Закон складання ймовірностей. Складання та множення ймовірностей: приклади рішень та теорія

Основні поняття
Події називаються несумісними, якщо поява одного з них виключає появу інших подій в тому самому випробуванні. В іншому випадку вони називаються спільними.
Повною групою називають сукупність подій, об'єднання яких є достовірною подією.
Протилежними називають дві єдино можливі події, що утворюють повну групу.
Події називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від настання чи ненастання інших подій.
Події називаються незалежними, якщо ймовірність одного з них не залежить від настання чи ненастання інших.
Теорема складання ймовірностей не спільних подій
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
де А, В – несумісні події.

Теорема складання ймовірностей спільних подій
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), де А та В - спільні події.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій
,
де А і В незалежні події.
Теорема множення ймовірностей залежних подій
Р(АВ)=Р(А)Р A (B),
де Р A (B) - ймовірність настання події за умови, що сталася подія А; А і В-залежні події.

Завдання 1.
Стрілець робить два постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі 0,8. Скласти повну групу подій та знайти їх ймовірності. Рішення.
Випробування - Виконується два постріли по мішені.
Подія А- обидва рази схибив.
Подія У– потрапив один раз.
Подія З- Обидва рази потрапив.
.

Контроль: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Завдання 2.
Згідно з прогнозом метеорологів Р(дощ) = 0,4; Р(вітер) = 0,7; Р(дощ та вітер)=0,2. Яка ймовірність того, що буде дощ чи вітер? Рішення. За теоремою складання ймовірностей і через спільність запропонованих подій маємо:
Р(дощ чи вітер чи те й інше)=Р(дощ) +Р(вітер) –Р(дощ і вітер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Завдання 3.
На станції відправлення є 8 замовлень на відправку товару: п'ять – усередині країни, а три – на експорт. Яка ймовірність того, що два вибрані навмання замовлення виявляться призначеними для споживання всередині країни? Рішення.Подія А– перше взяте навмання замовлення – усередині країни. Подія У- Другий теж призначений для внутрішнього споживання. Нам необхідно знайти ймовірність Тоді за теоремою про множення ймовірностей залежних подій маємо

Завдання 4.
З партії виробів товарознавець навмання відбирає вироби вищого гатунку. Імовірність того, що обрана річ виявиться вищого ґатунку дорівнює, 0,8; першого гатунку – 0,7; другого гатунку – 0,5. Знайти ймовірність того, що з трьох навмання відібраних виробів будуть:
а) лише два найвищі сорти;
б) усі різні. Рішення.Нехай подія – виріб вищого гатунку; подія – виріб першого сорту; подія – виріб другого сорту.
За умовою завдання; ; Події – незалежні.
а) Подія А– тільки два вироби вищого гатунку виглядатимуть так тоді

б) Подія У– всі три вироби різні – висловимо так: тоді.
Завдання 5.
Імовірності влучення в ціль при стрільбі з трьох знарядь такі: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучення (подія А) при одному залпі з усіх знарядь. Рішення.Імовірність влучення в ціль кожній з гармат не залежить від результатів стрілянини з інших знарядь, тому події, що розглядаються (попадання першої зброї), (попадання другої зброї) і (попадання третьої зброї) незалежні в сукупності.
Ймовірності подій, протилежних подій(Тобто ймовірності промахів), відповідно рівні:

Шукана ймовірність
Завдання 6.
У друкарні є 4 друкарські машини. Для кожної машини ймовірність того, що вона працює в Наразі, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що зараз працює хоча б одна машина (подія А). Рішення.Події "машина працює" і "машина не працює" (в даний момент) - протилежні, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:
Звідси ймовірність того, що машина зараз не працює, дорівнює
Шукана ймовірність. Завдання 7. читальній заліє 6 підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручники опиняться у палітурці.

Рішення.Розглянемо наступні події:
А1- перший взятий підручник у палітурці;
A2- другий взятий підручник у палітурці.
Подія, яка полягає в тому, що обидва взяті підручники в обкладинці . Події А1 та А2 є залежними, оскільки ймовірність настання події А2 залежить від настання події А1. Для вирішення зазначеного завданняскористаємося теоремою множення ймовірностей залежних подій: .
Імовірність настання події А1 p(A1) відповідно до класичним визначеннямймовірності:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Імовірність настання події А2 визначається умовною ймовірністю настання події А2 за умови настання події А1, тобто. (A2) = = 0,4.
Тоді шукана ймовірність настання події:
P(A)=0,5*0,4=0,2.

