Випадкова величина набуває значення. Випадкова величина

Визначення. Випадковою величиною називають таку величину, яка в результаті експерименту приймає якесь одне значення з безлічі її можливих значень, причому до експерименту неможливо передбачити, яке саме.

Випадковими величинами є, наприклад, кількість очок, що випадають під час кидання грального кубика, кількість відвідувачів аптеки протягом дня, кількість яблук на дереві тощо.

Випадковими величинами є також температура хворого в деякий час вибраний час доби, маса навмання обраної таблетки деякого препарату, зростання навмання обраного студента і т.д.

Про

Однак з математичної точки зору між такими випадковими величинами, як, наприклад, кількість відвідувачів аптеки протягом дня (позначимо цю випадкову величину X 1) і зростання навмання обраного студента з деякої групи студентів (величина Х 2), є принципова відмінність, а саме: для величини X 1 можна перерахувати всі її можливі значення (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), тоді як для величини Х 2 цього зробити не можна, оскільки ця величина в результаті виміру може прийняти будь-яке значення з відрізка , де

і - відповідно мінімальне та максимальне зростання студентів групи.

Випадкові величини прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту- X, Y, Z тощо. буд., які можливі значення - відповідними малими літерамиіз числовими індексами. Наприклад, значення випадкової величини xпозначають наступним чином: x 1 x 2 x 3 і т. д.

Поняття дискретних та безперервних випадкових величин

Визначення. Випадкова величина називається дискретною, якщо сукупність всіх її можливих значень є кінцевою або нескінченною, але обов'язково лічильною безліччю значень, тобто такою безліччю, всі елементи якої можуть бути (принаймні теоретично) пронумеровані і виписані у відповідній послідовності.

Визначення. Випадкова величина називається безперервною, якщо безліч її можливих значень є деяким кінцевим або нескінченним проміжком числової осі.

Виходячи з цих визначень, такі з перерахованих вище випадкових величин, як кількість очок, що випадають при киданні грального кубика, кількість відвідувачів аптеки протягом дня, кількість яблук. дереві, є дискретними випадковими величинами, а такі, як температура хворого у фіксований час доби, маса навмання обраної таблетки деякого препарату, зростання навмання обраного студента - безперервними величинами.

Дискретні випадкові величини

Розглянемо докладніше дискретні випадкові величини, причому, як правило, обмежуватимемо розгляд такими випадковими величинами, у яких кількість можливих значень звичайно.

Найбільш повну інформаціюпро дискретну випадкову величину дає закон розподілу цієї величини.

Визначення. Законом розподілу дискретної випадкової величини називається відповідність між усіма можливими значеннями цієї випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини часто задають у вигляді дворядкової таблиці, у першому рядку якої перераховані всі можливі значення цієї величини (як правило, у порядку зростання), а в другому - ймовірності таблиці 1, що відповідають цим значенням:

приклад 2.Є десять студентських груп, що нараховують відповідно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 та 11 студентів. Скласти закон розподілу випадкової величини X, яка визначається як кількість студентів у навмання обраній групі.

Рішення. Можливими значеннями аналізованої випадкової величини Х є такі (у порядку зростання):

8, 9, 10, 11 та 12.

Оскільки випадкова величина Х приймає значення, що дорівнює 8, у тому випадку, якщо навмання обраною групою виявиться група з 8 студентів (назвемо це подією А), ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення
, дорівнює ймовірності цього випадкової події:
.

Імовірність ж випадкової події А відповідно до класичним визначеннямймовірності дорівнює
оскільки із 10 груп дві налічують по 8 студентів.

Таким чином, для ймовірності значення отримуємо:

.

Аналогічно можна визначити ймовірності інших значень випадкової величини X:

що дозволяє скласти шуканий закон розподілу (таблиця 2):

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий також за допомогою формули, що дозволяє кожному за можливе значення цієї величини визначити відповідну ймовірність.

Дискретні та безперервні випадкові величини

Як правило, при виготовленні продукції на процес її виробництва впливає безліч різних факторів, у результаті спостерігається розкид значень показників якості продукції. Таким чином, показники якості продукції або послуг, що виготовляється, слід розглядати як випадкові величини.

Випадковою величиною називається така величина, яка в результаті випробувань у межах певного інтервалу може приймати різні числові значення (згідно з СТБ ГОСТ Р 50779.10 випадкова величина - змінна, яка може набувати будь-якого значення із заданої безлічі значень і з якою пов'язаний розподіл ймовірностей).

Дискретними випадковими величинами називаються такі, які у результаті випробувань можуть набувати лише окремі, ізольовані значення і що неспроможні приймати значення проміжні з-поміж них. Наприклад, кількість непридатних деталей у партії може бути цілою позитивним числом 1, 2, 3 і т.д., але не може бути 1,3; 1,7 тощо.

Безперервною випадковою величиною називається така величина, яка в результаті випробувань може приймати будь-які чисельні значення безперервного ряду їх можливих значень у межах певного інтервалу.

Наприклад, дійсні розміри деталей, оброблених на верстаті, є випадковими величинами безперервного типу, оскільки можуть прийняти будь-яке чисельне значення певних межах.

Можливості випадкових величин приймати під час випробувань ті чи інші чисельні значення оцінюються з допомогою ймовірностей.

Сукупність значень випадкових величин, розташованих у зростаючому порядку із зазначенням їх ймовірностей для кожного з значень, називається розподілом випадкових величин (згідно з СТБ ГОСТ Р 50779.10 розподіл – це функція, що визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме якесь задане значення або належатиме заданій множинізначень).

Розподіл випадкової величини можна у табличному, графічному виглядіта за допомогою статистичних оцінок.

При поданні розподілу випадкової величини у табличному вигляді кожному номеру досліджуваної одиниці продукції (номеру виміру) відповідає значення показника якості даної одиниці продукції (результат виміру).

При поданні розподілу випадкової величини у графічному вигляді будують графік розподілу у координатах значення випадкової величини – ймовірність (частота, частота) значення випадкової величини.

На малюнку нижче показані графіки розподілу дискретної та безперервної випадкових величин.

Малюнок - Графік розподілу дискретної випадкової величини

Малюнок - Графік розподілу безперервної випадкової величини

Розрізняють теоретичні та емпіричні розподіли випадкових величин. У теоретичних розподілах оцінка можливих значень випадкової величини виробляється з допомогою ймовірностей, а емпіричних - з допомогою частот чи частот, отриманих результаті випробувань.

Отже, емпіричним розподілом випадкової величини називається сукупність експериментальних її значень, розташованих у порядку зростання, із зазначенням частот чи частот для кожного із значень (згідно з СТБ ГОСТ Р 50779.10 розподіл частот – це емпіричне відношення між значеннями ознаки та її частотами або його відносними частотами).

Таблиця. приклад табличного уявленнятеоретичного розподілу дискретної випадкової величини

Графічно емпіричний розподіл дискретної випадкової величини можна подати у вигляді стовпчикової діаграми , що утворюється набором стовпців рівної ширини, висоти яких пропорційні частотам дискретних значеньдовільної величини.

Малюнок - Стовпчикова діаграма дискретної випадкової величини.

Якщо випадкова величина є безперервною, виникають деякі складнощі з поданням її розподілу у вигляді таблиці або графіка. Тому на практиці щодо випадкових величин безперервного типу отримані значення розбивають на рівні інтервали з таким розрахунком, щоб значення інтервалу було дещо більше похибки вимірювання досліджуваної величини. Потім підраховують частоти не по дійсним значеннямвипадкової величини, а за інтервалами. Тому таблиця емпіричного розподілу випадкової величини безперервного типу матиме такий вигляд.

