Знайти характеристичну функцію випадкового розміру приклади рішення. Характеристична функція
Задана на всій числовій осі формулою
X. ф. випадкової величини X за визначенням є X. ф. її імовірнісного розподілу
Метод, пов'язаний з використанням X. ф., був уперше застосований А. М. Ляпуновим і пізніше став одним із основних аналітич. методів теорії ймовірностей Особливо ефективно він використовується за доказом граничних теорем теорії ймовірностей, напр. центральної граничної теореми для незалежних однаково розподілених випадкових величинз 2-ма моментами зводиться до елементарного співвідношення
Основні властивості X. ф. 1) і позитивно визначено, тобто.
Для будь-яких кінцевих наборів комплексних чиселта аргументів
2) поступово безперервна по всій осі
4)
зокрема, приймає тільки дійсні значення(і є парною функцією) у тому і лише тому випадку, коли відповідне ймовірнісне симетрично, тобто де
5) X. ф. однозначно визначає міру; має місце звернення:
Для будь-яких інтервалів (а, 6), кінці яких мають нульову m-міру. Якщо інтегрована (абсолютно, якщо розуміти в сенсі Рімана), то відповідна функція розподілу має рі
6) X. ф. згортки двох ймовірнісних заходів (суми двох незалежних випадкових величин) є їх X. ф.
Наступні три властивості виражають зв'язок між існуванням моментів випадкової величини та ступенем гладкості її X. ф.
7) Якщо 
для деякого натурального п,то при всіх натуральних існують похідні порядку rот X. ф. випадкової величини Xі має місце рівність
8) Якщо існує те 
9) Якщо для всіх
то при всіх має місце
Використання методу X. ф. головним чином ґрунтується на зазначених вище властивостях X. ф., а також на наступних двох теоремах.
Теорема Бохнера (опис класу X. ф.). Нехай функція f задана і f(0)=1. Щоб f була X. ф. деякої ймовірнісної міри, необхідно і достатньо, щоб вона була безперервна і позитивно визначена.
Теорема Леві (відповідності). Нехай -послідовність імовірнісних мір, а -послідовність їх X. ф. Тоді слабо сходиться до деякої ймовірнісної міри (тобто для довільної безперервної) обмеженої функціїу тому п тільки тому випадку, якщо н кожній точці сходиться до деякої безперервної функції f; у разі збіжності функція Звідси випливає, що відносна (у сенсі слабкої збіжності) сімейства імовірнісних заходів рівносильна рівномірної безперервності в нулі сімейства відповідних X. ф.
Теорема Бохнера дозволяє дивитися на перетворення Фур'є - Стілтьєса як на між напівгрупою (щодо операції згортки) ймовірнісних заходів і напівгрупою (щодо крапкового множення) позитивно визначених безперервних рівних в нулі одиниці функцій на Теорема Леві стверджує, що цей . ізоморфізм є і топологіч. гомеоморфізмом, якщо у напівгрупі ймовірнісних заходів мати на увазі топологію слабкої збіжності, а напівгрупі позитивно певних функцій- топологію рівномірної збіжності на обмежених множинах.
Відомі вирази X. ф. основних ймовірнісних морів (див. , ), напр., X. ф. гаусової міри із середньою дисперсією є 
Для невід'ємних цілих випадкових величин X,поряд з X. ф., використовується її аналог -
Пов'язана з X. ф. співвідношенням
X. ф. ймовірнісної міри в кінцевому просторі визначається аналогічно:
Де
Літ.: Лукач Е., Характеристичні функції, пров. з англ., М., 1979; Феллер Ст, Введення в теорію ймовірностей та її застосування, т. 2. пров. з англ., М., 1967; Прохоров Ю. Ст, Розанов Ю. А., Теорія ймовірностей. Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси, 2 видавництва, М., 1973; 3олотарьов Ст М., Одномірні стійкі розподіли, М., 1983.
Н. H. Вахання.
Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
Дивитись що таке "ХАРАКТЕРИСТИЧНА ФУНКЦІЯ" в інших словниках:
Характеристична функція: Характеристична функція в термодинаміці Функція, за допомогою якої визначаються термодинамічні властивості системи. Характеристична функція множини функція, що встановлює приналежність елемента множині;
У термодинаміці, функція стану незалежних параметрів, що визначають стан термодинаміч. системи. До X. ф. відносяться потенціали термодинамічні та ентропія. За допомогою Х … Фізична енциклопедія
характеристична функція- функція стану термодинамічної системивідповідних незалежних термодинамічних параметрів, Що характеризується тим, що за допомогою цієї функції та похідних її за цими параметрами можуть бути виражені у явному вигляді всі термодинамічні… Довідник технічного перекладача
Характеристична функція- Теоретично кооперативних ігор, співвідношення, яке визначає величину мінімального виграшу для будь-якої коаліції у грі. При поєднанні двох коаліцій значення Х.ф. буде не менше сумитаких функцій для необ'єднаних… Економіко-математичний словник
характеристична функція- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: англ. characteristic function rus. характеристична функція … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
характеристична функція- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Характеристика функції vok. Характеристичний Funktion, f rus. Характеристичні функції, f pranc. fonction caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas - безлічі простору X функція дорівнює 1 при і дорівнює 0 при (де СЕ доповнення Єв X). Будь-яка функція зі значеннями (0, 1) є X. ф. деякої множини, а саме множини, Властивості X. ф.: попарно непересічні, то 6) якщо то … Математична енциклопедія
Характеристичною функцієювипадкової величини Xназивають перетворення Фур'є розподілу випадкової величини:
Властивості
Доведення.
Доведення.
Природно, ця властивість поширюється і на більшу кількість доданків:
.
φ (t) Поступово безперервна.
Доведення.
Отриманий остаточний вираз залежить тільки від h. Для безперервної випадкової величини можна записати
.
Доведення. Якщо існує k-й момент величини X, то, користуючись диференціюванням під знаком інтеграла (що можна, оскільки p(x) існує), отримаємо
При кожному наступному диференціювання «зноситься» i E[ X], так що після kдиференцій отримаємо i k E[ X k]. Цей результат можна подати у вигляді
.
Характеристична функція однозначно визначає розподіл випадкової величини.
Доказ окремих випадків
Нехай X - цілочисленна дискретна випадкова величина ( k Z), тоді (зворотне перетворення Фур'є)
(ряд Фур'є, коефіцієнтами якого є p k), тоді
Усі доданки, при яких k≠m, дають 0 (за ортогональністю), і залишається
.
Нехай φ (t) абсолютно інтегрована на речовий прямий, і існує щільність розподілу p(x) 11 .
Спробуємовисловити p(x) через характеристичну функцію. Запишемо зворотне перетворенняФур'є функції φ :
.
З урахуванням цього
Оскільки
в силу заміни змінних отримаємо
і, отже,
.
Якщо в (*) у другому інтегралі обидві межі інтегрування мають одинкові знаки, отримаємо 0; якщо різні – кінцеве число. Тобто, ненульова межа є при a<y<b. У цьому випадку з'явиться інтеграл від −∞ до ∞, що дорівнює π . Звідси
Отримали:
,
отже, pповністю визначається характеристичною функцією.
.
Доведення..
Критерій характеристичної функції
Функція φ X (t) - характеристична для випадкової величини Xтоді і тільки тоді, коли:
φ X (0) = 1,
φ X (t) позитивно визначено.
Функція φ (t) називається позитивно визначеною(positivedefinite), якщо
причому рівність нулю досягається лише за z i = 0i. Якщо послабити умову досягнення рівності нулю, отримаємо невід'ємно визначенуфункцію.
Перевіримо, що характеристична функція позитивно визначена:
Обґрунтування. За якістю 5),
При k= 1, отримуємо,
При k= 2 -.
Якщо E X= 0,D X=E[ X
2 ] = 1,
.
20.2 Приклади
Рішення. Наведемо вираз до вигляду
Неважко бачити, що 
. Після перетворення можна записати 
.
Розглянемо значення p i :
Висновок:cos 2 t - характеристична функція дискретної випадкової величини, що набирає значення 0 з ймовірністю 1/2, а значення 2 і -2 - з ймовірністю 1/4.
Обчислити характеристичну функцію виродженоювипадкової величини: P(X= 0) = 1.
Рішення..
Якщо ж P(X=C) = 1, отримаємо.
Рішення. Наведемо вираз до вигляду
.
Розглянемо значення p i :
Отримали: це характеристична функція дискретної випадкової величини
Рішення. Нехай Y=X–X′ тоді
Висновок: Квадрат модуля будь-якої характеристичної функції - знову характеристична функція.
