Поняття збіжності за ймовірністю послідовності випадкових величин. Закон великих числа у формі Чебишева

Співрозмовники. Як правило, у мережах загального доступу неможливо надати кожній парі абонентів власну фізичну лініюзв'язку, яким вони могли б монопольно «володіти» та використовувати у будь-який час. Тому в мережі завжди застосовується будь-який спосіб комутації абонентів, який забезпечує поділ наявних фізичних каналів між кількома сеансами зв'язку та між абонентами мережі.

Комутація у локальних мережах передачі даних

Технологія комутації сегментів Ethernet була запропонована фірмою Kalpana в 1990 році у відповідь на зростаючі потреби підвищення пропускної спроможності зв'язків високопродуктивних серверів з сегментами робочих станцій. Структурна схемакомутатора EtherSwitch, запропонованого фірмою Kalpana, представлена ​​нижче. Кожен із 8 портів 10Base-T обслуговується одним процесором пакетів Ethernet - ЕРР (Ethernet Packet Processor). Крім того, комутатор має системний модуль, що координує роботу всіх процесорів ЕРР. Системний модуль веде загальну адресну таблицю комутатора та забезпечує управління комутатором за протоколом SNMP. Для передачі кадрів між портами використовується комутаційна матриця, подібна до тих, які працюють у телефонних комутаторах або мультипроцесорних комп'ютерах, з'єднуючи кілька процесорів з кількома модулями пам'яті. Комутаційна матриця працює за принципом комутації каналів. Для 8 портів матриця може забезпечити 8 одночасних внутрішніх каналів при напівдуплексному режимі роботи портів і 16 при повнодуплексному, коли передавач і приймач кожного порту працюють незалежно один від одного.

При надходженні кадру будь-який порт процесор ЕРР буферизує кілька перших байт кадру, щоб прочитати адресу призначення. Після отримання адреси призначення процесор відразу ж приймає рішення про передачу пакета, не чекаючи на прихід інших байт кадру. Для цього він переглядає свій власний кеш адресної таблиці, а якщо не знаходить там потрібної адреси, Звертається до системного модуля, який працює в багатозадачному режимі , паралельно обслуговуючи запити всіх процесорів ЕРР. Системний модуль робить перегляд загальної адресної таблиці і повертає процесору знайдений рядок, який буферизує у своєму кеші для подальшого використання. Після знаходження адреси призначення процесор ЕРР знає, що потрібно далі робити з кадром, що надходить (під час перегляду адресної таблиці процесор продовжував буферизацію вступників в порт байтів кадру). Якщо кадр потрібно відфільтрувати, процесор просто припиняє записувати в буфер байти кадру, очищає буфер і чекає надходження нового кадру. Якщо ж кадр потрібно передати на інший порт, процесор звертається до комутаційної матриці і намагається встановити в ній шлях, що зв'язує його порт з портом, через який йде маршрут до адреси призначення. Комутаційна матриця може це зробити тільки в тому випадку, коли порт адреси призначення у цей момент вільний, тобто не з'єднаний з іншим портом. Якщо порт зайнятий, то, як і в будь-якому пристрої з комутацією каналів, матриця в з'єднанні відмовляє. У цьому випадку кадр повністю буферизується процесором вхідного порту, після чого процесор очікує звільнення вихідного порту та утворення комутаційною матрицею потрібного шляху.

Після того як потрібний шляхвстановлено, до нього направляються буферизовані байти кадру, які приймаються процесором вихідного порту. Як тільки процесор вихідного порту отримує доступ до підключеного до нього сегменту Ethernet за алгоритмом CSMA/CD, байти кадру відразу починають передаватися до мережі. Процесор вхідного порту постійно зберігає кілька байт кадру, що приймається у своєму буфері, що дозволяє йому незалежно і асинхронно приймати і передавати байти кадру.

Комутація у міських телефонних мережах

Міська телефонна мережа- це сукупність лінійних та станційних споруд. Мережа, що має одну АТС, називається нерайонованою. Лінійні споруди такої мережі складаються лише з абонентських ліній. Типове значення ємності такої мережі становить 8-10 тисяч абонентів. При великих ємностях через різкого збільшеннядовжини АЛ доцільно переходити на районовану побудову мережі. І тут територія міста ділиться на райони, у кожному з яких споруджується одна районна АТС (РАТС), до якої підключаються абоненти цього району. З'єднання абонентів одного району здійснюється через одну РАТС, абонентів різних РАТС – через дві. РАТС зв'язуються між собою сполучними лініями загальному випадкуза принципом "кожна з кожної". Загальне числопучків між РАТС дорівнює кількість РАТС/2. При зростанні ємності мережі число пучків СЛ, що зв'язують РATC між собою за принципом «кожна з кожної», починає різко зростати, що призводить до надмірного зростання витрати кабелю та витрат на організацію зв'язку. Тому при ємностях мережі понад 80 тисяч абонентів застосовують додатковий комутаційний вузол. На такій мережі зв'язок між АТС різних районів здійснюється через вузли вхідного повідомлення(УВС), а зв'язок усередині свого вузлового району (УР здійснюється за принципом "кожна з кожної" або через свій УВС).

Це збіжність послідовності випадкових величин Х1, Х2,. . ., Х n, . . ., заданих на нек-ром імовірнісному просторідо випадкової величини X, яка визначається наступним чином:

якщо для будь-кого

5.4 Закон великих числа у формі Чебишева

Нехай послідовність Х1, Х2, . . ., Х n, . . випадкових величинзадовольняє закону великих чисел, якщо для будь-кого

Інакше кажучи, виконання закону великих чисел відбиває граничну стійкість середніх арифметичних випадкових величин: при великому числівипробувань вони практично перестають бути випадковими і збігаються зі своїми середніми значеннями.

Послідовність Х1, Х2, . . ., Х n, . . задовольняє закону великих чисел тоді і лише тоді, коли середнє арифметичне випадкових величин X 1 -m 1 Х 2 -m 2 . . ., Х n -m n сходяться ймовірно до нуля при

5.5 Закон великих чисел у формі Бернуллі (схема Бернуллі)

Нехай проводиться послідовність незалежних випробувань, в результаті кожного з яких може наступити або не наступити подія А, причому ймовірність настання цієї події одна і та ж при кожному випробуванні дорівнює р. Якщо подія А фактично відбулася m разів у n випробуваннях, то відношення m/n називають, як ми знаємо, частотою появи події А. Частота є випадкова величина, причому ймовірність того, що частота набуває значення m/n, виражається за формулою Бернуллі

Закон великих чисел у формі Бернуллі полягає в наступному: з ймовірністю, як завгодно близькою до одиниці, можна стверджувати, що при досить великій кількості дослідів частота появи події А як завгодно мало відрізняється від його ймовірності, тобто. інакше кажучи, при необмеженому збільшенні числа n дослідів частота m/n події А сходиться ймовірно до Р(А).

5.6 Центральна гранична теорема (формулювання, приклад застосування для вирішення задач)

Закон розподілу суми незалежних випадкових величин Xi (i = 1,2, ..., n) наближається до нормальному законурозподілу при необмеженому збільшенні n, якщо виконуються такі умови:

1) всі величини мають кінцеві математичні очікування та дисперсії:

2) жодна з величин за значенням різко не відрізняється від інших:

5.7 Центральна гранична теорема у разі схеми Бернуллі (теорема Муавра-Лапласа).

Якщо ймовірність p настання події A у кожному випробуванні

постійна і відмінна від нуля та одиниці, а кількість незалежних випробувань

досить велике, то ймовірність можна обчислювати за наближеною

(Тим точніше, чим більше n)

Розділ 1. Випадкові події

1. Випадкові події: елементарні, достовірні, неможливі, несумісні, спільні, рівноможливі. Попарно-несумісні, що утворюють повну групу. Простір елементарних подій. Випадок.

2. Сума, твір, різницю, заперечення. Теоретико-множинне трактування. Діаграми Ейлер-Венна. Алгебра подій. Концепція сигма-алгебри.

3. Частота події. Властивість статистичної стійкості. Статистичне визначення імовірності.

4. Класичне визначення ймовірності події. Безпосереднє обчислення ймовірностей.

5. Комбінаторика: правило множення та додавання. Основні схеми: із поверненням, без повернення. Поняття розміщення, поєднання, перестановки.

6. Геометричне визначення ймовірності.

