Формули для обчислення бісектриси та медіани трикутника. Медіана, висота та бісектриса та їх властивості

Для вирішення задач з геометрії, пов'язаних із трикутниками, важливо засвоїти одну просту, але важливу істину. Існує третя ознака рівності трикутників («по трьох сторонах»), з якої випливає, що не існує двох різних трикутниківз однаковими сторонами. Отже, знаючи довжини всіх сторін трикутника, можна дізнатися про це трикутник все, що потрібно. У тому числі довжини його медіан, бісектрис та висот. Розберемо докладніше, як це можна зробити.

Теорема про довжину висоти трикутника

Для знаходження довжини висоти трикутника можна розписати його площу двома способами. По-перше, використовуючи формулу Герона, по-друге, як половину твору висоти на основу, до якої проведено дана висота.

тут напівпериметр трикутника.

З порівняння даних формул знаходимо:

Зазначимо, що це лише один із способів знаходження довжини висоти трикутника з його боків, який зручний далеко не завжди. Існує безліч альтернативних способів, з якими читач може ознайомитися в попередніх уроках.

Рішення.Трикутник BOAна малюнку є рівнобедреним, тому ∠ OAH = ∠ OBH= 30 ° (катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30 °, дорівнює половині гіпотенузи). Тоді ∠ BOAі відповідна дуга кола, на яку він спирається, дорівнюють 120°. Тоді дуга, на яку спирається ∠BCA, дорівнює 240°, а значить сам кут ∠BCA = 120°.

Площа трикутника ABCзнаходимо за формулою: Довжина сторони ABзнаходимо за теоремою косінусів для трикутника ABC, вона дорівнює. З іншого боку, площа трикутника є половина добутку висоти на основу, до якої ця висота проведена. Звідси висловлюємо необхідну довжину висоти менше Випадокз гострокутним трикутником ABCне підходить. Перевірте самостійно.

Завдання для самостійного рішення №1. У гострокутному трикутнику ABC BC = a, AC = b, ∠ ACBдорівнює α . Знайти висоту CDта ∠ ABC.

Відповідь:

Теорема про довжину медіани трикутника

Медіана трикутника визначається через три сторони за формулою:

де a, b, c- Сторони трикутника, m a — медіана, проведена до a. З доказом цього твердження читач, що цікавиться, може ознайомитися у відеоуроці.

Рішення.З аналізу умови завдання робимо висновок, що ∠ A- Тупий. Справді, адже сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180°. Знаходимо за теоремою Піфагора довжину HA= 1. Далі за теоремою Піфагора знаходимо довжину HM= 2. Отже, AM = HM — HA= 1. При цьому AM = MC= 1 (т.к. BM- Медіана). Отже, HC = HA + AM + MC= 3. Отже, за теоремою Піфагора BC=. Прямою підстановкою переконуємось у справедливості раніше отриманої формули для довжини медіани трикутника.

Завдання для самостійного рішення №2.У трикутнику ABCмедіани, проведені до сторін ACі BCперетинаються під прямим кутом. Відомо що AC = b, BC = a. Знайдіть довжину сторони AB.

Відповідь:

Теорема про довжину бісектриси трикутника

Довжина бісектриси трикутника визначається за такою формулою: де - бісектриса, проведена до сторони - відрізки, на які бісектриса ділить сторону, що прилягає до сторін і відповідно. З доказом цього твердження читач, що цікавиться, може ознайомитися у відеоуроці.

Рішення.Знайдемо спершу довжини відрізків CLі LA. Використовуємо для цього властивість бісектриси трикутника. Бісектриса трикутника розбиває протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Тобто CL: CB = LA: BAабо CL: 4 = LA: 8. Враховуючи також, що CL+ LA= 9, отримуємо, що CL = 3, LA= 6. За доведеною раніше теоремою, довжину бісектриси BLможна знайти за такою формулою: BL 2 = CB · BA — CL · LA= 4 · 8 - 3 · 6 = 14. Отже, BL =

Завдання самостійного рішення №3.У трикутнику ABCсторона ABдорівнює 21, бісектриса BDдорівнює а відрізок DCдорівнює 8. Знайти периметр трикутника ABC.

Трикутник – багатокутник із трьома сторонами, або замкнута ламана лініяз трьома ланками, або фігура, утворена трьома відрізками, що з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій (див. рис. 1).

Основні елементи трикутника abc

Вершини – точки A, B та C;

Сторони - Відрізки a = BC, b = AC і c = AB, що з'єднують вершини;

Кути - α, β, γ утворені трьома парами сторін. Кути часто позначають так само, як і вершини - літерами A, B і C.

Кут, утворений сторонами трикутника і що лежить у його внутрішній області, називається внутрішнім кутом, а суміжний до нього є суміжним кутом трикутника (2, стор. 534).

Висоти, медіани, бісектриси та середні лінії трикутника

Крім основних елементів у трикутнику розглядають і інші відрізки, що володіють цікавими властивостями: висоти, медіани, бісектриси та середні лінії.

Висота

Висоти трикутника- Це перпендикуляри, опущені з вершин трикутника на протилежні сторони.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1) провести пряму, що містить одну із сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кутау тупокутному трикутнику);

2) з вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, провести відрізок з точки до цієї прямої, що становить з нею кут 90 градусів.

