Умови коші риману аналітичності функції. Похідна ФКП

ЕЛЕКТРОПРОВІДНІСТЬ МЕТАЛІВ І НАПІВПРОВІДНИКІВ

Електропровідність металів

Відповідний квантовомеханічний розрахунок дає, що у разі ідеальної кристалічної решітки електрони провідності не відчували б при своєму русі ніякого опору та електропровідність металів була б нескінченно великою. Однак кристалічна решітканіколи не буває досконалою. Порушення суворої періодичності решітки бувають обумовлені наявністю домішок чи вакансій (тобто відсутність атомів у вузлі), і навіть тепловими коливаннями у ґратах. Розсіювання електронів на атомах домішки та на фотонах призводить до виникнення електросопротивлення металів. Чим чистіший метал і нижче температура, тим менший цей опір.

Питома електричний опірметалів можна подати у вигляді

де  кіль - опір, обумовлений тепловими коливаннями решітки,  прим- Опір, зумовлений розсіюванням електронів на домішкових атомах. доданок  кіль зменшується зі зниженням температури і перетворюється на нуль при T = 0K . доданок  примпри невеликій концентрації домішок не залежить від температури і утворює так зване залишковий опірметалу (тобто опір, яким метал володіє при 0K).

Нехай в одиниці об'єму металу є n вільних електронів. Назвемо середню швидкість цих електронів дрейфовою швидкістю . За визначенням

У відсутності зовнішнього полядрейфова швидкість дорівнює нулю, і електричний струму металі відсутня. При накладенні на метал зовнішнього електричного поля дрейфова швидкість стає відмінною від нуля - у металі виникає електричний струм. Згідно Закону Омадрейфова швидкість є кінцевою та пропорційною силі
.

З механіки відомо, що швидкість руху, що встановився, виявляється пропорційною доданої до тіла зовнішньої сили. Fу тому випадку, коли, крім сили - F, на тіло діє сила опору середовища, яка пропорційна швидкості тіла (прикладом може бути падіння маленької кульки у в'язкому середовищі). Звідси укладаємо, що окрім сили
, на електрони провідності в металі діє сила "тертя", середнє значення якої дорівнює

(r-Коефіцієнт пропорційності).

Рівняння руху для "середнього" електрона має вигляд

,

де m * - Ефективна маса електрона. Це рівняння дозволяє знайти значення, що встановилося .

Якщо після встановлення стаціонарного стану вимкнути зовнішнє поле , Дрейфова швидкість почне спадати і після досягнення стану рівноваги між електронами і решіткою перетворюється на нуль. Знайдемо закон зменшення дрейфової швидкості після вимкнення зовнішнього поля. Поклавши в
, отримаємо рівняння

Рівняння такого виду нам добре знайоме. Його рішення має вигляд

,

де
-значення дрейфової швидкості на момент вимкнення поля.

Зі сліду, що за час

значення дрейфової швидкості зменшується в eразів. Таким чином, величина являє собою час релаксації, що характеризує процес встановлення рівноваги між електронами та ґратами, порушеного дією зовнішнього поля .

З урахуванням формула може бути написана таким чином:

.

Значення дрейфової швидкості, що встановилося, можна знайти, прирівнявши нулю суму сили
та сили тертя:

.

.

Значення щільності струму отримаємо, помноживши це значення на заряд електрона - eта щільність електронів n:

.

Коефіцієнт пропорційності між
є питомою електропровідністю  . Таким чином,

.

Класичний вираз для електропровідності металів має вигляд

,

де   - середній час вільного пробігу електронів, m - Звичайна (не ефективна) маса електрона.

Зі порівняння формул і випливає, що час релаксації збігається по порядку величини з часом вільного пробігу електронів у металі.

Виходячи з фізичних міркувань, вдається зробити оцінку величин, що входять у вираз, і тим самим обчислити по порядку величини провідність  . Отримані таким способом значення перебувають у добрій згоді з досвідченими даними. Також у згоді з досвідом виходить, що  змінюється з температурою згідно із законом 1/ T. Нагадаємо, що класична теорія дає, що  назад пропорційна
.

Зазначимо, що викладки, що призвели до формули, однаково придатні як при класичному трактуванні руху електронів провідності в металі, так і при квантовомеханічному трактуванні. Відмінність цих двох трактувань ось у чому. При класичному розгляді передбачається, що це електрони обурюються зовнішнім. електричним полем, відповідно до чого кожен доданок у формулі отримує добавку в напрямку,

протилежному . При квантовомеханічному трактуванні доводиться брати до уваги, що обурюються полем і змінюють свою швидкість лише електрони, що займають стан поблизу рівня Фермі. Електрони, що знаходяться на більш глибоких рівнях, полем не обурюються, і їхній внесок у суму не змінюється. Крім того, при класичному трактуванніу знаменнику формули має стояти звичайна маса електрона mПри квантовомеханічному трактуванні замість звичайної маси повинна бути взята ефективна маса електрона m * . Ця обставина є проявом загального правила, згідно з яким співвідношення, отримані в наближенні вільних електронів, виявляються справедливими і для електронів, що рухаються в періодичному полі решітки, якщо в них замінити справжню масу електрона mефективною масою m * .

Надпровідність

При температурі порядку кількох кельвін електричний опір ряду металів і сплавів стрибком перетворюється на нуль-речовину, перетворюється на надпровідний стан. Температура, за якої відбувається цей перехід, носить назву критичної температуриі позначається T k. Найбільше значення, що спостерігалося T k становить  20 К.

Експериментально надпровідність можна спостерігати двома способами:

1) включивши до загальної електричний ланцюгланка із надпровідника. У момент переходу в надпровідний стан, різниця потенціалів на кінцях цієї ланки перетворюється на нуль;

2) помістивши кільце із надпровідника в перпендикулярне до нього магнітне поле. Охолодивши потім кільце нижче, вимикають поле. В результаті в кільці індукується електричний струм. Струм у такому кільці циркулює необмежено довго.

Голландський учений Г.Камерлінг - Оннес, який відкрив явище надпровідності, продемонстрував це, перевезучи надпровідне кільце з поточним по ньому струмом з Лейдена в Кембридж. У ряді експериментів спостерігалося відсутність згасання струму в надпровідному кільці протягом приблизно року. У 1959 р. Коллінз повідомив про відсутності зменшення струму, що спостерігалося ним, протягом двох з половиною років.

