Нормована кореляційна функція довільної величини часу. Кореляційні функції випадкових процесів

Перешкоди у системах зв'язку описуються методами теорії випадкових процесів.

Функція називається випадковою, якщо в результаті експерименту вона набуває того чи іншого вигляду, заздалегідь невідомо, який саме. Випадковим процесом називається випадкова функція часу. Конкретний вигляд, який приймає випадковий процес у результаті експерименту, називається реалізацією випадкового процесу.

На рис. 1.19 показано сукупність кількох (трьох) реалізацій випадкового процесу , , . Така сукупність називається ансамблем реалізацій. При фіксованому значенні моменту часу першому експерименті отримаємо конкретне значення , у другому – , у третьому – .

Випадковий процес має двоїстий характер. З одного боку, у кожному конкретному експерименті він представлений своєю реалізацією – невипадковою функцією часу. З іншого боку, випадковий процес описується сукупністю випадкових величин.

Дійсно, розглянемо випадковий процес у фіксований момент часу. Тоді в кожному експерименті набуває одного значення, причому заздалегідь невідомо, яке саме. Таким чином, випадковий процес, що розглядається у фіксований момент часу, є випадковою величиною. Якщо зафіксовано два моменти часу і , то в кожному експерименті отримуватимемо два значення і . У цьому спільне розгляд цих значень призводить до системі двох випадкових величин. При аналізі випадкових процесів у N моментів часу приходимо до сукупності або системи N випадкових величин .

Математичне очікування, дисперсія та кореляційна функція випадкового процесу. Оскільки випадковий процес, що розглядається у фіксований момент часу, є випадковою величиною, то можна говорити про математичному очікуванніта дисперсії випадкового процесу:

, .

Так само, як і для випадкової величинидисперсія характеризує розкид значень випадкового процесу щодо середнього значення. Чим більше, тим більша ймовірність появи дуже великих позитивних і негативних значеньпроцесу. Більш зручною характеристикою є середнє квадратичне відхилення(СКО), що має ту саму розмірність, що і сам випадковий процес.

Якщо випадковий процес визначає, наприклад, зміна дальності до об'єкта, то математичне очікування – середня дальність у метрах; дисперсія вимірюється у квадратних метрах, а Ско – у метрах та характеризує розкид можливих значень дальності щодо середньої.

Середнє значення та дисперсія є дуже важливими характеристиками, що дозволяють судити про поведінку випадкового процесу у фіксований час. Однак, якщо необхідно оцінити «швидкість» зміни процесу, то спостережень в один момент недостатньо. Для цього використовують дві випадкові величини, що розглядаються спільно. Так само, як і для випадкових величин, вводиться характеристика зв'язку або залежності між . Для випадкового процесу ця характеристика залежить від двох моментів часу і називається кореляційною функцією: .

Стаціонарні випадкові процеси. Багато процесів у системах управління протікають однорідно у часі. Їхні основні характеристики не змінюються. Такі процеси називаються стаціонарними. Точне визначення можна дати в такий спосіб. Випадковий процес називається стаціонарним, якщо будь-які його ймовірні характеристики не залежать від зсуву початку відліку часу. Для стаціонарного випадкового процесу математичне очікування, дисперсія та СКО постійні: , .

Кореляційна функція стаціонарного процесу залежить від початку відліку t, тобто. залежить тільки від різниці моментів часу:

Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу має такі властивості:

1) ; 2) ; 3) .

Часто кореляційні функції процесів у системах зв'язку мають вигляд, показаний на рис. 1.20.

Мал. 1.20. Кореляційні функції процесів

Інтервал часу , у якому кореляційна функція, тобто. величина зв'язку між значеннями випадкового процесу, що зменшується в М разів, називається інтервалом або часом кореляції випадкового процесу. Зазвичай або . Можна сказати, що значення випадкового процесу, що відрізняються за часом на інтервал кореляції, слабко пов'язані один з одним.

