Перенести відомі бік рівнобедреного. Ознаки, складові елементи та властивості рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник- це трикутник, у якому дві сторони рівні між собою по довжині. Рівні сторони називаються бічними, а остання – основою. За визначенням, правильний трикутник також є рівнобедреним, але зворотне затвердженнянеправильно.

Властивості

Кути, що протилежать рівним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні між собою. Також рівні бісектриси, медіани та висоти, проведені з цих кутів.
Бісектриса, медіана, висота та серединний перпендикуляр, проведені до основи, збігаються між собою. Центри вписаного та описаного кіл лежать на цій лінії.
Кути, що протилежать рівним сторонам, завжди гострі (випливає з їх рівності).

Нехай a- Довжина двох рівних сторінрівнобедреного трикутника, b- Довжина третьої сторони, α і β - відповідні кути, R- радіус описаного кола , r- Радіус вписаної.

Сторони можуть бути знайдені таким чином:

Кути можуть бути виражені такими способами:

Периметр рівнобедреного трикутника може бути обчислений будь-яким із наступних способів:

Площа трикутника може бути обчислена одним із наступних способів:

(Формула Герона).

Ознаки

Два кути трикутника рівні.
Висота збігається із медіаною.
Висота збігається з бісектрисою.
Бісектриса збігається з медіаною.
Дві висоти рівні.
Дві медіани рівні.
Дві бісектриси рівні (теорема Штейнера – Лемуса).

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Рівностегновий трикутник" в інших словниках:

РІВНОСКЛАДНИЙ ТРИКУТНИК, ТРИКУТНИК, що має дві рівні по довжині сторони; кути при цих сторонах також рівні. Науково-технічний енциклопедичний словник

І (простий) трикутник, трикутника, чоловік. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома взаємно перетинаються прямими, що утворюють три внутрішніх кута(Мат.). Тупокутний трикутник. Гострокутний трикутник. Прямокутний трикутник.… … Тлумачний словникУшакова

РІВНОБЕДРЕНИЙ, ая, ое: рівнобедрений трикутник має дві рівні сторони. | сущ. рівнобедреність, і, дружин. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

трикутник- ▲ має багатокутник, три, кут трикутник найпростіший багатокутник; задається 3 точками, що не лежать на одній прямій. трикутний. гострокутник. гострокутний. прямокутний трикутник: катет. гіпотенуза. рівнобедрений трикутник. ▼… … Ідеографічний словникросійської мови

трикутник- ТРИКУТНИК1, а, м чого або з опр. Предмет, що має форму геометричної фігури, обмеженої трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішніх кута. Вона перебирала листи чоловіка пожовклі фронтові трикутники. ТРИКУТНИК2, а, м… … Тлумачний словник російських іменників

Цей термін має й інші значення, див. Трикутник (значення). Трикутник (в евклідовому просторі) це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, … … Вікіпедія

Трикутник (багатокутник)- трикутники: 1 гострокутний, прямокутний та тупокутний; 2 правильний (рівносторонній) та рівнобедрений; 3 бісектриси; 4 медіани та центр ваги; 5 висоти; 6 ортоцентр; 7 середня лінія. ТРИКУТНИК, багатокутник з 3 сторонами. Іноді під ... Ілюстрований енциклопедичний словник

Енциклопедичний словник

трикутник- а; м. 1) а) Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений трикутник. Обчислити площу трикутника. б) отт. чого або з опр. Фігура або предмет такої форми. Словник багатьох виразів

А; м. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений т. Обчислити площу трикутника. // Чого або з опр. Фігура чи предмет такої форми. Т. даху. Т.… … Енциклопедичний словник

Серед усіх трикутників є два особливі види: прямокутні трикутники та рівнобедрені трикутники. Чим же ці види трикутників такі особливі? Ну, по-перше, такі трикутники надзвичайно часто виявляються головними «особами, що діють». завдань ЄДІпершої частини. А по-друге, задачі про прямокутні та рівнобедрені трикутники вирішуються набагато легше, ніж інші задачі з геометрії. Потрібно лише знати кілька правил і властивостей. Все найцікавіше про прямокутних трикутникахобговорюється в , а тепер розглянемо рівнобедрені трикутники. І насамперед, що ж таке – рівнобедрений трикутник. Чи, як кажуть математики, яке визначення рівнобедреного трикутника?