Вивчення теорії ймовірності починається з розв'язання задач на додавання та множення ймовірностей. Варто відразу згадати, що студент при освоєнні даної галузі знань може зіткнутися з проблемою: якщо фізичні або хімічні процесиможна уявити візуально і зрозуміти емпірично, рівень математичної абстракції дуже високий, і розуміння тут приходить тільки з досвідом.

Однак гра коштує свічок, адже формули - як розглядаються в цій статті, так і складніші - використовуються сьогодні повсюдно і можуть стати в нагоді в роботі.

Походження

Як не дивно, поштовхом до розвитку даного розділуматематики стали азартні ігри. Справді, гра в кістки, кидання монетки, покер, рулетка – це типові приклади, в яких використовуються додавання та множення ймовірностей. На прикладі завдань у будь-якому підручнику це можна побачити наочно. Людям було цікаво дізнатися, як збільшити свої шанси на перемогу, і, треба сказати, деякі в цьому досягли успіху.

Наприклад, уже в XXI столітті одна людина, чийого імені розкривати ми не будемо, використовувала ці накопичені століттями знання, щоби буквально «обчистити» казино, вигравши в рулетку кілька десятків мільйонів доларів.

Втім, незважаючи на підвищений інтерес до предмета, лише до XX століття було розроблено теоретична база, Що робить «теорвер» повноцінною Сьогодні ж практично в будь-якій науці можна зустріти розрахунки, які використовують імовірнісні методи.

Застосовність

Важливим моментом при використанні формул додавання та множення ймовірностей, умовної ймовірності є здійсненність центральної граничної теореми. В іншому випадку хоч це і може й не усвідомлюватись студентом, всі обчислення, хоч би якими правдоподібними вони здавалися, будуть некоректні.

Так, у високомотивованого учня виникає спокуса використовувати нові знання при кожній нагоді. Але в даному випадкуслід трохи пригальмувати і строго окреслити рамки застосування.

Теорія ймовірності має справу з випадковими подіями, які в емпіричному плані є результатами експериментів: ми можемо кидати кубик з шістьма гранями, витягувати карту з колоди, передбачати кількість бракованих деталей у партії. Однак у деяких питаннях використовувати формули цього розділу математики категорично не можна. Особливості розгляду ймовірностей події, теорем додавання та множення подій ми обговоримо наприкінці статті, а поки що звернемося до прикладів.

Основні поняття

Під випадковим подією мається на увазі певний процес чи результат, що може проявитися, і може й проявитися у результаті експерименту. Наприклад, ми підкидаємо бутерброд - він може впасти олією вгору або олією вниз. Будь-який з двох результатів буде випадковим, і ми заздалегідь не знаємо, який з них матиме місце.

При вивченні додавання та множення ймовірностей нам знадобляться ще два поняття.

Спільними називаються такі події, поява однієї з яких виключає появи іншого. Скажімо, дві людини одночасно стріляють по мішені. Якщо один з них зробить успішний ніяк не вплине на можливості другого потрапити в «яблучко» або промахнутися.

Несумісними будуть такі події, поява яких одночасно неможлива. Наприклад, витягаючи з коробки тільки одну кульку, не можна дістати відразу і синій, і червоний.

Позначення

Поняття ймовірності позначається латинською великою літерою P. Далі у дужках йдуть аргументи, що означають деякі події.

У формулах теореми додавання, умовної ймовірності, теореми множення ви побачите у дужках виразу, наприклад: A+B, AB або A|B. Розраховуватимуться вони у різний спосіб, До них ми зараз і звернемося.

Додавання

Розглянемо випадки, у яких використовуються формули складання та множення ймовірностей.

Для несумісних подійактуальна сама проста формуласкладання: ймовірність будь-якого з випадкових результатів дорівнюватиме сумі ймовірностей кожного з цих результатів.

