Встановити характер нескінченно віддаленої точки. Нескінченно віддалена особлива точка

Визначення.Нескінченно віддалена точка комплексної площининазивається ізольованою особливою точкоюоднозначною аналітичної функціїf(z), якщо позакола деякого радіусу R,

тобто. при , немає жодної кінцевої особливої ​​точки функції f(z).

Для дослідження функції у нескінченно віддаленій точці зробимо заміну
Функція

буде мати особливість у точці ζ = 0, причому ця точка буде ізольованою, оскільки

всередині кола
інших особливих точок за умовою немає. Як аналітична в цьому

колі (крім т.т. ζ = 0), функція
може бути розкладена в ряд Лорана за ступенями ζ . Класифікація, описана у попередньому параграфі, повністю зберігається.

Однак, якщо повернутися до вихідної змінної z, то ряди за позитивними та негативними ступенями z'поміняються' місцями. Тобто. класифікація нескінченно віддалених точокбуде виглядати так:

приклади. 1.
. Крапка z = i − полюс 3-го порядку.

2.
. Крапка z = ∞ − суттєво особлива точка.

§18. Вирахування аналітичної функції в ізольованій особливій точці.

Нехай крапка z 0 є особливою ізольованою точкою однозначної аналітичної функції

f(z). Згідно з попереднім, в околиці цієї точки f(z) може бути представлена ​​єдиним чином поруч Лорану:
де

Визначення.Вирахуванняманалітичної функції f(z) в ізольованій особливій точці z 0

називається комплексне число, що дорівнює значенню інтеграла
, взятому в позитивному напрямку за будь-яким замкнутому контуру, що лежить в області аналітичності функції і містить єдину особливу точку всередині себе z 0 .

Вирахування позначається символом Res [f(z),z 0 ].

Неважко бачити, що відрахування в правильній або усунутій особливій точці дорівнює нулю.

У полюсі або суттєво особливої ​​точки відрахування дорівнює коефіцієнту з-1 ряду Лорана:

.

приклад.Знайти відрахування функції
.

(Нехай Легко бачити, що

коефіцієнт з-1 вийде при множенні доданків при n= 0: Res [ f(z),i ] =
}

Часто вдається обчислювати відрахування функцій простим способом. Нехай функція f(z) має в т.ч. z 0 полюс першого порядку. У цьому випадку розкладання функції ряду Лорана має вигляд (§16):. Помножимо цю рівність на (z−z 0) і перейдемо до межі при
. В результаті отримаємо: Res [ f(z),z 0 ] =
Так, у

останньому прикладі маємо Res[ f(z),i ] =
.

Для обчислення відрахувань на полюсах вищого порядку слід помножити функцію

на
(m− порядок полюса) та продиференціювати отриманий ряд ( m − 1 раз.

І тут маємо: Res[ f(z),z 0 ]

приклад.Знайти відрахування функції
в т.z = -1.

{Res[ f(z), −1] }

Визначення
Околицею дійсної точки x 0 називається будь-який відкритий інтервал, що містить цю точку:
.
Тут ε 1 та ε 2 - Довільні позитивні числа.

Епсилон – околицею точки x 0 називається безліч точок, відстань від яких до точки x 0 менше ε:
.

Проколотою околицею точки x 0 називається околиця цієї точки, з якої виключили саму точку x 0 :
.

Околиці кінцевих точок

На початку було дано визначення околиці точки. Її позначають як . Але можна явно зазначити, що околиця залежить від двох чисел, використовуючи відповідні аргументи:
(1) .
Тобто околиця - це безліч точок, що належать відкритому інтервалу.

Прирівнявши ε 1 до ε 2 , отримаємо епсілон - околиця:
(2) .
Епсилон – околиця – це безліч точок, що належить відкритому інтервалу з рівновіддаленими кінцями.
Зрозуміло, букву эпсилон можна замінити будь-яку іншу і розглядати δ - околиця, σ - околиця, тощо.

Теоретично меж можна використовувати визначення околиці, засноване як у множині (1), і на множині (2). Використання будь-якого з цих околиць дає еквівалентні результати (див. ). Але визначення (2) простіше, тому часто використовують саме епсілон - околиця точки, що визначається з (2).