Подивися, як це виглядає:

Як і прямокутний трикутник, рівнобедрений трикутник має спеціальні назви для сторін. Дві рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона - основою.

І знову увага на картинку:

Можливо, звичайно, і так:

Тож будь уважним: бічна сторона - одна з двох рівних сторінв рівнобедреному трикутнику, а основа - третя сторона.

Чим же такий гарний рівнобедрений трикутник? Щоб це зрозуміти, давай проведемо висоту до основи. Ти пам'ятаєш, що таке висота?

Що ж сталося? З одного рівнобедреного трикутника вийшло два прямокутні.

Це вже добре, але так вийде в будь-якому, «кособідненому» трикутнику.

Чим відрізняється картинка для рівнобедреного трикутника? Дивись ще раз:

Ну, по-перше, звичайно, цим дивним математикам мало просто бачити – треба неодмінно доводити. А то раптом ці трикутники трохи різні, а ми вважатимемо їх однаковими.

Але не хвилюйся: даному випадкудоводити майже так само просто, як і бачити.

Почнемо? Подивися уважно, у нас є:

І, отже,! Чому? Так ми просто знайдемо і з теореми Піфагора (пам'ятаючи ще при цьому, що)

Пересвідчилися? Ну от тепер у нас

А вже по трьох сторонах - найлегша (третя) ознака рівності трикутників.

Ну ось, наш рівнобедрений трикутник розділився на два однакові прямокутні.

Бачиш як цікаво? Вийшло, що:

Як про це прийнято говорити у математиків? Давай по порядку:

(Згадуємо тут, що медіана - лінія, проведена з вершини, яка ділить бік навпіл, а бісектриса - кут.)

Ну ось тут ми обговорили, що хорошого можна побачити, якщо дано рівнобедрений трикутник. Ми вивели, що у рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, а висота, бісектриса та медіана, проведені до основи, збігаються.

І тепер виникає інше питання: а як дізнатися рівнобедрений трикутник? Тобто, як кажуть математики, які ознаки рівнобедреного трикутника?

І виявляється, що потрібно просто перевернути всі висловлювання навпаки. Так, звичайно, не завжди буває, але рівнобедрений трикутник все-таки чудова штука! Що ж вийде після "перевертання"?

Ну ось дивись:
Якщо збігаються висота та медіана, то:

Якщо збігаються висота і бісектриса, то:

Якщо збігаються бісектриса та медіана, то:

Ну ось, не забувай і користуйся:

Якщо дано рівнобедрений трикутний трикутник, сміливо проводи висоту, отримуй два прямокутні трикутники і вирішуй задачу вже про прямокутний трикутник.
Якщо дано, що два кути рівні, то трикутник точнорівнобедрений і можна проводити висоту і .... (Будинок, який побудував Джек ...).
Якщо виявилося, що висота розділена набік навпіл, то трикутник - рівнобедрений з усіма витікаючими бонусами.
Якщо виявилося, що висота розділила кут полам - теж рівнобедрений!
Якщо бісектриса розділила бік навпіл чи медіана – кут, то це теж буває тількив рівнобедреному трикутнику

Давай подивимося, як виглядає у завданнях.

Завдання 1(найпростіша)

У трикутнику сторони і дорівнюють, а. Знайти.

Вирішуємо:

Спершу малюнок.

Що тут – основа? Звісно, .

Згадуємо, що якщо, то й.

Оновлений малюнок:

Позначимо за. Чому там дорівнює сума кутів трикутника? ?

Користуємося:

От і відповідь: .

Нескладно, правда? Навіть висоту проводити не довелося.

Завдання 2(Також не дуже хитра, але потрібно повторити тему)

У трикутнику, . Знайти.