Припустимо, що є коробка з 2 синіми, 3 червоними та 5 жовтими кульками. Разом у коробці є 10 предметів. Яка частка істинності твердження, що ми витягнемо синю чи червону кулю? Вона дорівнюватиме 2/10 + 3/10, тобто п'ятдесят відсотків.

У разі несумісних подій формула ускладнюється, оскільки додається додатковий доданок. Повернемося до нього через абзац, після розгляду ще однієї формули.

множення

Складання та множення ймовірностей незалежних подій використовуються в різних випадках. Якщо за умовою експерименту нас влаштовує будь-який із двох можливих наслідків, ми порахуємо суму; якщо ж ми хочемо отримати два деякі результати один за одним, ми вдамося до використання іншої формули.

Повертаючись наприклад з попереднього розділуМи хочемо витягнути спочатку синю кульку, а потім - червону. Перше число нам відоме – це 2/10. Що відбувається далі? Шарів залишається 9, червоних серед них все стільки ж – три штуки. Відповідно до розрахунків вийде 3/9 або 1/3. Але що тепер робити із двома числами? Правильна відповідь – перемножувати, щоб вийшло 2/30.

Спільні події

Тепер можна знову звернутися до формули суми для подій. Навіщо ми відволікалися від теми? Щоб дізнатись, як перемножуються ймовірності. Зараз нам це знання знадобиться.

Ми вже знаємо, якими будуть перші два доданки (такі ж, як і в розглянутій раніше формулі додавання), тепер потрібно буде відняти твір ймовірностей, який ми тільки-но навчилися розраховувати. Для наочності напишемо формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Виходить, що в одному виразі використовується і додавання, і множення ймовірностей.

Допустимо, ми маємо вирішити будь-яке з двох завдань, щоб отримати залік. Першу ми можемо вирішити із ймовірністю 0,3, а другу - 0,6. Рішення: 0,3 + 0,6 – 0,18 = 0,72. Зверніть увагу, просто підсумувати числа тут буде недостатньо.

Умовна ймовірність

Нарешті, існує поняття умовної ймовірності, аргументи якої позначаються у дужках і поділяються на вертикальну межу. Запис P(A|B) читається так: «ймовірність події A за умови події B».

Подивимося приклад: друг дає вам певний прилад, хай це буде телефон. Він може бути зламаний (20%) або справний (80%). Будь-який потрапив до рук прилад ви можете полагодити з ймовірністю 0,4 або може цього зробити (0,6). Нарешті, якщо пристрій знаходиться в робочому стані, ви можете додзвонитися до потрібної людиниіз ймовірністю 0,7.

Легко помітити, як у цьому випадку проявляється умовна ймовірність: ви не зможете додзвонитися до людини, якщо телефон зламаний, а якщо він справний, вам не потрібно його лагодити. Таким чином, щоб отримати будь-які результати на «другому рівні», потрібно дізнатися, яка подія виконалася на першому.

Розрахунки

Розглянемо приклади розв'язання задач на додавання та множення ймовірностей, скориставшись даними з попереднього абзацу.

Для початку знайдемо ймовірність того, що ви полагодите відданий вам апарат. Для цього, по-перше, він повинен бути несправний, а по-друге, ви повинні впоратися з ремонтом. Це типова задача з використанням множення: одержуємо 0,2 * 0,4 = 0,08.

Яка ймовірність, що ви одразу додзвонитеся до потрібної людини? Простіше простого: 0,8 * 0,7 = 0,56. У цьому випадку ви виявили, що телефон справний і успішно здійснили дзвінок.

Нарешті, розглянемо такий варіант: ви отримали зламаний телефон, полагодили його, після чого набрали номер, і людина на протилежному кінці взяв слухавку. Тут уже потрібно перемноження трьох складових: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

А що робити, якщо у вас одразу два неробочі телефони? З якою ймовірністю ви полагодите хоча б один з них? на додавання та множення ймовірностей, оскільки використовуються спільні події. Рішення: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Таким чином, якщо вам в руки потрапить два зламані апарати, ви впораєтеся з лагодженням у 64% випадків.

Уважне використання

Як говорилося на початку статті, використання теорії ймовірності має бути обдуманим та усвідомленим.