Нехай X,Y - Випадкові величини з характеристичними функціями φ X (t) та φ Y (t);a,b> 0 - константи такі, що a+b= 1. Розглянемо функцію
Чи є вона характеристичною, і якщо так, то для якоїсь випадкової величини?
Відповідь: так, є. Нехай відповідні функції розподілу Xі Y - F X (x) та F Y (y). Розглянемо функцію. Очевидно, це функція розподілу, оскільки
Тоді щільність імовірності
Якщо φ (t) - характеристична функція X, то φ (−t) - характеристична функція (- X). (З прикладу 4)).
Нехай φ (tX, тоді чи
f (t) = Re [ φ (t)]
Рішення. Очевидно,
Нехай φ (t) відповідає функції розподілу F X (x), тоді для Re[ φ (t)]:
Нехай φ (t) - характеристична функція величини X, тоді чи
f (t) = Im [ φ (t)]
характеристичною функцією деякої випадкової величини?
Рішення. Ні, не є, оскільки f (0) = 0.
X ~ N(0, 1):
Знайти характеристичну функцію нормального розподілу.
Порахуємо φ (t), продиференціювавши під знаком інтеграла:
Розв'яжемо диференціальне рівняння 
з початковою умовою φ
(0) = 1:
X~N(a,σ 2): зіставимо таку величину з X 0 ~N(0, 1). Легко бачити, що X=a+σ X 0 . Тоді, за якістю 2)
До речі, Ви щойно ратували за те, що студент не повинен знати нічого про рівномірну безперервність, а тепер пропонуєте йому дельта-функції? Адекватно нічого не скажу.
Я радий знову бачити вас у темі охоче дискутувати безвідносно характеристик, що стосуються мене особисто. Мені з вами цікаво. Студент повинен знати все про що його можуть запитати, але перш за все він повинен опановувати систему понять, їх характеризацію та взаємозв'язки між ними і не повинен бути обмежений вузьким колом того розділу дисципліни, яку він вивчає в даний момент і не повинен також представляти собою ходячий довідник , який постійно пам'ятає велику кількість функцій, що не задовольняють тій чи іншій умові.
У вихідному завданні потрібно встановити чи є задана функція ХФ будь-якої випадкової величини. Таке завдання студент отримує, коли запроваджується поняття ХФ. І метою вирішення подібних завдань є закріплення розуміння взаємозв'язку ХФ та ПРВ, а також закріплення знань про властивості ХФ.
Показати, що задана функція є ХФ можна двома способами: або слід знайти відповідну їй за Фур'є функцію і перевірити, що вона задовольняє умові нормування і позитивна, або довести невід'ємну визначеність заданої функції та послатися на теорему Бохнера-Хінчина. При цьому використання теорем про подання СВ у вигляді лінійної комбінації інших СВ Радемахера ніяк не сприяє розумінню основних властивостей ХФ, більше того, як я вище вказав ваше рішення містить завуальований ряд Фур'є, тобто фактично відповідає першому способу.
Коли потрібно показати, що задана функція може бути ХФ будь-якої СВ, досить встановити невиконання однієї з властивостей ХФ: одиничне значення нулі, обмеженість по модулю одиницею, отримання коректних значень для моментів ПРВ, рівномірну безперервність. Перевірка коректності значень моментів, що обчислюються через задану функцію є математично-рівноправною перевіркою рівномірної безперервності в тому сенсі, що невиконання будь-якої з цих властивостей може бути однаковою основою для визнання непридатності заданої функції. Проте, перевірка коректності значень моментів є формалізованою: диференціюй та перевіряй. Рівномірну безперервність, у випадку, доводиться доводити, що ставить успіх розв'язання завдання у залежність від творчого потенціалу студента, з його здатності " здогадуватися " .