Окрім відсутності електричного опору, для надпровідного стану характерно те, що магнітне поле не проникає в товщу надпровідника. Це явище називається ефектом Мейсснера. Якщо надпровідний зразок охолоджується, будучи поміщеним у магнітне поле, у момент переходу в надпровідний стан поле виштовхується зі зразка, а магнітна індукція у зразку перетворюється на нуль. Формально можна сказати, що надпровідник має нульову магнітну проникність (  = 0). Речовини з  < 1 називаються діамагнетиками. Таким чином, надпровідник є ідеальним діамагнетиком.

Достатньо сильне зовнішнє магнітне поле руйнує надпровідний стан. Значення магнітної індукції, за якого це відбувається, називається критичним полемі позначається B k. Значення B k залежить від температури зразка. При критичній температурі B k = 0, зі зниженням температури значення B k зростає, прагнучи - значення критичного поля при нульовій температурі. Зразковий виглядцієї залежності показано на рис.1

Якщо посилювати струм, що тече через надпровідник, включений у загальний ланцюг, то при значенні сили струму I k надпровідний стан руйнується. Це значення сили струму називається критичним струмом. Значення I k залежить від температури. Вигляд цієї залежності аналогічний залежності B k від T(Див. рис.1).

Надпровідність є явище, у якому квантовомеханічні ефекти виявляються над мікроскопічних, а великих, макроскопічних масштабах. Теорія надпровідності була створена 1957 р. Дж. Бардіним, Л. Купером та Дж. Шриффером. Її називають коротко теорією БКШ. Ця теорія дуже складна. Тому ми змушені обмежитись викладом її на рівні науково-популярних книг, що, мабуть, не зможе повністю задовольнити вимогливого читача.

Розгадка надпровідності полягає в тому, що електрони в металі, крім кулонівського відштовхування, відчувають особливий вид взаємного тяжіння, яке в надпровідному стані переважає відштовхування. В результаті електрони провідності об'єднуються в так звані куперівські пари. Електрони, що входять до такої пари, мають протилежно спрямовані спини. Тому спин пари дорівнює нулю, і вона є бозоном. Бозони схильні накопичуватися в основному енергетичному стані, з якого їх порівняно важко перекласти в збуджений стан. Отже, куперівські пари, прийшовши у узгоджений рух, залишаються у цьому стані необмежено довго. Такий узгоджений рух пар є струм надпровідності.

Пояснимо сказане докладніше. Електрон, що рухається в металі, деформує (поляризує) кристалічну решітку, що складається з позитивних іонів. В результаті цієї деформації електрон виявляється оточеним "хмарою" позитивного заряду, що переміщається решіткою разом з електроном. Електрон і навколишня хмара є позитивно зарядженою системою, до якої буде притягатися інший електрон. Таким чином, іонні грати відіграють роль проміжного середовища, наявність якого призводить до тяжіння між електронами.

квантовомеханічною мовою тяжіння між електронами пояснюється як результат обміну між електронами квантами збудження решітки - фононами. Електрон, що рухається у металі, порушує режим коливань решітки – збуджує фонони. Енергія збудження передається іншому електрону, що поглинає фонон. Внаслідок такого обміну фононами виникає додаткова взаємодія між електронами, що має характер тяжіння. За низьких температур це тяжіння у речовин, що є надпровідниками, перевищує кулонівське відштовхування.

Взаємодія, обумовлена ​​обміном фононами, найбільш сильно проявляється у електронів, які мають протилежні імпульси і спини. В результаті два таких електрони об'єднуються в куперівську пару. Цю пару не слід уявляти собі як два злиплі електрони. Навпаки, відстань між електронами пари дуже велика, вона становить приблизно 10 -4 див, тобто. на чотири порядки перевищує міжатомні відстані в кристалі. Приблизно 10 6 куперівських пар помітно перекриваються, тобто. займають загальний обсяг.

У куперівські пари об'єднуються не всі електрони провідності. При температурі Tвідмінною від абсолютного нуля, є певна ймовірність того, що пара буде зруйнована. Тому завжди поряд з парами є "нормальні" електрони, що рухаються кристалом звичайним чином. Чим ближче T і T k , тим частка нормальних електронів стає більше, звертаючись до 1 при T = T k. . Отже, при температурі вище T k надпровідний стан можливий.

Утворення куперівських пар призводить до розбудови енергетичного спектру металу. Для збудження електронної системи, що перебувають у надпровідному стані, треба зруйнувати хоча б одну пару, на що потрібна енергія, рівна енергіїзв'язку Eсв електронів у парі. Ця енергія є мінімальна кількістьенергії, що може сприйняти система електронів надпровідника. Отже, в енергетичному спектрі електронів, що перебувають у надпровідному стані, є щілина ширини Eсв, розташована у сфері рівня Фермі. Значення енергії, що належать цій щілині, заборонені. Існування щілини було підтверджено експериментально.

Отже, збуджений стан електронної системи, що перебуває у надпровідному стані, відокремлено від основного стану енергетичною щілиною ширини. Eсв. Тому квантові переходицієї системи не завжди будуть можливими. При малих швидкостях свого руху (що відповідають силі струму, меншій I k) електронна система її збуджуватиметься, а це означає рух без тертя, тобто. без електричного опору.

Ширина енергетичної щілини Eсв зі зростанням температури зменшується і обертається в нуль при критичній температурі T k. Відповідно всі куперівські пари руйнуються, і речовина переходить у нормальний (ненадпровідний) стан.

З теорії надпровідності слід, що магнітний потік Ф, пов'язаний з надпровідним кільцем (або циліндром), по якому циркулює струм, повинен бути цілим кратним величини
, де q - заряд носія струму

.

Величина

являє собою квант магнітного потоку.

Квантування магнітного потоку було експериментально виявлено в 1961 Дівером і Фейрбенком і незалежно від них Доллом і Небауером. У дослідах Дівера і Фейрбенка зразком служив поясок олова, нанесений на мідний дріт діаметром близько 10 -3 см. Дріт відігравав роль каркасу і надпровідний стан не переходив. Виміряні значення магнітного потоку в цих дослідах, як і в дослідах Долла і Небауера, виявилися цілими кратними величини, в якій як qтреба взяти подвійний заряд електрона ( q = - 2e) . Це є додатковим підтвердженням правильності теорії БКШ, за якою носіями струму надпровіднику є куперовские пари, заряд яких дорівнює сумарному заряду двох електронів, тобто. - 2e.

Напівпровідники

Напівпровідниками є кристалічні речовини, у яких валентна зона повністю заповнена електронами, а ширина забороненої зони невелика (у своїх напівпровідників трохи більше 1 эВ). Напівпровідники зобов'язані своєю назвою тієї обставини, що за величиною електропровідності вони займають проміжне положення між металами та діелектриками. Однак характерним для них є не величина провідності, а те, що їхня провідність зростає з підвищенням температури (нагадаємо, що у металів вона зменшується).

Розрізняють власніі домішковінапівпровідники. До власних відносяться хімічно чисті напівпровідники. Електричні властивості домішкових напівпровідників визначаються наявними в них штучними домішками.

При розгляді електричних властивостей напівпровідників велику роль відіграє поняття дірок. Зупинимося з'ясування фізичного сенсу цього поняття.

У власному напівпровідникупри абсолютному нулі всі рівні валентної зони повністю заповнені електронами, а зоні провідності електрони відсутні (рис.2,a). Електричне поле не може перекинути електрони з валентної зони до зони провідності. Тому власні напівпровідники поводяться за абсолютного нулі як діелектрики. При температурах, відмінних від 0 До, частина електронів з верхніх рівнів валентної зони перетворюється на теплового збудження на нижні рівні зони провідності (рис.2,б). У умовах електричне полі отримує можливість змінювати стан електронів, що у зоні провідності. Крім того, внаслідок утворення вакантних рівнів у валентній зоні електрони цієї зони можуть змінювати свою швидкість під впливом зовнішнього поля. В результаті електропровідність напівпровідника стає відмінною від нуля.

Виявляється, що за наявності вакантних рівнів поведінка електронів валентної зони може бути представлена ​​як рух позитивно заряджених квазічастинок, які отримали назву "дірок". З рівності нулю провідності повністю заповненої валентної зони випливає, що сума швидкостей всіх електронів такої зони дорівнює нулю

Виділимо із цієї суми швидкість k-го електрона

З отриманого співвідношення випливає, що якщо k-й електрон у валентній зоні відсутня, то сума швидкостей електронів, що залишилися, виявляється рівною
. Отже, всі ці електрони створять струм, що дорівнює
. Таким чином, струм, що виник, виявляється еквівалентним струму, який створювала б частка з зарядом + e, Що має швидкість відсутнього електрона Це уявна частка і є дірка.

До поняття дірок можна дійти також наступним шляхом. Вакантні рівні утворюються біля стелі валентної зони. Як було показано, ефективна маса електрона, що знаходиться біля стелі енергетичної зони, негативна. Відсутність частинки з негативним зарядом (- e) та негативною масою m * еквівалентно наявності частки з позитивним зарядом (+e) та позитивною масою | m * | тобто. дірки.

Отже, за своїми електричними властивостями валентна зона з невеликою кількістю вакантних станів еквівалентна порожній зоні, що містить невелику кількість позитивно заряджених квазічастинок, які називаються дірками.

Підкреслимо, що рух дірки не є переміщенням якоїсь реальної позитивно зарядженої частинки. Уявлення про дірки відображає характер руху всієї багатоелектронної системи у напівпровіднику.

Власна провідність напівпровідників

Власна провідність виникає внаслідок переходу електронів з верхніх рівнів валентної зони до зони провідності. При цьому в зоні провідності з'являється деяка кількість носіїв струму - електронів, що займають рівні поблизу дна зони, одночасно у валентній зоні звільняється така кількість місць на верхніх рівнях, внаслідок чого з'являються дірки

Розподіл електронів за рівнями валентної зони та зони провідності описуються функцією Фермі-Дірака. Цей розподіл можна зробити дуже наочним, зобразивши, як це зроблено на рис. графік функції розподілу разом із схемою енергетичних зон.

Відповідний розрахунок дає, що у своїх напівпровідників відраховане від стелі валентної зони значення рівня Фермі дорівнює

,

де  E- ширина забороненої зони, а mд*і mе * - ефективні маси дірки та електрона, що знаходиться в зоні провідності. Зазвичай другий доданок зневажливо мало, і можна вважати
. Це означає, що рівень Фермі лежить посередині забороненої зони. Отже, для електронів, що перейшли в зону провідності, величина E - E Fмало відрізняється від половини ширини забороненої зони. Рівні зони провідності лежать на хвості кривої розподілу. Тому ймовірність їх заповнення електронами можна знайти за формулою (1.23) попереднього параграфа. Поклавши у цій формулі
, отримаємо, що

.

Кількість електронів, що перейшли в зону провідності, а отже і кількість дірок, що утворилися, буде пропорційно ймовірності. Ці електрони та дірки є носіями струму. Оскільки провідність пропорційна числу носіїв, вона також має бути пропорційна виразу. Отже, електропровідність власних напівпровідників швидко зростає з температурою, змінюючись згідно із законом

,

де  E- ширина забороненої зони,  0 - величина, що змінюється з температурою набагато повільніше, ніж експонента, у зв'язку з чим її можна в першому наближенні вважати константою.

Якщо на графіку відкладати залежність ln  від T, то своїх напівпровідників виходить пряма лінія, зображена на рис.4. За нахилом цієї прямої можна визначити ширину забороненої зони  E.

Типовими напівпровідниками є елементи IV групи періодичної системиМенделєєва - германій та кремній. Вони утворюють решітку типу алмазу, у якій кожен атом пов'язаний ковалентними (парно-електронними) зв'язками з чотирма рівновіддаленими від нього сусідніми атомами. Умовно таке взаємне розташування атомів можна як плоскої структури, зображеної на рис. 5. Гуртки зі знаком позначають позитивно заряджені атомні залишки (тобто ту частину атома, яка залишається після видалення валентних електронів), кружки зі знаком - валентні електрони, подвійні лінії – ковалентні зв'язки.

При достатньо високій температурітепловий рух може розірвати окремі пари, звільнивши один електрон. Залишене електроном місце перестає бути нейтральним, у його околиці виникає надлишковий позитивний заряд , тобто. утворюється дірка (на рис.5 вона зображена пунктирним кружком). На це місце може перескочити електрон однієї із сусідніх пар. В результаті дірка починає також мандрувати кристалом, як і електрон, що звільнився.

При зустрічі вільного електрона з діркою вони рекомбінують(з'єднуються). Це означає, що електрон нейтралізує надлишковий позитивний заряд, що є в околиці дірки, і втрачає свободу пересування доти, доки знову не отримає від кристалічних ґрат енергію, достатню для свого вивільнення. Рекомбінація призводить до одночасного зникнення вільного електрона та дірки. На схемі рівнів процесу рекомбінації відповідає перехід електрона із зони провідності на один із вільних рівніввалентної зони.