Чим більша серія експериментів, тим ближче підходить теоретично передбачуване значення до отриманого на практиці. Наприклад, ми кидаємо монету. Теоретично, знаючи існування формул складання і множення ймовірностей, ми можемо передбачити, скільки разів випаде «орел» і «решка», якщо ми проведемо експеримент 10 раз. Ми провели експеримент, і за збігом обставин співвідношення сторін, що випали, склало 3 до 7. Але якщо провести серію зі 100, 1000 і більше спроб, виявиться, що графік розподілу все ближче підбирається до теоретичного: 44 до 56, 482 до 518 і так далі.

А тепер уявіть, що даний експериментпроводиться не з монеткою, а з виробництвом якогось нового хімічної речовини, Імовірності отримання якого ми не знаємо. Ми провели б 10 експериментів і, не отримавши успішного результату, могли б узагальнити: «речовину отримати неможливо». Але хто знає, проведи ми одинадцяту спробу – досягли б ми мети чи ні?

Таким чином, якщо ви звертаєтеся до незвіданого, до недослідженої області, теорія ймовірності може виявитися непридатною. Кожна наступна спроба в цьому випадку може виявитися успішною і узагальнення типу «X не існує» або «X є неможливим» буде передчасним.

Заключне слово

Отже, ми розглянули два види складання, множення та умовні ймовірності. При подальшому вивченніцій галузі необхідно навчитися розрізняти ситуації, коли використовується кожна конкретна формула. Крім того, потрібно уявляти, чи застосовні взагалі ймовірнісні методи при вирішенні вашого завдання.

Якщо ви практикуватиметеся, то через деякий час почнете здійснювати всі необхідні операції виключно в розумі. Для тих, хто захоплюється картковими іграми, цей навик можна вважати вкрай цінним - ви значно збільшите свої шанси на перемогу, лише розраховуючи ймовірність випадання тієї чи іншої карти або масті. Втім, отриманим знанням ви легко знайдете застосування і в інших сферах діяльності.

Розглядається експеримент Е. Передбачається, що його можна проводити неодноразово. В результаті експерименту можуть з'являтися різні події, що становлять деяку кількість F. Події поділяються на три види: достовірне, неможливе, випадкове.

Достовірним називається подія, яка обов'язково відбудеться в результаті проведення експерименту Е. Позначається?

Неможливим називається подія, яка свідомо не станеться в результаті проведення експерименту Е. Позначається.

Випадковим називається подія, яка може статися або не відбутися в результаті експерименту Е.

Додатковим (протилежним) події Аназивається подія, що позначається , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А.

Сумою (об'єднанням) подій називається подія, яка відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається хоча б одна з даних подій (рисунок 3.1). Позначення.

Малюнок 3.1

Твором (перетином) подій називається подія, що відбувається тоді і тільки тоді, коли всі ці події відбуваються разом (одночасно) (рисунок 3.2). Позначення. Очевидно, що події А та В несумісні якщо .

Малюнок 3.2

Повною групою подій називається безліч подій, сума яких є достовірною подією:

Подія Уназивають окремим випадком події А, якщо з появою події Уз'являється і подія А. Говорять також, що подія Утягне подію А(Малюнок 3.3). Позначення.

Малюнок 3.3

Події Аі Уназиваються еквівалентними якщо вони відбуваються або не відбуваються спільно при проведенні експерименту Е. Позначення. Очевидно, що, якщо.

Складною подією називають подію, що спостерігається, виражене через інші події, що спостерігаються в тому ж експерименті за допомогою алгебраїчних операцій.

Імовірність здійснення тієї чи іншої складної події обчислюють за допомогою формул додавання та множення ймовірностей.

Теорема складання ймовірностей

Наслідки:

1) у разі, якщо події Аі Унесумісні, теорема складання набуває вигляду:

2) у разі трьох доданків теорема додавання записується у вигляді

3) сума ймовірностей взаємно протилежних подій дорівнює 1:

Сукупність подій,, …, називають повною групою подій , якщо

Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1:

Ймовірність появи події Аза умови, що подія Усталося, називають умовною ймовірністю та позначають або.

Аі У – залежні події якщо .

Аі У – незалежні події якщо .