Точка перетину висоти зі стороною трикутника називається основою висоти (Див. рис. 2).

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні до вихідного трикутника.

У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.

Якщо трикутник гострокутний, то всі підстави висот належать сторонам трикутника, а у тупокутного трикутникадві висоти потрапляють на продовження сторін.

Три висоти в гострокутному трикутнику перетинаються в одній точці, і цю точку називають ортоцентром трикутник.

Медіана

Медіани(Від лат. Mediana - "Середня") - Це відрізки, що з'єднують вершини трикутника з серединами протилежних сторін (див. рис. 3).

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1) визначити середину боку;

2) з'єднати точку, що є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною відрізком.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіння трикутник.

Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Бісектриса

Бісектрисами(від лат. bis – двічі» і seko – розсікаю) називають ув'язнені всередині трикутника відрізки прямих, які ділять навпіл його кути (див. рис. 4).

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1) побудувати промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини (бісектрису кута);

2) знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;

3) виділити відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою перетину на протилежному боці.

Властивості бісектрис трикутника

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону щодо, рівному відношеннюдвох прилеглих сторін.

Бісектриси внутрішніх кутівтрикутники перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром вписаного кола.

Бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів перпендикулярні.

Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони, ADBD=ACBC.

Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр одного з трьох вписаних кіл цього трикутника.

Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.

Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.

Якщо випускник планує здавати ЄДІ з математики базового рівняі навіть прагне отримати конкурентні бали, йому обов'язково слід навчитися вирішувати завдання, у яких потрібно визначити висоту трикутника. Подібні планиметричні завдання рік у рік зустрічаються в атестаційному випробуванні. Це означає, що справлятися із завданнями ЄДІ, в яких шуканою величиною є висота трикутника, мають школярі з будь-яким рівнем підготовки.

Корисна інформація

Завдання ЄДІ, що вимагають знайти кут між висотою та медіаною або іншу величину трикутника, найчастіше можна вирішити, згадавши основні поняття з базового шкільного курсу. При цьому рекомендується слідувати певному алгоритму. Спочатку зробіть креслення. Потім нанесіть на нього всі відомі дані згідно з умовою. Після цього варто визначити все геометричні поняття(бісектриса, медіана трикутника і т. д.), які відомі і які необхідно знайти у завданні ЄДІ. Виконавши це, згадайте теореми, що належать до них, і відобразіть на кресленні всі співвідношення між елементами, які з них випливають логічно. Наведемо приклад. Якщо в задачі ЄДІзустрічається поняття «бісектриса кута трикутника», варто згадати його визначення та основні властивості, після чого знайти і відобразити на зробленому кресленні рівні або пропорційні відрізкита кути.

Як підготуватися до іспиту?

Завдання в ЄДІ на знаходження кута між бісектрисами трикутника, а також на обчислення викликають у вас труднощі? Освітній портал«Шкілкове» допоможе вам у вирішенні цієї проблеми. З нами ви зможете повторити матеріал з тем, які є для вас складними. Наші фахівці зібрали та виклали всю теоретичну інформаціюу максимально доступній та зрозумілій формі.

Для кожного завдання на порталі ви знайдете правильну відповідь та опис алгоритму рішення. Практикуватися можна як з простими вправами, і з більш складними. Тренуватися у вирішенні завдань на знаходження кута між бісектрисою та медіаною трикутника, які зустрічаються в ЄДІ, випускники можуть у режимі онлайн, перебуваючи у будь-якому регіоні Росії. Упоравшись із завданням, учні мають можливість зберегти його у розділі «Вибране», а потім за необхідності обговорити його з викладачем у школі чи репетитором.

Теорема про бісектрису трикутника:
Бісектриса трикутника ділить його сторону на
частини, пропорційні двом іншим сторонам
А
1
У
ДС
ВД
=
АС
АВ
2
D
З
)

Властивість медіани, яка суттєво полегшить вирішення багатьох завдань, полягає в наступному: якщо в трикутнику провести медіани з кожного кута, всі вони, перетинаючи в одній точці, буде ділитися у співвідношенні 2:1. Співвідношення слід відраховувати від вершини кута.

Медіана має властивість поділяти все порівну. Наприклад, будь-яка медіана ділить трикутник на два інших, рівних за своєю площею. А якщо провести всі три медіани, то в великому трикутникувийде 6 дрібних, а також рівних за площею. Такі постаті (з однаковою площею) називаються рівновеликими.

Бісектриса

У трикутнику бісектриси називають відрізок, який лежить на промені бісектриси кута і з'єднує вершину з протилежною стороною. Точка перетину зі стороною ділить її на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню прилеглих до них сторін.

Якщо в трикутник вписати коло, то його центр збігатиметься з точкою перетину всіх бісектрис цього трикутника. Ця властивість має відображення і в стереометрії – там роль трикутника грає піраміда, а кола – куля.

Висота

Якщо висота проведена в прямокутному трикутнику, то, торкаючись протилежного боку, вона ділить весь трикутник на два інших, які у свою чергу подібні до першого.

Нерідко поняття перпендикуляра застосовується у стереометрії, щоб визначити взаєморозташування прямих у різних площинах та відстань між ними. У цьому випадку відрізок, що виконує функцію перпендикуляра, повинен мати прямий кут з обома прямими. Тоді числове значенняданого відрізка показуватиме відстань між двома фігурами.