Також широко використовують поняття лівосторонніх, правосторонніх та проколотих околиць. кінцевих точок. Наводимо їх визначення.

Лівостороння околиця дійсної точки x 0 - це напіввідкритий інтервал, розташований на дійсній осі зліва від точки x 0 , включаючи саму точку:
;
.

Правостороння околиця дійсної точки x 0 - це напіввідкритий інтервал, розташований праворуч від точки x 0 , включаючи саму точку:
;
.

Проколоті околиці кінцевих точок

Проколоті околиці точки x 0 - це ті самі околиці, з яких виключена сама точка. Вони позначаються з кружечком над літерою. Наводимо їх визначення.

Проколота околиця точки x 0 :
.

Проколота епсілон - околиця точки x 0 :
;
.

Проколота лівостороння околиця:
;
.

Проколота правостороння околиця:
;
.

Околиці нескінченно віддалених точок

Поряд з кінцевими точками також вводять околиці нескінченно віддалених точок. Усі вони є проколотими, оскільки немає нескінченно віддаленого дійсного числа (нескінченно віддалена точка визначається як межа нескінченно великої послідовності).

.
;
;
.

Можна було визначити околиці нескінченно віддалених точок і так:
.
Але замість M ми використовуємо , щоб околиця з меншим ε була підмножиною околиці з великим ε, як і для околиць кінцевих точок.

Властивість околиці

Далі ми використовуємо очевидну властивість околиці точки (кінцевої чи нескінченно віддаленої). Воно полягає в тому, що околиці точок з меншими значеннямиε є підмножинами околиць з великими значеннями ε. Наводимо більш суворі формулювання.

Нехай є кінцева чи нескінченно віддалена точка. І нехай .
Тоді
;
;
;
;
;
;
;
.

Також справедливі та зворотні твердження.

Еквівалентність визначень межі функції по Коші

Тепер покажемо, що у визначенні межі функції по Коші можна використовувати як довільну околицю, так і околицю з рівновіддаленими кінцями.

Теорема
Визначення межі функції по Коші, в яких використовуються довільні околиці та околиці з рівновіддаленими кінцями еквівалентні.

Доведення

Сформулюємо перше визначення межі функції.
Число a є межею функції в точці (кінцевої або нескінченно віддаленої), якщо для будь-яких позитивних чисел існують такі числа , що залежать від і , що для всіх , належить околиці точки a :
.

Сформулюємо друге визначення межі функції.
Число a є межею функції в точці, якщо для будь-якого позитивного числаіснує таке число, що залежить від, що для всіх:
.

Доказ 1 ⇒ 2

Доведемо, що коли число a є межею функції за 1-м визначенням, воно також є межею і за 2-м визначенням.

Нехай виконується перше визначення. Це означає, що є такі функції і для будь-яких позитивних чисел виконується наступне:
при , де.

Оскільки числа та довільні, то прирівняємо їх:
.
Тоді є такі функції і , так що для кожного виконується таке:
при , де.

Зауважимо, що .
Нехай є найменше із позитивних чисел і . Тоді, згідно з зазначеним вище ,
.
Якщо то .

Тобто ми знайшли таку функцію, так що для будь-якого виконується таке:
при , де.
Це означає, що число a є межею функції та другого визначення.

Доказ 2 ⇒ 1

Доведемо, що коли число a є межею функції за 2-м визначенням, воно також є межею і за 1-м визначенням.

Нехай виконується друге визначення. Візьмемо два позитивні числа і . І нехай – найменше з них. Тоді, згідно з другим визначенням, є така функція , так що для будь-якого позитивного числа і для всіх слід, що
.

Але згідно з , . Тому з того, що випливає, що
.

Тоді для будь - яких позитивних чисел і ми знайшли два числа , так що для всіх :
.

Це означає, що число a є межею та за першим визначенням.

Теорему доведено.

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.