Теорема множення ймовірностей

Наслідки:

1) для незалежних подій Аі У

2) у загальному випадкудля добутку трьох подій теорема множення ймовірностей має вигляд:

Зразки розв'язання задач

приклад1 ‑ В електричний ланцюг послідовно включені три елементи, що працюють незалежно один від одного. Імовірності відмов першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють ,,. Знайти ймовірність того, що струму в ланцюзі не буде.

Рішення

Перший метод.

Позначимо події: - у ланцюзі відбулася відмова відповідно першого, другого та третього елементів.

Подія А- струму в ланцюзі не буде (відмовить хоча б один з елементів, оскільки вони включені послідовно).

Подія - в ланцюзі струм (працюють три елементи), . Імовірність протилежних подій пов'язана з формулою (3.4). Подія є твір трьох подій, які є попарно незалежними. За теоремою множення ймовірностей незалежних подій отримуємо

Тоді ймовірність шуканої події.

Другий спосіб.

З урахуванням прийнятих раніше позначень запишемо подію А- Відмовить хоча б один з елементів:

Оскільки доданки, що входять у суму, спільні, слід застосувати теорему складання ймовірностей у загальному виглядідля випадку трьох доданків (3.3):

Відповідь: 0,388.

Завдання для самостійного вирішення

1 У читальному залі є шість підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручники опиняться у палітурці.

2 У мішку змішані нитки, серед яких 30% білих, а інші червоні. Визначити ймовірність того, що вийняті навмання дві нитки будуть: одного кольору; різних квітів.

3 Пристрій складається з трьох елементів, які працюють незалежно. Ймовірності безвідмовної роботи за певний проміжок часу першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що за цей час безвідмовно працюватимуть: тільки один елемент; лише два елементи; всі три елементи; хоча б два елементи.

4 Кинуті три гральні кістки. Знайти ймовірність наступних подій:

а) на кожній грані з тих, що випали, з'явиться п'ять очок;

б) на всіх гранях, що випали, з'явиться однакове число очок;

в) на двох гранях, що випали, з'явиться одне очко, а на третій грані - інше число очок;

г) на всіх гранях, що випали, з'явиться різне число очок.

5 Імовірність влучення в ціль стрільцем при одному пострілі дорівнює 0,8. Скільки пострілів повинен зробити стрілок, щоб із ймовірністю, меншою за 0,4, можна було очікувати, що не буде жодного промаху?

6 З цифр 1, 2, 3, 4, 5 спочатку вибирається одна, а потім з чотирьох - друга цифра. Передбачається, що всі 20 можливих результатів є рівноймовірними. Знайти ймовірність того, що буде обрано непарну цифру: вперше; вдруге; в обидва рази.

7 Імовірність того, що в чоловічій взуттєвій секції магазину вкотре буде продано пару взуття 46-го розміру, дорівнює 0,01. Скільки має бути продано пару взуття в магазині, щоб з ймовірністю не менше 0,9 можна очікувати, що буде продана хоча б одна пара взуття 46-го розміру?

8 У ящику 10 деталей, серед яких дві нестандартні. Знайти ймовірність того, що в навмання відібраних шести деталях виявиться не більше однієї нестандартної.

9 Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб нестандартний, дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що:

а) із трьох перевірених виробів тільки два виявляться нестандартними;

б) нестандартним виявиться лише четвертий по порядку перевірений виріб.

10 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки:

а) три картки виймають навмання одну за одною і укладають на стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово світ;

б) вилучені три картки можна поміняти місцями довільним чином. Якою є ймовірність того, що з них можна скласти слово «світ»?

11 Винищувач атакує бомбардувальник і дає по ньому дві незалежні черги. Імовірність збити бомбардувальник першою чергою дорівнює 0,2, а другий - 0,3. Якщо бомбардувальник не збитий, він веде по винищувачу стрілянину з гармати кормової установки і збиває його з ймовірністю 0,25. Знайти ймовірність того, що в результаті повітряного бою збитий бомбардувальник чи винищувач.

Домашнє завдання

1 Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

2 Розв'язати задачі

Завдання1 . Робочий обслуговує три верстати, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години не вимагатиме уваги робітника перший верстат, дорівнює 0,9, другий – 0,8, третій – 0,85. Знайти ймовірність того, що протягом години хоча б один верстат потребуватиме уваги робітника.

