Закон больцмана розподілу молекул у гравітаційному полі. Розподіл больцмана
Барометричні формули.Розглянемо газ, що у рівновазі у полі сили тяжкості. У цьому випадку сума діючих силна кожний елемент об'єму газу дорівнює нулю. Виділимо малий обсяг газу на висоті h(Рис.2.7) і розглянемо чинні на нього сили:
На виділений об'єм діє сила тиску газу знизу, сила тиску газу зверху та сила тяжіння. Тоді баланс сил запишеться як
де dm- Маса виділеного обсягу. Для цього обсягу можна записати рівняння Менделєєва-Клапейрона
Виражаючи величину dm, можна отримати рівняння
Розділяючи змінні, отримаємо
Проінтегруємо отримане рівняння, врахувавши, що температура постійна,
Нехай тиск на поверхні дорівнює p 0тоді отримане рівняння легко перетворити на вигляд
Отримана формула називається барометричною і досить добре описує розподіл тиску за висотою в атмосфері Землі та інших планет. Важливо пам'ятати, що ця формула була виведена із припущення рівноваги газу, при цьому величини gі Tвважалися постійними, що, звісно, який завжди справедливо реальної атмосфери.
Розподіл Больцмана.Запишемо барометричну формулу(2.24) через концентрацію частинок, скориставшись тим, що p = nkT:
де m 0- Маса молекули газу.
Такий самий висновок можна провести для будь-якої потенційної сили(Не обов'язково для сили тяжіння). З формули (2.25) видно, що у чисельнику експоненти стоїть потенціальна енергіяоднієї молекули у потенційному полі. Тоді формулу (2.25) можна записати як
У такому вигляді ця формула придатна для знаходження концентрації молекул, що перебувають у рівновазі у полі будь-якої потенційної сили.
Знайдемо кількість частинок газу, координати яких знаходяться в елементі об'єму dV = dxdydz
Повна кількість частинок у системі може бути записана у вигляді
Тут інтеграл формально записаний у всьому просторі, але треба пам'ятати, що обсяг системи кінцевий, що призведе до того що, що інтегрування вестиметься з усього обсягу системи. Тоді ставлення
таки дасть ймовірність того, що частка потрапить в елемент об'єму dV. Тоді для цієї ймовірності запишемо
де величина потенційної енергії молекули, взагалі кажучи, залежатиме від усіх трьох координат. Користуючись визначенням функції розподілу, можна записати функцію розподілу молекул за координатами наступному вигляді:
Це і є функція розподілу Больцмана за координатами частинок (або з потенційних енергій, маючи на увазі, що потенційна енергія залежить від координат). Легко показати, що отримана функція унормована на одиницю.
Зв'язок розподілів Максвелла та Больцмана.Розподіли Максвелла і Больцмана є складовими частинамирозподілу Гіббса. Температура визначається середньою кінетичною енергією. Тому постає питання, чому в потенційному полі температура постійна, хоча за законом збереження енергії при зміні потенційної енергії частинок повинна також змінюватися їх кінетична енергіяа отже, як здається на перший погляд, і їх температура. Інакше кажучи, чому у полі тяжкості під час руху частинок нагору в усіх них кінетична енергія зменшується, а температура залишається постійної, тобто. залишається постійною їхня середня кінетична енергія, а при русі частинок вниз енергія всіх частинок збільшується, а середня енергіязалишається постійною?
Це тим, що з підйомі з потоку частинок вибувають найбільш повільні, тобто. «найхолодніші». Тому розрахунок енергії ведеться за меншою кількістю частинок, які на вихідній висоті були в середньому «гарячими». Інакше кажучи, якщо з нульової висоти на висоту прибуло якесь число частинок, то їхня середня енергія на висоті дорівнює середньої енергії всіх частинок на нульовій висоті, частина яких не змогла досягти висоти через малу кінетичну енергію. Однак якщо на нульовій висоті розрахувати середню енергію частинок, що досягли висоти, то вона більша за середню енергію всіх частинок на нульовій висоті. Тому можна сказати, що середня енергія частинок на висоті справді зменшилася і в цьому сенсі вони «охолодилися» під час підйому. Проте середня енергія всіх частинок на нульовій висоті та висоті однакова, тобто. та температура однакова. З іншого боку, зменшення густини частинок з висотою також є наслідком вибуття частинок з потоку.
Тому закон збереження енергії при підйомі частинок на висоту призводить до зменшення їх кінетичних енергій та вибуття частинок з потоку. Завдяки цьому, з одного боку, щільність частинок з висотою зменшується, а з іншого боку, їхня середня кінетична енергія зберігається, незважаючи на те, що кінетична енергія кожної з частинок зменшується. Це можна підтвердити прямим розрахунком, який рекомендується зробити як вправу.