В рамках обговорення "побудови" СВ пропоную розглянути просте завдання: збудуємо СВ з ХФ виду: 
де
α k | (y) = | M [Y | +∞∫ ϕ k | (x) | (x) dx; | ||||||
µ k (y) | ∫ (ϕ (x ) | f(x) d x. | |||||||||
Характеристична функція випадкової величини | |||||||||||
Нехай Y = e itX, де | X – | випадкова величина з відомим законом |
|||||||||
розподілу, t - параметр, i = | − 1. | ||||||||||
Характеристичною функцією випадкової величиниХизується |
|||||||||||
математичне очікування функції Y = e itX: | |||||||||||
∑ e itx k p k для ДСВ, | |||||||||||
k = 1 | |||||||||||
υ X (t) = M = | |||||||||||
∫ e itX f (x) dx для НСВ. | |||||||||||
Таким чином, характеристична | υ X(t ) | та закон розподілу |
|||||||||
випадкової величини однозначно пов'язані перетворенням Фур'є. Наприклад, щільність розподілу f (x ) випадкової величини X однозначно виражається через її характеристичну функцію за допомогою зворотного перетворення Фур'є:
f(x) = | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π−∞ ∫ | ||||
Основні властивості характеристичної функції: | ||||
Характеристична функція величини Z = aX + b , де X – випадкова |
||||
величина з характеристичної функцій X (t ), дорівнює | ||||
υ Z(t) = M [e it(aX+b)] = e itbυ X(at). | ||||
Початковий момент k-го порядку випадкової величини X дорівнює | ||||
α k (x) = X (k) (0)i − k , | ||||
де X (k ) (0) - значення k-ї похідної характеристичної функції приt = 0.
3. Характеристична функція суми | Y = ∑ X k незалежних |
k = 1 |
випадкових величин дорівнює добутку характеристичних функцій доданків:
υ Y(t ) = ∏ υ Xi | (t). | ||
i = 1 | |||
4. Характеристична функція нормальної | випадкової величини з |
||
параметрами m іσ дорівнює: | |||
υ X (t) = eitm − | t 2 σ 2 | ||
Лекція 8 Двовимірні випадкові величини. Двовимірний закон розподілу
Двовимірна випадкова величина (Х, Y) – сукупність двох одновимірних випадкових величин, які набувають значення в результаті проведення одного й того ж досвіду.
Двовимірні випадкові величини характеризуються безліччю значень Ω X ,Ω Y своїх компонентів і спільним (двовимірним) законом розподілу. Залежно від типу компонент X, Y розрізняють дискретні, безперервні та змішані двовимірні випадкові величини.
Двовимірну випадкову величину (Х, Y) геометрично можна представити як випадкову точку (Х, У) на площині х0у або як випадковий вектор, спрямований з початку координат в точку (Х, У).
Двовимірна функція розподілу двовимірної випадкової величини
(Х, Y) дорівнює ймовірності спільного виконання двох подій (Х<х } и {Y < у }:
F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .
Геометрично двомірна функціярозподілу F (x, y)
потрапляння випадкової точки (Х, Y) в | ||||
нескінченний | квадрант з | вершиною в |
||
точці (х, у), що лежить ліворуч і нижче за неї. | ||||
Компонента Х прийняла значення, | ||||
менші за дійсне число х , це | ||||
розподілу | F X (x), а | |||
компонента Y – менші за дійсний | ||||
числа у , | розподілу | |||
F Y (y). | ||||
Властивості двовимірної функції розподілу:
1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.
– це ймовірність
. (x, y)
Доведення. Властивість випливає з визначення функції розподілу як ймовірності: ймовірність - невід'ємне число, що не перевищує 1.
2. F (–∞ , y ) = F (x , –∞ ) = F (–∞ , –∞ ) = 0,F (+∞ , +∞ ) = 1.
3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), якщо x 2 > x 1 ;
Доведення. Доведемо, що F (x , y ) - неубутня функція по
змінної х. Розглянемо ймовірність
p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
Оскільки p (X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
Аналогічно й у .
4. Перехід до одновимірних характеристик:
F (x, ∞) = p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞, y) = p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. Імовірність попадання у прямокутну область | |||||||||||
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) = | |||||||||||
F (β,γ) -F (β,δ) -F (α,γ) + F (α,δ). | (β,γ) | ||||||||||
Функція розподілу - найбільш | |||||||||||
універсальна | |||||||||||
розподілу | |||||||||||
використана | описи як | (β,δ) | |||||||||
безперервних, | та дискретних | (α,δ) | |||||||||
двовимірних випадкових величин. | |||||||||||
Матриця розподілу
Двовимірна випадкова величина (Х, Y) є дискретною, якщо безлічі значень її компонент Ω X і Ω Y являють собою лічильні множини. Для опису імовірнісних характеристик таких величин використовується двомірна функція розподілу та матриця розподілу.
