовпці третього рядка. Інші компоненти дорівнюють нулю. Діагональний тип є лише квадратною матрицею будь-якого порядку. Серед матриць діагонального виглядуможна виділити скалярну. Усі її компоненти приймають однакові значення.

Підвид діагональної матриці. Усі її числові значенняє одиницями. Використовуючи одиничний тип матричних таблиць, виконують її базові перетворення або знаходять матрицю, обернену до вихідної.

Канонічний тип

Канонічний виглядматриці вважається одним із основних; приведення до нього часто необхідне роботи. Число рядків і стовпців у канонічної матриціпо-різному, вона необов'язково належить до квадратного типу. Вона дещо схожа на одиничну матрицю, проте в її випадку не всі компоненти основної діагоналі набувають значення, рівну одиниці. Головнодіагональних одиниць може бути дві, чотири (все залежить від довжини та ширини матриці). Або одиниці можуть бути зовсім (тоді вона вважається нульовою). Інші компоненти канонічного типу, як і елементи діагонального та одиничного, дорівнюють нулю.

Трикутний тип

Один з найважливіших видівматриці, що застосовується при пошуку її детермінанта та при виконанні найпростіших операцій. Трикутний тип походить від діагонального, тому матриця також є квадратною. Трикутний вид матриці поділяють на верхньотрикутний та нижньотрикутний.

У верхньотрикутній матриці (рис. 1) тільки елементи, які знаходяться над головною діагоналлю, набувають значення, що дорівнює нулю. Компоненти самої діагоналі і частини матриці, що знаходиться під нею, містять числові значення.

У нижньотрикутній (рис. 2), навпаки, елементи, що знаходяться в нижній частині матриці, дорівнюють нулю.

Вигляд необхідний для знаходження рангу матриці, а також для елементарних дійнад ними (поряд із трикутним типом). Ступінчаста матриця названа так, тому що в ній містяться характерні "сходи" з нулів (як показано на малюнку). У ступінчастому типі утворюється діагональ з нулів (необов'язково головна), і всі елементи під даною діагоналлю теж мають значення, рівні нулю. Обов'язковою умовоює таке: якщо в ступінчастої матриціє нульовий рядок, то інші рядки, що знаходяться нижче за неї, також не містять числових значень.

Таким чином, ми розглянули найважливіші типиматриць, необхідних роботи з ними. Тепер розберемося із завданням перетворення матриці на необхідну форму.

Приведення до трикутного вигляду

Як же привести матрицю до трикутного вигляду? Найчастіше у завданнях потрібно перетворити матрицю на трикутний вигляд, щоб знайти її детермінант, по-іншому званий визначником. Виконуючи цю процедуру, дуже важливо "зберегти" головну діагональ матриці, тому що детермінант трикутної матриці дорівнює саме добутку компонентів її головної діагоналі. Нагадаю також альтернативні методизнаходження визначника. Детермінант квадратного типу перебуває з допомогою спеціальних формул. Наприклад, можна скористатися методом трикутника. Для інших матриць використовують метод розкладання по рядку, стовпцю або їх елементам. Також можна застосовувати метод мінорів та алгебраїчних доповнень матриці.

Докладно розберемо процес приведення матриці до трикутного виду прикладах деяких завдань.

Завдання 1

Необхідно знайти детермінант представленої матриці, використовуючи метод його приведення до трикутного вигляду.

Дана нам матриця є квадратною матрицею третього порядку. Отже, для її перетворення на трикутну формунам знадобиться обернути на нуль два компоненти першого стовпця і один компонент другого.

Щоб привести її до трикутного вигляду, почнемо перетворення з лівого нижнього кута матриці - з числа 6. Щоб повернути його в нуль, помножимо перший рядок на три і віднімемо його з останнього рядка.

Важливо! Верхній рядок не змінюється, а залишається таким самим, як і у вихідній матриці. Записувати рядок, в чотири рази більший за вихідний, не потрібно. Але значення рядків, компоненти яких потрібно обернути на нуль, постійно змінюються.

Залишилось тільки останнє значення- Елемент третього рядка другого стовпця. Це число (-1). Щоб повернути його в нуль, з першого рядка віднімемо другий.

Виконаємо перевірку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Отже, відповідь завдання: -22.

Завдання 2

Необхідно визначити детермінант матриці шляхом приведення його до трикутного вигляду.

Подана матриця належить квадратному типу і є матрицею четвертого порядку. Отже, необхідно звернути в нуль три компоненти першого стовпця, два компоненти другого стовпця та один компонент третього.

Почнемо приведення її з елемента, що знаходиться в нижньому кутку ліворуч - з числа 4. Нам потрібно звернути це числона нуль. Найзручніше зробити це, помноживши на чотири верхній рядок, а потім відняти його з четвертого. Запишемо результат першого етапу перетворення.