Отже, у власному напівпровіднику йдуть одночасно два процеси: народження попарно вільних електронів та дірок та рекомбінація, що призводить до попарного зникнення електронів та дірок. Імовірність першого процесу швидко зростає із температурою. Імовірність рекомбінації пропорційна як вільних електронів, так і дірок. Отже, кожній температурі відповідає певна рівноважна концентрація електронів та дірок, яка змінюється з температурою пропорційно до виразу.

Коли зовнішнє електричне поле відсутнє, електрони провідності та дірки рухаються хаотично. При включенні поля на хаотичний рух накладається впорядкований рух: електронів проти поля та дірок – у напрямку поля. Обидва рухи - і дірок, і електронів - призводить до перенесення заряду вздовж кристала. Отже, власна електропровідність обумовлюється як носіями заряду двох знаків - негативними електронами і позитивними дірками.

Зазначимо, що за досить високої температури власна провідність спостерігається у всіх напівпровідниках. Однак у напівпровідниках, що містять домішка, електропровідність складається з власної та домішкової провідностей.

Домішна провідність напівпровідників

Домішна провідність виникає, якщо деякі атоми даного напівпровідника замінити у вузлах кристалічних ґрат атомами, валентність яких відрізняється на одиницю від валентності основних атомів. На рис.6 умовно зображені грати германію з домішкою п'ятивалентних атомів фосфору. Для утворення ковалентних зв'язків із сусідами атому фосфору достатньо чотирьох електронів. Отже, п'ятий валентний електрон виявляється зайвим і легко відщеплюється від атома за рахунок енергії теплового руху, утворюючи мандрівний вільний електрон.

На відміну від випадку, розглянутого у попередньому параграфі, утворення вільного електрона не супроводжується порушенням ковалентних зв'язків, тобто. утворенням дірки. Хоча навколо атома домішки виникає надлишковий позитивний заряд, але пов'язані з цим атомом і переміщатися ґратами неспроможна.

Завдяки цьому заряду атом домішки може захопити електрон, що наблизився до нього, але зв'язок захопленого електрона з атомом буде неміцним і легко порушується знову за рахунок теплових коливань решітки.

Таким чином, у напівпровіднику з домішкою, валентність якої на одиницю більша за валентність основних атомів, є тільки один вид носіїв струму-електрони. Відповідно кажуть, що такий напівпровідник має електронну провідність або напівпровідник n- типу (від слова negativ - Негативний). Атоми домішки, що постачають електрони провідності, називаються донорами.

Статистика Фермі - Дірака.

лекція 5.

Процеси в твердих тілах(Електропровідність, теплопровідність, і т.д.) пов'язані з рухом колективів (ансамблів) тотожних частинок, зокрема, електронів. Властивості таких ансамблів описуються законами квантової статистики. Центральним поняттям будь-якої статистики (квантової чи класичної) є функція розподілу р(Е), що визначає ймовірність того, що стан з енергією Е в умовах теплової рівноваги зайнятий часткою. На частинки з напівцілим спином (тобто s = 1/2) (їх називають фермі-частинками, ферміонами, фермі-газом; до них належать, звичайно, електрони) діє принцип заборони Паулі, і ансамблі таких частинок описуються статистикою Фермі- Дірака. Функція розподілу у статистиці Фермі-Дірака має вигляд

Зазначимо основні властивостірозподілу Фермі-Дірака:

1) Вид розподілу залежить від якості конкретної системичастинок. Стосовно твердих тіл можна сказати, що незалежно від структури та складу тіла, виду енергетичних зон, функція р(Е) незмінна.

2) Відмінності у властивостях тіл проявляються у відмінностях енергії Е F , яку називають енергією Фермі. Якщо даного твердого тіла відома енергія Е F , то відомо, як розташована функція р(Е) на схемі енергетичних рівнів.

3) Як видно з формули (1.21), при Е = Е F ймовірність р(Е F) = 0,5 за будь-якої температури Т > 0. Якщо в кристалі є рівень енергії електрона, що збігається з рівнем Фермі, то ймовірність його заповнення електроном при Т> 0 дорівнює 0,5. Зауважимо, що рівень Фермі в твердих тілах може бути як у дозволених, так і в заборонених зонах енергетичного спектру.

4) За температури Т = 0 ймовірність р(Е) = 1, якщо Е< Е F и р(Е) = 0, если Е >Е F . Отже, рівень Фермі – це найбільша енергія, Яка може мати електрон при Т = 0, якщо цей рівень розташований у дозволеній зоні. Функції р(Е) для Т = 0 і Т > 0 показано на рис.1.12.

5) Для енергії Е - Е F >> kT величина (E - E F)/kT >> 1, тому формула перетворюється на вигляд

У цьому наближенні розподіл Фермі-Дірака перетворюється на розподіл Больцмана.

6) Основний параметр розподілу Фермі - Дірака - енергію Е F знаходять із умови, що повне число електронів, що заповнюють рівні енергетичних зон, дорівнює числу електронів у кристалі.

Відповідний квантовомеханічний розрахунок показує, що у разі ідеальної кристалічної решітки електрони провідності не відчували б при своєму русі ніякого опору та електропровідність металів була б нескінченно великою.

Однак кристалічні грати ніколи не бувають досконалими. Порушення суворої періодичності решітки бувають обумовлені наявністю домішок чи вакансій, і навіть тепловими коливаннями решітки. Розсіювання електронів на атомах домішки та на фононах призводить до виникнення електроопору металів.Чим чистіший метал і нижче температура, тим менший його опір.

Питомий електричний опір металів можна подати у вигляді

де r коливань - опір, зумовлений тепловими коливаннями решітки, r прим - опір, зумовлений розсіюванням електронів на атомах домішки. Доданок r колиб зменшується зі зниженням температури і звертається в нуль при Т = 0 К. Доданок r прим при невеликій концентрації домішок не залежить від температури і утворює так званий залишковий опір металу (крім металів, що переходять у надпровідний стан).

Нехай одиниці обсягу металу є n вільних електронів. Назвемо середню швидкістьцих електронів дрейфовою швидкістю V ін. За визначенням

За відсутності зовнішнього поля дрейфова швидкість дорівнює нулю, і електричний струм у металі відсутня. При накладенні на метал зовнішнього електричного поля Едрейфова швидкість стає відмінною від нуля - у металі виникає електричний струм. Відповідно до закону Ома дрейфова швидкість є кінцевою і пропорційної сили F= - e E.

Крім сили - e Eна електрони провідності в металі діє сила "тертя", середнє значення якої дорівнює

(r – коефіцієнт пропорційності).

