Багатогранні кути бувають. Багатогранні кути багатогранний кут є просторовим аналогом багатокутника

МАОУ «Ліцей інноваційних технологій»

Багатогранні кути. Випуклі багатогранники

Підготував учень 10Б класу: Бурикін Олексій

Перевірив: Дубінська І.А.

Хабаровськ

Багатогранний кут

Багатогранним кутомназивається фігура, утворена плоскими кутами так, що виконуються умови:

1) ніякі два кути не мають загальних точоккрім них загальної вершиниабо цілої сторони;

2) у кожного з цих кутів кожна його сторона є спільною з одним і лише одним іншим таким кутом;

3) від кожного кута до кожного можна перейти кутами, що мають спільну сторону;

4) ніякі два кути з спільною стороноюне лежать у одній площині.

• Кути ASB, BSC,... називаються плоскими кутамиабо гранями, сторони їх SA, SB, ... називаються ребрами, а загальна вершина S- вершиноюбагатогранного кута.

Теорема1.

У тригранному куті кожен плоский кут менше сумидвох інших плоских кутів.

Слідство

• / ASC - / ASB/CSB; / ASC - / CSB/ASB.

У тригранному куті кожен плоский кут більший за різницю двох інших кутів. .

Теорема2.

• Сума величин усіх трьох плоских кутів тригранного кута менша за 360° .

Доведення

Позначимо,

тоді з трикутників ASC, ASB, BSC маємо

Тепер нерівність набуває вигляду

180 ° - α + 180 ° - β + 180 ° - γ 180 °,

звідки й випливає, що

α + β + γ

Найпростіші випадки рівності тригранних кутів

• 1) по рівному двогранному кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими плоскими кутами , або 2) по рівному плоскому кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими двогранними кутами .

Випуклий багатогранний кут

• Багатогранний кут називається опуклим, якщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його граней, необмежено продовженої.

Багатогранник.

Багатогранник, у тривимірному просторі- сукупність кінцевого числаплоских багатокутників, така, що кожна сторона будь-якого багатокутника є одночасно сторона іншого, званого суміжним з першим.

Випуклі багатогранники

Багатогранникназивається опуклимякщо він весь лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані; тоді грані його теж опуклі.

Випуклий багатогранникрозрізає простір на дві частини – зовнішню та внутрішню. Внутрішня частина є опукле тіло. Назад, якщо поверхня опуклого тіла багатогранна, то відповідний багатогранник – опуклий.

Теорема.Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360 градусів.

Властивість 1.У опуклому багатограннику усі грані є опуклими багатокутниками.

Властивість2.Будь-який опуклий багатогранник може бути складений із пірамід із загальною вершиною, основа яких утворює поверхню багатогранника.

№1 Дата05.09.14

Предмет Геометрія

Клас 11

Тема урока: Концепція багатогранного вугілля. Трикутний кут.

Цілі уроку:

запровадити поняття: "тригранні кути", "багатогранні кути", "багатогранник";

ознайомити учнів з елементами тригранного та багатогранного кутів, багатогранника, а також визначеннями опуклого багатогранного кута та властивостями плоских кутів багатогранного кута;

продовжити роботу з розвитку просторових уявленьі просторової уяви, а також логічного мисленняучнів.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент.

Привітання учнів, перевірка готовності класу до уроку, організація уваги учнів, розкриття загальних цілей уроку та плану проведення.

2. Формування нових понять та способів дії.

Завдання: Забезпечити сприйняття, осмислення та запам'ятовування учнями матеріалу, що вивчається. Забезпечити засвоєння учнями методики відтворення вивченого матеріалу, сприяти філософського осмисленнязасвоюваних понять, законів, правил, формул. Встановити правильність та усвідомленість учнями вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення, провести корекцію. Забезпечити співвідношення учнями свого суб'єктивного досвіду із ознаками наукового знання.

Нехай дані три променіа, b із с загальним початкомточкоюПро (Рис. 1.1). Ці три промені не обов'язково лежать в одній площині. На малюнку 1.2 променіb із лежать у площинір, а проміньа не лежить у цій площині.

Променіа, b із попарно задають три виділені дугами плоскі кути. (Рис. 1.3).

Розглянемо фігуру, що складається із трьох зазначених вище кутів та частини простору, обмеженої цими плоскими кутами. Цю просторову фігуруназиваютьтригранним кутом (Рис. 2).

Променіа, b і з називаютьсяребрами тригранного кута, а кути: = AOC, = AOB,

= BOC , що обмежують тригранний кут, - йогогранями. Ці кути-грані утворюютьповерхню трикутного кута. КрапкаПро називаєтьсявершиною тригранного кута. Трикутний кут можна позначати так: OABC

Розглянувши уважно всі багатогранні кути, зображені малюнку 3, ми можемо зробити висновок, що з кожного з багатогранних кутів однакове числоребер та граней:

4 грані та одна вершина;

у п'ятигранного кута - 5 ребер, 5 граней та одна вершина;

• 
  у шестигранного кута - 6 ребер, 6 граней та одна вершина і т.д.

Багатогранні кути бувають опуклими і невипуклими.

Уявіть собі, що ми взяли чотири промені із загальним початком, як на малюнку 4. У цьому випадку ми отрималиневипуклий багатокутний кут.

Визначення 1. Багатогранний кут називається опуклим,якщо вінлежить по один бік від площини кожної його грані.

Іншими словами, опуклий багатогранний кут завжди можна покласти будь-якою його гранню на деяку площину. Ви бачите, що у випадку, зображеному на малюнку 4, так зробити не завжди вдається. Чотирьохгранний кут, зображений на малюнку 4, є неопуклим.

Зазначимо, що у нашому підручнику, якщо ми говоримо “багатогранний кут”, то маємо на увазі, що він опуклий. Якщо розглянутий багатокутний кут невипуклий, це буде сказано окремо.

Властивості плоских кутів багатогранного кута

Теорема 1.Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших плоских кутів.

Теорема 2.Сума величин всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.

3. Застосування. Формування умінь та навичок.

Завдання: Забезпечити застосування учнями знань і способів дій, які їм необхідні СР, створити умови виявлення школярами індивідуальних способів застосування вивченого.

6.Етап інформації про домашнє завдання.

Завдання: Забезпечити розуміння учнями мети, змісту та способів виконання домашнього завдання.

§1(1.1, 1.2) стор. 4, № 9.

7.Підведення підсумків уроку.

Завдання: Дати якісну оцінкуроботи класу та окремих учнів.

8. Етап рефлексії.

Завдання: Ініціювати рефлексію учнів самооцінку своєї діяльності. Забезпечити засвоєння учнями принципів саморегуляції та співробітництва.

Розмова з питань:

Що тобі на уроці було цікаво?

Що не зрозуміло?

На що звернути увагу вчителю на наступному уроці?

Як ти оціниш свою роботу на уроці?

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною прямою, що обмежує їх. Напівплощини називаються гранями, а пряма, що обмежує їх, - рубом двогранного кута.

На малюнку 142 зображено двогранний кут з ребром а та гранями а та (3.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох напівпрямих. Кут, утворений цими напівпрямими, називається лінійним кутомдвогранного кута. За міру двогранного кута приймається міра відповідного лінійного кута. Якщо через точку А ребра а двогранного кута провести площину, перпендикулярну цьому ребру, то вона перетне площини а і (3 по напівпрямих (рис. 142); лінійний кут даного двогранного кута. Градусна міра цього лінійного кута є градусною міроюдвогранного кута. Міра двогранного кута залежить від вибору лінійного кута.

Тригранним кутом називається фігура, складена із трьох плоских кутів (рис. 143). Ці кути називаються гранями тригранного кута, які сторони - ребрами. Загальна вершина плоских кутів називається вершиною трикутного кута. Двогранні кути, що утворюються гранями та їх продовженнями, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Аналогічно визначається поняття багатогранного кута як фігури, що складається з плоских кутів (рис. 144). Для багатогранного кута визначаються поняття граней, ребер та двогранних кутів так само, як і для тригранного кута.

Багатогранником називають тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників (рис. 145).

Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного багатокутника на його поверхні (рис. 145, а, б). Загальна частинатакий площині та поверхні опуклого багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника опуклі багатокутники. Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Слайд 1

Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах. Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а несусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, будемо називати багатогранною поверхнею.

Слайд 2


Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.

Слайд 3

ТРИГРАНІ КУТИ

Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC

Слайд 4


Властивість. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Аналогічно для тригранних кутів з вершинами B і С мають місце нерівності: ABС

Слайд 5

Випуклі багатогранні кути

Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведені приклади опуклого і непуклого багатогранних кутів. Властивість.Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 °. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.