Таким чином, знання кореляційної функції дозволяє судити про швидкість зміни довільного процесу.

Інший важливою характеристикою є енергетичний спектр довільного процесу. Він визначається як перетворення Фур'є від кореляційної функції:

.

Очевидно, справедливе та зворотне перетворення:

.

Енергетичний спектр показує розподіл потужності випадкового процесу, наприклад, перешкоди, на осі частот.

При аналізі САУ дуже важливо визначити характеристики випадкового процесу на виході лінійної системи відомих характеристикахпроцесу на вході САУ Припустимо, що лінійна система задана імпульсною перехідною характеристикою. Тоді вихідний сигнал на момент часу визначається інтегралом Дюамеля:

,

де – процес вході системи. Для знаходження кореляційної функції запишемо і після перемноження знайдемо математичне очікування

При дослідженні питань залежності чи незалежностідвох або більше перерізів випадкових процесів знання лише математичного очікування та дисперсії с.п. мало.

Для визначення зв'язку між різними випадковими процесами використовують поняття кореляційної функції – аналог поняття коваріації випадкових величин (див. Т.8)

Кореляційної (ковариаційної, автоковарійної, автокореляційної)функцією випадкового процесу
називається невипадкова функція двох аргументів

дорівнює кореляційному моментувідповідних перерізів
і
:

або (з урахуванням позначення центрованої випадкової функції
) маємо

Наведемо основні властивості кореляційної функції
випадкового процесу
.

1. Кореляційна функція за однакових значень аргументів дорівнює дисперсії с.п.

Справді,

Доведена властивість дозволяє обчислити м.о. та кореляційну функцію, що є основними характеристиками випадкового процесу, необхідність у підрахунку дисперсії відпадає.

2. Кореляційна функція змінюється щодо заміни аргументів, тобто. є симетричною функцією щодо аргументів: .

Ця властивість безпосередньо виводиться із визначення кореляційної функції.

3. Якщо до випадкового процесу додати невипадкову функцію, то кореляційна функція змінюється, тобто. якщо
, те. Іншими словами

є періодичною функцією щодо будь-якої невипадкової функції.

Справді, з ланцюжка міркувань

випливає, що . Звідси отримаємо необхідну властивість 3.

4. Модуль кореляційної функції вбирається у твори с.к.о., тобто.

Доказ якості 4. проводиться аналогічно як у пункті 12.2. (Теорема 12..2), з урахуванням першої властивості кореляційної функції с.п.
.

5. При множенні п.п.
на невипадковий множник
її кореляційна функція помножиться на твір
, тобто, якщо
, то

5.1. Нормована кореляційна функція

Поряд із кореляційною функцією с.п. розглядається також нормована кореляційна функція(або автокореляційнафункція)
обумовлена ​​рівністю

.

Слідство.На підставі властивості 1 має місце рівність

.

За своїм змістом
аналогічний коефіцієнту кореляції для С.В., але не є постійною величиною, а залежить від аргументів і .

Перерахуємо властивості нормованої кореляційної функції:

1.

2.

3.
.

приклад 4.Нехай с.п. визначається формулою, тобто.
с.в.,

розподілено за нормальним законом

Знайти кореляційну та нормовану функції випадкового процесу

Рішення.За визначенням маємо

тобто.
Звідси з урахуванням визначення нормованої кореляційної функції та результатів вирішення попередніх прикладів отримаємо
=1, тобто.
.

5.2. Взаємна кореляційна функція випадкового процесу

Для визначення ступеня залежності перерізівдвох випадкових процесів використовують кореляційну функцію зв'язку чи взаємну кореляційну функцію.

Взаємною кореляційною функцією двох випадкових процесів
і
називається невипадкова функція
двох незалежних аргументів і яка при кожній парі значень і дорівнює кореляційному моменту двох перерізів
і

Два с.п.
і
називаються некорельованими,якщо взаємна кореляційна функція тотожно дорівнює нулю, тобто. якщо для будь-яких і має місце
Якщо ж для будь-яких і виявиться
, то випадкові процеси
і
називаються корельованими(або пов'язаними).

Розглянемо властивості взаємної кореляційної функції, які безпосередньо виводяться з її визначення та властивостей кореляційного моменту (див. 12.2):

1.При одночасної перестановки індексів та аргументів взаємна кореляційна функція не змінюється, тобто

2. Модуль взаємної кореляційної функції двох випадкових процесів вбирається у твори їх середніх квадратичних відхилень, тобто.

3. Кореляційна функція не зміниться, якщо до випадкових процесів
і
додати невипадкові функції
і
відповідно, тобто
, де відповідно
і

4. Невипадкові множники
можна винести за знак кореляції, тобто якщо
і то

5. Якщо
, те.

6. Якщо випадкові процеси
і
некорельовані, то кореляційна функція їхньої суми дорівнює сумі їх кореляційних функцій, тобто.

Для оцінки ступеня залежності перерізів двох п.п. використовують також нормовану взаємну кореляційну функцію
, що визначається рівністю:

Функція
має ті ж властивості, що і функція
але властивість 2

замінюється на наступну подвійну нерівність
, тобто. модуль нормованої взаємної кореляційної функції не перевищує одиниці.

Приклад 5.Знайти взаємну кореляційну функцію двох п.п.
і
, де
випадкова величина, причому

Рішення.Так як,.

Математичне очікування та дисперсія є важливими характеристиками випадкового процесу, але вони не дають достатнього уявлення про те, який характер матимуть окремі реалізації випадкового процесу. Це ховаю видно з рису. 9.3 де показані реалізації двох випадкових процесів, абсолютно різних за своєю структурою, хоча і мають

однакові значення математичного очікування та дисперсії. Штриховими лініями на рис. 9.3 показано значення для випадкових процесів.

Процес, зображений на рис. 9.3 а від одного перерізу до іншого протікає порівняно плавно, а процес на рис. 9.3 б має сильну мінливість від перерізу до перерізу Тому статистичний зв'язок між перерізами в першому випадку більше, ніж у другому, проте ні з математичного очікування, ні по дисперсії цього встановити не можна.

Щоб певною мірою охарактеризувати внутрішню структуру випадкового процесу, т. е. врахувати зв'язок між значеннями випадкового процесу різні моменти часу чи, інакше кажучи, врахувати ступінь мінливості випадкового процесу, необхідно запровадити поняття про кореляційної (автокореляційної) функції випадкового процесу.

Кореляційна функція випадкового процесуназивають невипадкову функцію двох аргументів, яка для кожної пари довільно обраних значень аргументів (моментів часу) дорівнює математичному очікуванню добутку двох випадкових величин відповідних перерізів випадкового процесу:

де – двомірна щільність ймовірності; - Центрований випадковий процес; - Математичне очікування (середнє значення) випадкового процесу.

Різні випадкові процеси залежно від цього, як змінюються їх статистичні показники з часом, ділять на стаціонарні і нестаціонарні. Поділяють стаціонарність у вузькому значенні та стаціонарність у широкому значенні.

Стаціонарним у вузькому значенніназивають випадковий процес якщо його n-вимірні функції розподілу та щільності ймовірності при будь-якому не залежать від зсуву всіх точок

Уздовж осі часу однакову величину тобто.

Це означає, що два процесу мають однакові статистичні властивості для будь-якого, тобто статистичні характеристики стаціонарного випадкового процесу незмінні в часі.

Стаціонарний випадковий процес - це свого роду аналог усталеного процесу в детермінованих системах. Будь-який перехідний процес не є стаціонарним.

Стаціонарним у широкому розумінніназивають випадковий процес математичне очікування якого постійно:

а кореляційна функція залежить від однієї змінної - різниці аргументів у своїй кореляційну функцію позначають

Процеси, стаціонарні у вузькому значенні, обов'язково стаціонарні й у сенсі; однак зворотне затвердження, взагалі кажучи, не так.

Поняття випадкового процесу, стаціонарного у сенсі, вводиться тоді, як статистичних характеристик випадкового процесу використовуються лише математичне очікування і кореляційна функція. Частину теорії випадкових процесів, яка описує властивості випадкового процесу через його математичне очікування та кореляційну функцію, називають кореляційною теорією.

Для випадкового процесу з нормальним закономРозподіл математичного очікування і кореляційна функція повністю визначають його n-вимірну щільність ймовірності.

Тому для нормальних випадкових процесів поняття стаціонарності у широкому та вузькому значенні збігаються.

Теорія стаціонарних процесіврозроблено найбільш повно і дозволяє порівняно просто проводити розрахунки для багатьох практичних випадків. Тому припущення про стаціонарності іноді доцільно робити також і для тих випадків, коли випадковий процес хоч і нестаціонарний на аналізованому відрізку часу роботи системи статистичні характеристики сигналів не встигають скільки-небудь істотно змінитися. Надалі, якщо не буде обговорено особливо, розглядатимуться випадкові процеси, стаціонарні у сенсі.

При вивченні випадкових процесів, стаціонарних у сенсі, можна обмежитися розглядом лише процесів з математичним очікуванням (середнім значенням), рівним нулю, т. е. оскільки випадковий процес з ненульовим математичним очікуванням представляють як суму процесу з нульовим математичним очікуванням і постійної невипадкової ( регулярною) величиною, що дорівнює математичному очікуванню цього процесу (див. далі § 9.6).

При виразі для кореляційної функції

Теоретично випадкових процесів користуються двома поняттями середніх значень. Перше поняття про середнє значення - це середнє значення за багатством (або математичне очікування), яке визначається на основі спостереження над безліччю реалізації випадкового процесу в один і той же момент часу. Середнє значення по множині прийнято позначати хвилястою рисою над виразом, що описує випадкову функцію:

У загальному випадкусереднє значення по множині є функцією часу

Інше поняття про середнє значення - це середнє значення за часом, яке визначається на основі спостереження за окремою реалізацією випадкового процесу протягом

досить тривалого часу Т. Середнє значення за часом позначають прямою рисою над відповідним виразом випадкової функції та визначають за формулою:

якщо ця межа існує.

Середнє значення за часом у випадку різне окремих реалізацій безлічі, визначальних випадковий процес. Взагалі кажучи, для одного й того самого випадкового процесу середнє за множиною і середнє за часом значення різні. Проте існує клас стаціонарних випадкових процесів, званих ергодичними, котрим середнє за безліччю дорівнює середньому за часом, тобто.

Кореляційна функція ергодичного стаціонарного випадкового процесу необмежено зменшується за модулем при

Однак треба мати на увазі, що не всякий стаціонарний випадковий процес є ергодичним, наприклад, випадковий процес кожна реалізація якого стала в часі (рис. 9.4), є стаціонарним, але не ергодичним. В цьому випадку середні значення, визначені по одній реалізації та в результаті обробки множини реалізацій, не збігаються. Один і той же випадковий процес у загальному випадку може бути ергодичним по відношенню до одних статистичним характеристикамта неергодичним по відношенню до інших. Надалі вважатимемо, що стосовно всіх статистичних характеристик умови ергодичності виконуються.

Властивість ергодичності має дуже велике практичне значення. Для визначення статистичних властивостейдеяких об'єктів, якщо важко здійснити одночасне спостереження за ними у довільно вибраний момент часу (наприклад, за наявності одного досвідченого зразка), його можна замінити тривалим наглядом за одним об'єктом. Іншими словами, окрема реалізація ергодичного випадкового

Процес на нескінченному проміжку часу повністю визначає весь випадковий процес з його нескінченними реалізаціями. Власне, цей факт лежить в основі описаного нижче методу експериментального визначення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу по одній реалізації.

Як видно з (9.25), кореляційна функція є середнім значенням по множині. Для випадкових ергодичних процесів кореляційну функцію можна визначити як середнє за часом від твору , тобто .

де – будь-яка реалізація випадкового процесу; х - середнє значення за часом, що визначається за (9.28).

Якщо середнє значення випадкового процесу дорівнює нулю

Грунтуючись на властивості ергодичності, можна дисперсію [див. (9.19)] визначити як середнє часу від квадрата центрованого випадкового процесу, тобто.

Порівнюючи вирази (9.30) і (9.32) можна встановити дуже важливий зв'язокміж дисперсією та кореляційною функцією - дисперсія стаціонарного випадкового процесу дорівнює початковому значенню кореляційної функції:

З (9.33) видно, що дисперсія стаціонарного випадкового процесу стала, а отже, постійно і середнє квадратичне відхилення:

Статистичні властивості зв'язку двох випадкових процесів можна характеризувати взаємною кореляційною функцією, яка для кожної пари довільно обраних значень аргументів дорівнює

Для випадкових ергодичних процесів замість (9.35) можна записати

де - будь-які реалізації стаціонарних випадкових процесів відповідно.

Взаємна кореляційна функція характеризує взаємну статистичний зв'язокдвох випадкових процесів у різні моментичасу, віддалені друг від друга проміжок часу . Значення характеризує цей зв'язок в той самий момент часу.

З (9.36) випливає, що

Якщо випадкові процеси статистично не пов'язані один з одним і мають рівні нулюсередні значення, їх взаємна кореляційна функція всім дорівнює нулю. Однак зворотний висновоку тому, що й взаємна кореляційна функція дорівнює нулю, то процеси незалежні, можна лише в окремих випадках (зокрема, для процесів із нормальним законом розподілу), загальної ж сили зворотний закон немає.

Зауважимо, що кореляційні функції можуть обчислюватися і невипадкових (регулярних) функцій часу. Однак коли говорять про кореляційну функцію регулярної функції, то під цим розуміють просто результат формального.

застосування до регулярної функції операції, що виражається інтегралом:

Наведемо деякі основні властивостікореляційних функцій

1. Початкове значення кореляційної функції [див. (9.33)] дорівнює дисперсії випадкового процесу:

2. Значення кореляційної функції за будь-якого неспроможна перевищувати її початкового значення, тобто.

Щоб довести це, розглянемо очевидну нерівність з якої випливає

Знаходимо середні значення часу від обох частин останньої нерівності:

Таким чином, отримаємо нерівність

3. Кореляційна функція є парна функція, тобто.

Це випливає із самого визначення кореляційної функції. Справді,

тому на графіку кореляційна функція завжди симетрична щодо осі ординат.

4. Кореляційна функція суми випадкових процесів визначається виразом

де - взаємні кореляційні функції

Справді,

5. Кореляційна функція постійної величинидорівнює квадрату цієї постійної величини (рис. 9.5 а), що випливає з самого визначення кореляційної функції:

6. Кореляційна функція періодичної функції, наприклад, являє собою косинусоїду (рис. 9-5, 5), тобто.

що має ту ж частоту що і не залежить від зсуву фази

Щоб довести це, зауважимо, що при знаходженні кореляційних функцій періодичних функцій можна використовувати таку рівність:

де - період функції

Остання рівність виходить після заміни інтеграла з межами від -Т до Т при Т із сумою окремих інтегралів з межами від до, де і використання періодичності підінтегральних функцій.

Тоді, з огляду на сказане вище, отримаємо т.п.