Вирішуємо:

Трикутник-то – рівнобедрений! Проводимо висоту (це і є фокус, за допомогою якого зараз все вирішиться).

Тепер «викреслюємо з життя», розглянемо лише.

Отже, маємо:

Згадуємо табличне значеннякосінусів (ну, або дивимося в шпаргалку ...)

Залишилося визначити: .

Відповідь: .

Зауважимо, що нам тут дужезнадобилися знання щодо прямокутного трикутника і «табличних» синусів і косінусів. Дуже часто так і буває: теми, «Рівностегновий трикутник» і в завданнях ходять у зв'язках, а з іншими темами не дуже дружать.

Рівнобедрений трикутник. Середній рівень.

Ці дві рівні сторониназиваються бічними сторонами, а третя сторона - основа рівнобедреного трикутника.

Подивися на малюнок: і - бічні сторони, - Основа рівнобедреного трикутника.

Давай на одному малюнку зрозуміємо чому так виходить. Проведемо з точки висоту.

Отже, вони рівні всі відповідні елементи.

Всі! Одним махом (заввишки) довели одразу всі твердження.

І ти запам'ятай: щоб вирішити задачу про рівнобедрений трикутник часто буває дуже корисно опустити висоту на основу рівнобедреного трикутника і розділити його на два рівні прямокутні трикутники.

Ознаки рівнобедреного трикутника

Вірні та зворотні твердження:

Майже всі ці твердження знову можна довести «одним махом».

1. Отже, нехай виявилися рівні і.

Проведемо висоту. Тоді

2. a) Тепер нехай у якомусь трикутнику збігаються висота та бісектриса.

2. б) А якщо збігаються висота та медіана? Все майже так само, анітрохи не складніше!

- за двома катетами

2. в) А от якщо немає висоти, яка опущена на основу рівнобедреного трикутника, то немає і ніяких прямокутних трикутників. Погано!

Але вихід є - читай його в наступному рівні теорії, оскільки тут доказ складніший, а поки просто запам'ятай, що якщо медіана та бісектриса збіглися, то трикутник теж виявиться рівнобедреним, і висота все-таки теж збігатиметься з цими бісектрисою та медіаною.

Підсумуємо:

Якщо трикутник рівнобедрений, то кути при основі рівні, і висота, бісектриса та медіана, проведені до основи, збігаються.
Якщо в якомусь трикутнику знайдуться два рівні кути, або якісь дві з трьох ліній (бісектриса, медіана, висота) збігатимуться, то такий трикутник – рівнобедрений.

Рівнобедрений трикутник. Короткий опис та основні формули

Рівнобедрений трикутник - трикутник, у якого є дві рівні сторони.

Ознаки рівнобедреного трикутника:

Якщо в деякому трикутнику два кути рівні , то він рівнобедрений.
Якщо в деякому трикутнику збігаються:
а) висота та бісектрисаабо
б) висота та медіанаабо
в) медіана та бісектриса,
проведені до однієї сторони, то такий трикутник – рівнобедрений.

У якому дві сторони рівні між собою довжиною. Боковими називаються рівні сторони, а остання нерівна ним сторона - основою. За визначенням, правильний трикутник також є рівнобедреним, але зворотне твердження неправильне.

Термінологія

Якщо трикутник має дві рівні сторони, то ці сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона – основою. Кут, утворений бічними сторонами, називається вершинним кутом, а кути, однією зі сторін яких є основа, називаються кутами під час заснування.

Властивості

Кути, що протилежать рівним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні між собою. Також рівні бісектриси, медіани та висоти, проведені з цих кутів.
Бісектриса, медіана, висота та серединний перпендикуляр, проведені до основи, збігаються між собою. Центри вписаного та описаного кіл лежать на цій лінії.