Матриця розподілуявляє собою прямокутну таблицю, яка містить значення компоненти X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) , значення компонентиY − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) та ймовірності всіляких пар значеньp ij = p (X = x i, Y = y j), i = 1, …, n, j = 1, …, m.
x i \ yj | ||||
X i) = ∑ p ij, i = 1, ..., n. | ||||
j = 1 | ||||
3. Перехід до ряду розподілу ймовірностей складової Y: | ||||
p j = p (Y = y j) = ∑ p ij, j = 1, ..., m. | ||||
i= 1
Двовимірна щільність розподілу
Двовимірна випадкова величина (X, Y) є безперервною, якщо її
функція розподілу F (х ,у ) являє собою безперервну, функцію, що диференціюється, по кожному з аргументів і існує друга
змішана похідна ∂ 2 F (x, y).
∂ x ∂y
Двовимірна щільність розподілу f(х, у ) характеризує щільність ймовірності в околиці точки з координатами (х, у ) і дорівнює другій змішаній похідній функція розподілу:
∫∫ f(x, y) dxdy.
Властивості двомірної щільності:
1. f (x, y) ≥ 0.
2. Умова нормування:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y = 1 .
Математичне очікування та його властивості.
Числові характеристикивипадкових величин.
Характеристична функція.
Лекція №5
Розділ 2. Випадкові величини.
Тема 1. Функція розподілу, щільність ймовірності та числові характеристики випадкової величини.
Мета лекції:дати знання способи опису випадкових величин.
Запитання лекції:
Література:
Л1 - Бочаров П. П., Печінкін А. В. Теорія ймовірностей. Математична статистика. - 2-ге вид. – М.: ФІЗМАТЛІТ, 2005. – 296 с.
Л2 - Гмурман, В. Є. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для вузів/В. Є. Гмурман. - 9-е вид., Стер. - М: Вищ. шк., 2005. – 479 с: іл.
Л3 – Нахман А.Д., Косенкова І.В. Ряди. Теорія ймовірностей та математична статистика. Методичні розробки. - Тамбов: Видавництво ТДТУ, 2009.
Л4 – Плотнікова С.В. Математична статистика. Методичні розробки. - Тамбов: Видавництво ТДТУ, 2005. (pdf-файл)
При вирішенні багатьох завдань замість функції розподілу F(x)та п.в. р(х)застосовується характеристична функція. За допомогою цієї характеристики виявляється доцільним, наприклад, визначати деякі числові характеристики сл. та з.р. функцій сл.в.
Характеристичною функцієюсл.в. називається перетворення Фур'є від її п.в. р(х):
, (2.6.1)
де – параметр, що є аргументом характеристичної функції, – м.о. сл.в. (див. § 2.8.).
Застосувавши зворотне перетворення Фур'є, отримаємо формулу, що визначає п.в. сл.в. щодо її характеристичної функції
. (2.6.2)
Оскільки розмірність р(х)обернена розмірності x, то величина , отже, і є безрозмірними. Аргумент має розмірність зворотну розмірності x.
Скориставшись поданням (2.5.7) п.в. р(х)у вигляді суми дельта-функцій можна поширити формулу (1) на дискретні сл.в.
. (2.6.3)
Іноді замість характеристичної функції виявляється зручним використовувати логарифм від неї:
Y
. (2.6.4)
функцію Yможна назвати другою ( логарифмічної)характеристичною функцієюсл.в. .
Зазначимо найбільш важливі властивостіхарактеристичної функції
| |
. (2.6.5)
2. Для симетричного розподілу, коли р(х) = р(-х), уявна частина (1) дорівнює нулю, і, отже, характеристична функція є дійсною парною функцією 
. Навпаки, якщо набуває лише дійсних значень, то вона парна і відповідний їй розподіл симетрично.
3. Якщо сл. є лінійною функцієюсл.в. , то її характеристична функція визначається виразом
, (2.6.6)
де aі b- Постійні.
4. Характеристична функція суми 
незалежних сл.в. дорівнює добутку характеристичних функцій доданків, тобто якщо
. (2.6.7)
Ця властивість особливо корисна, тому що в іншому випадку знаходження п.в. суми сл.в. пов'язано з багаторазовим повтореннямзгортки, що викликає іноді труднощі.
Таким чином, враховуючи однозначний зв'язок між функцією розподілу, щільністю ймовірності та характеристичною функцією, остання в рівною міроюможе бути використана для опису сл.
| |
Дискретна сл. може прийняти три значення (жоден із імпульсів не пригнічений), (пригнічений один імпульс), (пригнічені обидва імпульси). Імовірності цих значень відповідно дорівнюють:
