Основні поняття геометричні фігури. Геометричні фігури

Точка та пряма є основними геометричними фігурами на площині.

Давньогрецький учений Евклід говорив: «крапка» – те, що немає частин». Слово «крапка» у перекладі з латинської мовиозначає результат миттєвого дотику, укол. Крапка є основою для побудови будь-якої геометричної фігури.

Пряма лінія або просто пряма - це лінія, вздовж якої відстань між двома точками є найкоротшим. Пряма лінія нескінченна і зобразити всю пряму і виміряти її неможливо.

Крапки позначають великими латинськими літерамиА, В, С, D, Е та ін, а прямі тими ж літерами, але малими а, b, c, d, e та ін. Пряму можна позначити і двома літерами, що відповідають точкам, що лежать на ній. Наприклад, пряму a можна позначити АВ.

Можна сміливо сказати, що точки АВ лежать на прямий а чи належать прямий а. А можна сказати, що пряма проходить через точки А і В.

Найпростіші геометричні фігури на площині – це відрізок, промінь, ламана лінія.

Відрізок – це частина прямої, яка складається з усіх точок прямої, обмежених двома обраними точками. Ці точки – кінці відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців.

Промінь або напівпряма – це частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по одну сторону від цієї точки. Ця точка називається початковою точкою напівпрямої або початком променя. Промінь має точку початку, але не має кінця.

Напівпрямі або промені позначаються двома малими латинськими літерами: початковою та будь-якою іншою літерою, відповідної точки, Що належить напівпрямий. При цьому початкова точкаставиться першому місці.

Виходить, що пряма нескінченна: вона не має ні початку, ні кінця; у променя є лише початок, але немає кінця, а відрізок має початок і кінець. Тому лише відрізок ми можемо виміряти.

Декілька відрізків, які послідовно з'єднані між собою так, що мають одну спільну точку відрізки (сусідні) розташовуються не на одній прямій, являють собою ламану лінію.

Ламана лінія може бути замкненою та незамкненою. Якщо кінець останнього відрізка збігається з початком першого, перед нами замкнута ламана лінія, якщо ні – незамкнута.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Геометрична фігура називається плоскою, якщо всі тонкі фігури належать до однієї площини.

Прикладом плоских геометричних фігур є: пряма, відрізок, коло, різні багатокутники та ін. Не є плоскими такі фігури, як куля, куб, циліндр, піраміда та ін.

На площині розрізняють опуклі та неопуклі фігури.

Геометрична фігура називається опуклою, якщо вона повністю містить відрізок, кінцями якого є будь-які дві точки, що належать фігурі (рис. 54).

Прикладами опуклих фігур є: коло, трикутники, квадрат. Точку, пряму, промінь, відрізок, площину також вважають опуклими фігурами.

Основними геометричними фігурами на площині є точка та пряма. Ці терміни часто застосовуються навіть у роботі з дошкільнятами. Необхідно своєчасно навчити дітей пізнавати ці постаті, зображати їх, розуміти та правильно виконувати завдання.

Основні властивості точок і прямих розкриваються в аксіомах:

1. Існують точки, що належать і не належать до прямої.

2. Через дві різні точкиможна провести єдину пряму.

3. Дві різні прямі або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.

Діти, наприклад, у процесі ігор чи малювання знайомляться з точкою, відрізком, різними лініями, виділяючи їх пряму, криву, ламану, вчаться розпізнавати деякі їх властивості.

1. «Яка дорога від лісу до будинку коротша?» (Рис. 55).

2. «Поросята живуть у будиночках, розташованих на берегах річки. Вони не вміють плавати. Хто з поросят може піти в гості один до одного? (Рис. 56).

Замкнена лінія ділить площину на зовнішню та внутрішню області. Діти рано засвоюють, що означає «всередині» та «поза». Наприклад, це відбувається під час виконання завдання на зафарбовування фігури, тобто її внутрішньої області.

Геометричні фігури, з якими рано знайомляться діти (коло, квадрат, трикутник та ін), являють собою замкнуті лінії(Межі фігур) з їхньою внутрішньою областю. Кордоном кола

є коло. Кордоном багатокутників є ламана лінія, що складається з відрізків. У геометрії ці поняття мають визначення.

Відрізок - частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними точками, які називаються кінцями відрізка.

Промінь (напівпрямий) - це частина прямої, що складається з усіх її точок, що лежать по один бік від заданої на ній точки (початку променя).

Кут - це менша частина площини, обмежена двома променями, що виходять із однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута, які загальна точка - вершиною кута (рис. 59).

Коло можна визначити як фігуру, що складається з кола та її внутрішньої області.

Окружність- це безліч точок площини, рівновіддалених від заданої точки. Ця точкаПро називається центром кола, а задану відстань R - її радіусом (рис. 64).

У дитячому садкудіти також знайомляться з овалом («фігурою, схожою на коло тим, що вона не має кутів і сторін, але відрізняється від кола своєю витягнутістю»). У геометрії такий термін не розглядається, але вивчається еліпс. Його недоцільно пропонувати дітям через складність побудови. Так як у побуті часто використовують слова «овал», «предмет овальної форми», знання про овал необхідні дітям як елемент сенсорного вихованнята мовного розвитку.

Багатокутники

Багатокутник- частина площини, обмежена простою замкненою ламаною. Ланки ламаною називаються сторонами багатокутника, а вершини - вершин багатокутника.Кордон багатокутника (просту замкнуту ламану) також називають багатокутником.

У роботі з дошкільнятами зазвичай розглядаються моделі фігур з картону, пластмаси або дерева, пропонуються завдання з малювання багатокутників за допомогою трафаретів та обведення, зафарбовування фігур. У процесі цієї діяльності діти знайомляться з назвами фігур, їхньою структурою та деякими властивостями, використовують такі терміни, як: межа фігури, внутрішня областьфігури та ін.

Випуклий багатокутниклежить в одній напівплощині щодо будь-якої прямої, що містить його бік (рис. 65).

Геометричні фігури є комплексом точок, ліній, тіл або поверхонь. Ці елементи можуть розташовуватися як на площині, так і в просторі, формуючи кінцева кількістьпрямих.

Термін «фігура» має на увазі під собою кілька множин точок. Вони повинні розташовуватися на одній або кількох площинах і одночасно обмежуватись конкретним числом закінчених ліній.

Основними геометричними фігурами вважаються точка та пряма. Вони розміщуються на площині. Крім них, серед простих фігурвиділяють промінь, ламану лінію та відрізок.

Точка, крапка

Це одна з головних постатей геометрії. Вона дуже маленька, але її завжди використовують для побудови різних формна площині. Крапка - це головна фігура для всіх побудов, навіть самої високої складності. У геометрії її прийнято позначати буквою латинської абетки, наприклад, A, B, K, L.

З точки зору математики точка - це абстрактний просторовий об'єкт, що не має таких характеристик, як площа, обсяг, але при цьому залишається фундаментальним поняттям в геометрії. Цей нульмерний об'єкт просто немає визначення.

Пряма

Ця фігура повністю розміщується в одній площині. У прямої немає конкретного математичного визначення, так як вона складається з величезної кількостіточок, що розташовуються на одній нескінченної лінії, яка не має межі і кордонів.

Існує ще й відрізок. Це теж пряма, але вона починається і закінчується з точки, отже, має геометричні обмеження.

Також лінія може перетворитися на спрямований промінь. Таке відбувається, коли пряма починається з точки, але чіткого закінчення немає. Якщо ж поставити крапку посередині лінії, вона розіб'ється на два промені (додаткових), причому протилежно спрямованих друг до друга.

Декілька відрізків, які послідовно з'єднуються один з одним кінцями в загальній точці та розташовуються не на одній прямій, прийнято називати ламаною лінією.

Кут

Геометричні фігури, назви яких ми розглянули вище, вважають ключовими елементами, що використовуються при побудові складніших моделей.

Кут - це конструкція, що складається з вершини та двох променів, які виходять з неї. Тобто сторони цієї постаті поєднуються в одній точці.

Площина

Розглянемо ще одне первинне поняття. Площина - це постать, яка не має ні кінця, ні початку, так само як і прямий, і точки. Під час розгляду цього геометричного елемента береться до уваги лише його частина, обмежена контурами ламаної замкнутої лінії.

Будь-яку гладку обмежену поверхню можна вважати площиною. Це може бути прасувальна дошка, аркуш паперу або навіть двері.

Чотирикутники

Паралелограм - це геометрична фігура, протилежні сторониякої паралельні один одному попарно. Серед приватних видів цієї конструкції виділяють ромб, прямокутник та квадрат.

Прямокутник - це паралелограм, у якого всі сторони стикаються під прямим кутом.

Квадрат - це чотирикутник з рівними сторонамита кутами.

Ромб – це постать, у якої всі грані рівні. При цьому кути можуть бути різними, але попарно. Кожен квадрат вважається ромбом. Але в протилежному напрямкуце правило діє який завжди. Не кожен ромб є квадратом.

Трапеція

Геометричні фігури бувають абсолютно різними та химерними. Кожна з них має своєрідну форму та властивості.

Трапеція - це постать, яка чимось схожа на чотирикутник. Вона має дві паралельні протилежні сторони і при цьому вважається криволінійною.

Коло

Ця геометрична фігура має на увазі розташування на одній площині точок, рівновіддалених від її центру. При цьому заданий ненульовий відрізок називається радіусом.

Трикутник

Це проста геометрична фігура, яка дуже часто зустрічається та вивчається.