Таблиця. Емпіричний розподілвипадкової величини безперервного типу.

Емпіричний розподіл випадкової безперервної величиниграфічно може бути представлено у вигляді гістограми розподілу, полігону частот або полігону кумулятивних частот.

Гістограма розподілу являє собою сукупність дотичних прямокутників, основи яких дорівнюють інтервалам розбиття безперервної випадкової величини, а площі пропорційні частотам, з якими значення випадкової величини потрапляють в ці інтервали (згідно СТБ ГОСТ Р 50779.10 гістограма (розподілу) – це графічне уявленнярозподілу частот для кількісної ознаки, утворене дотичними прямокутниками, основами яких є інтервали класів, а площі пропорційні частотам цих класів).

Малюнок – Гістограма розподілу випадкової безперервної величини.

Полігон частот – це ламана лінія, що отримується при з'єднанні точок, абсциси яких рівні середин інтервалів розбиття, а ординати - відповідним частотам.

Малюнок – Полігон частот випадкової безперервної величини.

Полігон кумулятивний частот - це ламана лінія, яка отримується при з'єднанні точок, абсциси яких рівні верхнім кордонамінтервалів розбиття, а ординати – або кумулятивним частот, або кумулятивним частотам (кумулятивним відносним частотам).

Малюнок – Полігон кумулятивних частот випадкової безперервної величини.

При теоретичних описахвипадкових величин безперервного типу використовується функція розподілу. Теоретичний розподіл випадкової безперервної величини графічно може бути представлений у вигляді інтегральної, зворотної інтегральної, диференціальноїфункцій розподілу та функції інтенсивності.

Нехай Х - випадкова величина, а х - якесь дійсне число (при цьому Х< х ). Події Х< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

Р(Х< х) = F(х)

F(Х) називається функцією розподілу ймовірностей випадкової величини або інтегральною функцієюрозподілу.

Для дискретної випадкової величини інтегральна функція розподілу F(Х) легко визначається за таблицею чи графіком.

Таким чином, для наведеного вище прикладу розподілу дискретної випадкової величини (при Х< 4):

F(X) = Р( Х ) = P ( Х = 1) + P( Х = 2) + P( Х = 3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Графік інтегральної функції розподілу дискретної випадкової величини матиме вигляд ступінчастої кривої. Ординати кривої будь-якого значення Х будуть представляти суму ймовірностей попередніх значень.

Малюнок - Інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини

Імовірність того, що випадкова величина при випробуваннях виявиться в межах двох заданих значеньх 1 і х 2 (х 2 > х 1) дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому ділянці, тобто.

Р(х 1 ≤ Х ≤ х 2 ) = Р(Х< х 2 ) - Р(Х< х 1 ) = F(Х 2 ) - F(Х 1 )

Якщо звернутися до наведеного прикладу розподілу дискретної випадкової величини, то при х1= 2 і х2 = 3:

Р(2≤Х≤3) = Р(Х< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Для безперервної випадкової величини графік інтегральної функції розподілу матиме вигляд монотонно зростаючої кривої. Насправді з допомогою інтегральної функції розподілу визначають теоретичні частоти розподілу.

Малюнок - Інтегральна функція розподілу

безперервної випадкової величини

Зворотна інтегральна функція розподілу дорівнює різниці між одиницею та інтегральною функцією розподілу.

Щільністю розподілу (диференційною функцією розподілу) випадкової величини називають першу похідну від інтегральної функції розподілу:

Для аналітичного описубезперервної випадкової величини в теорії надійності використовують функцію інтенсивності , рівну відношенню диференціальної функціїрозподілу до зворотної інтегральної функції розподілу:

Малюнок – функція інтенсивності безперервної випадкової величини.

Тема 3

Випадкові величини та функції розподілу

Концепція випадкової величини.

Поняття випадкової величини

Функція розподілу випадкової величини, її властивості

Випадкові величини з дискретним розподілом

Поняття випадкової величини з дискретним розподілом

Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Приклади дискретних розподілів

Випадкові величини з абсолютно безперервним розподілом

Поняття випадкової величини з абсолютно безперервним розподілом

Закон розподілу абсолютно безперервної випадкової величини. Щільність, її властивості

Приклади абсолютно безперервних розподілів

Концепція випадковий вектор.

Поняття випадкового вектора

Незалежні випадкові величини

Спільний розподіл випадкових величин

Концепція випадкової величини.

З моменту виникнення теорії ймовірностей її основним завданням було вивчення не ймовірнісних властивостей експериментів із випадковими наслідками, а пов'язаних з цими експериментами числових величин, які природно назвати випадковими величинами. Наприклад, ми можемо цікавитися не парами чисел на верхніх граняхкубиків, які сумою; числом успіхів чи невдач до першого успіху у схемі Бернуллі.

Часто у літературі можна зустріти варіації на тему наступного визначення: Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в залежності від результатів випробування набуває значень, що залежать від випадку.

Таким чином, випадкова величина – це числова величиназначення якої залежить від того, який саме (елементарний) результат відбувся в результаті експерименту з випадковим результатом. Безліч всіх значень, які випадкова величина може набувати, називають безліччю можливих значень цієї випадкової величини.

Ми наведемо більше суворе визначення, оскільки поняття випадкової величини є одним із тих ключових понять, які пов'язують теорію ймовірностей з математичним аналізомта становлять понятійну основу математичної статистики.

Визначення. Випадковою величиноюназивається функція Х = Х(ω), визначена на просторі елементарних подійΩ, для яких подія (Х< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Умова (Х< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из А. Крім того, через події (Х< х}, х є (-∞, ∞) с помощью відомих операційнад подіями можна висловити скільки завгодно складна подія, Пов'язане з випадковою величиною Х. Така подія також належатиме σ-алгебри подій A і, отже, для нього визначена ймовірність.

Зауваження. Таким чином, випадкова величина - це функція, областю визначення якої є простір елементарних подій Ω, а безліччю значень - числова множина, можливо, все множина дійсних чисел R.

σ-алгебра подій A – це сфера визначення ймовірності, якщо розглядати її як функцію.

Зауваження . «Термін «випадкова величина» дещо неточний, найбільш відповідним був термін «Функція випадку» , незалежної змінної є точка у просторі елементарних подій, тобто. результат експерименту чи випадок». (В.Феллер «Вступ до теорії ймовірностей», гол. IX)

Випадкові величини позначаються буквами грецького алфавіту:(кси),(ця), або великими літерамилатинського алфавіту X, Y, …Значення випадкової величини записуватимемо у вигляді кінцевої або нескінченної послідовності x 1 ,x 2 ,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Зауваження . Раніше ми ввели поняття ймовірності стосовно деяких подій. Тепер ми переходимо до розмови про функції. Найочевидніша подія, яку можна пов'язати з поняттям функції – це ухвалення нею певного значення (конкретного чи належного проміжку)

Для дослідження імовірнісних властивостей випадкової величини необхідно знати правило, що дозволяє знаходити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення підмножини її значень. Будь-яке таке правило називають законом розподілу ймовірностей чи розподілом (ймовірностей) випадкової величини.(при цьому слово "ймовірностей" зазвичай опускають)

Загальним законом розподілу, властивим усім випадковим величинам, є функція розподілу.

