Характеристична функція. Науковий форум dxdy

випадкової величини однозначно пов'язані перетворенням Фур'є. Наприклад, щільність розподілу f (x ) випадкової величини X однозначно виражається через її характеристичну функцію за допомогою зворотного перетворення Фур'є:

де X (k ) (0) - значення k-ї похідної характеристичної функції приt = 0.

випадкових величиндорівнює добутку характеристичних функцій доданків:

Лекція 8 Двовимірні випадкові величини. Двовимірний закон розподілу

Двовимірна випадкова величина (Х, Y) – сукупність двох одновимірних випадкових величин, які набувають значення в результаті проведення одного й того ж досвіду.

Двовимірні випадкові величини характеризуються безліччю значень Ω X ,Ω Y своїх компонентів і спільним (двовимірним) законом розподілу. Залежно від типу компонент X, Y розрізняють дискретні, безперервні та змішані двовимірні випадкові величини.

Двовимірну випадкову величину (Х, Y) геометрично можна представити як випадкову точку (Х, У) на площині х0у або як випадковий вектор, Спрямований з початку координат в точку (Х, У).

Двовимірна функція розподілу двовимірної випадкової величини

(Х, Y) дорівнює ймовірності спільного виконання двох подій (Х<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Геометрично двовимірна функція розподілу F (x, y)

Властивості двовимірної функції розподілу:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

– це ймовірність

. (x, y)

Доведення. Властивість випливає з визначення функції розподілу як ймовірності: ймовірність - невід'ємне число, що не перевищує 1.

2. F (–∞ , y ) = F (x , –∞ ) = F (–∞ , –∞ ) = 0,F (+∞ , +∞ ) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), якщо x 2 > x 1 ;

Доведення. Доведемо, що F (x , y ) - неубутня функція по

змінної х. Розглянемо ймовірність

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Оскільки p (X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Аналогічно й у .

4. Перехід до одновимірних характеристик:

Матриця розподілу

Двовимірна випадкова величина (Х, Y) є дискретною, якщо безлічі значень її компонент Ω X і Ω Y являють собою лічильні множини. Для опису імовірнісних характеристик таких величин використовується двомірна функція розподілу та матриця розподілу.

Матриця розподілуявляє собою прямокутну таблицю, яка містить значення компоненти X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) , значення компонентиY − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) та ймовірності всіляких пар значеньp ij = p (X = x i, Y = y j), i = 1, …, n, j = 1, …, m.

i= 1

Двовимірна щільність розподілу

Двовимірна випадкова величина (X, Y) є безперервною, якщо її

функція розподілу F (х ,у ) являє собою безперервну, функцію, що диференціюється, по кожному з аргументів і існує друга

змішана похідна ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Двовимірна щільність розподілу f(х, у ) характеризує щільність ймовірності в околиці точки з координатами (х, у ) і дорівнює другій змішаній похідній функція розподілу:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Властивості двомірної щільності:

1. f (x, y) ≥ 0.

2. Умова нормування:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y = 1 .

До речі, Ви щойно ратували за те, що студент не повинен знати нічого про рівномірну безперервність, а тепер пропонуєте йому дельта-функції? Адекватно нічого не скажу.

Я радий знову бачити вас у темі охоче дискутувати безвідносно характеристик, що стосуються мене особисто. Мені з вами цікаво. Студент повинен знати все про що його можуть запитати, але перш за все він повинен опановувати систему понять, їх характеризацію та взаємозв'язки між ними і не повинен бути обмежений вузьким колом того розділу дисципліни, яку він вивчає в Наразіі не повинен також являти собою ходячий довідник, який постійно пам'ятає велику кількість функцій, що не задовольняють тій чи іншій умові.
У вихідному завданні потрібно встановити чи є задана функція ХФ будь-якої випадкової величини. Таке завдання студент отримує, коли запроваджується поняття ХФ. І метою вирішення подібних завданьє закріплення розуміння взаємозв'язку ХФ та ПРВ, а також закріплення знань про властивості ХФ.
Показати, що задана функція є ХФ можна двома способами: або слід відшукати відповідну їй за Фур'є функцію і перевірити, що вона задовольняє умову нормування та позитивна, або довести невід'ємну визначеність заданої функціїта послатися на теорему Бохнера-Хінчина. При цьому використання теорем про подання СВ у вигляді лінійної комбінації інших СВ Радемахера ніяк не сприяє розумінню основних властивостейХФ, більше того, як я вище вказав ваше рішення містить завуальований ряд Фур'є, тобто фактично відповідає першому способу.
Коли потрібно показати, що задана функція може бути ХФ будь-якої СВ, досить встановити невиконання однієї з властивостей ХФ: одиничне значення нулі, обмеженість по модулю одиницею, отримання коректних значень для моментів ПРВ, рівномірну безперервність. Перевірка коректності значень моментів, що обчислюються через задану функцію, є математично-рівноправною перевіркою рівномірної безперервності в тому сенсі, що невиконання будь-якої з цих властивостей може служити однаковою основоювизнання непридатності заданої функції. Проте, перевірка коректності значень моментів є формалізованою: диференціюй та перевіряй. Рівномірну безперервність, загальному випадку, доводиться доводити, що ставить успіх розв'язання завдання у залежність від творчого потенціалустудента, від його здатності "здогадуватися".
В рамках обговорення "побудови" СВ пропоную розглянути просте завдання: побудуємо СВ з ХФ виду: де

Математичне очікування та його властивості.