Атмосфери планет.Потенційна енергія частки масою в полі тяжіння кулястого небесного тіла дорівнює
де - Маса тіла; - Відстань від центру тіла до частки; - Гравітаційна постійна. Атмосфера планет, зокрема Землі, немає у рівноважному стані. Наприклад, внаслідок того, що атмосфера Землі знаходиться в нерівноважному стані, її температура не постійна, як це мало бути, а змінюється із висотою (зменшується із збільшенням висоти). Покажемо, що рівноважний стан атмосфери планети у принципі неможливий. Якби воно було можливим, то щільність атмосфери мала б змінюватися з висотою за формулою (2.26), яка набуває вигляду
де враховано вираз (2.28) для потенційної енергії – радіус планети. Формула (2.29) показує, що при щільність прагне кінцевої межі
Це означає, що якщо в атмосфері є кінцеве числомолекул, вони повинні бути розподілені по всьому нескінченному простору, тобто. атмосфера розсіяна.
Оскільки, зрештою, всі системи прагнуть рівноважного стану, то атмосфера планет поступово розсіюється. У деяких із небесних тіл, наприклад, у Місяця, атмосфера повністю зникла, інші, наприклад Марс, мають дуже розряджену атмосферу. Таким чином, атмосфера Місяця досягла рівноважного стану, а атмосфера Марса вже близько до досягнення рівноважного стану. У Венери атмосфера дуже щільна і, отже, на початку шляху до рівноважного стану.
Для кількісного розгляду питання втрати атмосфери планетами необхідно взяти до уваги розподіл молекул за швидкостями. Силу земного тяжінняможуть подолати лише молекули, швидкість яких перевищує другу космічну. Ці молекули перебувають у «хвості» розподілу Максвелла та їх відносне числонезначно. Проте за значні проміжки часу втрата молекул є чутливою. Оскільки друга космічна швидкістьу важких планет більше, ніж в легких, інтенсивність втрати атмосфери у масивних небесних тіл менше, ніж в легких, тобто. легкі планети втрачають атмосферу швидше, ніж тяжкі. Час втрати атмосфери залежить також від радіусу планети, складу атмосфери тощо. Повний кількісний аналізце питання є складним завданням.
Експериментальна перевірка розподілу Больцмана.При виведенні розподілу Больцмана не накладалося жодних обмежень масу частинок. Тому в принципі воно застосовується і для важких частинок. Візьмемо як ці частки, наприклад, піщинки. Зрозуміло, що вони розташуються у певному шарі у судини. Строго говорячи, це є наслідком розподілу Больцмана. При великих масахчастинок показник експоненти настільки швидко змінюється з висотою, що дорівнює нулюскрізь за межами шару піску. Щодо простору всередині шару, то там треба взяти до уваги обсяг піщинок. Це зведеться до суто механічного завдання на мінімум потенційної енергії при заданих зв'язках. Завдання такого типу розглядаються над статистичної фізиці, а механіці.
Для того, щоб важкі частинки не «осіли на дно», розподілилися у досить великому шарі на висоті, необхідно, щоб їх потенційна енергія була досить малою. Цього можна досягти, поміщаючи частинки в рідину, щільність якої лише трохи менше щільностіматеріалу частинок. Позначивши густину та об'єм частинок і , а густину рідини – , бачимо, що сила, що діє на частинку, дорівнює . Отже, потенційна енергія такої частки на висоті від дна судини дорівнює
Тому розподіл концентрацій цих частинок за висотою дається формулою
Щоб ефект був досить добре помітний, частинки мають бути досить малими. Число таких частинок на різних висотаху посудині вважають за допомогою мікроскопа. Експерименти такого роду вперше було виконано починаючи з 1906 р. Ж.Б. Перрен (1870-1942).
Зробивши вимірювання, можна насамперед переконатися, чи дійсно концентрація частинок змінюється за експоненційному закону. Перрен довів, що це справді так, і, отже, розподіл Больцмана справедливий. Далі, виходячи із справедливості розподілу та вимірявши незалежними способами об'єми та щільності частинок, можна за результатами експерименту знайти значення постійної Больцмана, Оскільки всі інші величини (2.32) є відомими.
Таким шляхом Перрен виміряв та отримав результат, дуже близький до сучасного. Іншим незалежним способом значення було отримано Перреном із дослідів із броунівським рухом.
Надалі були проведені також експерименти іншого типу, що повністю підтвердили розподіл Больцмана. З експериментів іншого типу можна вказати, наприклад, перевірку залежності поляризації полярних діелектриківвід температури, розглянуту вище.