Отже, компонент четвертого рядка перетворений на нуль. Перейдемо до першого елемента третього рядка, до 3. Виконуємо аналогічну операцію. Помножуємо на три перший рядок, віднімаємо його з третього рядка та записуємо результат.

Нам вдалося звернути у нуль усі компоненти першого стовпця даної квадратної матриці, крім числа 1 - елемента головної діагоналі, не потребує перетворення. Тепер важливо зберегти отримані нулі, тому виконуватимемо перетворення з рядками, а не зі стовпцями. Перейдемо до другого стовпця представленої матриці.

Знову почнемо з нижньої частини – з елемента другого стовпця останнього рядка. Це число (-7). Однак у даному випадкузручніше почати з числа (-1) – елемента другого стовпця третього рядка. Щоб повернути його в нуль, віднімемо з третього рядка другий. Потім помножимо другий рядок на сім і віднімемо його з четвертого. Ми отримали нуль замість елемента, розташованого у четвертому рядку другого стовпця. Тепер перейдемо до третього стовпця.

У даному стовпці нам потрібно звернути в нуль тільки одне число - 4. Зробити це нескладно: просто додаємо до останнього рядка третій і бачимо необхідний нам нуль.

Після всіх вироблених перетворень ми навели запропоновану матрицю до трикутного вигляду. Тепер, щоб знайти її детермінант, потрібно тільки зробити множення елементів головної діагоналі. Отримуємо: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Отже, рішенням є 160.

Отже, тепер питання приведення матриці до трикутного вигляду вам не ускладнить.

Приведення до східчастого вигляду

При елементарних операціях над матрицями ступінчастий вигляд менш "затребуваним", ніж трикутний. Найчастіше він використовується для знаходження рангу матриці (тобто кількості її ненульових рядків) або визначення лінійно залежних і незалежних рядків. Однак ступінчастий вид матриці є більш універсальним, тому що підходить не тільки для квадратного типу, але і для решти.

Щоб привести матрицю до східчастого виглядуспочатку потрібно знайти її детермінант. Для цього підійдуть названі методи. Мета знаходження детермінанта така: з'ясувати, чи можна перетворити її на ступінчастий вид матриці. Якщо детермінант більший або менший за нуль, то можна спокійно приступати до завдання. Якщо ж він дорівнює нулю, виконати приведення матриці до східчастого вигляду не вдасться. У такому випадку потрібно перевірити, чи немає помилок у записі або перетворення матриці. Якщо таких неточностей немає, завдання вирішити неможливо.

Розглянемо, як привести матрицю до ступінчастого вигляду на прикладах кількох завдань.

Завдання 1.Знайти ранг цієї матричної таблиці.

Перед нами квадратна матрицятретього порядку (3×3). Ми знаємо, що для знаходження рангу необхідно привести її до ступінчастого вигляду. Тому спочатку нам потрібно знайти детермінант матриці. Скористаємося методом трикутника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детермінант = 12. Він більше нуляОтже, матрицю можна привести до ступінчастого вигляду. Приступимо до її перетворень.

Почнемо його з елемента лівого стовпця третього рядка - числа 2. Помножуємо верхній рядок на два і віднімаємо його з третього. Завдяки цій операції як потрібний нам елемент, так і число 4 - елемент другого стовпця третього рядка звернулися в нуль.

Ми бачимо, що в результаті приведення утворилася трикутна матриця. У нашому випадку продовжити перетворення не можна, оскільки решта компонентів не вдасться навернути в нуль.

Значить, робимо висновок, що кількість рядків, що містять числові значення, у цій матриці (або її ранг) – 3. Відповідь до завдання: 3.

Завдання 2.Визначити кількість лінійно незалежних рядків цієї матриці.

Нам потрібно знайти такі рядки, які не можна будь-якими перетвореннями звернути нанівець. Фактично нам потрібно знайти кількість ненульових рядків або ранг представленої матриці. Для цього виконаємо її спрощення.

Ми бачимо матрицю, яка не належить до квадратного типу. Вона має розміри 3х4. Почнемо приведення також із елемента лівого нижнього кута - числа (-1).

Подальші її перетворення неможливі. Отже, робимо висновок, що кількість лінійно незалежних рядків у ній та відповідь до завдання – 3.

Тепер приведення матриці до ступінчастого вигляду не є для вас нездійсненним завданням.

На прикладах даних завдань ми розібрали приведення матриці до трикутного вигляду та ступінчастого вигляду. Щоб навернути в нуль потрібні значенняматричних таблиць, в окремих випадках потрібно виявити фантазію і правильно перетворити їх стовпці або рядки. Успіхів вам у математиці та в роботі з матрицями!