7. Аксіоматичне визначення ймовірності. Властивості можливостей.

8. Імовірнісний простір.

9. Умовна ймовірність.

10. Імовірність добутку подій.

11. Незалежність подій.

12. Імовірність суми подій.

13. Формула повної ймовірності.

14. Формула Байєса.

15. Поняття простий однорідного ланцюгаМаркова.

16. Незалежні випробування. Схема Бернуллі. Формула Бернуллі. Багатокутник розподілу ймовірностей.

17. Граничні теореми у схемі Бернуллі: формула Пуассона, локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.

18. Схема Бернуллі. Найімовірніше число.

Транскрипт

1 С.Я. Шатських Лекції з теорії ймовірностей Види збіжності послідовностей випадкових величин Чернівець Східність за ймовірністю. Будемо вважати, що всі випадкові величини, що цікавлять нас, визначені на одному імовірнісному просторі Ω, A, ). Згадаймо визначення збіжності випадкових величин за імовірністю, яке зустрічалося щодо закону великих чисел у вигляді П.Л. Чебишева. Визначення 1. Кажуть, що послідовність випадкових величин X n (ω)) сходить до випадкової величини X(ω) за ймовірністю, якщо для будь-якого ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, n. Позначення: X n (?) X (?). Схожість за ймовірністю є повним аналогом збіжності у міру, що розглядається в курсах функціонального аналізу та "Інтеграл Лебега". Теорема. Якщо при n X n (ω) X (ω), X n (ω) Y (ω), то ω : X (ω) = Y (ω)) = 1 (єдиність межі майже напевно). Теорема. Якщо при n X n (ω) X (ω), Y n (ω) Y (ω), то 1 ax n (ω) + b Y n (ω) 2 X n (ω) Y n (ω) ax ( ω) + b Y(ω) 3 X n(ω) X(ω) Y(ω), X(ω). (a, b const), Теорема. Для випадкових величин X(ω), Y(ω) функціонал ) X(ω) Y(ω) d(x(ω), Y(ω)) = M 1 + X(ω) Y(ω) 1

2 задає метрику у постранстве випадкових величин 1. Східність по цій метриці еквівалентна збіжності за ймовірністю. Доведення. Спочатку доведемо еквівалентність збіжностей. Розглянемо зростаючу на півосі; A = B() - борелівська алгебра відрізка ; міра Лебега. Покладемо [ k 1 Xn(ω) k:= 1 Ak n (ω), де A k n = n, k ], k = 1, n. n Розглянемо послідовність випадкових величин X 1 1(ω), X 1 2(ω), X 2 2(ω), X 1 3(ω), X 2 3(ω), X 3 3(ω),... (6) Зрозуміло, що з будь-якого ω побудована послідовність є об'єднання нескінченних послідовностей нулів і одиниць. Тому в будь-якій точці ця послідовність не має межі і її безліч збіжності є порожнім. З іншого боку, для будь-якого ε (0, 1) ? Хоча зі збіжності ймовірно не випливає збіжність майже напевно, проте справедлива наступна теорема. Теорема 4 (Ф. Рісс). Якщо за n X n (ω) X(ω), то існує підпослідовність n k ) така, що при k X nk (ω) п.н. X(?). 7

8 Доказ 3. Спочатку побудуємо необхідну підпослідовність n k). Покладемо n 0 = 1 і далі при k N визначимо за індукцією n k як найменше натуральне числодля якого виконуються нерівності: n k > n k 1, ω : X nk (ω) X(ω) 1 )< 1 k 2 k Такое число существует в силу сходимости по вероятности ω : X n (ω) X(ω) 1 } 0, (n). k Теперь установим сходимость X nk (ω) п.н. X(ω), (k). Ввиду соотношения (9) (см. доказательство теоремы 2) } ω : sup X nk (ω) X(ω) >ε k m = k = m ω : X nk (ω) X (ω) > ε). Тому ) ω : sup X nk (ω) X (ω) > ε k m ω : X nk (ω) X (ω) > ε). k=m () Для будь-якого ε > 0 знайдеться таке натуральне M ε, що отже при m > M ε 1 m< ε. m >M ε на вибір n k ω : X nk (ω) X (ω) > ε ) k = m k = m ω : X nk (ω) X (ω) > 1 k) k = m 1 2 k. Таким чином, враховуючи (), матимемо ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m k=m 1 2 k. Переходячи до межі в цій нерівності при m, зважаючи на кінцівку суми геометричній прогресії, отримаємо ) lim ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε = 0. m k m Для доказу нашої теореми залишилося застосувати критерій збіжності майже напевно (див. теорему 2). 3 Ця теорема у курсі функціонального аналізу. 8

9 Питання про метризацію збіжності майже напевно. Розглянемо питання про метризацію збіжності майже напевно. Як ми побачимо, взагалі кажучи, відповідь на це питання негативна: на відміну від збіжності, ймовірно, збіжність майже напевно неметризується. Однак тут потрібно зробити деякі зауваження. Існують приклади ймовірнісних просторів, для яких збіжність за ймовірністю еквівалентна збіжності майже напевно. У таких просторах кожна послідовність випадкових величин, що сходиться по ймовірності, є обов'язково майже напевно сходиться. У такій ситуації збіжність майже напевно метризується через метризуемість збіжності за ймовірністю (див. теорему?). Проте інакше, як свідчить така теорема, метризация збіжності майже напевно неможлива. Теорема 5. Якщо у множині випадкових величин, визначених на деякому ймовірнісному просторі поняття збіжності з ймовірністю одиниця і збіжності по ймовірності не збігаються, то для такої множини випадкових величин не існує метрики, збіжність в якій еквівалентна збіжності майже напевно. Доведення. Припустимо зворотне, тобто. у багатьох випадкових величин існує метрика ρ (,) відповідна збіжності майже напевно: при n X n (ω) п.н. X(ω) ρ (X n (ω), X(ω)) 0. Розглянемо послідовність випадкових величин X n (ω)), яка сходить до випадкової величини X(ω) за ймовірністю, але не майже напевно 4. з одного боку, для деякого δ > 0 існує підпослідовність n k ), всім членів якої виконується нерівність ρ (X nk (ω), X (ω)) > δ. () А з іншого боку, зберігається збіжність за ймовірністю: X nk (?) X (?), при k. Однак, з теореми 4 можна стверджувати, що у підпослідовності n k ) знайдеться "підпідпослідовність" n km ), для якої при m Отже X nkm (ω) п.н. X(?). lim m ρ (X nkm(ω), X(ω)) = 0, що суперечить (). Теорему доведено. Тепер наведемо приклади ймовірнісних просторів для яких збіжність за ймовірністю еквівалентна збіжності майже напевно. Спочатку нагадаємо визначення атомічного імовірнісного простору 5 (див. Енциклопедія ТБ та МС під.ред Ю.В.Прохорова, Неве Ж. "МОТВ"). 4 Приклад подібної послідовності було розглянуто вище. 5 Грубо кажучи, атомічний імовірнісний простір складається з кінцевої чи лічильної множини точок, кожна з яких має позитивну ймовірність. Прикладом кінцевого атомічного простору може бути схема Бернуллі. 9

10 Визначення. Імовірнісний простір Ω, A, ) називається атомічним, якщо існує кінцеве або лічильне розбиття Ω на атоми A i A: 1 Ω = A i, A i A j =, (i j), безліч індексів I звичайно або рахунково. i I 2 A i ) > 0, для будь-якого i I; 3 для будь-якого B A кожен атом A i має одну з двох властивостей або B A i) = 0, або B A i) = A i); ) 4 A i = A i ) = 1. i I i I Теорема 6. Для атомічного ймовірнісного простору збіжність з ймовірністю одиниця еквівалентна збіжності за ймовірністю. Доведення. На атомічному імовірнісному просторі зі збіжності імовірно слід збіжність кожному атомі. Дійсно, якщо для кожного ε > 0, при n ω : X n (ω) X(ω) ε) 0, то для будь-якого i I Тому безліч збіжності ω A i: X n (ω) X(ω) ε) 0 ω : X n (ω) X(ω)) містить всі атоми і отже його ймовірність дорівнює одиниці. Звідси, використовуючи теорему 3, отримуємо доказ нашої теореми. Зауваження. Справедливо та зворотне затвердження 6: якщо в певному імовірнісному просторі збігаються поняття збіжності з ймовірністю одиниця і збіжності за ймовірністю, то такий імовірнісний простір є атомічним (див. Неве "МОТВ стор. 37; Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. "Збірник завдань з ТБ задача 5.25, стор.107.). Східність у середньому Визначення 4. Кажуть, що послідовність випадкових величин X n (ω)) сходиться в середньому порядку p > 0 до випадкової величини X(ω), якщо при n M X n (ω) X(ω) p ) 0. При p = 2 говорять про збіжність у середньому квадратичному. Зрозуміло, говорячи про збіжність у середньому порядку p ми припускаємо кінцівку математичних очікувань M X n (ω) p)<, M X(ω) p } <. В следующей теореме мы установим, что сходимость по вероятности является необходимым условием сходимости в среднем порядка p >0. 6 Для нашого елементарного курсу теорії ймовірностей доказ цього твердження є надто технічним. 10