Нехай a- Довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника, b- Довжина третьої сторони, h- Висота рівнобедреного трикутника

$a = \frac b (2 \cos \alpha)$ (наслідок теореми косінусів);
$b = a \sqrt (2 (1 - \cos \beta))$ (наслідок теореми косінусів);
$b = 2a \sin \frac \beta 2$ ;
$b = 2a \cos \alpha$ (теорема про проекції)

Радіус вписаного кола може бути виражений шістьма способами залежно від того, які два параметри рівнобедреного трикутника відомі:

$r=\frac b2 \sqrt(\frac(2a-b)(2a+b))$
$r=\frac(bh)(b+\sqrt(4h^2+b^2))$
$r=\frac(h)(1+\frac(a)(\sqrt(a^2-h^2))))$
$r=\frac b2 \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$
$r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$

Кутиможуть бути виражені такими способами:

$\alpha = \frac (\pi - \beta) 2;$
$\beta = \pi - 2\alpha;$
$\alpha = \arcsin \frac a (2R), \beta = \arcsin \frac b (2R)$ (Теорема синусів).
Кут може також знайдений без $(\pi)$ і $R$ . Трикутник ділиться медіаною навпіл, і в отриманихдвох рівних прямокутних трикутниках обчислюється кути:

y = \cos\alpha =\frac (b)(c), \arccos y = x

Периметррівнобедреного трикутника знаходиться такими способами:

$P = 2a + b$ (за визначенням);
$P = 2R (2 \ sin \ alpha + \ sin \ beta)$ (Наслідок теореми синусів).

Площатрикутника знаходиться такими способами:

$S = frac 1 2bh;$

$S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac (b^2)(4 \tan \frac \beta 2);$ $S = \frac 1 2 b \sqrt (\left(a + \frac 1 2 b \right) \left(a - \frac 1 2 b \right));$ $S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac (b^1)(2 \sin \frac \beta 1);$

Дивись також

Напишіть відгук про статтю "Рівностегновий трикутник"

Примітки

Уривок, що характеризує рівнобедрений трикутник

На Марію Дмитрівну, хоч і боялися її, дивилися в Петербурзі як на жартівлю і тому зі слів, сказаних нею, помітили лише грубе слово і пошепки повторювали його один одному, припускаючи, що в цьому слові полягала вся сіль сказаного.
Князь Василь, Останнім часомособливо часто забував те, що він говорив, і повторював по сотні разів те саме, говорив щоразу, коли йому доводилося бачити свою дочку.
- Helene, j'ai un mot a vous dire, - говорив він їй, відводячи її вбік і смикаючи вниз за руку. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. [Елен, мені треба тобі дещо сказати. Я почув про деякі види щодо… ти знаєш. Ну так, мила дитино моя, ти знаєш, що серце батька твого радіє тому, що ти… Ти стільки терпіла... Але, люба дитино... Роби, як велить тобі серце... Ось вся моя порада.] І, приховуючи завжди однакове хвилювання, він притискав свою щоку до щоки дочки і відходив.
Білібін, який не втратив репутації найрозумнішої людиниі колишній безкорисливий друг Елен, один з тих друзів, які бувають завжди у блискучих жінок, друзів чоловіків, які ніколи не можуть перейти в роль закоханих, Білібін одного разу в petit comite [маленькому інтимному гуртку] висловив своєму другові Елен погляд свій на всю цю справу.
- Ecoutez, Bilibine (Елен таких друзів, як Білібін, завжди називала на прізвище), - і вона доторкнулася своєю білою в кільцях рукою до рукава його фрака. – Dites moi comme vous diriez une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послухайте, Білібіне: скажіть мені, як би ви сказали сестрі, що мені робити? Якого із двох?]
Білібін зібрав шкіру над бровами і з усмішкою на губах замислився.
– Vous ne me me prenez pas en розпорош, vous savez, – сказав він. - Comme verdad ami j'ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. (Визнаєтесь, я маю на увазі, що я маю на увазі.) (Comme vous savez, il y a une espece de parente). vous epousant, [Ви мене не захопите зненацька, ви знаєте. Як справжній друг, я довго обмірковував вашу справу. Ось бачите: якщо вийти за принца, то ви назавжди позбавляєтеся можливості бути дружиною іншого, і додаток двір буде незадоволений.(Ви знаєте, адже тут замішана спорідненість.) А якщо вийти за старого графа, то ви складете щастя останніх днівйого, і потім… принцу вже не буде принизливо одружуватися з вдовою вельможі.] – і Білібін розпустив шкіру.
– Voila un ami! - сказала Елен, що просяяла, ще раз доторкаючись рукою до рукава Білібіпа. - Mais c'est que j'aime l'un et l'autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Ось справжній друг! Але я люблю того й іншого і не хотіла б засмучувати нікого. Для щастя обох я готова пожертвувати життям.] – сказала вона.
Білібін знизав плечима, висловлюючи, що такому горю навіть він допомогти вже не може.
«Une maitresse femme! "Молодець жінка! Ось що називається твердо поставити питання. Вона хотіла б бути дружиною всіх трьох в один і той же час". – подумав Білібін.