приклад 2.2.Перрен використовував розподіл гуммігутових зерен у воді для вимірювання постійної Авогадро. Щільність частинок гуммігуту становила r = 1,21×10 3 кг/м 3 їх об'єм t = 1,03×10 -19 м 3 . Температура, коли він проводився експеримент, дорівнювала . Знайти висоту , де щільність розподілу гуммігутових зерен зменшилася вдвічі.
Зважаючи на те, що, за умовою задачі, t(r - r 0) = 0,22×10 -16 кг, отримуємо на основі формули (2.32) h = kT ln2/ = 12,3 10 -6 м.
приклад 2.3.У повітрі при температурі та тиску Па зважені кулясті частинки радіусом 10 -7 м. Знайти масу зваженої частки.
За формулою (2.32) знаходимо t(r – r 0) = kT ln2/ gh= 1,06 10 -23 кг.
З огляду на те, що t = 4,19×10 -21 м 3 , знаходимо (r - r 0) = 2,53×10 -3 кг/м 3 . Оскільки r 0 = 1,293 кг/м 3 отримуємо r = 1,296 кг/м 3 і, отже, маса частинки
При розгляді закону розподілу Максвелла передбачалося, що молекули рівномірно розподіляються по всьому обсягу судини, що справедливо, якщо обсяг судини невеликий.
Для великих обсягів рівномірність розподілу молекул за обсягом порушується через дію сили тяжіння, внаслідок чого щільність, а отже, і число молекул в одиниці об'єму будуть неоднаковими.
Розглянемо молекули газу, що у полі тяжіння Землі.
З'ясуємо залежність тиску атмосфери від висоти над поверхнею Землі. Допустимо, на поверхні Землі (h = 0) тиск атмосфери P 0 . На висоті h воно дорівнює P. При збільшенні висоти на dh тиск зменшиться на dP:
dP = - ρgdh (9.49)
[ρ - щільність повітря на даної висоті, ρ = mn 0 де m - маса молекули, n 0 - концентрація молекул].
Використовуючи співвідношення P = n 0 kТ, отримуємо
Вважаючи, що на деякій висоті h Т = соnst, g = соnst, розділяючи змінні, інтегруємо вираз (9.50):
Отримуємо
(9.51) - барометрична формула.
Барометрична формула показує залежність тиску газу від висоти над поверхнею Землі.
Якщо врахувати, що концентрація молекул повітря в атмосфері визначає тиск, формулу (9.51) можна записати у вигляді
З формули (9.52) випливає, що зі зниженням температури число частинок на висоті, відмінної від нуля, зменшується і при Т = 0К звертається в нуль, тобто при 0К всі молекули розташувалися б на земній поверхні.
Оскільки потенційна енергія молекул різною висоті різна і висоті h визначається за такою формулою де Е П = mgh, то [див.
- закон Больцмана , що показує розподіл молекул, що беруть участь у тепловому русі, в потенційному полі сил, зокрема в полі сили тяжіння.
Методика розв'язання задач
У завданнях цього типу використовують властивості розподілу Максвелла і Больцмана.
приклад 3.3. Визначте середню арифметичну швидкість<υ˃ молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м 3 .
Дано: Р=35кПа=35∙10 3 Па; ρ=0,3 кг/м 3 .
Знайти : <υ˃ .
Рішення: Відповідно до основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеальних газів,
де n - Концентрація молекул; m 0 – маса однієї молекули; <υ кв ˃ .- середня квадратична швидкість молекул.
Враховуючи, що , а, отримуємо
Оскільки щільність газу
де m - Маса газу; V – його обсяг; N - число молекул газу, рівняння (1) можна записати як
або . Підставляючи цей вираз у формулу (2), знаходимо шукану середню арифметичну швидкість:
Відповідь: <υ˃=545 м/с.
Приклад 3.5.Знайти відносне число газу, швидкість якого відрізняється не більше ніж δη = 1% значення середньої квадратичної швидкості.
Дано: δη = 1%.
Знайти :
Рішення У розподілі Максвелла
підставимо значення
; δυ = υ кв δη.
Відносна кількість молекул буде
Відповідь :
Приклад 3.6.За якої температури газу число молекул зі швидкостями в заданому інтервалі υ, υ + dυ буде максимальною? Маса кожної молекули m.
Для знаходження потрібної температури необхідно дослідити функцію розподілу Максвелла на екстремум.
Приклад 3.7.Обчислити найбільш ймовірну, середню та середню квадратичну швидкість молекул ідеального газу, у якого при нормальному атмосферному тиску щільність ρ = 1кг/м 3 .