11 Теорема. Якщо деякого p > 0 при n M X n (ω) X(ω) p ) 0. то X n (ω) X(ω). Доведення. Чебишева І зауважити, що Достатньо перейти до межі при n у нерівності П.Л. X n (ω) X (ω) p > ε)< M X n(ω) X(ω) p } ε 2. X n (ω) X(ω) p >ε) = X n (ω) X(ω) > ε 1/p). Наступний простий приклад показує, що збіжність, ймовірно, не може бути достатньою умовою для збіжності в середньому. приклад. Вважатимемо, що Покладемо Ω = , A = B(), ) = λ ) міра Лебега на відрізку . Тоді для будь-якого ε > 0, Однак при p 1 X(ω) 1, X n (ω), = n коли ω [ 0, 1/n ], 1, коли ω (1/n, 1 ). (ω) X(ω) > ε) = λ[0, 1/n]) = 1/n 0, n. M X n (ω) X(ω) p ) = n p 1 n = np 1 1 для всіх n N. Відсутність збіжності в середньому в цьому прикладі пов'язане з "відходом площі в нескінченність". У наступній теоремі важливу рольграє умову рівномірної обмеженості випадкових інтегрованих величин, що перешкоджає такому "догляду". Теорема. Якщо послідовності випадкових величин X n (ω)) існує дійсне число 0< C < + такое, что ω : X n (ω) C} = 1, для любого n N, и при n имеет место сходимость по вероятности X n (ω) X(ω), то M X(ω) } C и lim M X n (ω) X(ω) } = 0. Доказательство. Вначале покажем, что из условия равномерной ограниченности случайных величин X n (ω)} с вероятностью единица следует ограниченность предельной случайной величины с вероятностью единица: ω : X(ω) C} = 1. 11

12 Справді, зі збіжності ймовірно випливає збіжності п.н. для деякої підпослідовності Тому, за властивостями меж, якщо отже, і ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1, при m. ω : X n(m) (ω) X(ω)), то X(ω) C. ω : X n(m) (ω) (ω) C) = 1. Звідси отримуємо існування та обмеженість математичного очікування випадкової величини X(ω) M X(ω) ) C. Тепер неважко переконатися у справедливості нерівності ω : X n (ω) X(ω) 2C) = 1. Далі, за властивостями математичних очікувань, MX n (ω)) MX (ω)) X n (ω) X (ω) ) X n (ω) : X n(ω) X(ω) ε) ω: X n(ω) X(ω) > ε) ε + 2C ω : X n(ω) X(ω) > ε). Переходячи до межі при n, через довільність ε отримуємо доказ нашої теореми. У наступній теоремі замість умови рівномірної обмеженості константою буде розглядатися більше слабка умоварівномірної обмеженості (неотрицательной) інтегрованою випадковою величиною. Теорема Лебега про збіжність, що мажорується. Якщо для послідовності випадкових величин X n (ω)) існують випадкові величини X(ω) і Y (ω) такі, що 1 X n (ω) X(ω), n, тоді і при n 2 для всіх n X n ( ω) Y (ω) - майже напевно, 3 MY (ω))<, M X(ω) } MY (ω)} < M X n (ω) X(ω) } 0. 12

13 Доказ 7. Спочатку встановимо нерівностей X(ω) Y(ω) - майже напевно. Зі збіжності послідовності випадкових величин імовірності випливає збіжність майже напевно для деякої підпослідовності: X n(m) (ω) п.н. X(ω), m. Інакше кажучи, ймовірність безлічі збіжності дорівнює одиниці ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1. Тому, переходячи до межі (m) у нерівності X n(m) (ω) Y (ω), для будь-якого ω : X n(m) (ω) X(ω)) будемо мати Таким чином lim X n(m)(ω) = X(ω) Y (ω), m X(ω) Y (ω), Звідси отримуємо існування MX(ω)) та оцінку (майже напевно). M X (ω)) MY (ω)). Отже Оцінимо величину = X n (ω) X (ω) 2Y (ω), (майже напевно) M X n (ω) X (ω) ) 2MY (ω)). M X n (ω) X(ω) ) = X n (ω) X(ω) d + X n (ω) X(ω) d ω: X n(ω) X(ω) ε) ε + 2 ω: X n(ω) X(ω) > ε) Y(ω) d. () ω: X n(ω) X(ω) > ε) За умовою 1 теореми (збіжність за ймовірністю), для будь-якого ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, (n) . Тому, використовуючи лему про інтеграл по безлічі малої ймовірності, можна стверджувати, що lim Y(ω) d = 0. збіжності відноситься до єдиного місця в лебегівській теорії інтегрування, де наївні формальні дії можуть призвести до невірного результату. Див Феллер, т.2, стор

14 Переходячи до межі в нерівності () матимемо 0 lim M X n (ω) X(ω) ) ε. Звідси, зважаючи на довільність ε > 0, отримуємо доказ теореми. Зауваження. Доказ цієї теореми докладно викладається у курсі "Інтеграл Лебега". Дещо інший варіант доказ можна знайти в книзі [Ширяєв "Вірогідність"]. Наведемо без доказу ще два класичні результати (дійсного аналізу), які часто використовуються при аналізі збіжності в середньому. Теорема про монотонну збіжність. Якщо неубутня послідовність невід'ємних випадкових величин X n (ω) X n (ω) X n+1 (ω), n = 1, сходиться майже напевно до випадкової величини X(ω), то при n MX n (ω)) MX (В)). Зауваження. Якщо математичне очікування MX(ω)) звичайно, то (через монотонність) кінцеві математичні очікування всіх випадкових величин MX n(ω)). Маємо збіжність монотонної послідовностідо кінцевої межі MX n(ω)) MX(ω)). Якщо ж математичне очікування MX(ω)) нескінченно, то, припускаючи кінцевими математичними очікуваннями випадкових величин MX n(ω)), отримаємо збіжність монотонної послідовності до нескінченній межі MX n(ω))+. Лемма Фату. Для будь-якої послідовності невід'ємних випадкових величин X n (ω)) справедлива нерівність lim MX n (ω)) Mlim X n (ω)). Зауваження. Твердження леми Фату показує, що нерівність 2 = lim MX n (ω)) M lim X n (ω)) = 1, яка мала місце у розглянутому вище прикладі є проявом загальної закономірності. Завдання. Якщо при n M X n (ω) X (ω) p) 0, то M X n (ω) p) M X (ω) p). Рішення. Користуючись нерівністю Г. Мінковського, можна записати (M X n (ω) p)) 1/p = (M X n (ω) X(ω) + X(ω) p)) 1/p 14