Визначення.Вся сукупність ймовірностей Р(Х< х}, х є (-∞, ∞) задает закон розподілу випадкової величини Хв загальному випадку. Часто для стислості закон розподілу випадкової величини називають просто розподілом випадкової величини.

Визначення.Функція F(x) = Р(Х< х}, х є (-∞, ∞) называется функцією розподілу випадкової величини Х.

Значення функції розподілу в точці х дорівнює ймовірності події (Х< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Зазвичай кажуть, що значення функції розподілу в точці х дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х набуде значення менше х.

Геометрично це означає таке: F(x) – ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, яке зображується точкою на числовій прямій, розташованій ліворуч від точки х.

Зауваження . Функцію розподілу називають також інтегральною функцією, або інтегральним законом розподілу випадкової величини Х

Функція розподілу має такі властивостями:

0≤ F(x)≤1 (т.к. за визначенням, функція розподілу є ймовірністю)

F(x 1) ≤ F(x 2) при x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 при x → - ∞ , lim F(x) = 1 при x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) – безперервна ліворуч функція, тобто. F(x) = F(x - 0), де F(x - 0) = lim F(y) при y → x - 0 (лівостороння межа)

Зауваження . Щоб підкреслити, якій саме випадкової величині належить функція розподілу F(x), цій функції іноді приписують нижній індекс, що позначає конкретну випадкову величину. Наприклад, F X (x) = Р(Х< х}

Зауваження. У деяких виданнях функція розподілу визначається як F(x) = Р(Х ≤ х). Таке визначення нічого не змінює по суті поняття функції розподілу, змінюється лише остання, п'ята властивість. Функція у разі виявляється безперервної праворуч.

Відступ: Що таке функція?

Нехай нам дано дві множини Х і Y, причому Y - числова множина. І нехай задано правило f, за яким кожному елементу (точці) множини Х ставиться у відповідність (один і тільки один) елемент (число) множини Y. Правило f разом із множинами X і Y задають функцію f. Запис y=f(x) означає, що до деякої точки x множини X застосували правило f, і в результаті отримали точку y з множини Y. X називається аргументом (незалежною змінною), а y – значенням (залежної змінної) функції f у точці х. Безліч Х називається областю визначення (областю завдання) функції, кажуть, що функція задана цьому множині, безліч Y називається безліччю значень функції. Безліч Х абсолютно необов'язково є числовим безліччю. Так, випадкова величина – це функція, задана на нечисловому просторі елементарних подій.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Випадковою називають величину, яка в результаті випробування набуде одного і лише одного можливого значення, причому яке саме заздалегідь невідоме.

Дискретною називають випадкову величину, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певними ймовірностями.

Безперервною називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного інтервалу.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями. Цей закон задається у вигляді таблиці, формули чи графіка.

Для дискретних випадкових величин одним із найбільш уживаних є так званий біноміальний закон розподілу, до якого наводить схема Бернуллі повторення випробувань. Формула (8) і є аналітичним виразом цього закону.

Приклад 11.

По каналу зв'язку передається повідомлення за допомогою коду, що складається із двох знаків. Імовірність появи першого дорівнює 2/3. Передано три знаки. Знайти закон розподілу для появи першого знака.

Рішення.

За умовою n=4, р=2/3, q= 1/3. Можливі значення числа появ першого знака: 0, 1, 2 і 3. Знайдемо їх ймовірності за формулою (8):

Цей закон можна подати у вигляді таблиці

Функцією розподілу називають функцію, що визначає ймовірність того, що випадкова величина Хв результаті випробування набуде значення менше х,тобто

Геометрично це означає, що випадкова величина з ймовірністю рприйме значення, яке на числовій осі зображується точкою, що лежить ліворуч х.

Для безперервної випадкової величини функція розподілу є безперервна шматково-диференційована функція. З визначення виводяться основні властивості:

1. Значення функції розподілу належать відрізку, тобто.

2. F(x) - Незменшуюча функція, тобто якщо

3. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, укладеного на проміжку [ а,b[, дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому проміжку

Для безперервної випадкової величини можливість прийняти окреме значенняодно нулю. Тому для безперервних випадкових величин

Приклад 12.

Випадкова величина Хзадана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабуде значення, належить відрізку [-1;0,5].

Рішення.

З умови випливає, що Х- безперервна випадкова величина, яка може набувати значення від 0 до 1.

Щільністю розподілу ймовірностей безперервнийвипадкової величини Хназивають першу похідну від функції розподілу

Функція розподілу F(x)є одна з первісних для густини розподілу. Виходячи з визначення густини або диференціального законурозподілу та її зв'язку з функцією розподілу, легко показати наступні властивості:

1. Щільність розподілу безперервної випадкової величини – невід'ємна функція

2. Імовірність влучення випадкової величини Хв інтервал дорівнює

(16)

3. З властивості 2 отримаємо вираз для функції розподілу

(17)

4. Умова нормування

(18)

приклад 13.Дискретна величина Хзадана таблицею

Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.

Рішення.

1. Якщо , то , оскільки Хне може набувати значення менше 2.

В цьому випадку в інтервал (-¥, х)потрапляє лише одне значення випадкової величини Х (X=2). Тому

Для будь-якого значення аргументу хфункції F(x),задовольняє цю нерівність, в інтервал (-¥, х) попадає два значення випадкової величини ( X=2 і X=3). Оскільки події, що Хприйме дані значення є несумісними (або X=2 або X=3), то

4. Аналогічно якщо

Отже, функція розподілу матиме вигляд

Будуємо графік функції розподілу

Рис. 1 - Графік функції розподілу

дискретної випадкової величини

Приклад 14. Щільність розподілу помилки виміру

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Федеральна державна бюджетна освітня установа

вищої професійної освіти

«Південно-Уральський державний університет

(національний дослідницький університет)»

Факультет "Приладобудівний (КТУР)"

Кафедра «Інформаційно-вимірювальна техніка»

Реферат на тему

Що таке випадкова величина?

з дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Перевірив:

______________/ А.П. Лапін

Виконав:

студент групи ПС-236

_______________/Загоскін Я.С./

Челябінськ 2015

ВСТУП

1. ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

ВИСНОВОК

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

ВСТУП

Теорія ймовірностей - щодо молода, але вже стала класичною, галузь математики. Розвиток її як окремої наукидовелося на середину XVIIстоліття, і почалося з листування двох відомих у всьому світі французьких математиків: Блеза Паскаля та П'єра де Ферма. Проте завданнями, які стосуються прорахунку ймовірностей в азартних іграх, вчені почали цікавитись значно раніше. Так, наприклад, італійський математик Лука Пачолі ще в 1494 р. у своїй праці «Сума арифметики, геометрії, відносин і пропорцій» («Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita»), розглянув одне із завдань про ймовірності, але, на жаль, навів хибне рішення.

Сьогодні методи теорії ймовірностей та математичної статистики є невід'ємною частиною практично будь-якої дисципліни як технічної, так і гуманітарної спрямованості. Закони розподілу випадкових величин виявилися застосовними не тільки до математики, фізики, хімії і так далі, але й до дисциплін, що частково несуть прогностичний характер, таким як соціологія, економіка, політологія, etc.

У цій роботі, познайомимося з основними поняттями, термінами та законами теорії ймовірностей та математичної статистики, а також із застосуванням останніх на практиці.

1. ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

1.1 Визначення випадкової величини

Випадкова величина – це фундаментальне поняття теорії ймовірностей та математичної статистики.

Кожен автор по-своєму формулює поняття випадкової величини. О.С. Вентцель, наприклад, визначає випадкову величину як величину, яка в результаті досвіду може прийняти те чи інше значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме .

Інакше висловлюючись, випадкова величина це величина, що має цілий набір допустимих значень, але приймає лише одне, і яке саме, наперед точно сказати не можна.

Формальне математичне визначеннявипадкової величини звучить так:

Нехай (Щ, F, P) - ймовірнісний простір, Тоді випадковою величиною називають функцію X: Щ > R .

Випадкову величину практично зазвичай позначають великими літерами, наприклад: X, Y, Z, тоді, як можливі значення самої величини визначаються малими знаками: x, y, z.

1.2 Види та приклади випадкових величин

Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та безперервні.

До дискретних відносяться ті випадкові величини, безліч значень яких звісно чи фіксовано. Прикладом дискретної випадкової величини можна вважати кількість попадань у ціль при заздалегідь певному числіпостріли.

Безперервна випадкова величина це така величина, безліч значень якої є незліченною або нескінченною. Як приклад для безперервної випадкової величини можна взяти кількість кіл на воді, після попадання в неї каменю, або відстань, яка пролетить стріла, перш ніж впасти на землю.

Усі випадкові величини, до всього іншого, мають ще одну важливу характеристику- ряд допустимих значень, який, своєю чергою, може бути як обмеженим, і необмеженим. Звідси, маємо, залежно від числа допустимих значень, обмежені випадкові величини, ряд допустимих значень скінченний чи фіксований, і необмежені, кількість допустимих значень яких є нескінченною.

Дискретні випадкові величини можуть мати обмежений та необмежений ряд можливих значень, коли як безперервні – лише необмежений.

На практиці в теорії ймовірностей та математичної статистики, як правило, мають справу лише з безперервними випадковими величинами.

2. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

2.1 Закон розподілу дискретної випадкової величини

Будь-яке співвідношення між допустимими значеннями випадкової величини та ймовірностями їхнього наступу називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Існує два способи завдання закону розподілу:

· Аналітично, коли закон розподілу задається у вигляді таблиці відповідності значень випадкової величини та їх ймовірністю, що називається рядом розподілу:

Таблиця 1 – ряд розподілу випадкової величини

Тут, у першому рядку розташовуються можливі значення випадкової величини, а в другому - їх ймовірності, при цьому сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці:

· Графічно, коли таблиця розподілу випадково величини приймає багатокутника розподілу:

Малюнок 1 - багатокутник розподілу випадкової величини

Де сума всіх ординат багатокутника є ймовірністю всіх допустимих значень випадкової величини, отже, також дорівнює одиниці.

Існує також біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини або друга назва - закон розподілу Бернуллі.

Визначення: дискретна випадкова величина розподілена за біноміальним законом, якщо ймовірність того, що подія A настане рівно m разів у серії з n випробувань за схемою Бернуллі, дорівнює:

Або у вигляді таблиці:

Таблиця 2 - ряд біномного розподілу

Прикладом є вибірковий контроль якості виробничих виробів, у якому відбір виробів для проби проводиться у разі схемою випадкової повторної вибірки, тобто. коли перевірені вироби повертаються у вихідну партію. Тоді кількість нестандартних виробів серед відібраних є випадковою величиною з біноміальним законом розподілу ймовірностей.

Дискретна випадкова величина називається розподіленою за законом Пуассона, якщо вона має необмежену лічильну множину допустимих значень 0, 1, 2, …, m, … Тоді відповідні ймовірності визначаються формулою (3):

M = 0, 1, 2, ...; (3)

Прикладом явища, розподіленого згідно із законом Пуассона, є послідовність радіоактивного розпадучастинок.

2.2 Закони розподілу безперервної випадкової величини

випадковий величина теорія ймовірність

Розглянуті вище правила розподілу випадкової величини є справедливими лише стосовно дискретним величинам, Через те, що всі перелічені закони будуються виключно з міркування, що кількість можливих значень випадкової величини звичайно і суворо фіксовано. Саме тому, наприклад, розподілити безперервну випадкову величину за законом Пуассона або Бернуллі не вийде, тому що неможливо перерахувати кількість допустимих значень цієї величини – воно нескінченне.

Для опису розподілу безперервних випадкових величин існують такі закони:

Розглянемо значення випадкової величини Х такі, що Х<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения и обозначается через F(x):

Рівність (4) читається:

Імовірність того, що випадкове значення X знаходиться лівіше за значення х, визначається функцією розподілу F(x).

Рисунок 2 – Графічне подання функції розподілу с.в.

Варто відзначити, що у вигляді функції розподілу можна описувати як безперервну, так і дискретну випадкові величини - це універсальна характеристика.

Для безперервних випадкових величин на практиці, нарівні з функцією розподілу F(x) також прийнято використовувати інший закон розподілу - щільність розподілу ймовірностей випадкової величини:

Рівність (5) – диференціальний закон розподілу випадкової величини, який виражає крутість функції розподілу F(x).

Малюнок 3 – Графічне подання диференціального закону розподілу с.в.

Зауважимо, що диференціальний закон розподілу випадкової величини не є універсальним - він застосовується виключно до безперервних випадкових величин.

Одним із найчастіше використовуваних на практиці законів, є нормальний закон розподілу - закон розподілу Гаусса. Закон характеризує щільність ймовірності нормально розподіленої випадкової величини X і має вигляд:

Де a і параметри розподілу мають значення:

Крива розподілу (рисунок 4а), або крива Гауса, виходить симетричною відносною точкою x = a - точки максимуму. При зменшенні значення у ординату точки максимуму безмежно зростає, крива ж при цьому пропорційно розходиться вздовж осі абсцис, зберігаючи площу графіка постійною величиною, що дорівнює одиниці (рисунок 4б).

Малюнок 4 - Криві розподіли:

4а - крива Гауса,

4б - поведінка кривої Гауса при зміні параметра;

Насправді, нормальний розподіл відіграє значну роль у багатьох галузях знань, але особливу увагу їй приділяють у фізиці. Фізична величина підпорядковується закону Гауса, коли вона піддається впливу великої кількості випадкових перешкод, що є вкрай поширеною ситуацією, внаслідок чого нормальний розподіл найчастіше зустрічається у природі, і саме звідси пішла її назва.

Безперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленою на проміжку (a, b), якщо всі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність розподілу ймовірностей стала - закон рівномірного розподілу безперервної випадкової величини, що має вигляд:

Для випадкової величини Х, рівномірно розподіленої в інтервалі (a, b) (рисунок 5), ймовірність попадання в будь-який інтервал (x1, x2), що лежить всередині інтервалу (a, b), дорівнює:

Малюнок 5 - Графік щільності рівномірного розподілу

Як приклад рівномірно розподілених величин можна взяти помилки округлення. Так, якщо всі табличні значення деякої функції округлені до того самого розряду, то вибираючи навмання табличне значення, ми вважаємо, що помилка округлення обраного числа - випадкова величина, рівномірно розподілена в інтервалі, де.

Безперервна випадкова величина X називається показово розподіленою, якщо щільність розподілу її ймовірностей має вигляд:

Як приклад, візьмемо час Т безвідмовної роботи комп'ютерної системи, де Т - випадкова величина, що має показовий розподіл з параметром л, фізичний зміст якого - середня кількість відмов в одиницю часу, за винятком простоїв системи для ремонту.

Малюнок 6 - Графік густини показового розподілу

ВИСНОВОК

Методи, засоби та закони теорії ймовірностей та математичної статистики протягом усіх етапів формування дисципліни були актуальними, якими і залишаються аж до наших днів. Головний принцип методів, що дозволив торкнутися настільки багато галузей і сфер знання - універсальність. Їх легко можна застосовувати в будь-якій дисципліні, і при цьому вони не втрачають своєї сили, залишаються справедливими.

Але ніколи ще теорія ймовірностей була настільки затребувана, як сьогодні. Пов'язано це насамперед із неймовірними темпами розвитку та зростання обчислювальної техніки. З кожним роком вона стає все складнішою, підвищується швидкодія, кількість операцій, що здійснюються в секунду, і все це відбувається не без участі математичної статистики, яка, у свою чергу допомагає оптимізувати роботу обчислювальних систем і комплексів, підвищує точність розрахунків, здійснює прогностичну функцію.

Ця робота частково допомагає розібратися в азах дисципліни. Знайомить із фундаментальними поняттями, такими як дискретні та безперервні випадкові величини, пояснює різницю між останніми. Знайомить із законами їх розподілу, з подальшим застосуванням усіх здобутих знань на практиці.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1. Вентцель, Є.С. Теорія ймовірностей/Є.С. Вентцель - М.: Наука, 1969р.

2. Смирнов, Н.В. Курс теорії ймовірностей та математичної статистики для технічних додатків./Н.В. Смирнов, І.В. Дунін-Барковський - М.: "Наука", 1969р.

3. Пустильник, Є.І. Статистичні методи аналізу та обробка спостережень: навчальний посібник/Є.І. Пустельник. - М.: "Наука", 1968р.

4. Джонсон, Н. Статистика та планування в науці та техніці. / Н. Джонсон, Ф. Ліон - М.: «Світ», 1969р.

5.http://www.wikipedia.org/

Анотація

Загоскін Я.С. Що таке випадкова величина?

Челябінськ: Юургу

Бібліогр. Список - 5 найм.

Ознайомитися з базовими термінами теорії ймовірностей та математичної статистики.

Розібратися з поняттям випадкової величини.

Розглянуто поняття випадкової величини, визначено класифікацію випадкових величин, розглянуто закони їх розподілу, приклади застосування законів та методів на практиці, а також проаналізовано перспективність дисципліни.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Імовірність потрапляння випадкової величини Х заданий інтервал. Побудова графіка функції розподілу випадкової величини. Визначення ймовірності того, що навмання взятий виріб відповідає стандарту. Закон розподілу дискретної випадкової величини.

контрольна робота , доданий 24.01.2013


Безперервна випадкова величина та функція розподілу. Математичне очікування безперервної випадкової величини. Середнє квадратичне відхилення. Крива розподілу для безперервної випадкової величини. Поняття однофакторного дисперсійного аналізу.

контрольна робота , доданий 03.01.2012


Опис випадкових помилок методами теорії ймовірностей. Безперервні випадкові величини. Числові характеристики випадкових величин. Нормальний закон розподілу. Концепція функції випадкової величини. Центральна гранична теорема. Закон великих чисел.

реферат, доданий 19.08.2015


Випадкові величини. Функція та щільність розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Сингулярні випадкові величини. Математичне очікування випадкової величини. Нерівність Чебишева. Моменти, кумулянти та характеристична функція.

реферат, доданий 03.12.2007


Завдання математичної статистики. Розподіл випадкової величини з урахуванням досвідчених даних. Емпірична функція розподілу. Статистичні оцінки параметрів розподілу. Нормальний закон розподілу довільної величини, перевірка гіпотези.

курсова робота , доданий 13.10.2009


Математичне очікування випадкової величини. Властивості математичного очікування, дисперсія випадкової величини, суми. Функція від випадкових величин, її математичне очікування. Коефіцієнт кореляції, види збіжності послідовності випадкових величин.

лекція, доданий 17.12.2010


Дискретні системи двох випадкових величин. Композиція законів розподілу, що входять до системи. визначення ймовірності потрапляння випадкової величини в інтервал; числові характеристики функції; математичне очікування та дисперсія випадкової величини.

контрольна робота , доданий 22.11.2013


Щільність розподілу безперервної випадкової величини. Характеристика особливостей рівномірного та нормального розподілу. Імовірність потрапляння випадкової величини до інтервалу. Властивості функції розподілу. Загальне поняття про регресійний аналіз.

контрольна робота , доданий 26.04.2013


Обчислення математичного очікування, дисперсії, функції розподілу та середньоквадратичного відхилення випадкової величини. Закон розподілу випадкової величини. Класичне визначення ймовірності події. Знаходження густини розподілу.

контрольна робота , доданий 25.03.2015


Функція розподілу безперервної випадкової величини. Математичне очікування безперервної випадкової величини, густина розподілу ймовірностей системи. Коваріація. Коефіцієнт кореляції.

Поняття випадкової величини

Випадковийназивається величина, яка в результаті випробувань приймає те чи інше (але при цьому тільки одне) можливе значення, заздалегідь невідоме, що змінюється від випробування до випробування і залежить від випадкових обставин. На відміну від випадкової події, яка є якісною характеристикою випадкового результату випробування, випадкова величина характеризує кількісно результат випробування. Прикладами випадкової величини можуть бути розмір оброблюваної деталі, похибка результату вимірювання будь-якого параметра виробу чи середовища. Серед випадкових величин, з якими доводиться зустрічатися на практиці, можна виділити два основні типи: дискретні та безперервні.

Дискретноюназивається випадкова величина, що приймає кінцеве або нескінченне лічильне безліч значень. Наприклад: частота влучень при трьох пострілах; число бракованих виробів у партії із n штук; кількість дзвінків, що надходять на телефонну станцію протягом доби; кількість відмов елементів пристрою за певний проміжок часу при випробуванні його на надійність; число пострілів до першого влучення в ціль і т.д.

Безперервнийназивається випадкова величина, яка може приймати будь-які значення деякого кінцевого або нескінченного інтервалу. Очевидно, що кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна. Наприклад: помилка при вимірі дальності радіолокатора; час безвідмовної роботи мікросхеми; похибка виготовлення деталей; концентрація солі у морській воді тощо.

Випадкові величини зазвичай позначають літерами X,Y і т. д., які можливі значення - x,y тощо. буд. Для завдання випадкової величини недостатньо перелічити її можливі значення. Необхідно також знати, як часто можуть з'явитися ті чи інші її значення в результаті випробувань за тих самих умов, тобто потрібно задати ймовірності їх появи. Сукупність всіх можливих значень випадкової величини та відповідних їм ймовірностей становить розподіл випадкової величини.

Закони розподілу випадкової величини

Законом розподілувипадкової величини називається відповідність між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм ймовірностями. Про випадкову величину говорять, що вона підпорядковується цьому закону розподілу. Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. В іншому випадку випадкові величини називаються залежними. Декілька випадкових величин називаються взаємно незалежними, якщо закони розподілу будь-якого з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

Закон розподілу випадкової величини може бути заданий як таблиці, функції розподілу чи щільності розподілу. Таблиця, що містить можливі значення випадкової величини та відповідні ймовірності є найпростішою формою завдання закону розподілу випадкової величини.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&cdots&x_(n-1)&x_n\hline(P)&p_1&p_2&p_3&cdots&p_(n-1 )&p_n\hline\end(array)

Табличне завдання закону розподілу можна використовувати лише дискретної випадкової величини з кінцевим числом можливих значень. Таблична форма завдання закону випадкової величини називається також поряд розподілу.

Для наочності ряд розподілу є графічно. При графічному зображенні у прямокутній системі координат по осі абсцис відкладають усі можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – відповідні ймовірності. Точки (x_i,p_i) , з'єднані прямолінійними відрізками, називають багатокутником розподілу(Рис. 5). Слід пам'ятати, що з'єднання точок (x_i,p_i) виконується тільки з метою наочності, так як у проміжках між x_1 і x_2 , x_2 і x_3 і т. д. не існує значень, які може набувати випадкова величина X , тому ймовірності її появи в цих проміжках дорівнюють нулю.

p align="justify"> Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, є однією з форм завдання закону розподілу дискретної випадкової величини. Вони можуть мати різну форму, проте всі мають одну загальну властивість: сума ординат вершин багатокутника розподілу, що є сумою ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини, завжди дорівнює одиниці. Ця властивість випливає з того, що всі можливі значення випадкової величини X утворюють повну групу несумісних подій, сума ймовірностей яких дорівнює одиниці.

Функція розподілу ймовірностей та її властивості

p align="justify"> Функція розподілу є найбільш загальною формою завдання закону розподілу. Вона використовується завдання як дискретних, і безперервних випадкових величин. Зазвичай її позначають F(x). Функція розподілувизначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення, менші за фіксоване дійсне число x , тобто F(x)=P\(X інтегральної функції розподілу.

Геометрична інтерпретація функції розподілу дуже проста. Якщо випадкову величину розглядати як випадкову точку X осі Ox (рис. 6), яка в результаті випробування може зайняти те чи інше положення на осі, то функція розподілу F(x) - це ймовірність того, що випадкова точка X в результаті випробування потрапить ліворуч точки x.

Для дискретної випадкової величини X, яка може набувати значень, функція розподілу має вигляд

F(x)=\sum\limits_(x_i
де нерівність x_i

Безперервна випадкова величина має безперервну функцію розподілу, графік цієї функції має форму плавної кривої (рис. 8).

Розглянемо загальні характеристики функцій розподілу.

Властивість 1. Функція розподілу – невід'ємна, функція, укладена між нулем та одиницею:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Справедливість цієї властивості випливає з того, що функція розподілу F(x) визначена як ймовірність випадкової події, що полягає в тому, що X

Властивість 2. Імовірність потрапляння випадкової величини в інтервал [alpha; beta) дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу, тобто.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Звідси випливає, що можливість будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю.

Властивість 3. Функція розподілу випадкової величини є незменшуваною функцією, тобто. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Властивість 4. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, але в плюс нескінченності - одиниці, тобто. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0і \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Приклад 1. Функція розподілу випадкової неперервної величини задана виразом

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\a(x-1)^2,&1 0 \ end (cases).

Знайти коефіцієнт a та побудувати графік F(x) . Визначити ймовірність того, що випадкова величина X в результаті досвіду набуде значення на інтервалі .

Рішення. Оскільки функція розподілу безперервної випадкової величини X безперервна, то за x=3 отримаємо a(3-1)^2=1 . Звідси a = frac (1) (4) . Графік функції F(x) зображено на рис. 9.

Виходячи з другої властивості функції розподілу, маємо

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Щільність розподілу ймовірності та її властивості

Функція розподілу безперервної випадкової величини є її імовірнісною характеристикою. Але вона має недолік, який полягає в тому, що по ній важко судити про характер розподілу випадкової величини в невеликій околиці тієї чи іншої точки числової осі. Наочніше уявлення про характер розподілу безперервної випадкової величини дає функція, яка називається щільністю розподілу ймовірності, або диференціальною функцією розподілу випадкової величини.

Щільність розподілу f(x) дорівнює похідній від функції розподілу F(x), тобто.

F(x) = F"(x).

Сенс щільності розподілу f(x) полягає в тому, що вона вказує на те, як часто випадкова величина X з'являється в околиці точки x при повторенні дослідів. Крива, що зображує густину розподілу f(x) випадкової величини, називається кривою розподілу.

Розглянемо властивості густини розподілу.

Властивість 1. Щільність розподілу невід'ємна, тобто.

F(x)\geqslant0.

Властивість 2. Функція розподілу випадкової величини дорівнює інтегралу від густини в інтервалі від -infty до x , тобто.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Властивість 3. Імовірність потрапляння безперервної випадкової величини X на ділянку (alfa; beta) дорівнює інтегралу від щільності розподілу, взятому по цій ділянці, тобто.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Властивість 4. Інтеграл у нескінченних межах від щільності розподілу дорівнює одиниці:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Приклад 2. Випадкова величина X підпорядкована закону розподілу із щільністю

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(cases)

Визначити коефіцієнт а; побудувати графік густини розподілу; знайти можливість попадання випадкової величини на ділянку від 0 до \frac(\pi)(2) визначити функцію розподілу і побудувати її графік.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Враховуючи властивість 4 щільності розподілу, знаходимо a = frac (1) (2) . Отже, густина розподілу можна виразити так:

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\ pi \ end (cases).

Графік густини розподілу на рис. 10. За якістю 3, маємо

P \! \ left \ (0

Для визначення функції розподілу скористаємось властивістю 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Таким чином, маємо

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\ pi \ end (cases).

Графік функції розподілу зображено на рис. 11

Числові характеристики випадкових величин

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної точки зору. Але при вирішенні низки практичних завдань немає необхідності знати всі можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності, а зручніше користуватися деякими кількісними показниками. Такі показники називаються числовими характеристиками випадкової величиниОсновними з них є математичне очікування, дисперсія, моменти різних порядків, мода та медіана.

Математичне очікування іноді називають середнім значенням випадкової величини. Розглянемо дискретну випадкову величину X, що приймає значення x_1,x_2,\ldots,x_nз ймовірностями відповідно p_1, p_2, \ ldots, p_nВизначимо середню арифметичну значень випадкової величини, зважених за ймовірностями їх появи. Таким чином, обчислимо середнє значення випадкової величини, або її математичне очікування M(X):

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i = 1) ^ (n) p_i).

Враховуючи що \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1отримуємо

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Отже, математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значень відповідні ймовірності.

Для безперервної випадкової величини математичне очікування

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Математичне очікування безперервної випадкової величини X , можливі значення якої належать відрізку ,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Використовуючи функцію розподілу ймовірностей F(x) , математичне очікування випадкової величини можна виразити так:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Властивості математичного очікування

Властивість 1. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Властивість 2. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

M(XY) = M(X)M(Y).

Властивість 3. Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:

M(c)=c.

4. Постійний множник випадкової величини можна винести за знак математичного очікування:

M(cX)=cM(X).

Властивість 5. Математичне очікування відхилення випадкової величини від її математичного очікування дорівнює нулю:

M(X-M(X))=0.

Приклад 3. Знайти математичне очікування кількості бракованих виробів у вибірці з п'яти виробів, якщо випадкова величина X (кількість бракованих виробів) задана поряд розподілу.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\hlineend(array)

Рішення. За формулою (4.1) знаходимо

M (X) = 0 cdot0, 2373 +1 cdot0, 3955 +2 cdot0, 2637 +3 cdot0, 0879 +4 cdot0, 0146 +5 cdot0, !0010 =1,\!25.

Модою M_0 дискретної випадкової величининазивається найімовірніше її значення.

Модою M_0 безперервної випадкової величининазивається таке її значення, якому відповідає найбільше значення густини розподілу. Геометрично моду інтерпретують як абсцис точки глобального максимуму кривої розподілу (рис. 12).

Медіаною M_e випадкової величининазивається таке її значення, для якого справедлива рівність

P \ (X M_e).

З геометричної точки зору медіана - це абсциса точки, в якій площа фігури, обмеженої кривою розподілу ймовірностей та віссю абсцис, ділиться навпіл (рис. 12). Так як вся площа, обмежена кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці, то функція розподілу в точці, що відповідає медіані, дорівнює 0,5, тобто.

F(M_e)=P(X

За допомогою дисперсії та середньоквадратичного відхилення можна судити про розсіювання випадкової величини навколо математичного очікування. Як міру розсіювання випадкової величини використовують математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування, яке називають дисперсією випадкової величини X і позначають D[X]:

D [X] = M ((X-M (X)) ^ 2).

Для дискретної випадкової величини дисперсія дорівнює сумі творів квадратів відхилень значень випадкової величини від її математичного очікування відповідні ймовірності:

D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Для безперервної випадкової величини, закон розподілу якої заданий щільністю розподілу ймовірності f(x) , дисперсія

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини і тому її не можна інтерпретувати геометрично. Цих недоліків позбавлене середнє квадратичне відхилення випадкової величини, яке обчислюється за формулою

\sigma = sqrt (D [X]).

Властивості дисперсії випадкових величин

Властивість 1. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

D = D [X] + D [Y].

Властивість 2. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини X та квадратом її математичного очікування:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Властивість 3. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:

D[c]=0.

Властивість 4. Постійний множник випадкової величини можна виносити за знак дисперсії, попередньо звівши його в квадрат:

D=c^2D[X].

Властивість 5. Дисперсія твору двох незалежних випадкових величин X та Y визначається за формулою

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Приклад 4. Розрахувати дисперсію кількості бракованих виробів для розподілу прикладу 3.

Рішення. За визначенням дисперсії

Узагальнення основних числових характеристик випадкової величини є поняття моментів випадкової величини.

Початковим моментом q-го порядкувипадкової величини називають математичне очікування величини X^q:

Початковий момент першого порядку є математичне очікування, а центральний момент другого порядку - дисперсію випадкової величини.

Нормований центральний момент третього порядку є характеристикою скошеності або асиметрії розподілу ( коефіцієнт асиметрії):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Нормований центральний момент четвертого порядку служить характеристикою гостроверхості або плосковершинності розподілу ( ексцес):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Приклад 5. Випадкова величина X задана густиною розподілу ймовірностей

F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&02. \ end (cases).

Знайти коефіцієнт a, математичне очікування, дисперсію, асиметрію та ексцес.

Рішення. Площа, обмежена кривою розподілу, чисельно дорівнює

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Враховуючи, що ця площа повинна дорівнювати одиниці, знаходимо a=\frac(3)(8) . За формулою (4.2) знайдемо математичне очікування:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Дисперсію визначимо за формулою (4.3). Для цього знайдемо спочатку математичне очікування квадрата випадкової величини:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Таким чином,

\begin(aligned)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(aligned)

Використовуючи початкові моменти, обчислюємо центральні моменти третього та четвертого порядку:

\begin(aligned)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093. \ end (aligned)

Числові характеристики середнього арифметичного n незалежних випадкових величин

Нехай x_1,x_2,\ldots,x_n- значення випадкової величини X отримані при n незалежних випробуваннях. Математичне очікування випадкової величини дорівнює M(X), а її дисперсія D[X]. Ці значення можна як незалежні випадкові величини X_1,X_2,\ldots,X_nз однаковими математичними очікуваннями та дисперсіями:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Середня арифметична цих випадкових величин

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Використовуючи властивості математичного очікування та дисперсії випадкової величини, можна записати:

\begin(aligned)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(aligned)

Розширенням поняття випадкових подій, що перебувають у появі деяких числових значень в результаті експерименту, є випадкова величинаХ.

Визначення. Випадковийназивають величину, що приймає в результаті експерименту одне тільки значення з деякої їхньої сукупності і невідоме заздалегідь, яке саме.

Випадкова величина, наприклад, є обгрунтовану модель опису геологічних даних, що враховує вплив різних чинників на фізичне поле .

Як і результат окремого експерименту, точне значення випадкової величини передбачити не можна, можна встановити її статистичні закономірності, тобто. визначити ймовірність значень випадкової величини. Наприклад, вимірювання фізичних властивостей гірських порід є спостереженнями відповідних випадкових величин.

Серед випадкових величин, з якими доводиться зустрічатися геологу, можна назвати два основних типи: величини дискретніта величини безперервні.

Визначення. Дискретноювипадковою величиною називається така, яка може приймати кінцеве або нескінченне лічильне безліч значень.

Як типові приклади дискретної випадкової величини можуть виступати всі результати польових робіт, всі результати експериментів, привезені з поля зразки та ін.

Різні значення випадкової величини утворюють повну групу подій, тобто. де - кінцеве або нескінченне. Тому можна говорити, що випадкова величинаузагальнює поняття випадкової події.

Нехай в результаті досліджень було отримано наступний ряд даних щодо кількісного складу деякої породи: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Усього було проведено 20 випробувань. Для того, щоб з даними було зручно працювати, їх перетворили: розташували отримані значення за зростанням та підрахували кількість появи кожного із значень. В результаті отримали (Таблиця 7.1):

Визначення. Розподіл даних щодо зростання називається ранжуванням.

Визначення. Спостережуване значення деякої ознаки випадкової величини називається варіантом.

Визначення. Ряд, складений з варіант, називається варіаційним рядом.

Визначення. Зміна деякої ознаки випадкової величини називається варіованим.

Визначення. Число, що показує скільки разів варіюється дана варіанта, називається частотою і позначається .

Визначення. ЙмовірністьПоява даної варіанти дорівнює відношенню частоти до загальної суми варіаційного ряду

З урахуванням введених визначень перепишемо таблицю 7.1.

При статистичному аналізі експериментальних даних переважно використовується дискретні величини. У таблиці 7.3 наведено основні числові характеристики цих величин, що мають важливе практичне значення для обробки експериментальних даних.

N п/п	Характеристика (параметр) випадкової величини та її позначення	Формула знаходження характеристики випадкової величини	Примітка
1	Математичне очікування	(2)	Характеризує положення випадкової величини на числовій осі
2	Середнє значення	(3)	Якщо випадкова величина є незалежною, то
3	Мода	Це таке значення, для якого найбільше	Рівна значенню, що найчастіше зустрічається. Якщо таких значень у варіаційному ряду кілька, то не визначається.
4	Медіана	Якщо парне, то Якщо непарне, то	Це таке значення, яке знаходиться у центрі ранжованого ряду.
5	Дисперсія		Характеризує дійсне розсіювання випадкової величини довкола середнього значення.
7	Коефіцієнт варіації	(6)	Поряд із дисперсією характеризує мінливість випадкової величини
8	Центроване нормоване ухилення

Випадкова величина - величина, значення якої у результаті перерахунку чи вимірів і може бути однозначно визначено умовами його виникнення.

Тобто випадкова величина є числові випадкові події.

Випадкові величини поділяють на два класи:

Дискретні випадкові величини - значення цих величин є натуральними числами, яким як окремим подіям зіставляються частоти і ймовірності.