Ми визначили околиці цієї точки як зовнішності кіл із центром на початку координат: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Крапка z = ∞ є ізольованою особливою точкою аналітичної функції w = f (z ), якщо в околиці цієї точки немає інших особливих точок цієї функції. Для визначення типу цієї особливої ​​точки зробимо заміну змінною, при цьому точка z = ∞ переходить до точки z 1 = 0, функція w = f (z ) набуде вигляду . Типом особливої ​​точки z = ∞ функції w = f (z ) називатимемо тип особливої ​​точки z 1 = 0 функції w = φ (z 1). Якщо розкладання функції w = f (z ) за ступенями z на околиці точки z = ∞, тобто. при досить великих за модулем значеннях z , має вигляд , то, замінивши z на, отримаємо. Таким чином, при такій заміні змінної головна та правильна частини ряду Лорана змінюються місцями, і тип особливої ​​точки z = ∞ визначається кількістю доданків у правильній частині розкладання функції до ряду Лорана за ступенями z на околиці точки z = 0. Тому
1. Крапка z = ∞ - особлива точка, що усувається, якщо в цьому розкладанні правильна частина відсутня (за винятком, можливо, члена A 0);
2. Крапка z = ∞ - полюс n -го порядку, якщо правильна частина закінчується доданком A n · z n ;
3. Крапка z = ∞ - істотно особлива точка, якщо правильна частина містить багато членів.

При цьому залишаються справедливими ознаки типів особливих точок за значенням: якщо z= ∞ - особлива точка, що усувається, то ця межа існує і кінцева, якщо z= ∞ - полюс, то ця межа нескінченна, якщо z= ∞ - істотно особлива точка, то ця межа не існує (ні кінцева, ні нескінченна).

Приклади: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6 . Функція вже є багаточленом за ступенями z , старший ступінь - шостий, тому z
Цей результат можна отримати по-іншому. Замінимо z на , тоді . Для функції φ (z 1) точка z 1 = 0 - полюс шостого порядку, тому для f (z ) крапка z = ∞ – полюс шостого порядку.
2. . Для цієї функції отримати розкладання за ступенями z важко, тому знайдемо : ; межа існує і кінцева, тому точка z
3. . Правильна частинарозкладання за ступенями z містить нескінченно багато доданків, тому z = ∞ - суттєво особлива точка. Інакше цей факт можна встановити, виходячи з того, що не існує.

Вирахування функції в нескінченно віддаленій особливій точці.

Для кінцевої особливої ​​точки a , де γ - контур, що не містить інших, крім a , особливих точок, що проходить так, що область, ним обмежена і містить особливу точку, залишається зліва (проти годинникової стрілки).

Визначимо аналогічним чином: , де Γ − - контур, що обмежує таку околицю U (∞, r ) точки z = ∞, яка не містить інших особливих точок, і прохідний так, що це околиця залишається зліва (тобто за годинниковою стрілкою). Таким чином, решта (кінцевих) особливих точок функції повинна знаходитися всередині контуру − . Змінимо напрям обходу контуру Γ − : . По основній теоремі про відрахування , де підсумовування ведеться по всіх кінцевих спеціальних точках. Тому, звичайно,

,

тобто. відрахування в нескінченно віддаленій особливій точці дорівнює сумівідрахувань по всіх кінцевих спеціальних точках, взятої з протилежним знаком .

Як наслідок, має місце теорема про повній сумівідрахувань: якщо функція w = f (z ) аналітична скрізь у площині З , крім кінцевого числа особливих точок z 1 , z 2 , z 3 , …,z k то сума відрахувань у всіх кінцевих особливих точках і відрахування в нескінченності дорівнює нулю.

Зазначимо, що якщо z = ∞ - особлива точка, що усувається, то відрахування в ній може бути відмінний від нуля. Так для функції, очевидно,; z = 0 - єдина кінцева особлива точка цієї функції, тому , попри те, що , тобто. z = ∞ - особлива точка, що усувається.

Якщо деяка послідовність сходиться до кінцевого числа a , то пишуть
.
Раніше ми ввели до розгляду нескінченно великі послідовності. Ми прийняли, що вони сходяться і позначили їх межі символами і . Ці символи позначають нескінченно віддалені точки. Вони не належать безлічі дійсних чисел. Але поняття межі дозволяє ввести такі точки і дає інструмент вивчення їх властивостей з допомогою дійсних чисел.