15 (M X n (ω) X(ω) p)) 1/p + (M X(ω) p)) 1/p. Переходячи до верхній межіпри n отримаємо lim (M X n (ω) p )) 1/p (M X (ω) p )) 1/p. Звідси, використовуючи безперервність та монотонність статечної функціїбудемо мати lim M X n (ω) p ) M X (ω) p ). () З іншого боку, аналогічно міркуючи, з нерівності (M X (ω) p )) 1/p (M X (ω) X n (ω) p )) 1/p + (M X n (ω) p )) 1/ p. отримуємо M X (ω) p) lim M X n (ω) p). Поєднуючи разом нерівності () та (), отримуємо розв'язання нашого завдання. Теорема. Якщо за n (). M X n (ω) X (ω) p) 0, то для будь-якого q (0, p) M X n (ω) X (ω) q) 0. Доказ. Достатньо перейти до межі при n у нерівності А.М. Ляпунова (див. [Ширяєв А. Н. Імовірність.]) (M X n (ω) X (ω) q)) 1/q (M X n (ω) X (ω) p)) 1/p, при 0< q p. При p = 2 и q = 1 доказательство теоремы можно получить с помощью следующего варианта неравенства Коши-Буняковского M X n (ω) X(ω) } = M X n (ω) X(ω) 1} (M X n (ω) X(ω) 2}) 1/2 (M 1 2 }) 1/2 = (M Xn (ω) X(ω) 2}) 1/2. Пространство L p Ω, A, } Рассмотрим пространство L p Ω, A, } - т.е. множество всех случайных величин X(ω), определенных на Ω, измеримых относительно σ алгебры A и таких, что M X n (ω) p } = X n (ω) p d <. Ω Это пространство вполне аналогично известному из курса функционального анализа линейному пространству L p [ 0,1], которое состоит из всех функций y = f(x) определенных на отрезке [ 0, 1], измеримых по Лебегу и интегрируемых с показателем p по мере Лебега 1 0 f(x) p dx <. 15

16 Не наводячи докладних доказів, сформулюємо кілька тверджень стосовно простору L p Ω, A, ), які аналогічні відповідним твердженням про простір L p . Функціонал X(ω) p:= (M X(ω) p )) 1/p задає норму у просторі випадкових величин 8 L p Ω, A, ) : 1 X(ω) p 0, 2 c X(ω) p = c X(ω) p, c = const, 3 X(ω) + Y(ω) p X(ω) p + Y(ω) p, (нерівність Мінковського). Зауважимо, що лінійність множини L p Ω, A, ) відразу випливає з властивостей норми. Більше того, щодо збіжності за нормою 9 X n (ω) X(ω) p 0 простір L p Ω, A, ) є повним. У нашому випадку визначення повноти наступне: якщо послідовність випадкових величин фундаментальна за нормою (ω) L p Ω, A, ) така, що X n (ω) X(ω) p 0 при n. Отже, L p Ω, A, ) - є повний лінійний нормований простір, тобто. банаховий простір. При p = 2 простір L 2 Ω, A, ) є гільбертовим зі скалярним твором 10: X(ω), Y(ω) := MX n(ω)y(ω) = X n(ω)y(ω) d. Для таким чином введеного скалярного творудійснозначних випадкових величин справедлива нерівність Г. Мінковського X(ω), Y(ω) X(ω) 2 + Y (ω) 2. Східність за розподілом і слабка збіжність 8 Точніше кажучи, у посторості класів еквівалентності випадкових величин, що збігаються майже напевно, т. .к. визначення норми X(ω) p = 0 X(ω) 0. 9 Тобто. збіжності в середньому із показником p. 10 Ми маємо справу з дійснозначними випадковими величинами, тому знак комплексного сполучення над другим співмножником можна опустити. Ω 16

17 Введемо позначення для функцій розподілу випадкових величин X n (ω) і X (ω) : Крім того, через C F F (x) : F n (x) = ω : X n (ω) x), F (x) = ω : X(ω) x). будемо позначати безліч точок безперервності функції C F:= x R: lim x x F(x) = F(x)). Визначення 4. Говорять, що послідовність випадкових величин X n (ω)) сходиться за розподілом до випадкової величини X(ω), якщо при n F n (x) F (x), у кожній точці x C F. (11) d Позначення: X n (?) X (?). Визначення 5. Якщо при n F n (x) F (x), у кожній точці x C F, (12) то кажуть, що послідовність функцій розподілу F n (x) слабо сходиться 11 до функції розподілу F (x). w Позначення: F n (x) F (x). Зауваження. Якщо функція розподілу F(x) безперервна на всій речовій осі (C F = (,)), то у співвідношеннях (11) і (12) йдеться про крапкову збіжність. Більше того, можна показати 12, що в цьому випадку збіжність F n (x) F (x) рівномірна на всій речовій осі. w Зауваження. Якщо F n (x) F (x), то при x/C F справедливі нерівності 13 F (x) lim F n (x)< lim F n (x) F (x). Пример. Рассмотрим последовательность функций распределения 0, когда x (, 1/n); n F n (x) = x + 1, когда x [ 1/n, 1/n]; 2 2 1, когда x (1/n,), графики которых имеют вид F n (x) 1 1/2 1/n 0 1/n 11 Иногда слабую сходимость называют "сходимостью в основном". 12 См. задачу См. задачу 5. x 17

18 Неважко бачити, що для будь-якого x(,) lim F n(x) = F(x) = Графік функції F(x) має вигляд F(x) 0, коли x(, 0); 1/2 коли x = 0; 1 коли x (0,). 1 1/2 0 Оскільки гранична функція F (x) не є безперервною праворуч, вона не може бути функцією розподілу. Але оскільки у визначенні 5 слабкої збіжності йдеться про збіжність до функцій розподілу, то цьому прикладі ми можемо w стверджувати, що F n (x) F (x). Тим не менш, після невеликої зміни граничної функції F(x), можна отримати функцію розподілу F(x), до якої будуть слабо сходитися функції Fn(x). Справді, розглянемо функцію розподілу випадкової величини X(ω) 0: 0 коли x (, 0); F(x) = 1, коли x; A = B() - борелівська алгебра відрізка ; міра Лебега. Позначимо через Φ 1 () функцію, обернену до функції стандартного гаусівського розподілу Покладемо Тоді Φ(x) = 1 2π x exp) (u2 du. 1 (ω), ω;k = 1, 2,.... ω : X n (ω) x) Φ(x), для всіх натуральних n. Тому послідовність X n ) (тривіально) сходиться за розподілом. Однак, легко бачити, що збіжності, ймовірно, немає. Дійсно, оскільки X 2k (ω) X 2m 1 (ω) 2 Φ 1 (ω), для будь-яких k, m. то ω : X 2k (ω) X 2m 1 (ω) > ε) ω : Φ 1 (ω) > ε ) [(ε = 2 1 Φ. 2 2)] Зараз ми розглянемо твердження, яке фактично є другим варіантом визначення слабкої збіжності. Цей варіант краще пристосований визначення слабкої збіжності багатовимірних функцій розподілу і навіть визначення 20

21 слабкої збіжності розподілів на складніших нескінченномірних метричних просторах. Теорема 6. Для того, щоб послідовність функцій розподілу F n (x)) слабо сходилася до функції розподілу F (x), необхідно достатньо виконання рівності lim ϕ(x) df n (x) = ϕ(x) df (x) (15) для будь-якої безперервної та обмеженої на речовій осі R функції ϕ(x). Доведення. Спочатку покажемо, що з слабкої збіжності (12) випливає рівність 14 (15). Для будь-якого ε > 0, знайдеться позитивне A(ε) C F таке, що за властивостями функції розподілу 15 x: x > A(ε)) ​​df(x) = 1 A(ε) A(ε) df(x) = 1< ε, (16) и, кроме того, найдется натуральное N(ε, A(ε)) такое, что при всех n >N(ε, A(ε)) ​​F n (A(ε)) ​​F (A(ε))< ε, F n (A(ε)) F (A(ε)) < ε. Тогда при всех n >N(ε, A(ε)) ​​x: x > A(ε)) ​​df n (x)< 3ε. (17) Пусть ϕ(x) - непрерывная и ограниченная на вещественной оси R функция. Будем считать, что для всех действительных x ϕ(x) C = const. В силу существования интеграла Римана - Стилтьеса от безперервної функціїза інтегруючою функцією розподілу, а також з визначення цього інтеграла як межі інтегральних сум 16 випливає, що для будь-якого ε > 0 існує таке δ > 0, що для будь-якого розбиття відрізка [ A(ε), A(ε)], діаметр якого менший δ > 0 виконуються нерівності A(ε) A(ε) ϕ(x) df(x) S n (δ)< ε, A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) S(δ) < ε. (18) где k 1 k 1 S n (δ) = ϕ(t i) i F n (x), S(δ) = ϕ(t i) i F (x). i=0 i=0 14 Импликация (12) = (15) носит название теоремы Хелли-Брея. 15 Множество точек непрерывности функции распределения всюду плотно на вещественной оси. 16 см. Рудин У. "Основы математичного аналізуСтор