на даному уроцібуде розглянуто тему «Рівностегновий трикутник та його властивості». Ви дізнаєтеся, як виглядають і чим характеризуються рівнобедрений та рівносторонній трикутники. Доведіть теорему про рівність кутів на підставі рівнобедреного трикутника. Розгляньте також теорему про бісектрису (медіану і висоту), проведену до основи рівнобедреного трикутника. Наприкінці уроку ви розберете дві задачі з використанням визначення та властивостей рівнобедреного трикутника.

Визначення:Рівностегновимназивається трикутник, у якого рівні дві сторони.

Рис. 1. Рівностегновий трикутник

АВ = АС – бічні сторони. НД - основа.

Площа рівнобедреного трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

Визначення:Рівностороннімназивається трикутник, у якого всі три сторони рівні.

Рис. 2. Рівносторонній трикутник

АВ = ВС = СА.

Теорема 1:У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Дано:АВ = АС.

Довести:∠В =∠С.

Рис. 3. Креслення до теореми

Доведення:трикутник АВС = трикутнику АСВ за першою ознакою (за двома рівними сторонами і кутом між ними). З рівності трикутників випливає рівність всіх відповідних елементів. Отже, ∠В = ∠С, що потрібно було довести.

Теорема 2:У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаноюі заввишки.

Дано:АВ = АС, ∠1 = ∠2.

Довести:ВD = DC, AD перпендикулярно до BC.

Рис. 4. Креслення до теореми 2

Доведення:трикутник ADB = трикутник ADC за першою ознакою (AD - загальна, АВ = АС за умовою, ∠BAD = ∠DAC). З рівності трикутників випливає рівність всіх відповідних елементів. BD = DC, оскільки вони лежать проти рівних кутів. Отже, AD є медіаною. Також ∠3 = ∠4, оскільки вони лежать проти рівних сторін. Але, до того ж, вони у сумі дорівнюють . Отже, ∠3 = ∠4 = . Отже, AD є висотою трикутника, що потрібно довести.

У єдиному випадку a = b =. У цьому випадку прямі АС та ВD називаються перпендикулярними.

Оскільки бісектрисою, висотою і медіаною є той самий відрізок, то справедливі й такі твердження:

Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною та бісектрисою.

Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою та бісектрисою.

Приклад 1:У рівнобедреному трикутнику основа вдвічі менша від бічної сторони, а периметр дорівнює 50 см. Знайдіть сторони трикутника.

Дано:АВ = АС, НД = AC. Р = 50 див.

Знайти:НД, АС, АВ.

Рішення:

Рис. 5. Креслення для прикладу 1

Позначимо основу ВС як а, тоді АВ = АС = 2а.

2а + 2а + а = 50

5а = 50 а = 10.

Відповідь:НД = 10 см, АС = АВ = 20 см.

Приклад 2:Доведіть, що в рівносторонньому трикутникувсі кути рівні.

Дано:АВ = ВС = СА.

Довести:∠А = ∠В = ∠С.

Доведення:

Рис. 6. Креслення наприклад

∠В = ∠С, оскільки АВ = АС, а ∠А = ∠В, оскільки АС = ВС.