Завдання2 . Обчислювальний центр, який повинен проводити безперервну обробку інформації, що надходить, має в своєму розпорядженні два обчислювальні пристрої. Відомо, що кожне з них має ймовірність відмови за деякий час, що дорівнює 0,2. Потрібно визначити ймовірність:

а) того, що відмовить один із пристроїв, а друге буде справно;

б) безвідмовної роботи кожного з пристроїв.

Завдання3 . Чотири мисливці домовилися стріляти по дичині у певній послідовності: наступний мисливець робить постріл лише у разі промаху попереднього. Імовірність влучення для першого мисливця дорівнює 0,6, для другого – 0,7, для третього – 0,8. Знайти ймовірність того, що буде зроблено пострілів:

г) чотири.

Завдання4 . Деталь проходить чотири операції обробки. Імовірність отримання шлюбу за першої операції дорівнює 0,01, за другий – 0,02, за третьої – 0,03, за четвертої – 0,04. Знайти можливість отримання деталі без шлюбу після чотирьох операцій, припускаючи, що події отримання шлюбу на окремих операціях є незалежними.

При оцінки ймовірності настання якоїсь випадкової події дуже важливо попередньо добре уявляти, чи залежить ймовірність () настання цікавить нас події від того, як розвиваються інші події.

У разі класичної схеми, коли всі результати рівноймовірні, ми вже можемо оцінити значення ймовірності цікавої для нас окремої події самостійно. Ми можемо зробити це навіть у тому випадку, якщо подія є складною сукупністю кількох елементарних результатів. А якщо дещо випадкових подійвідбувається одночасно чи послідовно? Як це впливає на ймовірність реалізації цікавої для нас події?

Якщо я кілька разів кидаю гральну кістку, і хочу, щоб випала "шістка", а мені весь час не щастить, чи це означає, що треба збільшувати ставку, тому що, згідно з теорією ймовірностей, мені ось-ось має пощастити? На жаль, теорія ймовірності не стверджує нічого подібного. Ні кістки, ні карти, ні монетки не вміють запам'ятовувати, що вони продемонстрували нам у Минулого разу. Їм зовсім не важливо, вперше чи вдесяте сьогодні я відчуваю свою долю. Щоразу, коли повторюю кидок, я знаю лише одне: і цього разу ймовірність випадання "шістки" знову дорівнює одній шостій. Звичайно, це не означає, що мені потрібна цифра не випаде ніколи. Це означає лише те, що мій програш після першого кидка та після будь-якого іншого кидка – незалежні події.

Події А та В називаються незалежнимиякщо реалізація одного з них ніяк не впливає на ймовірність іншої події. Наприклад, ймовірності поразки мети першим з двох знарядь не залежать від того, чи вразило ціль інше знаряддя, тому події "перше знаряддя вразило ціль" і "друге знаряддя вразило ціль" незалежні.

Якщо дві події А і В незалежні, і ймовірність кожного з них відома, то ймовірність одночасного настання і події А, і події (позначається АВ) можна порахувати, скориставшись наступною теоремою.

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій

приклад.Імовірності влучення в ціль при стрільбі першої та другої знарядь відповідно рівні: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Знайти ймовірність влучення при одному залпі обома гарматами одночасно.

Рішення:як ми бачили події А (попадання першої зброї) і У (попадання другого зброї) незалежні, тобто. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р 1 *р 2 =0,56.

Що станеться з нашими оцінками, якщо вихідні події не є незалежними? Давайте трохи змінимо попередній приклад.

приклад.Два стрільці на змаганнях стріляють по мішеням, причому, якщо один з них стріляє влучно, то суперник починає нервувати, і його результати погіршуються. Як перетворити цю життєву ситуацію на математичне завданнята намітити шляхи її вирішення? Інтуїтивно зрозуміло, що треба якимось чином поділити два варіанти розвитку подій, скласти по суті два сценарії, дві різні завдання. У першому випадку, якщо суперник схибив, сценарій буде сприятливий для нервового спортсмена і його влучність буде вищою. У другому випадку, якщо суперник пристойно реалізував свій шанс, ймовірність вразити мету другого спортсмена знижується.