22 Візьмемо розбиття відрізка [A(ε), A(ε)] [A(ε), A(ε)] = A(ε) = x 0< x 1 <... < x k = A(ε)}, считая что все точки деления x i C F, а диаметр разбиения меньше δ. Кроме того, для ε >0 при обраному k (числі точок розбиття), вважатимемо раніше обране число N(ε, A(ε)) ​​настільки великим, що для всіх n > N(ε, A(ε)) ​​F n (xi) F (xi)< ε, i = 0, k. k Тогда Поэтому i F n (x i) i F (x i) = F n (x i+1) F n (x i) F (x i+1) + F (x i) F n (x i+1) F (x i+1) + F n (x i) F (x i) < 2 ε, i = 0, k. k S n (δ) S(δ) k 1 ϕ(t i) i F n (x i) i F (x i) C k 2 ε k i=0 = 2 Cε. (19) Тогда из неравенств (18) и (19) получим A(ε) ϕ(x) df (x) A(ε) A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) < 2 ε + 2 C ε. (20) В свою очередь из неравенства (16) и (17) будем иметь ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x) x: x >A(ε)) ​​x: x > A(ε))< 4 C ε. (21) Собирая вместе неравенства (20) и (21), можно утверждать, что для любого ε >0 знайдеться таке натуральне число N(ε, A(ε)), що для всіх n > N(ε, A(ε)) ​​виконується нерівність ϕ(x) df(x) ϕ(x) df n(x)< 6 C ε + 2 ε. Равенство (15) доказано. Покажем теперь, что из равенства (15) следует слабая сходимость (12). Возьмем x 0 C F и рассмотрим две вспомогательные функции. Функция f ε (1) (x) непрерывна на всей числовой оси, равна единице при x x 0 ε, нулю при x x 0 и линейна на отрезке . Функция f ε (2) (x) := f ε (1) (x ε). Графики этих функций изображены на рис.? 22

23 1 0 f (1) ε f ε (2) x 0 ε x 0 x 0 + ε Рис.? x Неважко бачити, що F n (x 0) = x 0 f ε (2) (x) df n (x) Використовуючи умову (15), перейдемо до межі при n, f ε (2) (x) df n ( x). lim F n (x 0) f (2) ε (x) df (x) = x 0 + ε f (2) ε (x) df (x) + x 0 + ε f ε (2) (x) df (x) x 0 + ε 1 df (x) + 0 = F (x 0 + ε). Аналогічно розмірковуючи, будемо мати F n (x 0) = Звідси при n = x 0 ε x 0 1 df n (x) x 0 lim F n (x 0) f (1) ε (x) df (x) + x 0 ε x 0 x 0 ε f (1) ε (x) df n (x) = f (1) ε (x) df (x) = f ε (1) (x) df n (x). f ε (1) (x) df (x) + f ε (1) (x) df (x) x 0 1 df (x) + 0 = F (x 0 ε). Отже, одержали нерівність F (x 0 ε) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0 + ε). 23

24 Переходячи до межі в цій нерівності при ε 0, з огляду на те, що x 0 C F F (x 0) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0). Таким чином, для будь-якого x 0 C F lim F n(x 0) = F (x 0). Рівність (12), а разом із ним і теорема доведені. Зауваження про інтеграли Рімана-Стілтьєса та Лебега-Стілтьєса. Зазначимо, що інтеграл Рімана-Стілтьєса I (, x0 ](x) df n (x) = lim N L, N L I (, x0 ](x) df n (x) не існує, якщо функція розподілу F n (x) має розрив у точці x 0. Стандартний доказ цього факту полягає в наступному: Розглядаючи для інтеграла N L I (, x0 ](x) df n (x), x 0 (L, N) () суми Рімана-Стілтьєса, неважко отримати рівність S = n 1 I (, x0 ](ξ i) = I (, x0 ](ξ i0), i=0 де точки x 0, ξ i0 є внутрішніми точкамичасткового відрізка 17: Тоді так як S = x 0, i0 (x i0, x i0 +1). Fn (x i0 +1) F n (x i0), при виборі ξ i0< x 0, 0, при выборе ξ i0 >x 0. F n (x i0 +1) F n (x i0) > 0, такі інтегральні суми не можуть мати межі при прагненні діаметра розбиття до нуля. Тому інтеграл () немає у сенсі Римана-Стилтьеса і, строго кажучи, нерівність (21) не можна здобути і з допомогою інтегрування (по Риману- Стилтьесу) нерівності (20). Проте нерівність (21) можна здобути і за допомогою інтеграла Рімана Стілтьєса. Справді, зважаючи на безперервність функції f ε (1) (x) існує інтеграл Рімана-Стілтьєса f ε (1) (x) df n (x), 17 Розбиття відрізка з такою властивістю можуть мати скільки завгодно малий діаметр. 24

25 причому f (1) ε (x) df n (x) = Оскільки для всіх x (, x 0 ) то x 0 f ε (1) (x) df n (x) x 0 x 0 Але, зважаючи на те , що f (1) ε (x) = 0 при x x 0 Аналогічно, f (2) ε (x) df n (x) = x 0 f ε (1) (x) df n (x) + f ε ( 1) (x) df n (x) x 0 f (1) ε (x) 1, 1 df n (x) = F n (x 0) F n () = F n (x 0). (1) (x) df n (x) = 0. x 0 f (2) ε (x) df n (x) + x 0 +ε Неважко бачити, що за властивостями функції f ε (2) (x) x 0 Тому f (2) ε (x) df n (x) = F n (x 0), x 0 + ε f ε (2) (x) df n (x) + x 0 f ε (2) ) df n (x) 0, x 0 f (2) ε (x) df n (x) F n (x 0). ) f (2) ε (x) df n (x) = 0. Якщо ж розглядати при x 0 (L, N) інтеграл () як інтеграл Лебега-Стилтьєса, то через те, що індикатор I (, x0 ]( x) є простою функцією, за визначенням інтеграла Лебега-Стилтьєса матимемо N I (, x0 ](x) df n (x) = 1 (F n (x 0) F n (L)) І, отже, L I ( , x0 ](x) df n (x) = F n (x 0).Дамо нове формулювання теоремі 6. Для цього позначимо через C(R) - простір безперервний них і обмежених на речовій осі функцій. Далі, за допомогою довільної функції розподілу G(x) визначимо на просторі C(R) лінійний функціонал G(ϕ) := ϕ(x) dg(x), 25 ϕ(x) C(R)

26 Використовуючи нові позначення, теорему 6 можна переформулювати в такий спосіб. w Теорема 6. Слабка збіжність F n (x) F (x), еквівалентна збіжності лінійних функціоналів F n (ϕ) F (ϕ) на просторі C(R). Метризація слабкої збіжності. Метрика П. Леві. Для пари довільних функцій розподілу F(x) та G(x) на числовій прямій розглянемо функціонал L(F, G) = inf h > 0: F(x h) h G(x) F (x + h) + h), () який зветься відстані П. Леві між розподілами F і G. Теорема 7. Функціонал L(,) задає метрику у безлічі функцій розподілу на числовій прямій. Східність у цій метриці еквівалентна слабкій збіжності w F n (x) F (x) L (F n, F) 0, (n). Доведення. Теорему доведено. d Завдання 1. Якщо X n X c = const, X n Рішення. Функція розподілу константи c X. F(x) = ω : X(ω) x) = 1 для x c, 0 для x< c непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точки x = c. Поэтому в этой задаче слабая сходимость означает следующее 1 для x >c, lim F n(x) = 0 x< c. Для любого ε >0 ω : X n (ω) c > ε) = ω : X n (ω)< c ε} + ω : X n (ω) >c + ε). Використовуючи очевидні співвідношення, отримаємо нерівність ω : X n (ω)< c ε} ω : X n (ω) c ε} = F n (c ε), ω : X n (ω) >c + ε) = 1 ω : X n (ω) c + ε) = 1 F n (c + ε), ω : X n (ω) c > ε) F n (c ε) + 1 F n (c + ε). Переходячи до межі в цій нерівності, при n отримаємо розв'язання задачі. d d Завдання 2. Якщо X n (ω) X (ω), а Y n (ω) 0, то X n (ω) + Y n (ω) X (ω). 26