Безперервні випадкові величини можуть приймати будь-які значення з деякого проміжку (інтервалу). Враховуючи, що на проміжку від Х1 до Х2 числових значень нескінченна множина, то ймовірність того, що випадкова величина ХІЄ(Х1,Х2) набуде певного значення, нескінченно мала. Враховуючи, що неможливо перерахувати всі значення безперервної випадкової величини, практично користуються середнім значенням інтервалу (Х1,Х2).

Для дискретних випадкових величин функція = Р(х) - називається функцією розподілу випадкової величини і має графік - його називають багатокутник розподілу.

Розрізняють такі групи числових характеристик: характеристики положення (математичне очікування, мода, медіана, квантиль та ін), розсіювання (дисперсія, середньоквадратичне відхилення та ін), характеристики форми щільності розподілу (показник асиметрії, ексцесу та ін).

Математичним очікуванням (середнім значенням за розподілом) називається дійсне число, яке визначається залежно від типу СВ Х формулою:

Математичне очікування існує, якщо ряд (відповідно інтеграл) у правій частині формули сходиться абсолютно. Якщо mX = 0, то СВ Х називається центрованою (позначається).

Властивості математичного очікування:

де С – константа;

M = C×M[X];

M = M[X]+M[Y],

для будь-яких СВ X та Y;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

де KXY = M - коваріація СВ X та Y.

Початковим моментом k-го порядку (k = 0, 1, 2, ...) розподілу СВ Х називається дійсне число, що визначається за формулою:

nk = M =

Центральним моментом k-го порядку розподілу СВ Х називається число, яке визначається за формулою:

mk = M[(X-mX)k]=

З моментів, зокрема, випливає, що: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

Модою СВНТ називається дійсне число Mo(X) = x*, яке визначається як точка максимуму ПР f(x). Мода може мати єдине значення (унімодальний розподіл) або мати безліч значень (мультимодальний розподіл).

Медіаною СВНТ називається дійсне число Mе(X) = x0, що відповідає умові: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Квантилем рівня р називається дійсне число tp, що задовольняє рівняння: F(tp) = p. Зокрема, визначення медіани випливає, що x0 = t0,5.

Дисперсією СВ Х називається невід'ємне число D[X] = DХ, що визначається формулою:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Дисперсія існує, якщо ряд (відповідно інтеграл) у правій частині рівності збігається. Властивості дисперсії:

D[C] = 0, де С – константа;

D = C2×D[X];

дисперсія, очевидно, не змінюється від усунення СВ X;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

де KXY = M - коваріація СВ X та Y;

Невід'ємне число sХ = називається середньоквадратичним відхиленням СВ X. Воно має розмірність СВ Х і визначає деякий стандартний середньоквадратичний інтервал розсіювання, симетричний щодо математичного очікування. (Величину sХ іноді називають стандартним відхиленням). СВ Х називається стандартизованою, якщо mX = 0 і sХ = 1. Якщо величина Х = const (тобто Х не випадкова), то D [X] = 0.

Показником асиметрії ПР є коефіцієнт асиметрії (“скошеності”) розподілу: A = m3/s3X. Показником ексцесу ПР є коефіцієнт ексцесу (“гостровершинності”) розподілу: E = (m4/s4X)-3. Зокрема для нормального розподілу E = 0.

Упорядкова сукупність n випадкових величин (СВ) Х1, Х2, ..., Хn, що розглядаються спільно в даному досвіді, називається n-вимірним СВ або випадковим вектором і позначається = (Х1, Х2, ..., Хn).

Функцією розподілу (ФР) n-вимірного випадкового вектора називається функція n дійсних змінних х1, x2, ..., xn, що визначається як ймовірність спільного виконання n нерівностей: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:

1 0 £ F(x, у) £ 1;

2 F(x, у) - незнищувальна функція своїх аргументів;

4.

Властивість 4 зазвичай називають умовою узгодженості. Воно означає, що ФР окремих компонентів випадкового вектора можуть бути знайдені граничним переходом з функції спільного розподілу цих компонентів. Імовірність попадання випадкової точки на площині (X, Y) у прямокутник із сторонами, паралельними осям координат, може бути обчислена за допомогою ФР за формулою:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Двовимірний випадковий вектор (X,Y) називається випадковим вектором дискретного типу (СВДТ), якщо безліч його можливих значень G(x, y) не більш ніж лічильно. Її закон розподілу можна задати двовимірною таблицею з переліку можливих значень пар компонентів ((хi, yi) | (хi, yi) Î G(x, y)) і відповідних кожній такій парі ймовірностей pij = P(X = xi, Y = yj ), які задовольняють умові

Двовимірний випадковий вектор (X, Y) називається випадковим вектором безперервного типу (СВНТ), якщо існує така невід'ємна функція f(x, y) звана щільністю розподілу (ПР) ймовірностей випадкового вектора, що:

f(x, y) = , тоді F(x, y) = .

ПР ймовірностей має наступні властивості:

f(x, y) ³ 0, (x, y) R2;

- Умова нормування.

ПР ймовірностей окремих компонентів випадкового вектора виражаються у вигляді інтегралів від спільної щільності:

f(x) = f(y) = .

Імовірність попадання випадкової точки до довільної квадруючої області S на площині визначається за формулою

P((X, Y) S)= .

Умовною щільністю розподілу ймовірностей випадкової компоненти X за умови, що компонента Y прийняла певне значення, називається функція f(x/y) дійсною змінною х R: f(x/y) = f(x, y)/f(y) . Аналогічно визначається умовна щільністю розподілу ймовірностей випадкової компоненти Y за умови, що компонента X набула певного значення x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). СВ X1, X2, ..., Хn називаються незалежними (у сукупності), якщо для подій (Xi Î Bi), i = 1, 2, ..., n, де B1, B2, ... Bn - підмножини числової прямий, виконується рівність: P(X1 B1, X2 B2, ... Xn Bn) = P (X1 B1) × P (X2 B2) × ... × P (Xn Bn).

Теорема: СВ X1, Х2, .... Хn незалежні тоді і лише тоді, коли в будь-якій точці x = (x1, x2, ..., xn) має місце рівність: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (або f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).

Для випадкового двовимірного вектора (X, Y) вводяться наступні числові характеристики.

Початковим моментом порядку r + s випадкового вектора (X, Y) називається дійсне число nr,s, що визначається формулою:

nr,s = M =

Початковий момент nr,s існує, якщо інтеграл (відповідно ряд) у правій частині рівності абсолютно збігається. Зокрема, nr,0 = M - відповідні початкові моменти компоненти X. Вектор з невипадковими координатами (mX, mY) = (n1,0, n0,1) називається математичним очікуванням випадкового вектора (X, Y) або центром розсіювання.

Центральним моментом порядку r+s випадкового вектора (X, Y) називається дійсне число mr,s, що визначається формулою

mr,s = M[(X-mX)r(Y-mY)s] =

Центральний момент mr,s існує, якщо інтеграл (відповідно ряд) у правій частині рівності абсолютно збігається. Вектор із невипадковими координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) називається дисперсією випадкового вектора.

Центральний момент m1,1 називається кореляційним моментом (ковариацією): KXY = M = M [(X-mX) × (Y-mY)] = M-mX mY.

Коефіцієнтом кореляції двох випадкових компонентів X та Y випадкового вектора є нормована коваріація

rXY = KXY/(sXsY).

Властивості коваріації (і коефіцієнт кореляції).