Рівняння руху для "середнього" електрона має вигляд

де m* – ефективна маса електрона. Ефективна маса m* може сильно відрізнятись від фактичної маси електрона m, зокрема вона може приймати від'ємні значення. Незважаючи на це, саме значення m* визначає характер руху електрона у ґратах.

Таким чином, вплив грат на рух можна врахувати, замінивши в рівнянні руху справжню масу m ефективною масою m * . Поранення (1.25) дозволяє знайти значення, що встановилося Vін Якщо після встановлення стаціонарного станувимкнути зовнішнє поле Е, дрейфова швидкість почне спадати і після досягнення стану рівноваги між електронами і ґратами перетворюється на нуль. Знайдемо закон зменшення дрейфової швидкості після вимкнення зовнішнього поля. Поклавши Е= 0 , отримаємо рівняння

Його рішення має вигляд

де - значення дрейфової швидкості на момент вимкнення поля. З (1.26) випливає, що за час

значення дрейфової швидкості впаде в раз. t - час релаксації, Що характеризує процес встановлення рівноваги між електронами та гратами, порушене дією зовнішнього поля Е. Тоді з (1.24) отримуємо

Значення дрейфової швидкості, що встановилося, можна знайти, прирівнявши нулю суму сили - e Eта сили тертя

Значення щільності струму, що встановилося, отримуємо, помноживши це значення Vін на заряд електрона - e і щільність електронів n

Коефіцієнт пропорційності між Еі jє питомою електропровідністю s. Таким чином,

У класичної теоріїелектропровідність вираз для провідності має вигляд

де t/ - середній час вільного пробігу електронів.

З порівняння формул (1.29) та (1.30) випливає, що час релаксації збігається по порядку величини з часом вільного пробігу електронів у металі.

Зазначимо, що викладки, що призвели до формули (1.29), однаково придатні як при класичному трактуванні руху електронів провідності в металі, так і квантовомеханічному трактуванні. Відмінність цих двох трактувань ось у чому. При класичному розгляді передбачається, що всі електрони обурюються зовнішнім електричним полем, відповідно до чого кожен доданок (1.23) отримує добавку в протилежному напрямку. Е. При квантовомеханічному підході доводиться брати до уваги, що обурюються полем і змінюють свою швидкість лише електрони, що займають стан поблизу рівня Фермі. Електрони, що знаходяться на більш глибоких рівнях, полем не обурюються, і їхній внесок у суму (1.23) не змінюється. Крім того, при класичному трактуванні використовується звичайна маса m, при квантовомеханічному трактуванні замість звичайної маси повинна бути взята ефективна маса електрона m*.

Нехай w=f (z) - однозначна функція, визначена в області.

Визначення 1.Похіднийвід функції f(z) у точці
називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли останнє прагне до нуля:

Функція, що має похідну в точці z, називається диференційованоїу цій точці.

Очевидно, що виконуються всі арифметичні властивості похідних.

приклад.

За допомогою формули бінома Ньютона аналогічно виводиться, що

Ряди для експоненти, синуса та косинуса задовольняють усім умовам почленного диференціювання. Безпосередньою перевіркою легко отримати, що:

Зауваження. Хоча визначення похідної ФКП формально повністю збігається з визначенням для ФДП, але, сутнісно, ​​є складнішим (див. зауваження §5).

Визначення 2.Функція f (z) , безперервно диференційована у всіх точках області G, називається аналітичноїабо регулярноюна цій галузі.

Теорема 1.Якщо функція f(z) диференційована у всіх точках області G, то вона є аналітичною в цій галузі. (Б/д)

Зауваження. Фактично, ця теорема встановлює еквівалентність регулярності та диференційності ФКП на області.

Теорема 2.Функція, що диференціюється в деякій області, має нескінченно багато похідних у цій галузі. (б/д. Нижче (в §13) це твердження буде доведено за певних додаткових припущень)

Представимо функцію у вигляді суми дійсної та уявної частин: Теорема 3. (Умови Коші – Рімана).Нехай функція f(z) диференційована в деякій точці
. Тоді функції u (x,y) та v (x,y) мають у цій точці приватні похідні, причому

і
, звані умовами Коші – Рімана.

(Оскільки значення похідної не залежить від способу прагнення величини
до нуля, виберемо наступний шлях: Отримуємо:

Аналогічно, при
маємо:
, що доводить теорему.)

Правильне і зворотне твердження:

Теорема 4.Якщо функції u(x,y) та v (x,y) мають у певній точці безперервні приватні похідні, що задовольняють умовам Коші – Рімана, то сама функція f (z) - диференційована в цій точці. (Б/д)

Теореми 1 – 4 показують важливе відмінність ФКП від ФДП.

Теорема 3 дозволяє обчислювати похідну функції за будь-якою з наступних формул:

При цьому можна вважати хі удовільними комплексними числами та обчислювати похідну за формулами:

Приклади. Перевірити функцію на регулярність. Якщо функція регулярна – обчислити її похідну.

функція регулярна;

2. функція не диференційована.

Зауваження. Неважко бачити, що будь-яка дійсна функція комплексного аргументу не диференційована.

§9.Гармонічні функції.

Нагадаємо визначення гармонійних функцій, дане в курсі «Теорії поля»:

Визначення.Функція u(x,y) називається гармонійною, якщо вона задовольняє рівняння Лапласа:

Нехай на області Gзадана аналітична функціяЦя функція задовольняє умовам Коші – Рімана:
,
(§ 8). Оскільки аналітична функція нескінченно диференційована, те й функції u і vтак само нескінченно диференційовані. Продиференціюємо першу умову щодо x, друге по yі складемо отримані рівності:

тобто. дійсна частина аналітичної функції – гармонійна. Якщо умови продиференціювати за у, за хі відняти, то легко переконатися в гармонійності уявної частини. Таким чином, доведено

Теорема.Дійсна та уявна частини аналітичної функції є гармонійними:

Зрозуміло, що дві довільні гармонічні функції, взагалі кажучи, не будуть дійсною і уявною частиною деякої аналітичної функції. Для цього вони повинні ще задовольняти умови Коші – Рімана. Однак, за будь-якою гармонічною функцією можна з точністю до константи визначити другу частину аналітичної функції (тобто саму аналітичну функцію).

приклад. Довести, що може бути дійсною частиною аналітичної функції та визначити цю функцію.