27 Рішення. Нехай F (x) := ω : X(ω) x). Вибираючи ε > 0 так, що x, x ε, x+ε C F неважко встановити включення ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) ω : Y n ( ω) > ε), Тоді ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : Y n (ω) > ε). ? : X n (?) + Y n (?) x) ? : X n (?) x + ?) + ? X n (ω) + Y n (ω) x) + ω: Y n (ω) > ε). Отже, позначаючи F n (x) := ω : X n (ω) x), будемо мати F n (x ε) ω : Y n (ω) > ε) ω : X n (ω)+y n (ω) x) F n (x+ε)+ω: Y n (ω) > ε). Переходячи в цій нерівності до межі при n, з урахуванням того, що x ε, x+ε C F, отримаємо співвідношення F (x ε) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x + ε). Тепер перейдемо до межі, спрямовуючи ε 0: F(x) λ : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x). Отже lim ω : X n(ω) + Y n(ω) x) = F(x). Завдання 3. Якщо послідовність функцій розподілу F n (x)) слабко сходить до функції розподілу F (x) безперервної на всій речовій осі, то ця збіжність рівномірна на всій речовій осі: F n (x) w F (x) і F (x) C (,) F n (x) F (x) на R. Рішення. Для довільного ε>0 візьмемо натуральне m>1/ε. Через безперервність функції F (x) знайдуться точки x 1<... < x m 1 такие, что F (x i) = i, i = 1,..., m 1. (!) m Ввиду слабой сходимости, в этих точках для всех n, начиная с некоторого, будут выполнены неравенства F n (x i) F (x i) < ε, i = 1,..., m 1. (!!) В силу неубывания функций распределения, а также свойств (!!) и (!) получаем следующие неравенства: при x [ x i, x i+1 ], (i = 1,..., m 2) F n (x) F (x) F n (x i+1) F (x i) F (x i+1) + ε F (x i) = 1 m + ε < 2ε. Аналогично, при x (, x 1 ] F n (x) F (x) F n (x 1) F (x 1) + ε = 1 m + ε < 2ε, 27

28 і за x [ x 1, x 2 ]... [ x m 2, x m 1 ] = F (x 0) F (x 0 1/m). lim X n = x 0 ) lim = 0. m Завдання 7. Якщо послідовність функцій розподілу F n (x)) сходиться до функції розподілу F (x) для всіх x з деякої скрізь щільної множини на речовій прямій, то w F n ( x) F(x). Рішення. Для вирішення цього завдання потрібно довести, що lim F n(x) = F (x) для всіх x C F. () Нехай x C F, тоді для будь-якого ε > 0 знайдеться δ 1 (ε) > 0 таке, що як тільки x S(x, δ 1 (ε)) x: x x< δ 1 (ε)}, то F (x) F (x) < ε. () Рассмотрим всюду плотное на вещественной прямой множество A такое, что lim F n(x) = F (x) для всех x A. () Tогда существует пара точек x, x A таких, что x δ 1 (ε) < x < x, x < x < x + δ 1 (ε). Так как для точек x, x выполняется свойство (), то для любого ε >0 знайдеться N ε N таке, що як тільки n > N ε, то F n (x) F (x)< ε и F n (x) F (x) < ε. Следовательно, ввиду (), как только n >N ε, то F n (x) F (x)< 2ε и F n (x) F (x) < 2ε. 31

32 Звідси, зважаючи на монотонність функції F n (x) для всіх n > N ε отримуємо нерівність F n (x) F n (x) F n (x), F n (x) F (x)< 2ε. Cходимость () доказана. Замечание. Так как множество точек разрыва функции распределения (ввиду монотонности) является не более чем счетным, то множество её точек непрерывности является всюду плотным на вещественной оси. 32

ЛЕКЦІЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Це заняття буде присвячене доказу теореми Радона Никодима. Вона буде потрібна нам для того, щоб довести ізоморфізм просторів Lp(Ω) та (Lq(Ω))*, де

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5 ГРАНИЧНИЙ ПЕРЕХІД ПІД ЗНАКОМ ІНТЕГРАЛУ ЛЕБЕГА I. О сновні п о в н я т і я і т е о р е ми Нехай X безліч, -алгебра підмножин безлічі X і на задана

Є.М. РУДИЙ МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ. ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ НОВОСИБИРСЬК 200 2 МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ГОУ ВПО «НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» О.М. Рудий МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ.

Лекція 1 ТЕОРІЯ ЗАХОДИ ЛЕБЕГА З R 2. 1. Необхідність розширення поняття інтеграла. Спочатку обговоримо побудову інтеграла Рімана. Нехай функцію f(x) визначено на власному відрізку . Визначимо розбиття

5. Теорія міри, лекція 5: вимірні функції Мера та інтеграл поняття дуже близькі. Міра множини є інтеграл його характеристичної функції. Навпаки, якщо на просторі заданий захід, можна говорити

Справжній аналіз. Лекція 4. 25 лютого 2009 1 Дійсний аналіз. ІV семестр. 2009 рік. Лектор Скворцов В. А. Про помилки писати на [email protected]Лекція 4 25 лютого 2009 року Лебег визначав клас

Дата останнього оновлення: 16 березня 2008 р. Список визначень: 1.1 Відрізки, що не перекриваються................................... 2 1.2 Система відрізків, що не перекриваються ..............................

В.В. Жук, А.М. Камачкін 1 Ступінні ряди. Радіус збіжності та інтервал збіжності. Характер збіжності. Інтегрування та диференціювання. 1.1 Радіус збіжності та інтервал збіжності. Функціональний ряд

ЛЕКЦІЯ 4А Метричні простори 1. Найпростіші (і найважливіші) властивості метричних просторів 1) Безперервність відстані. Легко бачити, що функція відстань ρ(x, y) безперервна по кожному з аргументів.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЇ Федеральне державне бюджетне освітня установавищого професійної освіти«Новосибірський національний дослідницький державний

Лекція 1 Поняття випадкового процесу та його кінцеві розподіли Теорія випадкових процесівє частиною теорії ймовірностей. Специфіка теорії випадкових процесів у тому, що у ній розглядаються

Список завдань з рішеннями щодо функціонального аналізу Нехай лінійний нормований простір Довести, що для будь-яких елементів виконується нерівність з аксіом норми:, тоді: Чи можна в просторі

Лекція 6 9 Принцип стискаючих відображень Теореми про нерухому точку Нехай D оператор, взагалі кажучи, нелінійний, що діє з банахова простору B в собі Визначення Оператор D, що діє з банахова

Тема 2 Повнота, компактність, внутрішні метрики. 2.1 Східність та повнота Визначення 2.1. Послідовність точок x 1, x 2,... метричного простору (X, d) називається фундаментальною, якщо для будь-якого

ЛЕКЦІЯ А Інтеграл Рімана Стілтьєса 1. Нехай f n (x) C [; b], g(x) BV[; b], f n (x) f (x) на [; b]. Тоді Дійсно, з огляду на f n (x)dg(x) f(x)dg(x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) та властивостей лінійності

Додаткова лекція 1 МЕТРИЙ ПРОСТІР. Додаток 1. Найпростіші властивості метричних просторів Властивість 1. Безперервність відстані. Легко бачити, що функція відстань ρ(x, y) безперервна

Г. Н. Яковлєв Функціональні простори УДК 517 Я47 Посібник містить короткий вступу теорію метричних, нормованих та евклідових просторів, а також у теорію узагальнених функцій, і є заключною

Глава 1. Межі та безперервність 1. Числові множини 1 0. Справжні числаЗ шкільної математикиВи знаєте натуральні N цілі Z раціональні Q та дійсні R числа Натуральні та цілі числа

Межі та безперервність. Межа функції Нехай функція = f) визначена в околицях точки = a. При цьому в самій точці функція не обов'язково визначена. Визначення. Число b називається межею

Лекція 1. Імовірнісний простір Введення (Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернуллі, К.Гаусс, П-С.Лаплас, С.Пуассон, П.Л.Чебишев, А.М.Колмогоров та інші корифеї). Випадкові експерименти. Простір

8 Комплексні числові ряди Розглянемо числовий ряд з комплексними числамивиду k a, (46) де (a k) - задана числова послідовністьз комплексними членами k Ряд (46) називається схожим, якщо

Московський Державний університетімені М. В. Ломоносова Факультет Обчислювальної Математики та Кібернетики Кафедра Загальної Математики Завдання щодо функціонального аналізу (V семестр) лектор доцент Н. Ю.

А. Ю. Пірковський Функціональний аналізЛекція 4 4.1. Банахові простори Нагадаємо, що послідовність (x n) у метричному просторі (, ρ) називається фундаментальною (або послідовністю Коші),

ЛЕКЦІЇ 8 9 Теорема Хілле Йосиди S 3. Визначення та елементарні властивостімаксимальних монотонних операторів Усюди протягом цих двох лекцій символом H позначено гільбертовий простір зі скалярним

В.В. Жук, А.М. Камачкін 5 Функціональні послідовності та ряди. Рівномірна збіжність, можливість перестановки граничних переходів, інтегрування та диференціювання рядів та послідовностей.

Глава 28 УЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІЇ 28.1. Простір D, D основних та узагальнених функцій Поняття узагальненої функції узагальнює класичне поняттяфункції і дає можливість висловити в математичної формитакі

21. Компактність Компактність є надзвичайно важливим технічним поняттям топології та аналізу. Почнемо з визначення. Визначення 21.1. Топологічний простір X називається компактним, якщо він має

Федеральне агентствоза освітою Федеральна державна освітня установа вищої професійної освіти ПІВДЕННИЙ ФЕДЕРАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецька Методичні

1. Визначення та основні властивостіінтеграла Рімана Визначення розбиття Розбиттям відрізка [, b] називається набір точок = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 7 ПОВНАТА І КОМПАКТНІСТЬ У МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРАХ. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т І Я І Т Е О Р Е М И Визначення. Нехай X. Відображення: X X R яке кожній парі (x y) X X ставить у

Семінар Лекція 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРИВНІ ФУНКЦІЇ 1. Визначення та властивості Нагадаємо визначення, дане на лекції. Визначення 1. Функція f(x) називається абсолютно безперервною на відрізку [; b], якщо для

Теорія заходу, лекція 4: міра Лебега Міша Вербицький 14 березня 2015 НМУ 1 Бульові кільця (повторення) ВИЗНАЧЕННЯ: Бульова кільце є кільце, всі елементи якого - ідепотенти. ЗАУВАЖЕННЯ: У булевому кільці

РОЗДІЛ СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ У цьому розділі досліджується стійкість самого простого класу диференціальних систем лінійних системЗокрема, встановлюється, що для лінійних систем із постійними

ТЕМА V РЯД ФУР'Є ЛЕКЦІЯ 6 Розкладання періодичної функціїв ряд Фур'є Багато процесів, що відбуваються в природі і техніці, мають властивості повторюватися через певні проміжки часу.

Безперервні функції на відрізку (теореми Больцано-Коші, Вейєрштрасса, Кантора). Функціонали безперервні на компакті. Теорема про проміжні значення Теорема. (Больцано-Коші) Нехай функція f безперервна

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та визначений інтегралНехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Московський Державний Університет ім. МВЛомоносова Хімічний факультетПосібник для підготовки до іспиту математичного аналізу для студентів загального потоку Третій семестр Числові рядиДиференціальні

ЛЕКЦІЯ 4А Метричні простори 1 1. Приклади та контрприклади Ми почнемо з розгляду прикладів, які демонструють необхідність обережного використання інтуїції під час вирішення питань, пов'язаних з метричними

Лекція 5 ТОПОЛОГІЧНІ ПРОСТІР. 1. Визначення топологічного простору Визначення 1. Довільна множина X з виділеною системою підмножин τ множини X називається топологічним простором

А. Ю. Пірковський Функціональний аналіз Лекція 23 23.1. Компактні оператори в просторі гільберта Про компактні оператори в банахових просторах нам вже досить багато відомо (див. лекції 18

2. Ступінь з раціональним показником; експонента На додаток до сказаного у попередній лекції вкажемо ще, як можна звести поняття межі до поняття безперервності. Саме, виконано таке очевидне

В.В. Жук, А.М. Камачкін 7 Гільбертовий простір. Визначення. Найпростіші властивості скалярного твору. Основна теорема. Ряди Фур'є у гільбертовому просторі. 7.1 Визначення гільбертового простору.

ПЕРЕДМОВА Посібник є продовженням. Воно створено на базі добре відомих навчальних посібниківз математичного аналізу [6]. В його основу покладено лекції В. В. Жука, які неодноразово читалися

13. Експонента та логарифм Для завершення доказу пропозиції 12.8 нам залишається дати одну ухвалу та довести одну пропозицію. Визначення 13.1. Ряд a i називається абсолютно схожим, якщо

ЛЕКЦІЯ N Властивості нескінченно малих та нескінченно великих функцій Чудові межіБезперервність функцій Властивості нескінченно малих Ознаки існування межі 3Властивості нескінченно великих 4Перший

С. С. Платонов Елементи гармонійного аналізу Частина I. Ряди Фур'є f(x) = n= c n e inx Петрозаводськ 2010 Федеральна агенція з освіти

Колодій А.М., Колодій Н.А. Лекції з теорії ймовірностей для студентів спеціальності «Математичне забезпечення та адміністрування інформаційних систем 4. Граничні теореми 4.. Закон великих чисел.

ДОДАТКОВІ ГОЛОВИ ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ Є. А. Бакланов ММФ НГУ, 2012 р. РОЗДІЛ 1 Імовірнісні нерівності 1. Експоненційні нерівності. Всюди у цьому параграфі X 1,..., X n незалежні випадкові

ВСТУП В МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ Тема: Межа та безперервність функції Лекція 7 Межа функції ЗМІСТ: Межа функції в точці Межа функції на нескінченності Основні теореми про межі функцій Нескінченно

Теоретично ймовірностей на відміну математичного аналізу розглядаються кілька різних видівзбіжності послідовності функцій (випадкових величин) та його розподілів. Це з тим, що у теорії ймовірностей прийнято нехтувати малоймовірними подіями і це можна по-різному. Раніше вже було визначено крапкову збіжність випадкових величин, збіжність майже напевно та збіжність ймовірнісних заходів щодо варіації. Дамо ще два важливих визначеннязбіжності випадкових величин - збіжність за ймовірністюі збіжність у середньоквадратичному, та одне визначення збіжності розподілів – слабка збіжність.

Збіжність за ймовірністю

сходиться до випадкової величини

ймовірно, якщо

Східність ймовірно позначається так

Збіжність у середньоквадратичному

Послідовність випадкових величин

сходиться до випадкової величини

в середньоквадратичному (L 2) , якщо

Збіжність у середньоквадратичному позначається так

Слабка збіжність розподілів

Послідовність випадкових величин

сходиться до випадкової величини

слабо (за розподілом), якщо

у всіх точках безперервності функції

Слабка збіжність позначається так

Основною відмінністю слабкої збіжності від інших видів збіжності є те, що від випадкових величин не потрібно, щоб вони були визначені на одному ймовірнісному просторі, оскільки умови збіжності формулюються з використанням їх функцій розподілу.

Взаємозв'язок різних видів збіжності

Взаємозв'язок різних видів збіжності представлений на наступній діаграмі.

Зауважимо, що жодну зі стрілок у цій діаграмі не можна, взагалі кажучи, повернути назад, тобто. будь-які два види збіжності нееквівалентні. Практичне значення мають, в основному, слабка збіжність і збіжність у середньоквадратичному тому що вони дозволяють проводити наближені обчислення ймовірностей та математичних очікувань та замінювати одні математичні моделі на інші. Інші види збіжності використовуються в основному при доказі слабкої збіжності або дослідженні якісних властивостей моделі. Тому докладніше досліджуємо взаємозв'язку цих двох видів збіжності за іншими.

Покажемо, спочатку, що з збіжності ймовірно випливає слабка збіжність.

Теорема (P-> W).

.

Доведення.

Нехай x – точка безперервності функції

.

Таким чином

При малих і великих n ліва та права частинанерівності відрізняються як завгодно мало від
що доводить теорему.

Доказ завершено.

Зворотна теорема правильна за додаткової умови.

Теорема (W-> P).

Доведення.

Доказ завершено.

Покажемо, що зі збіжності в середньоквадратичному випливає збіжність за ймовірністю.

Теорема (L 2 -> P).

Доведення.

Використовуємо нерівність Маркова

.

Доказ завершено.

Наступна теорема дає приклад застосування попередньої теореми для доказу збіжності відносної частоти події для його ймовірності у схемі Бернуллі.