Трикутник вважається підвидом багатокутника, розташованим на одній площині та обмеженим трьома гранями та трьома точками дотику. Ці елементи попарно з'єднані між собою.

Багатокутник

Вершинами багатокутників називають точки, що з'єднують відрізки. А останні, своєю чергою, прийнято вважати сторонами.

Об'ємні геометричні фігури

• призма;
• сфера;
• конус;
• циліндр;
• піраміда;

Ці тіла мають щось спільне. Всі вони обмежуються замкнутою поверхнею, всередині якої є безліч точок.

Об'ємні тіла вивчають у геометрії, а й у кристалографії.

Цікаві факти

Напевно, вам буде цікаво ознайомитися з інформацією, наданою нижче.

• Геометрія сформувалася як наука ще у давні віки. Це явище прийнято пов'язувати з розвитком мистецтва та різноманітних ремесел. А назви геометричних фігур свідчать про використання принципів визначення подібності та схожості.
• У перекладі з давньогрецької термін «трапеція» означає столик для трапези.
• Якщо ви візьмете різні фігури, периметр яких буде однаковим, то найбільша площа гарантовано буде біля кола.
• У перекладі з грецької мовитермін «конус» означає соснову шишку.
• Існує відома картина Каземира Малевича, яка, починаючи з минулого століття, притягує до себе погляди багатьох живописців. Робота «Чорний квадрат» завжди була містичною та загадковою. Геометрична фігура на білому полотні захоплює та вражає одночасно.

Існує велика кількістьгеометричних фігур. Усі вони відрізняються параметрами, а часом навіть дивують формами.

Тема урока

Геометричні фігури

Що таке геометрична фігура

Геометричні фігури – це сукупність безлічі точок, ліній, поверхонь або тіл, які розташовані на поверхні, площині чи просторі та формує кінцеву кількість ліній.

Термін «фігура» певною мірою формально застосовується до безлічі точок, але зазвичай фігурою прийнято називати такі множини, які розташовані на площині і обмежуються кінцевим числомліній.

Точка та пряма – це основні геометричні фігури, розташовані на площині.

До найпростіших геометричних фігур на площині належать - відрізок, промінь та ламана лінія.

Що таке геометрія

Геометрія – це така математична наукаяка займається вивченням властивостей геометричних фігур. Якщо дослівно перекласти російською мовою термін «геометрія», він позначає «землемірство», оскільки у стародавні часи основним завданням геометрії, як науки, стало вимір відстаней і площ лежить на поверхні землі.

Практичне застосування геометрії безцінно в усі часи та незалежно від професії. Без знань геометрії неспроможна обійтися ні робітник, ні інженер, ні архітектор і навіть художник.

У геометрії є такий розділ, який займається вивченням різних фігур на площині та називається планіметрією.

Вам вже відомо, що фігурою називають довільну множину точок, що знаходяться на площині.

До геометричних фігур належать: точка, пряма, відрізок, промінь, трикутник, квадрат, коло та інші фігури, які вивчає планіметрія.

Точка, крапка

З вище вивченого матеріалу вам вже відомо, що точка відноситься до головних геометричних фігур. І хоча це найменша геометрична фігура, але вона необхідна для побудови інших фігур на площині, кресленні або зображенні і є основою для решти всіх побудов. Адже побудова складніших геометричних постатей складається з безлічі точок, притаманних даної постаті.

У геометрії точки позначають великими літерами латинського алфавітунаприклад, такими, як: А, В, С, D ….

А тепер підіб'ємо підсумок, і так, з математичної точки зору, точка є таким абстрактним об'єктом у просторі, який не має обсягу, площі, довжини та інших характеристик, але залишається одним із фундаментальних понять у математиці. Крапка – це такий нульмерний об'єкт, який немає визначення. За визначенням Евкліда, точкою називають те, що неможливо визначити.

Пряма

Як і точка, пряма відноситься до фігур на площині, яка не має визначення, оскільки складається з нескінченної множиниточок, що знаходяться на одній лінії, яка не має ні початку, ні кінця. Можна стверджувати, що пряма лінія нескінченна і не має меж.

Якщо ж пряма починається і закінчується точкою, вона вже не є прямою і називається відрізком.

Але іноді пряма, з одного боку має крапку, з другого немає. У такому разі пряма перетворюється на промінь.

Якщо ж взяти пряму і на її середині поставити крапку, то вона розіб'є пряму на два протилежно спрямовані промені. Ці промені є додатковими.

Якщо ж перед вами кілька відрізків, з'єднаних між собою так, що кінець першого відрізка стає початком другого, а кінець другого відрізка - початком третього і т. д., і ці відрізки знаходяться не на одній прямій і при з'єднанні мають загальну точку, то такий ланцюжок є ламаною лінією.