Слайд 6

Вертикальні багатогранні кути

На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів Теорема. Вертикальні кутирівні.

Слайд 7

Вимірювання багатогранних кутів

Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180о, то вважатимемо, що градусна величина всього простору, що складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360о. Розмір багатогранного кута, виражена в градусах, показує яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360о: 8 = 45о. Тригранний кут у правильній n-вугільної призмидорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двогранний кут дорівнює, отримуємо, що тригранний кут призми дорівнює.

Слайд 8

Вимірювання трикутних кутів*

Виведемо формулу, що виражає величину тригранного кута через його двогранні кути. Опишемо біля вершини Sтрехгранного кута одиничну сферу і позначимо точки перетину ребер тригранного кута з цією сферою A, B, C. Площини граней тригранного кута розбивають цю сферу на шість попарно рівних сферичних двокутників, що відповідають двогранним кутам даного тригранного. Сферичний трикутник ABC і симетричний йому сферичний трикутник A"B"C" є перетином трьох двокутників.

Слайд 9

Вимірювання багатогранних кутів*

Нехай SA1 ... An - опуклий n-гранний кут. Розбиваючи його на тригранні кути, проведенням діагоналей A1A3, …, A1An-1 та застосовуючи до них отриману формулу, матимемо:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Багатогранні кути можна вимірювати і числами. Дійсно, трьомстам шістдесяти градусів всього простору відповідає число 2? Переходячи від градусів до числа в отриманій формулі, матимемо: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Слайд 10

Вправа 1

Чи може бути тригранний кут із плоскими кутами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45 °, 45 °, 90 °; в) 30 °, 45 °, 60 °? Відповіді немає; б) ні; в) так.

Слайд 11

Вправа 2

Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючи у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.

Слайд 12

Вправа 3

Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10о

Слайд 13

Вправа 4

Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45 °, 45 ° і 60 °. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90о.

Слайд 14

Вправа 5

У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60о.

Слайд 15

Вправа 6

Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90о.

Слайд 16

Вправа 7

Кожен плоский кут тригранного кута дорівнює 60 °. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра. Відповідь: див.

Слайд 17

Вправа 8

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точоктригранного кута, рівновіддаленого від його граней. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що ділять двогранні кути навпіл.

Слайд 18

Вправа 9

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що проходять через бісектриси плоских кутів і перпендикулярних площинцих кутів.

Слайд 19

Вправа 10

Для двогранних кутів тетраедра маємо: , звідки 70о30". Для тригранних кутів тетраедра маємо: 15о45". Відповідь: 15о45". Знайдіть наближені значення тригранних кутів тетраедра.

Слайд 20

Вправа 11

Знайдіть наближені значення чотиригранних кутів октаедра. Для двогранних кутів октаедра маємо: , звідки 109о30". Для чотиригранних кутів октаедра маємо: 38о56". Відповідь: 38о56".

Слайд 21

Вправа 12

Знайдіть наближені значення п'ятигранних кутів ікосаедра. Для двогранних кутів ікосаедра маємо: , звідки 138о11". Для п'ятигранних кутів ікосаедра маємо: 75о28". Відповідь: 75о28".

Слайд 22

Вправа 13

Для двогранних кутів додекаедра маємо: , звідки 116о34". Для тригранних кутів додекаедра маємо: 84о51". Відповідь: 84о51". Знайдіть наближені значення тригранних кутів додекаедра.

Слайд 23

Вправа 14

У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи дорівнює 2 см, висота 1 см. Знайдіть чотиригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Зазначені піраміди розбивають куб на шість рівних пірамід з вершинами в центрі куба. Отже, 4-х гранний кут при вершині піраміди становить одну шосту частину кута 360о, тобто. дорівнює 60о. Відповідь: 60о.

Слайд 24

Вправа 15

У правильній трикутної піраміди бічні ребрадорівнюють 1, кути при вершині 90о. Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Вказані піраміди розбивають октаедр на вісім рівних пірамід з вершинами в центрі O октаедра. Отже, 3-х гранний кут при вершині піраміди становить одну восьму частину кута 360о, тобто. дорівнює 45о. Відповідь: 45о.

Слайд 25

Вправа 16

У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, а висота Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Вказані піраміди розбивають правильний тетраедрна чотири рівні пірамідиз вершинами в центрі Oтетраедра. Отже, 3-гранний кут при вершині піраміди становить одну четверту частину кута 360о, тобто. дорівнює 90о. Відповідь: 90о.