Для поділу можливих сценаріїв(їх часто називають гіпотезами) розвитку подій ми часто використовуватимемо схему "дерева ймовірностей". Ця схема схожа на дерево рішень, з яким Вам, напевно, вже доводилося мати справу. Кожна гілка є окремим сценарієм розвитку подій, тільки тепер вона має власне значеннятак званою умовноїймовірності (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Ця схема дуже зручна для аналізу випадкових послідовних подій.

Залишається з'ясувати ще одне важливе питання: звідки беруться вихідні значення ймовірностей у реальних ситуаціях ? Адже не з одними ж монетами та гральними кісткамипрацює теорія ймовірностей? Зазвичай ці оцінки беруться зі статистики, а коли статистичні відомостівідсутні, ми проводимо власне дослідження. І починати його нам часто доводиться не зі збору даних, а з питання, які відомості нам взагалі потрібні.

приклад.Припустимо, нам треба оцінити в місті з населенням у сто тисяч жителів обсяг ринку для нового товару, який не є предметом першої необхідності, наприклад, для бальзаму для догляду за фарбованим волоссям. Розглянемо схему "дерева ймовірностей". При цьому значення ймовірності на кожній "гілці" нам треба приблизно оцінити. Отже, наші оцінки ємності ринку:

1) із усіх жителів міста жінок 50%,

2) зі всіх жінок тільки 30% фарбують волосся часто,

3) з них тільки 10% користуються бальзамами для фарбованого волосся,

4) з них лише 10% можуть набратися сміливості спробувати новий товар,

5) із них 70% зазвичай купує все не у нас, а у наших конкурентів.

Рішення:За законом перемноження ймовірностей, визначаємо ймовірність події, що цікавить нас А = (житель міста купує у нас цей новий бальзам) = 0,00045.

Помножимо це значення ймовірності на кількість жителів міста. В результаті маємо всього 45 потенційних покупниць, а якщо врахувати, що однієї бульбашки цього кошту вистачає на кілька місяців, не надто жвава виходить торгівля.

І все ж таки користь від наших оцінок є.

По-перше, ми можемо порівнювати прогнози різних бізнес-ідей, на схемах у них будуть різні "розвилки", і, звичайно, значення ймовірності також будуть різні.

По-друге, як ми вже казали, випадкова величинане тому називається випадковою, що вона зовсім нічого не залежить. Просто її точнезначення наперед не відоме. Ми знаємо, що середня кількість покупців може бути збільшена (наприклад, за допомогою реклами нового товару). Отже, має сенс зосередити зусилля на тих "розвилках", де розподіл ймовірностей нас особливо не влаштовує, на тих факторах, на які ми можемо вплинути.

Розглянемо ще один кількісний прикладдослідження купівельної поведінки.

приклад.За день продовольчий ринок відвідує у середньому 10 000 чоловік. Імовірність того, що відвідувач ринку заходить до павільйону молочних продуктів, дорівнює 1/2. Відомо, що в цьому павільйоні в середньому продається на день 500 кг різних продуктів.

Чи можна стверджувати, що середня покупка в павільйоні важить лише 100 г?

Обговорення.Звісно, ​​не можна. Зрозуміло, що не кожен, хто заходив до павільйону, внаслідок чогось там купив.

Як показано на схемі, щоб відповісти на питання про середню вагу покупки, ми повинні знайти відповідь на питання, яка ймовірність того, що людина, яка зайшла в павільйон, щось там купить. Якщо таких даних у нашому розпорядженні немає, а нам вони потрібні, доведеться їх отримати самим, спостерігаючи деякий час за відвідувачами павільйону. Допустимо, наші спостереження показали, що лише п'ята частина відвідувачів павільйону щось купує.

Як тільки ці оцінки отримані, завдання стає вже простим. З 10000 чоловік, що прийшли на ринок, 5000 зайдуть у павільйон молочних продуктів, покупок буде лише 1000. Середня вага покупки дорівнює 500 грам. Цікаво відзначити, що для побудови повної картините, що відбувається, логіка умовних "розгалужень" повинна бути визначена на кожному етапі нашого міркування так само чітко, як би ми працювали з "конкретною" ситуацією, а не з ймовірностями.