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що складається з m однакової довжини рядків або n однакової довжини стовпців.

aij- елемент матриці, який знаходиться в i -ому рядку та j -м стовпці.

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літероюнаприклад, Аабо У.

У загальному вигляді матрицю розміром m× nзаписують так

Приклади:

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратний, причому число її рядків або стовпців називається порядкомматриці. У наведених вище прикладах квадратними є друга матриця – її лад дорівнює 3, і четверта матриця – її лад 1.

Матриця, в якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутної. У прикладах це перша матриця та третя.

Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче за головну діагональ, рівні нулю, називається трикутноїматрицею.

.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім, можливо, стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональноїматрицею. Наприклад, або .

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

назад до змісту

(36) 85. Що таке лінійні операції над матрицями? приклади.

У всіх випадках, коли вводяться нові математичні об'єкти, необхідно домовлятися про правила дій над ними, а також визначити - які об'єкти вважаються рівними між собою.

Природа об'єктів не має жодного значення. Це можуть бути речові чи комплексні числа, вектори, матриці, рядки чи щось інше.

До стандартних дій ставляться лінійні операції, А саме: множення на число та додавання; в даному конкретному випадку - множинні матриці на число та додавання матриць.

При множенні матриці на число кожен матричний елемент множиться на це число, а додавання матриць має на увазі попарне додавання елементів, розташованих в еквівалентних позиціях.

Термінологічний вираз "лінійна комбінація<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Матриці A = || a i j|| і B = || a i j|| вважаються рівними, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні матричні елементи попарно рівні:

Додавання матрицьОперація додавання визначена лише для матриць однакових розмірів. Результатом складання матриць A = | a i j|| і B = | b i j|| є матриця C = | c i j|| , елементи якої дорівнюють сумі відповідних матричних елементів.

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А-1 називається зворотною матрицеюстосовно матриці А, якщо А*А -1 = Е, де Е — одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця- Така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута, - одиниці, а інші - нулі, наприклад:

зворотна матрицяможе існувати тільки для квадратних матрицьтобто. для тих матриць, у яких число рядків та стовпців збігаються.

Теорема умови існування зворотної матриці

Для того, щоб матриця мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Матриця А = (А1, А2, ... Аn) називається невиродженоюякщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці. Тому можна сказати, що для того, щоб існувала обернена матриця, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто. r = n.

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Записати до таблиці на вирішення систем рівнянь методом Гаусса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
2. Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
3. Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею вихідної таблиці А вийшла одинична матриця Е.
4. Записати зворотну матрицю А-1, яка знаходиться в останній таблиці під матрицею Е вихідної таблиці.

Для матриці А знайти зворотну матрицю А-1

Рішення: Записуємо матрицю А і праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Е. Обчислення наведено у таблиці 31.1.

Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А та зворотної матриці А-1.

В результаті множення матриць вийшла поодинока матриця. Отже, обчислення зроблено правильно.

Відповідь:

Розв'язання матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються з допомогою множення рівняння зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння необхідно помножити це рівняння на ліворуч.

Отже, щоб знайти рішення рівняння потрібно знайти зворотну матрицю і помножити її на матрицю , що стоять у правій частині рівняння.

Аналогічно вирішуються інші рівняння.

Розв'язати рівняння АХ = В, якщо

Рішення: Оскільки зворотна матриця дорівнює (див. приклад 1)

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими знаходять застосування також матричні методи. Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі. Такі методи застосовуються з метою аналізу складних та багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються за необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та його структурних підрозділів.

У процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

На першому етапіздійснюється формування системи економічних показників і на її основі складається матриця вихідних даних , яка є таблицею, в якій за її окремими рядками показуються номери систем (i = 1,2,...,,n), а за вертикальними графами - номери показників (j = 1,2,....,m).

На другому етапіпо кожній вертикальній графі виявляється найбільше з існуючих значень показників, яке приймається за одиницю.

Після цього всі суми, відображені в даній графі поділяють найбільше значення і формується матриця стандартизованих коефіцієнтів .

На третьому етапівсі складові матриці зводять у квадрат. Якщо вони мають різну значимість, то кожному показнику матриці надається певний ваговий коефіцієнт k. Розмір останнього визначається експертним шляхом.

На останньому, четвертому етапізнайдені величини рейтингових оцінок R jгрупуються у порядку їх збільшення чи зменшення.

Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, для порівняльного аналізу різних інвестиційних проектів, а також для оцінки інших економічних показників діяльності організацій.