Завдання

Яка ламана лінія називається незамкнутою?
Як позначається пряма?
Як називається ламана лінія, у якої чотири замкнуті ланки?
Яку назву має ламана лінія із трьома замкнутими ланками?

Коли кінець останнього відрізка ламаною збігається з початком 1-го відрізка, таку ламану лінію називають замкнутою. Прикладом замкнутої ламаною є будь-який багатокутник.

Площина

Як точка і пряма, і площина є первинним поняттям, немає визначення і в неї не можна побачити ні початку, ні кінця. Тому при розгляді площини ми розглядаємо тільки ту її частину, яка обмежується замкненою ламаною лінією. Таким чином, площиною можна вважати будь-яку гладку поверхню. Цією поверхнею може бути аркуш паперу чи столу.

Кут

Фігура, яка має два промені та вершину, називається кутом. Місце з'єднання променів є вершиною цього кута, а його сторонами вважаються промені, які цей кут утворюють.

Завдання:

1. Як у тексті позначають кут?
2. Якими одиницями можна виміряти кут?
3. Які бувають кути?

Паралелограм

Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Прямокутник, квадрат і ромб є окремими випадками паралелограма.

Паралелограм, що має прямі кути, рівні 90 градусів, є прямокутником.

Квадрат - це той же паралелограм, у нього і кути та сторони рівні.

Що ж до визначення ромба, це така геометрична фігура, всі сторони якого рівні.

Крім того, слід знати, що будь-який квадрат є ромбом, але не кожен ромб може бути квадратом.

Трапеція

При розгляді такої геометричної фігури, як трапеція, можна сказати, що вона, як і чотирикутник, має одну пару паралельних протилежних сторін і є криволінійною.

Коло та коло

Окружність - геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром, на задану ненульову відстань, яку називають її радіусом.

Трикутник

Також до простих геометричних фігур належить і трикутник, що вже вивчається вами. Це один із видів багатокутників, у якого частина площини обмежена трьома точками та трьома відрізками, які з'єднують ці точки попарно. Будь-який трикутник має три вершини та три сторони.

Завдання:Який трикутник називають виродженим?

Багатокутник

До багатокутників належать геометричні фігури. різних форм, у яких замкнута ламана лінія

У багатокутнику всі точки, які з'єднують відрізки, є його вершинами. А відрізки, у тому числі складається багатокутник, є його сторонами.

А чи відомо вам, що виникнення геометрії сягає глибини століть і пов'язане з розвитком різних ремесел, культури, мистецтва та спостереженням за навколишнім світом. Та й назва геометричних постатей є тому підтвердженням, оскільки їхні терміни виникли не просто так, а завдяки своїй схожості та подобі.

Адже термін «трапеція» у перекладі з давньогрецької мовивід слова "трапезіон" позначає столик, трапеза та інші похідні слова.

«Конус» походить від грецького слова«конос», що у перекладі звучить, як соснова шишка.

«Лінія» має латинське коріння і походить від слова «лінум», у перекладі це звучить, як лляна нитка.

А чи знаєте ви, що якщо взяти геометричні фігури з однаковим периметром, то серед них самої великої площівиявилося коло.

Сторінка 1 з 3

§1. Контрольні питання
Питання 1. Наведіть приклади геометричних фігур.
Відповідь.Приклади геометричних фігур: трикутник, квадрат, коло.

Запитання 2.Назвіть основні геометричні фігури на площині.
Відповідь.Основними геометричними фігурами на площині є точка та пряма.

Запитання 3.Як позначаються точки та прямі?
Відповідь.Крапки позначаються великими латинськими літерами: A, B, C, D, … . Прямі позначаються малими латинськими літерами: a, b, c, d, ….
Пряму можна позначати двома точками, що лежать на ній. Наприклад, пряму a малюнку 4 можна позначити AC, а пряму b можна позначити BC.

Запитання 4.Сформулюйте основні властивостіприналежності точок та прямих.
Відповідь.Якою б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.
Запитання 5.Поясніть, що таке відрізок із кінцями у даних точках.
Відповідь.Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців. Коли говорять або пишуть: "відрізок AB", то мають на увазі відрізок з кінцями у точках A та B.

Запитання 6.Сформулюйте основну властивість розташування точок на прямій.
Відповідь.З трьох точокна прямий одна і лише одна лежить між двома іншими.
Запитання 7.Сформулюйте основні властивості виміру відрізків.
Відповідь.Кожен відрізок має певну довжину, велику нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається будь-якою його точкою.
Запитання 8.Що називається відстанню між двома даними точками?
Відповідь.Довжину відрізка AB називають відстанню між точками A та B.
Запитання 9.Якими властивостями має розбиття площини на дві напівплощини?
Відповідь.Розбиття площини на дві напівплощини має наступну властивість. Якщо кінці якогось відрізка належать до однієї напівплощини, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним напівплощин, то відрізок перетинає пряму.