З 2-го умови К – Р:

Транскрипт

1 Умови Коші-Рімана.) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w zi e. Функція, що має похідну в точці z називається диференційованої в цій точці. Умови Коші – Рімана (Даламбера – Ейлера, Ейлера – Даламбера): w f z u, iv, то в кожній точці диференційованості функції f z Якщо z i виконуються рівності, u v u v Запишемо цю функціюв алгебраїчній формі, вважаючи z i: zi ii i i we e e e e e e cos isin e cos isin e cos ie sin Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, e cos v, e sin Обчислюємо приватні похідні: u cos e e cos v e - умови Коші-Рімана виконуються. Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор. 59 (приклад 9), стор. 0 (приклад);) Письмовий Д.Т. "Конспект лекцій з вищої математики", 006, стор. 530, стор (умови Ейлера-Даламбера, аналітичність функції). ) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w z 4iz Запишемо цю функцію в формі алгебри, вважаючи z i: w i 4i i i 4 i

2 Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, 4 v, 4 Обчислюємо приватні похідні: u 4 v 4 u 4 4 v умови Коші-Рімана виконуються. 3) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції sin iz. Виразимо тригонометричну функцію sin z через показову: iz iz e e sin z i і візьмемо до уваги, що z i: ii ii ii ii e e e e e e e e sin cos sin cos e e i e e Дійсна та уявна частини числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Обчислюємо приватні похідні: u sin e e e e v cos e e sin e e sin e e і u sin cos e e e e cos cos e e e e v Як бачимо, умови Коші-Рімана u v u v sin iz виконуються. для функції 4) Користуючись умовами Коші-Рімана, перевірити, чи буде аналітичною функція w f z: Функція wsin z3 z. w f z називається аналітичною в точці z, якщо вона диференційована як у самій точці z, так і в деякій її околиці. Функція w f z, що диференціюється в кожній точці деякої області D, називається аналітичною функцією в цій галузі. Умови Коші – Рімана (Даламбера – Ейлера, Ейлера – Даламбера): Якщо z i w f z u, iv, то в кожній точці диференційності функції f z виконуються рівності u v u v,. Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i 3 i w sin ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i e e e e e 3i3

3 cos e e e i e e sin 3i3 i cos e e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формули, використані в перетвореннях: iz e e e дійсну і уявну частини w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Обчислюємо приватні похідні: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin sh cos 3 sh , виконані; отже, функція sin w f z z3 z є аналітичною. 4

5 5) Довести аналітичність функції і знайти похідну: z z e w e Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i i e e w e cos sin Виділимо дійсну та уявну частини w z u, i v, u, chcos v, shsin Обчислюємо приватні похідні: u ch cos sh cos sh sin sh cos u ch cos ch sin sh sin ch sin: Умови Коші-Рімана u v u v, виконані; отже, функція w f z e z e z є аналітичною. Для будь-якої аналітичної функції f z u, i v, приватні похідні функцій u u, і v v : похідна f u v v u u u v f z i i i i Обчислюємо похідну функції похідні функцій u, і v, : z виражається через f z , використовуючи вираз похідної функції

6 або безпосередньо: z e e e z z z e e e e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos e e i e e e e e e e cos e sin sh cos is sn i 6) Подати . Перевірити, чи буде вона аналітичною, якщо так, то знайти похідну в точці z0 6. Виділимо в даному числіу явному вигляді дійсну u, і уявну частини, отримано комплексне число в формі алгебри записи. Re w u, e cos Im w v, e sin Для будь-якої аналітичної функції f z u e v sin e cos e Оскільки умови Коші-Рімана виконуються (u v, u v) для всіх точок площини O, функція, що досліджується, є аналітичною на всій площині, і її похідна 6

7 u v w z i e e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 У точці z0 i0: Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор 59 (приклад 9), стор 0 (приклад). Обчислити значення функції. 7) Обчислити значення функції комплексного змінного w cos z у точці z0 i. e Для будь-якого z C: cos z iz e iz Тоді ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Відповідь: i cos ch cos ish sin Література. "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стр) Обчислити значення функції комплексного змінного w th z у точці z 0 ln 3 в формі алгебри. z z e e Для будь-якого z C: th z z z e e Значить i 3 3 3 4 3

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 4 обчислення в формі алгебри. 9) Обчислити значення функції комплексного змінного Ln z точці z 0. Вказати головне значення функції. Головним значенням логарифму числа z називають значення, що відповідає головному значенню аргументу числа z ; тобто. головне значення логарифму отримаємо при k 0: Модуль і аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Отже Ln ln i k 0k i kz - значення функції комплексного змінного в точці z 0, записані в формі алгебри. ( логарифмічна функція Ln z є багатозначною) Головне значення логарифму числа z ln 0 i 8

9 0) Обчислити значення функції комплексного змінного i z у точці z i 0. За будь-яких, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль і аргумент числа w i: i arg iarctg 4 - значення функції комплексного змінного z у точці z0 i, записані в тригонометричній формі(функція багатозначна).) Обчислити значення функції комплексного змінного arcctg z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. iz i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z) z0 i ii i3i i3i3 5iarctg k, kz 5 і z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (головне значення Arcctg i) 9

10) Обчислити значення функції комплексного змінного arccos z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz При k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z та головне значення арккосинусу arccos z arg z z iln z z Квадратний коріньіз комплексного числа дає два значення; для головного значення функції вибираємо одне, аргумент якого потрапляє у проміжок 0;. У даному випадку: arccos ln ln iln i i Корінь із числа i i i i i i i приймає два значення. Знайдемо їх: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Використовуючи формули cos cosarctg 5, отримаємо: cos і sin, і зважаючи на те, що arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 і тоді i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 і 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k З двох значень вибираємо друге, т.к. його аргумент потрапляє у проміжок 0;. Отже, i i 5 i arccos 5 5 i ln 5 arctg 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (головне значення Arccos i) Література:) Морозова В.Д . "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стор. 40.