Числові характеристики випадкових величин.

Характеристична функція.

Лекція №5

Розділ 2. Випадкові величини.

Тема 1. Функція розподілу, щільність ймовірності та числові характеристикидовільної величини.

Мета лекції:дати знання способи опису випадкових величин.

Запитання лекції:

Література:

Л1 - Бочаров П. П., Печінкін А. В. Теорія ймовірностей. Математична статистика. - 2-ге вид. – М.: ФІЗМАТЛІТ, 2005. – 296 с.

Л2 - Гмурман, В. Є. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для вузів/В. Є. Гмурман. - 9-е вид., Стер. - М: Вищ. шк., 2005. – 479 с: іл.

Л3 – Нахман А.Д., Косенкова І.В. Ряди. Теорія ймовірностей та математична статистика. Методичні розробки. - Тамбов: Видавництво ТДТУ, 2009.

Л4 – Плотнікова С.В. Математична статистика. Методичні розробки. - Тамбов: Видавництво ТДТУ, 2005. (pdf-файл)

При вирішенні багатьох завдань замість функції розподілу F(x)та п.в. р(х)застосовується характеристична функція. За допомогою цієї характеристики виявляється доцільним, наприклад, визначати деякі числові характеристики сл. та з.р. функцій сл.в.

Характеристичною функцієюсл.в. називається перетворення Фур'є від її п.в. р(х):

, (2.6.1)

де – параметр, що є аргументом характеристичної функції, – м.о. сл.в. (див. § 2.8.).

Застосувавши зворотне перетворенняФур'є, отримаємо формулу, що визначає п.в. сл.в. щодо її характеристичної функції

. (2.6.2)

Оскільки розмірність р(х)обернена розмірності x, то величина , отже, і є безрозмірними. Аргумент має розмірність зворотну розмірності x.

Скориставшись поданням (2.5.7) п.в. р(х)у вигляді суми дельта-функцій можна поширити формулу (1) на дискретні сл.в.

. (2.6.3)

Іноді замість характеристичної функції виявляється зручним використовувати логарифм від неї:

Y. (2.6.4)

функцію Yможна назвати другою ( логарифмічної)характеристичною функцієюсл.в. .

Зазначимо найбільш важливі властивостіхарактеристичної функції

. (2.6.5)

2. Для симетричного розподілу, коли р(х) = р(-х), уявна частина (1) дорівнює нулю, і, отже, характеристична функція є дійсною парною функцією . Навпаки, якщо приймає лише дійсні значення, вона парна і відповідний їй розподіл симетрично.

3. Якщо сл. є лінійною функцієюсл.в. , то її характеристична функція визначається виразом

, (2.6.6)

де aі b- Постійні.

4. Характеристична функція суми незалежних сл.в. дорівнює добутку характеристичних функцій доданків, тобто якщо

. (2.6.7)

Ця властивість особливо корисна, тому що в іншому випадку знаходження п.в. суми сл.в. пов'язано з багаторазовим повтореннямзгортки, що викликає іноді труднощі.

Таким чином, враховуючи однозначний зв'язок між функцією розподілу, щільністю ймовірності та характеристичною функцією, остання в рівною міроюможе бути використана для опису сл.

Дискретна сл. може прийняти три значення (жоден із імпульсів не пригнічений), (пригнічений один імпульс), (пригнічені обидва імпульси). Імовірності цих значень відповідно дорівнюють:

Задана на всій числовій осі формулою

X. ф. випадкової величини X за визначенням є X. ф. її імовірнісного розподілу

Метод, пов'язаний з використанням X. ф., був уперше застосований А. М. Ляпуновим і пізніше став одним із основних аналітич. методів теорії ймовірностей Особливо ефективно він використовується за доказом граничних теорем теорії ймовірностей, напр. центральної граничної теореми для незалежних однаково розподілених випадкових величин з 2-ма моментами зводиться до елементарного співвідношення

Основні властивості X. ф. 1) і позитивно визначено, тобто.