Переглянути всі слайди

БАГАТОГРАНІ КУТИ

Багатогранний кут є просторовим аналогомбагатокутник. Нагадаємо, що багатокутником на площині називається фігура, утворена простою замкненою ламаною та обмеженою нею внутрішньою областю. Вважатимемо аналогом точки на площині промінь у просторі та аналогом відрізка на площині плоский кут у просторі. Тоді аналогом простої замкнутої ламаної на площині є поверхня, утворена кінцевим набором плоских кутів.A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n, A n SA 1 із загальною вершиноюS (рис. 1), у яких сусідні кути немає спільних точок, крім точок загального променя, а несусідні кути немає спільних точок, крім загальної вершини. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершинаSназивається вершиноюбагатогранного кута. ПроменіSA 1 , …, SA nназиваються ребрамибагатогранного кута, а самі плоскі кутиA 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n, A n SA 1 – гранямибагатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерамиSA 1 … A n, що вказують вершину та крапки на його ребрах. Залежно від числа граней багатогранні кути називаються тригранними, чотиригранними, п'ятигранними (рис. 2) тощо.

Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто. разом з будь-якими двома своїми точками містить і з'єднує їхвідрізок. На малюнку 2 тригранний та чотиригранний кути опуклі, а п'ятигранний кут – ні.
Розглянемо деякі властивості трикутників та аналогічні їм властивості тригранних кутів.
Властивість 1(Нерівність трикутника). Кожна сторона трикутника менша за суму двох інших його сторін.
Аналогічним властивістю для тригранних кутів є така властивість.
Властивість 1Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів.
Доведення. Розглянемо тригранний кут SABC . Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності

ASB ASC< ASC + BSC ;BSC ASC< ASC + ASB .

Таким чином, залишається довести нерівність AСС< ASB+ BSC.
Відкладемо на межі ASCкут ASD, рівний ASB , і точку Bвиберемо так, щоб SB = SD(Рис. 3). Тоді трикутники ASBі ASDрівні (по обидва боки і кут між ними) і, отже, AB = AD. Скористаємося нерівністю трикутника AC< AB + BC . Віднімаючи з обох його частин AD = AB, отримаємо нерівність DC< BC. У трикутниках DSCі BSCодна сторона загальна ( SC), SD = SBі DC< BC. В цьому випадку проти більшої сторони лежить більший куті, отже, DSC< BSC . Додаючи до обох частин цієї нерівності кут ASD , рівний ASB, отримаємо потрібну нерівність AСС< ASB+ BSC.

Наслідок 1.Сума плоских кутів тригранного кута менше 360° .
Доведення. Нехай SABC- Цей трикутний кут. Розглянемо тригранний кут із вершиною A, утворений гранями ABS, ACSта кутом BAC. З огляду на доведену властивість, має місце нерівність BАС< BAS+ CAS. Аналогічно для трикутних кутів з вершинами. Bі Змають місце нерівності: ABС< ABS+ CBS, ACB< ACS+ BCS. Складаючи ці нерівності та враховуючи, що сума кутів трикутника ABCдорівнює 180° , отримуємо 180 ° < BAS +CAS+ ABS + CBS + BCS+ ACS = 180 ° - ASB + 180° - BSC+ 180° - ASC. Отже, ASB + BSC + ASC< 360 ° .
Наслідок 2.Сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360.
Доказ аналогічний попередньому.
Наслідок 3.Сума двогранних кутів тригранного кута більше 180° .
Доведення. Нехай SABC- Тригранний кут. Виберемо якусь точку Pусередині нього і опустимо з неї перпендикуляри PA 1 , PB 1 , PC 1 на межі (рис. 4).