Закон великих чисел у формі Бернуллі

Нехай - число успіхів у nвипробуваннях за схемою Бернуллі з ймовірністю успіху p.Тоді

Доведення.

Доказ завершено.

Таким чином, для доказу слабкої збіжності достатньо довести збіжність за ймовірністю або середньоквадратичною.

При доказі теорем про слабку збіжність використовується наступна важлива теорема.

Теорема ((Хеллі-Брея).

Безперервна обмежена функція. Тоді

.

Доведення.

Будь-яку безперервну на всій прямій функції
можна як завгодно точно наблизити лінійною комбінацією ступінчастих функцій на будь-якому інтервалі [-A,A) , A>0.

Виберемо A так, щоб точки –A, A та точки розбиття

були б точками безперервності функції розподілу

Тоді інтеграли

однаковим чином виражаються через значення функцій розподілу
і
і можуть бути зроблені як завгодно близькими вибором досить великого n. Отже, близькі та інтеграли

Оскільки функція
обмежена, то вибором досить великого A можна зробити як завгодно малими інтеграли

Теорему доведено.

Вірна та зворотна теорема.

Теорема (Зворотна теорема Хеллі-Брея)

Нехай для будь-якої

безперервної обмеженої функції

Доведення.

Ідея доказу аналогічна ідеї доказу попередньої теореми і заснована на можливості наблизити ступінчасту функцію
безперервною функцією
. Справді, знову вибираючи відповідні точки безперервності і вважаючи

бачимо, що близькі між собою інтеграли

можна зробити як завгодно близькими, відповідно. до інтегралів

Теорему доведено.

,

то останні дві теореми дають необхідні та достатні умовислабкої збіжності у термінах збіжності математичних очікувань від безперервних обмежених функцій.

Теорема (f(W)).

Безперервна функція. Тоді

.

Доведення.

Оскільки підстановка безперервної функції обмежену безперервну функцію призводить знову до безперервної обмеженої функції, то доказ цієї теореми безпосередньо випливає з теорем Хеллі-Брея.

Теорему доведено.

Неважко показати, що вірна також така теорема

Теорема (f(P)).

Безперервна функція. Тоді

.

Доказ цієї та наступних двох теорем проведіть самостійно як вправи.

Теорема (W+P->W).

Теорема (W*P->W).

збіжність послідовності випадкових величин Х 1, Х 2, . . ., Х n, . . ., заданих на деякому імовірнісному просторі до випадкової величини X, яка визначається наступним чином: якщо для будь-якого при В математич. Аналіз цього виду збіжності називають збіжністю принаймні. З С. по ст. витікає збіжність за розподілом. В. І. Бітюцков.

Дивитись значення Збіжність за ймовірністюв інших словниках

Аналіз ймовірності- В управлінні ризиком: 1. Математичне
опис ймовірності настання випадку певного виду. 2.
Коефіцієнт, що виражає
відношення між числом певних........
Економічний словник

Розподіл Імовірності- Також називається
ймовірнісна функція: функція, що описує всі значення, які може набувати випадкова
змінна, та
ймовірність, пов'язану з кожною з них.
Економічний словник

Розподіл Кумулятивної ймовірності— Функція, що показує ймовірність того, що випадкова змінна досягне значення, меншого чи рівного кожному значенню, яке може набувати випадкова змінна.
Економічний словник

Суб'єктивні ймовірності— Ймовірності, що визначаються суб'єктивно, тобто. з урахуванням суджень, а чи не статистичних даних.
Економічний словник

Функція Щільності Можливості— Функція ймовірності для безперервної випадкової змінної.
Економічний словник

Амплітуда Ймовірності- Те саме, що хвильова функція.

Збіжність- , в математиці - властивість нескінченного ряду(або послідовності), що має єдиний і кінцева межа. Так, для ряду 1+1/2+1/22+1/23+... сума перших двох членів дорівнює........
Науково-технічний енциклопедичний словник

Щільність Можливості- випадкової величини Х - функція p(х) така, що прилюбних a і b ймовірність нерівності a"X"b дорівнює: Зокрема, ймовірність того, що x"X"x+?x, при малому?x приблизно дорівнює?(x) ?x.
Великий енциклопедичний словник

Збіжність- Поняття математичного аналізу, що означає, що деяка послідовність має межу.
Великий енциклопедичний словник

Ймовірності, Коефіцієнт- У найпростішій формі - коефіцієнт, встановлений між ймовірністю, що сигнал був пред'явлений і виявлений суб'єктом (попадання), і ймовірністю, що він фактично.......
Психологічна енциклопедія

Ймовірності, Крива- 1. Дуже загальне значення– будь-яке графічне зображенняймовірність певних результатів. розподіл ймовірності. 2. Спеціальне значення - нормальна крива ........
Психологічна енциклопедія

Ймовірності, Навчання- Див. Навчання ймовірності.
Психологічна енциклопедія

Ймовірності, Простір— Для будь-якого цього – кінцева кількість подій, визначення ймовірності походження кожного.
Психологічна енциклопедія

Ймовірності, Розподіл- Див. розподіл ймовірності.
Психологічна енциклопедія

Ймовірності Таблиця— Двостороння таблиця, яка становить частоти виникнення категорій класу подій, перелічених у стовпцях і рядках.
Психологічна енциклопедія

Ймовірності, Теорії— Термін, який іноді вживається для позначення тих моделей поведінки, в яких підкреслюється роль контексту та обставин в управлінні діями людини.
Психологічна енциклопедія

Імовірності, Теорія — Математична дисциплінаяка має справу з ймовірністю. Математична основатеорії ймовірності формує основу всім статистичних методівпсихології.........
Психологічна енциклопедія

Ймовірності, Питома вага— У разі безперервної випадкової змінної ймовірність виникнення будь-якого точного значенняцією змінною дорівнює нулю. Отже, у таких ситуаціях йдеться.
Психологічна енциклопедія

Можливості, Функція — Формальний вираз, що представляє попарне порівняння кожної події в певної ситуаціїта ймовірність його виникнення. Іноді цей термін використовується.
Психологічна енциклопедія

Максимальної ймовірності, Принцип — Статистичний принцип, який відбиває сам дух емпіричної наукита імпліцитно чи експліцитно лежить в основі всіх статистичних висновків. Щоб оцінити значення........
Психологічна енциклопедія

Максимальної ймовірності, Статистична Оцінка— Згідно з принципом максимальної ймовірності, найкращими статистичними оцінками значень справжньої популяції є ті значення, які при підставі на місце.......
Психологічна енциклопедія

Безліч Імовірності, Функція— Графік (або його функціональне правило) дискретної випадкової змінної зі значеннями, які вона може набувати, відкладеними на осих, та одиницями виміру ймовірності – на осі у.
Психологічна енциклопедія

Модель Найбільшої ймовірності аналізу— (Elaboration likelihood model) - модель обробки повідомлення, що переконує, згідно з якою установки можуть змінюватися в результаті розгляду переконливого повідомлення або на глибокому,........
Психологічна енциклопедія

Навчання Імовірності— Засвоєння ступенів ймовірності, з якими відбуваються події. Зазвичай це вивчається в простих ситуаціях, коли кадр з двох або трьох подій (наприклад, спалахи світла........
Психологічна енциклопедія

Розподіл Імовірності— Подібно до розподілу частоти, за винятком того, що замість привласнення кожному класу або категорії номера, що позначає частоту його появи, їм присвоюється.......
Психологічна енциклопедія

Фішера, Точної ймовірності Тест— Непараметричний статистичний тест, корисний у тих випадках, коли дані взяті з двох відносно малих вибірок і належать до двох категорій, що взаємно виключають.
Психологічна енциклопедія

Ієрархія Імовірності- (hierarchy of credibility) - поняття (пропоноване Беккером в роботі "На чиєму ми боці?", 1953) про організацію суспільства таким чином, що займають вищі та владні позиції,........
Соціологічний словник

Аргумент Від Імовірності— - у Ф.Тенента: якщо ми хочемо зрозуміти, що говорять про сенс світу великі масиви наукових емпіричних даних, то з усіх гіпотез з цього приводу теїзм має найбільшу ймовірність.
Філософський словник

Модель Уточнення Можливості— теорія Петті і Качоппо, що дозволяє, на думку авторів, уточнювати, який із принципів переконання чи навіювання матиме переважний вплив при впливі на індивіда.
Соціологічний словник