1. Основні поняття функцій комплексного змінного Основні поняття, пов'язані з функцією комплексного змінного, знаходяться так само, як і в дійсній області. Нехай задані дві множини комплексних

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен навчитися: знаходити тригонометричну та показову форми комплексного числа

ВАРІАНТ ЗАВДАННЯ ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ (ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: а Arch; б РІШЕННЯ А БУДЕМО ВИЧИСЛЮВАТИ ARH ПО ФОРМУЛІ ZArCH (LДАННО ПРІМІСТЕ LРИ, ЗДОРОВ'Я ВІДПОВІДЬ) (В ДАННОМУ ПРИМІДЕ ВІДЧИСТИ АРХ(L(У ДАННОМ ПРИМІДЕ)) (В ДАННОМ ПРИМІДЕ) Arch(L(У ДАННОМ ПРИМІДЕ))

Комплексний аналіз Функції комплексного змінного Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету Китайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

В. Д. Михайлов Функції комплексної змінної у прикладах та задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функції комплексної змінної у прикладах та завданнях: Навчальний посібник. СПб., 04. 30 с. Навчальний посібник

Лекція 2 2.1 Послідовності комплексних чисел Комплексне число a називається межею послідовності комплексних чисел (z n ), якщо для будь-якого числа ε > 0 знайдеться такий номер n 0 n 0 (ε), що

1 Комплексні функції 1.1 Комплексні числа Нагадаємо, що комплексні числа можна визначити як безліч упорядкованих пар дійсних чисел C = ((x, y): x, y R), z = x + iy, де i уявна одиниця(і

Поняття комплексного змінного Межа та безперервність комплексного змінного Нехай дано дві множини комплексних чисел D і Δ і кожному числу z D поставлено у відповідність число ω Δ яке позначається

Світлична Ст Б., Агішева Д. К., Матвєєва Т. А., Зотова С. А. Спеціальні глави математики. Теорія функцій комплексного змінного Волгоград 0 м. Міністерство освіти і науки РФ Волзький політехнічний

СА Зотова, ВБ Світлична ПРАКТИЧНЕ КЕРІВНИЦТВО З ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенти- дф-мн, проф Горяїнов ВВ до ф-мн, доц Кульков ВГ ЗГ

Комплексні числа, функції та дії над ними y модуль R дійсна частина дійств число, yim уявна частина дійсне число iy алгебраїчна формазапису компл числа Головне значення аргументу

Похідні основних елементарних функцій Похідна функції може бути знайдена за наступною схемою: аргументом х даємо прирощення для функції y знайдемо відповідне прирощення y y складемо відношення знаходимо

С А Лавренченка wwwlwrckoru Лекція 4 Основні функції Дробно-раціональні функції Дробно-раціональною функцієюкомплексною змінною називається відношення двох многочленів: P() w Q() 0 b 0 m b m b m,

Московський авіаційний інститут(національний дослідницький університет) Кафедра " Вища математикаМежі Похідні Функції кількох змінних Методичні вказівкита варіанти контрольних

Федеральне агентствоза освітою Державна освітня установавищого професійної освітиУхтинський державний технічний університет(УГТУ) МЕЖ ФУНКЦІЇ Методичні

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНИЙ АНАЛІЗ Питання до іспиту (група МХ-21, 215) Питання першого колоквіуму 1 1. Диференційність функції комплексного змінного в точці. Умови Коші Рімана (Даламбера Ейлера).

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Інтегрування найпростіших ірраціональностей. Підстановки Ейлер. Інтеграл від диференціального бінома. Інтегрування ірраціональностей

Лекції 89 Глава 5 Безперервність функції 5 Безперервність функції у точці Поняття безперервності функції одна із основних понять вищої математики Очевидно графіком безперервної функції є

Федеральне агентство з освіти Томський державний архітектурно-будівельний університет РЯДИ З КОМПЛЕКСНИМИ ЧЛЕНАМИ Методичні вказівки для самостійної роботиУЧАСНИКИ ЛЕСНИК, ВА

Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестаціїучнів з дисципліни (модулю) Загальні відомостіКафедра Математики, фізики та інформаційні технологіїНапрямок підготовки 0030 Математика

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Кемеровський державний університет" Кафедра

Комплексний аналіз Арифметика та геометрія комплексних чисел Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету Китайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

Міністерство освіти Російської ФедераціїРосійський державний університет нафти та газу імені ІМ Губкіна ВІ Іванов Методичні вказівки до вивчення теми «ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ» (для студентів

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Харківський національний автомобільно-дорожній університет МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до практичних занять з математики іноземних студентів

Основні визначення, формули та теореми Ряди 1. Супремум та інфінум. Найменша кількість, що обмежує зверху кілька чисел називається точною верхньою граннюабо супремумом цієї множини. Подвійним

Міністерство освіти і науки Російської Федерації «ТАМБІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» ФДБОУ ВПО «ТДТУ» ВАСИЛЬЄВ ВВ, ЛАНОВА АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ТЕОРІЯ МЕЖ

Тема: Перетворення тригонометричних виразівОблік ОДЗ у тригонометричних рівняннях Підготовка до ЄДІ (завдання 9; ; 8) Визначення: Областю визначення рівняння f g або областю допустимих значень

ЛЕКЦІЯ N Диференціальні рівняння вищих порядків, методи вирішення Завдання Коші Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні лінійні рівнянняДиференціальні рівняння вищих порядків,

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Первісна і невизначений інтеграл Основне завдання диференціального обчислення полягає у знаходженні похідної (або диференціалу) цієї функції. Інтегральне числення

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЙ ЗМІННОЇ Поняттяпохідною, її геометричний та фізичний сенсЗавдання, що призводять до поняття похідної Визначення Стосової S до лінії y f (x) у точці A x ; f (

Безперервність функції. Чудові межіЛекція 2 1 Визначення безперервності. Теорема про безперервність суми, твору та частки Функція y f () називається безперервною в точці, якщо вона

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Національний дослідний Нижегородський державний університет ім НІ Лобачевського НП Семерікова АА Дубков АА Харчева

1 С А Лавренченко wwwlawrencenkor Лекція 3 Диференційність 1 Поняття диференційності Нехай комплексна функція w f комплексної змінної визначена в околицях точки Визначення 11 диференційованості

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Кемеровський державний університет» Новокузнецька

Додаток ТАБЛИЦЬ ПЕРЕТВОРЕНЬ ЛАПЛАСУ Зображення F./ Оригінал f.t/ 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 η.t/ n,.n D,.../ t n.n /! λ t e λt. λ/ te λt. λ/ n,.n D,.../. a/. b/. a/. b/.n/! tn e λt sin ωt C ω ω

Міністерство освіти Республіки Білорусь Установа освіти «Гомельський державний університет імені Франциска Скорини»

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РЕСПУБЛІКИ БІЛОРУСЬ УСТАНОВА ОСВІТИ «МІНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ РАДІОТЕХНІЧНИЙ КОЛЕДЖ» М А Т Е М А Т І К А ПРАКТИКУМ ДЛЯ САМОПІД ДЛЯ САМОП