Для будь-яких кінцевих наборів комплексних чиселта аргументів

2) поступово безперервна по всій осі

4)зокрема, приймає тільки дійсні значення (і є парною функцією) у тому й лише тому випадку, коли відповідне ймовірнісне симетрично, тобто де

5) X. ф. однозначно визначає міру; має місце звернення:

Для будь-яких інтервалів (а, 6), кінці яких мають нульову m-міру. Якщо інтегрована (абсолютно, якщо розуміти в сенсі Рімана), то відповідна функція розподілу має рі

6) X. ф. згортки двох ймовірнісних заходів (суми двох незалежних випадкових величин) є їх X. ф.

Наступні три властивості виражають зв'язок між існуванням моментів випадкової величини та ступенем гладкості її X. ф.

7) Якщо для деякого натурального п,то при всіх натуральних існують похідні порядку rот X. ф. випадкової величини Xі має місце рівність

8) Якщо існує те

9) Якщо для всіх

то при всіх має місце

Використання методу X. ф. головним чином ґрунтується на зазначених вище властивостях X. ф., а також на наступних двох теоремах.
Теорема Бохнера (опис класу X. ф.). Нехай функція f задана і f(0)=1. Щоб f була X. ф. деякої ймовірнісної міри, необхідно і достатньо, щоб вона була безперервна і позитивно визначена.
Теорема Леві (відповідності). Нехай -послідовність імовірнісних мір, а -послідовність їх X. ф. Тоді слабо сходиться до деякої ймовірнісної міри (тобто для довільної безперервної) обмеженої функціїу тому п тільки тому випадку, якщо н кожній точці сходиться до деякої безперервної функції f; у разі збіжності функція Звідси випливає, що відносна (у сенсі слабкої збіжності) сімейства імовірнісних заходів рівносильна рівномірної безперервності в нулі сімейства відповідних X. ф.
Теорема Бохнера дозволяє дивитися на перетворення Фур'є - Стілтьєса як на між напівгрупою (щодо операції згортки) ймовірнісних заходів і напівгрупою (щодо крапкового множення) позитивно визначених безперервних рівних в нулі одиниці функцій на Теорема Леві стверджує, що цей . ізоморфізм є і топологіч. гомеоморфізмом, якщо у напівгрупі ймовірнісних заходів мати на увазі топологію слабкої збіжності, а напівгрупі позитивно певних функцій- топологію рівномірної збіжності на обмежених множинах.
Відомі вирази X. ф. основних ймовірнісних морів (див. , ), напр., X. ф. гаусової міри із середньою дисперсією є
Для невід'ємних цілих випадкових величин X,поряд з X. ф., використовується її аналог -

Пов'язана з X. ф. співвідношенням
X. ф. ймовірнісної міри в кінцевому просторі визначається аналогічно:

Де х>означає. Сформульовані вище факти справедливі й у X. ф. ймовірнісних заходів у

Літ.: Лукач Є., Характеристичні функції, пров. з англ., М., 1979; Феллер Ст, Введення в теорію ймовірностей та її застосування, т. 2. пров. з англ., М., 1967; Прохоров Ю. Ст, Розанов Ю. А., Теорія ймовірностей. Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси, 2 видавництва, М., 1973; 3олотарьов Ст М., Одномірні стійкі розподіли, М., 1983.
Н. H. Вахання.

Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитись що таке "ХАРАКТЕРИСТИЧНА ФУНКЦІЯ" в інших словниках:

Характеристична функція: Характеристична функція у термодинаміці функція, за допомогою якої визначаються термодинамічні властивості системи. Характеристична функція множини функція, що встановлює приналежність елемента множині;

У термодинаміці, функція стану незалежних параметрів, що визначають стан термодинаміч. системи. До X. ф. відносяться потенціали термодинамічні та ентропія. За допомогою Х … Фізична енциклопедія

характеристична функція- функція стану термодинамічної системивідповідних незалежних термодинамічних параметрів, Що характеризується тим, що за допомогою цієї функції та похідних її за цими параметрами можуть бути виражені у явному вигляді всі термодинамічні… Довідник технічного перекладача

Характеристична функція- Теоретично кооперативних ігор, співвідношення, яке визначає величину мінімального виграшу для будь-якої коаліції у грі. При поєднанні двох коаліцій значення Х.ф. буде не менше сумитаких функцій для необ'єднаних… Економіко-математичний словник

характеристична функція- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: англ. characteristic function rus. характеристична функція … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

характеристична функція- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Характеристика функції vok. Характеристичний Funktion, f rus. Характеристичні функції, f pranc. fonction caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas - безлічі простору X функція дорівнює 1 при і дорівнює 0 при (де СЕ доповнення Єв X). Будь-яка функція зі значеннями (0, 1) є X. ф. деякої множини, а саме множини, Властивості X. ф.: попарно непересічні, то 6) якщо то … Математична енциклопедія