Отже, ∠А = ∠В = ∠С, що потрібно було довести.

Відповідь:Доведено.

На сьогоднішньому уроці ми розглянули рівнобедрений трикутник, вивчили його основні властивості. на наступному уроціми вирішуємо завдання на тему рівнобедреного трикутника, на обчислення площад равнобедренного і рівностороннього трикутника.

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. та ін. Геометрія 7. - М: Просвітництво.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. та ін. Геометрія 7. 5-е вид. - М: Просвітництво.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за ред. Садовничого В.А. - М: Просвітництво, 2010.

Словники та енциклопедії на «Академіці» ().
Фестиваль педагогічної ідеї « Відкритий урок» ().
().

1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за ред. Садовничого В.А. - М: Просвітництво, 2010.

2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 35 см, а основа втричі менша від бічної сторони. Знайдіть сторони трикутника.

3. Дано: АВ = НД. Доведіть, що ∠1 = ∠2.

4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, одна з його сторін у два рази більша за іншу. Знайдіть сторони трикутника. Скільки розв'язків має завдання?

Властивості рівнобедреного трикутника виражають такі теореми.

Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.

Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою та висотою.

Теорема 4. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою та медіаною.

Доведемо одну з них, наприклад, теорему 2.5.

Доведення. Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з основою ВС і доведемо, що ∠ В = ∠ С. Нехай AD – бісектриса трикутника ABC (рис.1). Трикутники ABD і ACD дорівнюють за першою ознакою рівності трикутників (АВ = АС за умовою, AD - спільна сторона, ∠ 1 = ∠ 2, оскільки AD - бісектриса). З рівності цих трикутників випливає, що В = ∠С. Теорема доведена.

З використанням теореми 1 встановлюється така теорема.

Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 2).

Зауваження. Пропозиції, встановлені у прикладах 1 та 2, виражають властивості серединного перпендикуляра до відрізка. З цих пропозицій випливає, що серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

приклад 1.Довести, що точка площини, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Рішення. Нехай точка М рівновіддалена від кінців відрізка АВ (рис. 3), тобто AM = ВМ.

Тоді Δ АМВ рівнобедрений. Проведемо через точку М та середину Про відрізка АВ пряму р. Відрізок МО з побудови є медіана рівнобедреного трикутника АМВ, отже (теорема 3), і висота, т. е. пряма МО, є серединний перпендикуляр до відрізку АВ.

приклад 2.Довести, що кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців.

Рішення. Нехай р – серединний перпендикуляр до відрізка АВ та точка О – середина відрізка АВ (див. рис. 3).

Розглянемо довільну точку М, що лежить прямий р. Проведемо відрізки AM та ВМ. Трикутники АОМ і ВОМ рівні, оскільки вони кути при вершині О прямі, катет ОМ загальний, а катет ОА дорівнює катету ОВ за умовою. З рівності трикутників АОМ та ВОМ випливає, що AM = ВМ.

приклад 3.У трикутнику ABC(див. рис. 4) АВ = 10 см, НД = 9 см, АС = 7 см; у трикутнику DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Порівняти трикутники ABC та DEF. Знайти відповідно рівні кути.

Рішення. Дані трикутники дорівнюють за третьою ознакою. Відповідно рівні кути: А та Е (лежать проти рівних сторін ВС та FD), В та F (лежать проти рівних сторін АС та DE), С та D (лежать проти рівних сторін АВ та EF).

приклад 4.На малюнку 5 АВ = DC, НД = AD, ∠B = 100°.

Знайти кут D.

Рішення. Розглянемо трикутники ABC та ADC. Вони рівні за третьою ознакою (АВ = DC, ВС = AD за умовою та сторона АС – загальна). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ D, але кут В дорівнює 100 °, отже, і кут D дорівнює 100 °.

Приклад 5.У рівнобедреному трикутнику ABC із основою AC зовнішній кут при вершині C дорівнює 123°. Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.

Відео-рішення.