Зображення комплексних чисел на площині. Геометричне зображення комплексних чисел

Завдання комплексного числа дорівнює завданням двох дійсних чисел а, b - дійсної і уявної частин даного комплексного числа. Але впорядкована пара чисел зображується в декартовій прямокутної системикоординат точкою з координатами Таким чином, ця точка може бути зображенням і для комплексного числа z: між комплексними числами і точками координатної площинивстановлюється взаємно однозначна відповідність. При використанні координатної площини для зображення комплексних чисел вісь Ох зазвичай називають дійсною віссю (оскільки дійсна частина числа приймається за абсцис точки), а вісь Оу - уявною віссю (бо уявна частина числа приймається за ординату точки). Комплексне число z, яке зображується точкою (а, b), називається афіксом цієї точки. При цьому дійсні числа зображуються точками, що лежать на дійсній осі, а всі чисто уявні числа (при а = 0) - точками, що лежать на уявній осі. Число нуль зображується точкою О.

На рис. 8 побудовані зображення чисел.

Два комплексно пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо осі Ох (точки на рис. 8).

Часто з комплексним числом пов'язують не тільки точку М, що зображує це число, але і вектор ОМ (див. п. 93), що веде з О М; зображення числа вектором зручне з погляду геометричного тлумачення дії додавання та віднімання комплексних чисел.

На рис. 9, а показано, що вектор, що зображує суму комплексних чисел, виходить як діагональ паралелограма, побудованого на векторах, що зображують доданки.

Це правило складання векторів відоме як правило паралелограма (наприклад, для складання сил чи швидкостей у курсі фізики). Віднімання може бути зведене до складання з протилежним вектором(Рис. 9, б).

Як відомо (п. 8), положення точки на площині можна задавати також її полярними координатами. Тим самим і комплексне число - афікс точки також визначиться завданням З рис. 10 ясно, що є в той же час модулем комплексного числа : полярний радіус точки, що зображує число , дорівнює модулюцього числа.

Полярний кут точки М називають аргументом числа , що зображується цією точкою. Аргумент комплексного числа (як і полярний кут точки) визначено неоднозначно; якщо - одне з його значень, то всі його значення виражаються формулою

Усі значення аргументу разом позначаються символом .

Отже, кожному комплексному числу може бути поставлена ​​у відповідність пара дійсних чисел: модуль та аргумент даного числа, Причому аргумент визначається неоднозначно. Навпаки, заданим модулю та аргументу відповідає однина, що має дані модуль та аргумент. Особливими властивостямимає число нуль: його модуль дорівнює нулю, аргумент не приписується ніякого певного значення.

Для досягнення однозначності у визначенні аргументу комплексного числа можна умовитися одне із значень аргументу називати головним. Його позначають символом. Зазвичай як головне значення аргументу вибирається значення, що задовольняє нерівностей

(В інших випадках нерівності).

Звернемо ще увагу до значення аргументу дійсних і чисто уявних чисел:

Дійсна та уявна частини комплексного числа (як декартові координатиточки) виражаються через його модуль та аргумент ( полярні координатиточки) за формулами (8.3):

і комплексне число може бути записано у наступному тригонометричній формі.

Геометричне зображеннякомплексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа.

2015-06-04

Дійсна та уявна вісь
Аргумент комплексного числа
Головний аргументкомплексного числа
Тригонометрична форма комплексного числа

Завдання комплексного числа $z = a+bi$ рівносильне завданню двох дійсних чисел $a,b$ - дійсної та уявної частин даного комплексного числа. Але впорядкована пара чисел $(a,b)$ зображується в декартовій прямокутній системі координат крапкою з координатами $(a, b)$. Таким чином, ця точка може служити зображенням для комплексного числа $z$: між комплексними числами і точками координатної площини встановлюється взаємно однозначна відповідність.

При використанні координатної площини для зображення комплексних чисел вісь $Ox$ зазвичай називають дійсною віссю (оскільки дійсна частина числа приймається за абсцис точки), а вісь $Oy$ - уявною віссю (бо уявна частина числа приймається за ординату точки).

Рис.1
На рис. 1 побудовано зображення чисел $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 - 2i, z_ (7) = -5i, z_ (8) = 2 - 3i $.

Два комплексно пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо осі $Ox$ (точки $z_(1)$ і $z_(8)$ на рис. 1).

Рис. 2
Часто з комплексним числом $z$ пов'язують не тільки точку $M$, що зображує це число, а й вектор $\vec(OM)$, що веде з $O$ $M$; зображення числа $z$ вектором зручно з погляду геометричного тлумачення дії складання та віднімання комплексних чисел. На рис. 2 а показано, що вектор, що зображує суму комплексних чисел $z_(1), z_(2)$, виходить як діагональ паралелограма, побудованого на векторах $\vec(OM_(1)), \vec(OM_(2)) $, що зображують доданки. Це правило складання векторів відоме як правило паралелограма (наприклад, для складання сил чи швидкостей у курсі фізики). Віднімання може бути зведене до додавання з протилежним вектором (рис. 2, б).

Рис. 3
Як відомо, положення точки на площині можна також задавати її полярними координатами $r, \phi$. Тим самим і комплексне число - афікс точки також визначиться завданням $r$ і $\phi$. З рис. 3 ясно, що $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ є водночас модулем комплексного числа $z$: полярний радіус точки, що зображує число $z$, дорівнює модулю цього числа.

Полярний кут точки $M$ називають аргументом числа $z$, що зображується цією точкою.

Усі значення аргументу разом позначаються символом $Arg \: z$.

Отже, кожному комплексному числу можна поставити у відповідність пари дійсних чисел: модуль і аргумент цього числа, причому аргумент визначається неоднозначно. Навпаки, заданим модулем $|z| = r$ і аргументу $\phi$ відповідає однину $z$, що має дані модуль і аргумент. Особливими властивостями має число нуль: його модуль дорівнює нулю, аргумент не приписується ніякого певного значення.

Для досягнення однозначності у визначенні аргументу комплексного числа можна умовитися одне із значень аргументу називати головним. Його позначають символом $arg: z$. Зазвичай як головне значення аргументу вибирається значення, що задовольняє нерівностей
$0 \leq arg \: z (в інших випадках нерівностям $- \pi

Дійсна та уявна частини комплексного числа (як декартові координати точки) виражаються через його модуль та аргумент (полярні координати точки) за формулами:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
і комплексне число може бути записано у наступній тригонометричній формі:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(Запис числа як $z = a + bi$ називатимемо записом в алгебраїчної формі).

Перехід від запису числа в формі алгебри до його запису в тригонометричній формі і назад здійснюється за формулами (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2))), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b)(a)$ (3)
та формулам (1). При визначенні аргументу (його головного значення) можна скористатися значенням однієї з тригонометричних функцій$\cos \phi$ або $\sin \phi$ і враховувати другий знак.

приклад. Записати в тригонометричній формі такі числа:
а) $ 6 + 6i $; б) $3i$; в) $-10 $.
Рішення, а) Маємо
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
звідки $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, і, отже,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
в) $ r = 10, \ cos \ phi = -1, \ sin \ phi = 0, \ phi = \ pi $;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Го) числа.

2. Алгебраїчна форма подання комплексних чисел

Комплексним числомабо комплексом, називається число, що складається з двох чисел (частин) – речовинного та уявного.

Речовимназивається будь-яке позитивне або негативне число, наприклад, + 5 - 28 і т.п. Позначимо речове число буквою “L”.

Уявнимназивається число, рівне творуречового числа на квадратний коріньз негативної одиниці, наприклад, 8 - 20 і т.п.

Негативна одиниця називається уявний і позначається буквою "йот":

Позначимо речове число у складі уявного буквою “М”.

Тоді уявне число можна записати так: j М. У такому разі комплексне число А можна записати так:

А = L + j М(2).

Така форма запису комплексного числа (комплексу), що представляє собою алгебраїчну сумуречовинної та уявної частин, називається алгебраїчної.

приклад 1.Представити в формі алгебри комплекс, речовинна частина якого дорівнює 6, а уявна 15.

Рішення. А = 6+j15.

Крім алгебраїчної форми, комплексне число можна уявити ще трьома:

1. графічної;

2. тригонометричної;

3. показовою.

Таке різноманіття форм різко спрощує розрахунки синусоїдальних величинта їх графічне зображення.

Почергово розглянемо графічну, тригонометричну та показник-

ну форми подання комплексних чисел.

Графічна формаподання комплексних чисел

Для графічного уявленнякомплексних чисел застосовують прямо-

вугільну систему координат. У звичайній (шкільній) системі координат уздовж осей «х» (вісь абсцис) та «y» (вісь ординат) відкладаються позитивні чи негативні речові числа.

У системі ж координат, прийнятої в символічний метод, вздовж осі «х»

у вигляді відрізків відкладають дійсні числа, а вздовж осі «у» – уявні

Рис. 1. Система координат для графічного зображення комплексних чисел

Тому вісь абсцис «х» називають віссю речових величин або, для скорочення, речової віссю.

Вісь ординат називають віссю уявних величин або уявний віссю.

Саму ж площину (тобто площину малюнка), де зображують комплексні числа чи величини, називають комплексної площиною.

У цій площині комплексне число А = L + j М зображено вектором А

(рис. 2), проекція якого на речову вісь дорівнює його речовій частині Re A = А" = L, а проекція на уявну вісь - уявної частини Im A = А" = М.

(Re – від англ. real – реальний, дійсний, справжній, Im – від англ. imaginary – нереальний, уявний).

Рис. 2. Графічне уявлення комплексного числа

У цьому випадку число А можна записати так

А = А + А = Re A + j Im A (3) .