Плоскі кути B 1 PC 1 , A 1 PC 1 , A 1 PB 1 доповнюють відповідні двогранні кути з ребрами SA, SB, SCдо 180° . Отже, сума цих двогранних кутів дорівнює 540° - ( B 1 PC 1 +A 1 PC 1 + A 1 PB 1 ). Враховуючи, що сума плоских трикутних кутів з вершиною Pкута менше 360° , Отримуємо, що сума двогранних кутів вихідного тригранного кута більше 180° .
Властивість 2.Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
Властивість 2".Біссектральні площини двогранних кутів тригранного кута перетинаються однією прямою.
Доказ аналогічний плоскому випадку. А саме, нехай SABC- Тригранний кут. Біссектральна площина двогранного кута SAє ГМТ кута, рівновіддалених від його граней ASCі ASB. Аналогічно, біссектральна площина двогранного кута. SBє ГМТ кута, рівновіддалених від його граней BSAі BSC . Лінія їхнього перетину SOбуде рівновіддалена від усіх граней тригранного кута і, отже, через неї проходитиме біссектральна площина двогранного кута. SC .
Властивість 3.Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються лише у точці.
Властивість 3".Площини, що проходять через бісектриси граней тригранного кута і перпендикулярні до цих граней, перетинаються по одній прямій.
Доказ аналогічний доведенню попередньої якості.
Властивість 4.Медіани трикутника перетинаються в одній точці.
Властивість 4".Площини, що проходять через ребра тригранного кута та бісектриси протилежних граней перетинаються по одній прямій.
Доведення. Розглянемо тригранний кут SABC, SA = SB = SC(Рис. 5). Тоді бісектриси SA 1 , SB 1 , SC 1 кутів BSC, ASC, ASB є медіанами відповідних трикутників. Тому AA 1 , BB 1 , CC 1 – медіани трикутника ABC. Нехай O- Точка їх перетину. Пряма SOміститься у всіх трьох площинах, що розглядаються, і, отже, є лінією їх перетину.

Властивість 5.Висоти трикутника перетинаються в одній точці.
Властивість 5Площини, що проходять через ребра тригранного кута і перпендикулярні протилежним граням, перетинаються по одній прямій.
Доведення. Розглянемо тригранний кут із вершиною Sта ребрами a, b, c.Позначимо a 1 , b 1 , c 1 – лінії перетину граней з площинами, що проходять через відповідні ребра та перпендикулярні до цих граней (рис. 6). Зафіксуємо точку Cна ребрі cі опустимо з неї перпендикуляри CA 1 і CB 1 на прямі a 1 і b 1 . Позначимо Aі Bперетину прямих CA 1 і CB 1 з прямими aі b. Тоді SA 1 є проекцією AA 1 на межу BSC. Так як BCперпендикулярна SA 1 , то вона перпендикулярна і AA 1 . Аналогічно, ACперпендикулярна BB 1 . Таким чином, AA 1 і BB 1 є висотами трикутника ABC. Нехай O- Точка їх перетину. Площини, що проходять через прямі aі a 1 , bі b 1 перпендикулярні до площини ABCі, отже, лінія їхнього перетину SOперпендикулярна ABC. Значить, SOперпендикулярна AB. З іншого боку, COперпендикулярна AB. Тому площина, що проходить через ребро cі SOбуде перпендикулярна до протилежної грані.
Властивість 6 (теорема синусів). У трикутнику ABCзі сторонами a, b, cвідповідно, мають місце рівності a : sin A = b: sin B = c: sin C.
Властивість 6".Нехай a, b, g - Плоскі кути тригранного кута, a, b, c- Протилежні їм двогранні кути. Тоді sin a : sin a= sin b : sin b= sin g : sin c.
Доведення.Нехай SABC- Тригранний кут. Опустимо з точки Cперпендикуляр CC 1 на площину ASBта перпендикуляр CA 1 на ребро SA(Мал. 7). Тоді кут CA 1 C 1 буде лінійним кутом двогранного кута a. Тому CC 1 = CA 1 sin a = SC sin b sin a. Аналогічно показується, що CC 1 = CB 1 sin b = SC sin a sin b. Отже, має місце рівність sin b sin a = sin a sin bі, отже, рівність sin a: sin a= sin b : sin b. Аналогічним чином доводиться, що має місце рівність sin b : sin b= sin g : sin c.

Властивість 7.Якщо в опуклий чотирикутникможна вписати коло, то суми протилежних сторін рівні.
Властивість 7".Якщо опуклий чотиригранний кут можна вписати сферу, то суми протилежних плоских кутів рівні.

Література
1. Адамар Ж. Елементарна геометрія. Частина ІІ. Стереометрія. - М.: Учпедгіз, 1938.
2. Перепілкін Д.І. Курс елементарної геометрії Частина ІІ. Геометрія у просторі. - М.-Л.: Гостехіздат, 1949.
3. Енциклопедія елементарної математики. Книга IV. Геометрія. - М.; 1963.
4. Смирнова І.М. У світі багатогранників. - М.: Просвітництво, 1995.