Завдання для самоперевірки

1. Нехай є електричний ланцюг, Що складається з n послідовно з'єднаних елементів, кожен з яких працює незалежно від інших.

Відома ймовірність p невиходу з ладу кожного елемента. Визначте ймовірність справної роботи всієї ділянки ланцюга (подія А).

2. Студент знає 20 із 25 екзаменаційних питань. Знайдіть ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором три запитання.

3. Виробництво складається з чотирьох послідовних етапів, на кожному з яких працює обладнання, для якого ймовірності виходу з ладу протягом найближчого місяця рівні відповідно р1, р2, р3 та р4. Знайдіть ймовірність того, що за місяць не станеться жодної зупинки виробництва через несправність обладнання.

Тема: 15. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ

Імовірності та їх слідства

1. Теорема складання ймовірностей спільних подій.

2. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

3. Умовна ймовірність події. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

4. Теорема складання ймовірностей спільних подій.

5. Формула повної ймовірності, формула Бейєса.

6. Повторення випробувань.

1. Теорема складання ймовірностей спільних подій.

Сумоюкількох подій називається подія, що полягає у настанні хоча б однієї з даних подій.

Якщо події А і В – спільні, то їх сума А+В означає наступ або події А, або події, або обох подій разом. Якщо А і В – несумісні події, їх сума А+В означає наступ чи події А, чи події У.

Творомдвох подій А і В називають подію АВ, що полягає у спільній появі цих подій.

Теорема: Імовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Наслідок: Сума ймовірностей несумісних подій А 1, ..., А n, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р(А1) + Р(А2)+... +Р(Аn) = 1

2. Теорема множення ймовірностей незалежних

подій .

Дві події називаються незалежними,якщо ймовірність появи одного з них не залежить від того, чи з'явилася чи не з'явилася інша подія.

Декілька подій називаються взаємно незалежними (або незалежними в сукупності), якщо кожна з них і будь-яка комбінація, складена з решти (частини чи всіх) подій, є незалежними подіями.

Якщо події А 1 ,А 2 ,...,А n взаємно незалежні, те й протилежні події також взаємно незалежні.

Теорема: Імовірність твору кількох взаємно незалежних подій дорівнює твору ймовірностей цих подій. .

Р(А 1 А 2 ,...А n ) = Р(А 1 )  Р(А 2 )  ...  Р(А n )

Для двох подій Р(АВ) = Р(А)  Р(В)

Завдання. Два товарознавці працюють незалежно один від одного. Ймовірність пропустити бракований виріб першим товарознавцем 0,1; другим 0,2. Яка ймовірність того, що при перегляді виробу обидва товарознавці не пропустять шлюб.

Рішення: подія А - шлюб пропустив І товарознавець, подію В - шлюб пропустив ІІ товарознавець.

Де подія А – шлюб не пропустить I товарознавець,

подія У - шлюб не пропустить II товарознавець.

Так як обидва працюють незалежно один від одного, то А та В незалежні події.

3. Умовна ймовірність події. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Подія В називають залежнимвід події А якщо поява події А змінює ймовірність появи події В.

Імовірність події В, знайдена за умови, що подія А сталася, називається умовною ймовірністюподії і позначається Р А (В).

Теорема : Імовірність спільної появи двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну вірогідність іншого, знайдену у припущенні, що перша подія вже настала, тобто.

Р(АВ) = Р(А) Р А (В) або Р(АВ) = Р(В) Р У (А)

Теорема множення ймовірностей може бути поширена на будь-яке число m залежних подій А1А2...Аm.

Р(А 1 А 2 ..А m )=Р(А 1 ) 

причому ймовірність наступної події обчислюється у припущенні, що всі попередні відбулися.

Завдання.У коробці 2 білих та 3 синіх ручки. З коробки виймають поспіль дві ручки. Знайти ймовірність того, що обидві ручки білі.

Рішення: подія А – обидві ручки білі, подія В – поява першої білої ручки, подія С – поява другої білої ручки.

Тоді А = В З.

Оскільки перша ручка повертається в коробку, тобто. склад коробки змінився, то події і залежні.

Р(В) = 2/5; Імовірність події З бачимо, що вже сталося, тобто. Р B (С) = ¼.

Шукана ймовірність