7. Кореляційна функція тимчасової функції, що розкладається в ряд Фур'є:

Мал. 9.5 (див. скан)

має на підставі викладеного вище такий вигляд:

8. Типова кореляційна функція стаціонарного довільного процесу має вигляд, представлений на рис. 9.6. Її можна апроксимувати наступним аналітичним виразом:

Зі зростанням зв'язок між слабшає і кореляційна функція стає меншою. На рис. 9.5 б, наведені, наприклад, дві кореляційні функції і дві відповідні їм реалізації випадкового процесу. Легко помітити, що кореляційна функція, що відповідає випадковому процесу з більш тонкою структурою, зменшується швидше Іншими словами, що вищі частоти присутні у випадковому процесі, то швидше зменшується відповідна йому кореляційна функція.

Іноді зустрічаються кореляційні функції, які можуть бути апроксимовані аналітичним виразом

де – дисперсія; - Параметр згасання; - Резонансна частота.

Кореляційні функції подібного виду мають, наприклад, випадкові процеси типу турбулентності атмосфери, федінгу радіолокаційного сигналу, кутового мерехтіння мети і т.п.

9. Кореляційна функція Стаціонарного випадкового процесу, на якій накладена періодична складова з частотою також міститиме періодичну складову тієї ж частоти.

Цю обставину можна використовувати як один із способів виявлення «прихованої періодичності» у випадкових процесах, яка може не виявлятись при першому погляді на окремі записи реалізації випадкового процесу.

Приблизний вид кореляційної функції процесу, що містить у своєму складі, крім випадкової також і періодичну складову, показаний на рис. 9.7 де зазначена кореляційна функція, що відповідає випадковій складовій. Щоб виявити приховану періодичну складову (таке завдання виникає, наприклад, при виділенні малого корисного сигналу на тлі великої перешкоди), найкраще визначити кореляційну функцію великих значеньколи випадковий сигнал вже порівняно слабо корелюваний і випадкова складова слабко позначається вигляді кореляційної функції.

Щоб певною мірою охарактеризувати внутрішню структуру випадкового процесу, тобто. врахувати зв'язок між значеннями випадкового процесу в різні моменти часу або, іншими словами, врахувати ступінь мінливості випадкового процесу, вводять поняття про кореляційну (автокореляційну) функцію випадкового процесу.

Кореляційною (або автокореляційною) функцією випадкового процесу називають невипадкову функцію двох аргументів, яка для кожної пари довільно вибраних значень аргументів (моментів часу) дорівнює математичному очікуванню добутку двох випадкових величин. відповідних перерізів випадкового процесу:

Кореляційну функцію для центрованої випадкової складової називають центрованою та визначають із співвідношення

(1.58)

Часто функцію називають коваріаційною, а – автокореляційної .

Різні випадкові процеси залежно від цього, як змінюються їх статистичні характеристики з часом, ділять на стаціонарніі нестаціонарні.Розрізняють стаціонарність у вузькому значенні та стаціонарність у широкому значенні.

Стаціонарним у вузькому значенні називають випадковий процес, якщо його - мірні функції розподілу та щільності ймовірності за будь-якого не залежатьвід положення початку відліку часу. Це означає, що два процеси мають однакові статистичні властивості для будь-якого, тобто статистичні характеристики стаціонарного випадкового процесу незмінні в часі. Стаціонарний випадковий процес - це свого роду аналог усталеного процесу в динамічних системах.

Стаціонарним у широкому розумінні називають випадковий процес, математичне очікування якого постійно:

а кореляційна функція залежить тільки від однієї змінної - різниці аргументів:

Поняття випадкового процесу, стаціонарного у сенсі, вводиться тоді, як статистичних характеристик випадкового процесу використовуються лише математичне очікування і кореляційна функція. Частина теорії випадкових процесів, яка описує властивості випадкового процесу через його математичне очікування та кореляційну функцію, називають кореляційною теорією.

Для випадкового процесу з нормальним законом розподілу математичне очікування та кореляційна функція повністю визначають його n-мірну густину ймовірності. Тому для нормальних випадкових процесів поняття стаціонарності у широкому та вузькому значенні збігаються.