Використовуючи графічне зображення числа А в комплексній площині, введемо нові визначення та отримаємо деякі важливі співвідношення:

1. довжина вектора А називається модулем вектор і позначається |A|.

За теоремою Піфагора

|A| = (4) .

2. кутα, освічений векторомА і речовинної позитивної напів-

віссю, називається аргументом вектора А і визначається через його тангенс:

tg α = А"/А" = Im A/Re A (5).

Таким чином, для графічного представлення комплексного числа

А = А" + А" у вигляді вектора треба:

1. Визначити модуль вектора |A| за формулою (4);

2. визначити аргумент вектора tg α за формулою (5);

3. знайти кут α із співвідношення α = arc tg α;

4. у системі координат j(х) провести під кутом α допоміжну

пряму і на ній у певному масштабі відкласти відрізок, рівний модулювектора | A |.

приклад 2.Комплексне число А = 3 + j 4 подати у графічній формі.

Комплексні числа

Основні поняття

Початкові дані про число відносяться до епохи кам'яного віку – палеомеліту. Це «один», «мало» та «багато». Записувалися вони як зарубок, вузликів тощо. Розвиток трудових процесівта поява власності змусили людину винайти числа та їх назви. Першими з'явилися натуральні числа N, одержувані за рахунку предметів. Потім, поряд із необхідністю рахунку, у людей з'явилася потреба вимірювати довжини, площі, обсяги, час та інші величини, де доводилося враховувати і частини вживаної міри. Так виникли дроби. Формальне обґрунтування понять дробового та негативного числабуло здійснено у 19 столітті. Безліч цілих чисел Z- Це натуральні числа, натуральні зі знаком мінус і нуль. Цілі та дробові числаутворили сукупність раціональних чисел Q,але і вона виявилася недостатньою для вивчення безперервно змінюваних змінних величин. Буття знову показало недосконалість математики: неможливість вирішити рівняння виду х 2 = 3, у зв'язку з чим з'явилися ірраціональні числа I.Об'єднання безлічі раціональних чисел Qі ірраціональних чисел I- безліч дійсних (або речових) чисел R. У результаті числова пряма заповнилася: кожному дійсному числу відповідала у ньому точка. Але на безлічі Rнемає можливості вирішити рівняння виду х 2 = – а 2 . Отже, знову виникла потреба розширення поняття числа. Так було в 1545 року з'явилися комплексні числа. Їхній творець Дж. Кардано називав їх «чисто негативними». Назва «уявні» ввів у 1637 році француз Р. Декарт, у 1777 році Ейлер запропонував використати першу літеру французького числа iдля позначення уявної одиниці. Цей символ увійшов у загальне вживання завдяки Гауссу.

Протягом 17 – 18 століть тривало обговорення арифметичної природи уяви, їх геометричного тлумачення. Данець Г. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаус незалежно один від одного запропонували зображати комплексне число крапкою на координатній площині. Пізніше виявилося, що зручніше зображати число не самої точкою, а вектором, що йде в цю точку з початку координат.

Лише до кінця 18 - початку 19 століття комплексні числа зайняли гідне місце в математичний аналіз. Перше їх використання – теоретично диференціальних рівняньта в теорії гідродинаміки.

Визначення 1.Комплексним числомназивається вираз виду , де xі y- дійсні числа, а i – уявна одиниця, .

Два комплексні числа та рівніі тоді, коли , .

Якщо , то число називають чисто уявним; якщо , то число є дійсним числом, це означає, що безліч R З, де З- Багато комплексних чисел.

Сполученимдо комплексного числа називається комплексне число.

Геометричне зображення комплексних чисел.

Будь-яке комплексне число можна зобразити точкою М(x, y) площині Окси.Парою дійсних чисел позначаються координати радіус-вектора , тобто. між безліччю векторів на площині та безліччю комплексних чисел можна встановити взаємно-однозначну відповідність: .

Визначення 2.Справжньою частиною х.

Позначення: x= Re z(Від латинського Realis).

Визначення 3.Уявною частиноюкомплексного числа називається дійсне число y.

Позначення: y= Im z(Від латинського Imaginarius).

Re zвідкладається на осі ( Ох), Im zвідкладається на осі ( Оy), тоді вектор , відповідний комплексному числу - це радіус-вектор точки М(x, y), (або М(Re z, Im z)) (рис. 1).

Визначення 4.Площина, точкам якої поставлено у відповідність безліч комплексних чисел, називається комплексною площиною . Ось абсцис називається справжньою віссю, оскільки у ній лежать дійсні числа . Вісь ординат називається уявною віссю, на ній лежать суто уявні комплексні числа . Безліч комплексних чисел позначається З.

Визначення 5.Модулемкомплексного числа z = (x, y) називається довжина вектора : , тобто. .

Визначення 6.Аргументомкомплексного числа називається кут між позитивним напрямом осі ( Ох) та вектором : .