Крапки у просторі, твір Rvдає інший вектор, який визначає положення точки після обертання. Якщо v- Вектор-рядок , таке ж перетворення можна отримати, використовуючи vR T , де R T - транспонована до Rматриця.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

C# - Консоль - Олімпіада - Квадратна спіраль

Матриця: визначення та основні поняття

Де брати сили та натхнення Підзарядка 4 квадратної матриці

Сума та різниця матриць, множення матриці на число

Транспонована матриця / Транспонована матриця

Субтитри

Головна діагональ

Елементи a ii (i = 1, ..., n) утворюють головну діагональ квадратної матриці. Ці елементи лежать на уявній прямій, що проходить з верхнього лівого кута в правий нижній кут матриці. Наприклад, головна діагональ 4х4 матриці на малюнку містить елементи a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Діагональ квадратної матриці, що проходить через нижній лівий і верхній правий кути, називається побічний.

Спеціальні види

Діагональні та трикутні матриці

Якщо всі елементи поза головною діагоналі нульові, Aназивається діагональною. Якщо всі елементи над (під) головною діагоналлю нульові, Aназивається нижньою (верхньою) трикутною матрицею .

Одинична матриця

приймає тільки позитивні значення (відповідно, негативні значення або ті, й інші). Якщо квадратична форма набуває лише невід'ємних (відповідно, тільки непозитивних) значень, симетрична матриця називається позитивно напіввизначеною (відповідно, негативно напіввизначеною). Матриця буде невизначеною, якщо ні позитивно, ні негативно напіввизначена.

Симетрична матриця позитивно визначена і тоді, коли її власні значення позитивні. Таблиця праворуч показує два можливі випадки для матриць 2×2.

Якщо використовувати два різних вектори, отримаємо білінійну форму, пов'язану з A:

Ортогональна матриця

Ортогональна матриця- це квадратна матриця з речовими елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто ортонормальними). Можна також визначити ортогональну матрицю як матрицю, обернена до якої дорівнює транспонованій:

звідки випливає

Ортогональна матриця Aзавжди оборотна ( A −1 = A T), унітарна ( A −1 = A*), і нормальна ( A*A = AA*). Визначник будь-якої ортонормальної матриці дорівнює або +1 або -1. В якості лінійного відображення будь-яка ортонормальна матриця з визначником +1 є простим поворотом , в той час як будь-яка ортонормальна матриця з визначником −1 є або простим відображенням або композицією відображення і повороту.

Операції

Слід

Визначник det( A) чи | A| квадратної матриці A- Це число, що визначає деякі властивості матриці. Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли її визначник ненульовий.

Зауважимо, що елементами матриці можуть бути не лише числа. Уявімо, що ви описуєте книги, які стоять на вашій книжковій полиці. Нехай у вас на полиці порядок і всі книги стоять на певних місцях. Таблиця , яка міститиме опис вашої бібліотеки (по полицях і слідування книг на полиці), теж буде матрицею. Але така матриця буде не числовою. Інший приклад. Замість чисел стоять різні функції, поєднані між собою деякою залежністю. Отримана таблиця також називатиметься матрицею. Іншими словами, Матриця, це будь-яка прямокутна таблиця, складена з одноріднихелементів. Тут і далі ми говоритимемо про матриці, складені з чисел.

Замість круглих дужок для запису матриць застосовують квадратні дужки або прямі подвійні вертикальні лінії.

(2.1*)

Визначення 2. Якщо у виразі(1) m = n, то говорять про квадратної матриці, а якщо , то про прямокутної.

Залежно від значень m та n розрізняють деякі спеціальні види матриць:

Найважливішою характеристикою квадратнийматриці є її визначникабо детермінант, Що складається з елементів матриці і позначається

Очевидно, що D E = 1; .

Визначення 3. Якщо , то матриця A називається невиродженою або не особливою.

Визначення 4. Якщо detA = 0, то матриця A називається виродженою або особливою.

Визначення 5. Дві матриці A і B називаються рівними та пишуть A = B, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні елементи рівні, тобто.

Наприклад, матриці та рівні, т.к. вони дорівнюють за розміром і кожен елемент однієї матриці дорівнює відповідному елементу іншої матриці. А ось матриці і не можна назвати рівними, хоча детермінанти обох матриць рівні, і розміри матриць однакові, але не всі елементи, що стоять на тих самих місцях рівні. Матриці та різні, тому що мають різний розмір. Перша матриця має розмір 2х3, а друга 3х2. Хоча кількість елементів однакова - 6 і самі елементи однакові 1, 2, 3, 4, 5, 6, але вони стоять на різних місцях у кожній матриці. А ось матриці і дорівнюють, згідно з визначенням 5.

Визначення 6. Якщо зафіксувати кілька стовпців матриці A і така сама кількість ee рядків, тоді елементи, що стоять на перетині зазначених стовпців і рядків утворюють квадратну матрицю n - го порядку, визначник якої називається мінором k – го порядку матриці A.

приклад. Виписати три мінори другого порядку матриці