Теорія стаціонарних процесів розроблена найповніше і дозволяє порівняно легко проводити розрахунки багатьом практичних випадків. Тому припущення про стаціонарності іноді доцільно робити також і для тих випадків, коли випадковий процес хоч і нестаціонарний, але на аналізованому відрізку часу роботи системи статистичні характеристики сигналів не встигають суттєво змінитися.

Теоретично випадкових процесів користуються двома поняттями середніх значень. Перше поняття про середнє значення – це середнє значення по множині (або математичне очікування), яке визначається на основі спостереження над безліччю реалізацій випадкового процесу в той самий момент часу. Середнє значення по множині прийнято позначати хвилястої рисоюнад виразом, що описує випадкову функцію:

У загальному випадку середнє значення по множині є функцією часу.

Інше поняття про середнє значення – це середнє значення за часом що визначається на основі спостереження за окремою реалізацією випадкового процесу протягом досить тривалого часу. Середнє значення за часом позначають прямий рисоюнад відповідним виразом випадкової функції та визначають за формулою

, (1.62)

якщо ця межа існує.

Середнє значення за часом у випадку різне окремих реалізацій безлічі, визначальних випадковий процес.

Взагалі для одного й того ж випадкового процесу середнє за множиною і середнє за часом різні, проте для так званих ергодичних стаціонарних випадкових процесів середнє значення по множині збігається із середнім значенням за часом:

Відповідно до ергодичної теореми для стаціонарного випадкового процесу кореляційну функцію можна визначити як середнє за часом однієї реалізації

(1.64)

де - будь-яка реалізація випадкового процесу.

Центрована кореляційна функція ергодичного стаціонарного випадкового процесу

З виразу (1.65) можна помітити, що дисперсія стаціонарного випадкового процесу дорівнює початковому значенню центрованої кореляційної функції:

9. Кореляційна функція та її основні властивості.

Для повного описувипадкових процесів вводиться поняття корел ф-і.

рівних математичному очікуванню, дисперсії, СКО

Припустимо, що закон розподілу нормальний. На графіках видно різку відмінність процесів, незважаючи на їх рівні імовірнісні хар-ки.

Наприклад, стеження за літаком. Якщо він у момент часу t зайняв положеннях 1, то цим самим його можливе положеннях 2 в наступний момент t 2 обмежено, тобто події (x 1, t 1) і (x 2, t 2) не будуть незалежними. Чим більш інерційний об'єкт, що вивчається, тим більше ця взаємозалежність, або кореляція. Корр ф-я математично висловлює кореляцію двох функцій чи кореляцію функції із собою (автокорр-я функція ). Корфункція описується в наступному вигляді:

де t 1 і t 2 - будь-які моменти часу, тобто t 1 і t 2 Т

Кореляція - статистичний взаємозв'язокдвох чи кількох випадкових величин.

Кореляційна функція– така невипадкова функція R x (t 1 , t 2 ) двох аргументів, яка для будь-якої пари фіксованих значень аргументів t 1 і t 2 дорівнює кореляційному моменту, що відповідають цим перерізам випадкових величин x (t 1) і x (t 2).

Кореляційна функція – функція часу, яка задає кореляцію в системах із випадковими процесами.

При збігу моментів t 1 і t 2 кореляційна функція дорівнює дисперсії. Нормована кореляційна функція обчислюється за такою формулою:

Властивості кореляційних функцій

1. Кореляційна функція R x (t 1 , t 2 ) симетрична щодо своїх аргументів:

відповідно до визначення кореляційної функції X (t ).

2. При додаванні до випадкової функції X (t ) довільного невипадкового доданка

(t), кореляційна функція Z (t) X (t) (t),

то R z (t 1, t 2) = R x (t 1, t 2).

3. При множенні випадкової функції X (t ) на довільний невипадковий множник ψ(t ) кореляційна функція R x (t 1 , t 2 ) множиться на ψ(t 1 )ψ(t 2 ).