Визначення
Нескінченно віддалена точка, чи нескінченність без знака, - це межа, якого прагне нескінченно велика послідовність.
Нескінченно віддалена точка плюс нескінченність, - це межа, якого прагне нескінченно велика послідовність з позитивними членами.
Нескінченно віддалена точка мінус нескінченність, - це межа, якого прагне нескінченно велика послідовність з негативними членами.

Для будь-якого дійсного числа a мають місце така нерівність:
;
.

Використовуючи дійсні числа, ми запровадили поняття околиці нескінченно віддаленої точки.
Околицею точки є безліч.
Нарешті, околицею точки є безліч.
Тут M - довільне, скільки завгодно велике дійсне число.

Таким чином, ми розширили безліч дійсних чисел, ввівши до нього нові елементи. У зв'язку з цим, має місце наступне визначення:

Розширеної числової прямоїабо розширеним безліччю дійсних чиселназивається безліч дійсних чисел, доповнене елементами і:
.

Спочатку ми випишемо властивості, які мають точки і . Далі розглянемо питання суворого математичного визначенняоперацій для цих точок та докази цих властивостей.

Властивості нескінченно віддалених точок

Сума та різниця.
; ;
; ;

Твір та приватний.
; ; ;
;
;
; ; .

Зв'язок із дійсними числами.
Нехай a – довільне дійсне число. Тоді
; ;
; ; ; .
Нехай a > 0 . Тоді
; ; .
Нехай a < 0 . Тоді
; .

Невизначені операції.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Докази властивостей нескінченно віддалених точок

Визначення математичних операцій

Ми вже дали визначення для нескінченно віддалених точок. Тепер ми маємо визначити для них математичні операції. Оскільки ми визначили ці точки за допомогою послідовностей, то операції з цими точками також слід визначити, використовуючи послідовності.

Отже, сумою двох точок
c = a + b,
що належать розширеній множині дійсних чисел,
,
ми будемо називати межу
,
де і - довільні послідовності, що мають межі
та .

Аналогічним чином визначаються операції віднімання, множення та поділу. Тільки, у разі поділу, елементи в знаменнику дробу не повинні дорівнювати нулю.
Тоді різниця двох точок:
- це межа: .
Твір точок:
- це межа: .
Приватне:
- це межа: .
Тут і - довільні послідовності, чиї межі дорівнюють a і b відповідно. У останньому випадку, .

Докази властивостей

Для доказу властивостей нескінченно віддалених точок, нам потрібно використовувати властивості нескінченно великих послідовностей.

Розглянемо властивість:
.
Для його доказів, ми повинні показати, що
,

Тобто нам необхідно довести, що сума двох послідовностей, що сходяться до плюс нескінченності, сходиться до плюс нескінченності.

1 виконуються нерівності:
;
.
Тоді при і маємо:
.
Покладемо. Тоді
при ,
де.
Це означає, що .

Аналогічним методом доводяться інші властивості. Як приклад наведемо ще один доказ.

Доведемо, що:
.
Для цього ми маємо показати, що
,
де і - довільні послідовності, з межами та .

Тобто нам потрібно довести, що добуток двох нескінченно великих послідовностей є нескінченно великою послідовністю.

Доведемо це. Оскільки і , то є деякі функції , так що для будь-якого позитивного числа M 1 виконуються нерівності:
;
.
Тоді при і маємо:
.
Покладемо. Тоді
при ,
де.
Це означає, що .

Невизначені операції

Частина математичних операційз нескінченно віддаленими точками не визначено. Щоб показати їх невизначеність, потрібно навести пару окремих випадків, коли результат операції залежить від вибору послідовностей, що входять до них.

Розглянемо таку операцію:
.
Легко показати, що й то межа суми послідовностей залежить від вибору послідовностей і .

Справді, візьмемо. Межі цих послідовностей рівні. Межа суми

дорівнює нескінченності.

Тепер візьмемо. Межі цих послідовностей також рівні. Але межа їх суми

дорівнює нулю.

Тобто за умови, що і значення межі суми може приймати різні значення. Тому операцію не визначено.

Аналогічним способом можна показати невизначеність інших операцій, поданих вище.