ЧАСТИНА ПЕРША КВАТЕРНІЙНІ ПРОСТІР РОЗДІЛ ПОПЕРЕДНІ МАТЕМАТИЧНІ ВІДОМОСТІ У цьому розділі для простоти подальшого читання розглянуто елементи алгебри комплексних чисел та класичної алгебри

лекція N33. Функції комплексного змінного. Межі. Безперервність. Елементарні функції. Диференціювання ФКП. Властивості похідних. 1.Послідовності комплексних чисел. Межа.... 1.Обмежені

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ ВОЛОГОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра вищої математики ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичні вказівки для практичних занять

Заняття 7 Теореми про середнє. Правило Лопіталя 7. Теореми про середнє Теореми про середнє це три теореми: Роля, Лагранжа та Коші, кожна наступна з яких узагальнює попередню. Ці теореми називають також

Глава ВАРІАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Лекція 9 Вступ У цьому розділі ми розглядатимемо завдання відшукання екстремумів (максимумів або мінімумів) функціоналів Відразу зазначимо, що такі завдання належать до числа

Міністерство освіти і науки Російської Федерації «МАТІ» Російський державний технологічний університетім. К.Е. Ціолковського Кафедра «Вища математика» Комплексні числа та операційне обчислення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЙ ТОМСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ

Одеська національна академіязв'язку їм АС Попова Кафедра вищої математики Стрілківська ІВ, Паскаленко ВН ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЙ ЗМІННОЇ Навчальний посібник для іноземних студентів

Індивідуальні домашні завдання ІДЗ-1 Обчислення приватних похідних 1 Знайти область визначення функцій: 11 z /(5) 1 z arcsin() 1 z 1 z ln() 15 z /(6) 16 z 5 17 z arccos() 18 z / () 19 z 9 11 z ln(

Програма вступного випробуванняз математики, що проводиться Академією самостійно окремих категорійгромадян відповідно до Правил прийому На вступному іспитіз математики вступник

Lim 3 Диференціювання функцій 3 Похідна функції Похідної функції f у точці називають наступну межу f f df f "d, де f " і df d умовні позначенняпохідної Операція знаходження похідної

~ ~ ФКП Похідна функції комплексного змінного ФКП умови Коші - Рімана поняття регулярності ФКП Зображення та вид комплексного числа Вид ФКП: де дійсна функція двох змінних дійсна

Диференційне численняВведення в математичний аналіз Межа послідовності та функції. Розкриття невизначеностей у межах. Похідна функції. Правила диференціювання. Застосування похідної

Лекція 5 Інтеграл типу Коші 5.1 Інтеграл типу Коші Нехай C орієнтована шматково-гладка крива f визначена на кривій безперервна функція. Для будь-якої точки z C \ функція t f(t) z безперервна за змінною

Міністерство освіти та науки Російської Федерації Уральський федеральний університетімені першого Президента Росії Б Н Єльцина Р М Мінькова ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО У ПРИКЛАДАХ І ЗАВДАННЯХ Рекомендовано

Тема МЕЖІ ФУНКЦІЙ Число А називається межею функції у=f), при х прагне до нескінченності, якщо для будь-якого, скільки завгодно малого числа ε>, знайдеться таке позитивне числоs, що при всіх >S виконується

Практичне заняття 8 Вирахування 8 Визначення відрахування 8 Обчислення відрахувань 8 Логарифмічний відрахування 8 Визначення відрахування Нехай ізольована особлива точкафункції в ізольованій особливою Вирахуванням аналітичної

Практичне заняття ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДНОЇ ТА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ Диференціювання складної функціїДиференціювання неявної функціїСистеми неявних і параметрично заданих, що задається одним рівнянням

Державна автономна освітня установа вищої професійної освіти міста Москви «МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІНДУСТРІЇ ТУРИЗМУ ІМЕНІ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Основи теорії спеціальних функційНеобхідність вивчення спеціальних функцій математичної фізикипов'язана з двома основними обставинами. По-перше, при розробці математичної моделіфізичного

М. І. Шабунін, Є. С. Половінкін, М. І. Карлов З Рекомендовано Навчально-методичним об'єднаннямвищих навчальних закладівРосійської Федерації за освітою в області прикладних математикита фізики

Лекція 3 3. Зауваження про аналітичні функції 3.2 Ступінна функціяСтупінна функція w = z n, (3.) де n > натуральне число, є аналітичною у всій комплексної площини C. Її похідна w

Міністерство освіти Республіки Білорусь БІЛОРУСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра «Вища математика» КУРС ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИКУМ З ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Навчальне електронне

I Анотація Мета та завдання дисципліни (модуля) Мета освоєння дисципліни: дати студентам систематичні знання за методами комплексного аналізута навчити їх застосовувати ці знання до вирішення задач математичного

Первісна і невизначений інтеграл Основні поняття та формули 1. Визначення первісної та невизначеної інтегралу. Визначення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Інтегрування тригонометричних функцій за допомогою різних підстановок. Універсальна тригонометрична підстановка. Інтегрування

5 Точка в якій F F F або хоча б одна з цих похідних не існує називається особливою точкою поверхні У такій точці поверхня може не мати дотичної площини Визначення Нормаллю до поверхні

Глава Невизначений інтеграл Безпосереднє інтегруванняФункцію F() називають первісною для функції f(), якщо виконується рівність F"() f() Сукупність всіх первісних цієї функції f()

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Тригонометричні рівняння з модулем Цей листок присвячений тригонометричним рівнянням, в яких тригонометричні функціївід невідомої величини містяться

Програма вступного випробування з математики, що проводиться Північно-Кавказьким інститутом-філією РАНХіГС самостійно для окремих категорій громадян відповідно до Правил прийому показати: На

Глава 4 Межа функції 4 1 ПОНЯТТЯ МЕЖІ ФУНКЦІЇ У цьому розділі основну увагу приділено поняттю межі функції. Визначено, що таке межа функції у нескінченності, а потім межа у точці, межі

СПбДУ Економічний факультет Математичний аналізкурс семестр 03/04 н.р. Свіркіна Лариса Анатоліївна СЕМІНАР 6. (09.0.03 та.0.03) Аудиторна роботаПеревірка домашнього завдання(М.9,..3,..6,..0) (продовження)

Тема 8 ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ Лекція 8.1. Функції кількох змінних. Приватні похідні План 1. Поняття функції двох і декількох змінних. Межа і безперервність

Заняття 14 Комплексні числа. ЛОДУ з постійними коефіцієнтами. 14.1 Комплексні числа Комплексним числомназивається вираз виду z = x + iy, де x R. Є взаємно однозначна відповідність між безліччю