Помноживши чисельник та знаменник у підкорених виразах (3.4) на число Авогадро N а, отримаємо наступні формули для швидкостей:
Запишемо рівняння Менделєєва-Клапейрона, ввівши в нього щільність
Визначимо звідси величину і, підставивши їх у вирази, що визначають швидкість молекул, отримаємо:
Приклад 3.4.Ідеальний газ з молярною масою M знаходиться в однорідному полі тяжкості, прискорення вільного падіння в якому g. Знайти тиск газу як функцію висоти h, якщо при h = 0 тиск Р = Р 0 а температура змінюється з висотою як T = T 0 (1 - α · h), де α - Позитивна постійна.
При збільшенні висоти на нескінченно малу величину тиск отримує приріст dP = - ρgdh, де ρ - густина газу. Знак мінус з'явився, оскільки зі збільшенням висоти тиск зменшився.
Оскільки розглядається ідеальний газ, щільність ρ може бути знайдена з рівняння Менделєєва-Клапейрона:
Підставимо значення густини ρ і температури Т, отримаємо поділяючи змінні:
Інтегруючи цей вираз, знаходимо залежність тиску газу від висоти h:
Оскільки при h = 0 Р = Р 0 отримуємо значення постійної інтегрування З = Р 0 . Остаточно функція Р(h) має вигляд
Необхідно відзначити, що оскільки тиск є величиною позитивною, отримана формула справедлива для висот .
приклад. Французький фізик Ж.Перрен, спостерігав під мікроскопом зміну концентрації завислих у воді (ρ=1г/см 3 ) кульок гуммігуту (ρ 1 = 1,25 г/см 3 ) Зі зміною висоти, експериментально визначив постійну Авогадро. Визначте це значення, якщо температура суспензії Т=298К, радіус кульок =0,21 мкм, а на відстані між двома шарами Δh=30мкм число кульок гуммігута в одному шарі вдвічі більше, ніж в іншому.
Дано: ρ=1г/см 3 =1000кг/м 3 ; ρ=1,25 г/см 3 = 1250кг/м 3 ; Т=280;r=0,21мкм=0,21∙10 -6 м; Δh=30мкм=3∙10 -5 м; .
Знайти : N A .
Рішення. Барометричну формулу
Використовуючи рівняння стану P=nkT, можна перетворити для висот h 1 і h 2 на вигляд
і ,
де n 0, n 1 і n 2 - відповідно концентрація молекул на висоті h 0, h 1 і h 2; М – молярна маса; g-прискорення вільного падіння; R-молярна газова стала.
Прологарифмувавши вираз (1), отримаємо
Маса частки ; m=ρV=ρπr 3 . Підставивши ці формули (2) і враховуючи поправку на закон Архімеда, отримаємо
Звідки шуканий вираз для постійної авогадро
Відповідь: N A =6,02∙10 23 моль -1.
приклад. Яка температура Т азоту, якщо середня довжина вільного пробігу<ℓ˃ молекул азота при давлении Р=8кПа составляет 1мкм. Эффективный диаметр молекул азота d= 0,38 нм. .
Дано: <ℓ˃ =1мкм=1∙10 -6 м; Р=8кПа=8∙10 3 Па; d=0,38нм=0,38∙10 -9 м;
Знайти : Т.
Рішення. Відповідно до рівняння стану ідеального газу
де n - Концентрація молекул; k – постійна Больцмана.
звідки. Підставивши цю формулу у вираз (1), знайдемо потрібну температуру азоту
Відповідь: Т=372 До.
приклад.
При температурі Т=280 К та деякому тиску середня довжина<ℓ 1 ˃
вільного пробігу молекул дорівнює 01 мкм. Визначте середнє число
Дано: Т=280;<ℓ 1 ˃ =0,1мкм=0,1∙10 -6 м; М=32∙10 -3 кг/моль; ; d=0,36нм=0,36∙10 -9 м;
Знайти
:
Рішення.
Середнє число
де середня швидкість молекул визначається за формулою
де R - молярна газова стала; М – молярна маса речовини.
З формул іP=nkT випливає, що середня довжина вільного пробігу молекул обернено пропорційна тиску:
звідки. Підставивши цей вираз у формулу (1) і враховуючи (2), отримуємо шукане середнє число зіткнень молекул в 1с:
Відповідь:
Дано:
P= 100мкПа = 10 -4
Па; r = 15см = 0,15 м; T=273;
d=0,38нм=0,38∙10-9 м.
Знайти
:
Рішення.
Вакуум вважатимуться високим, якщо середня довжина вільного пробігу молекул газу набагато більше лінійних розмірів судини, тобто. має виконуватися умова Середня довжина вільного пробігу молекул газу (Врахували P = nkT). Обчислюючи, отримуємо =58,8 м, тобто 58,8 м 00,3 м. Відповідь:
так, вакуум високий. Атмосферний тиск на висоті h обумовлено вагою шарів газу, що лежать вище. Нехай Р тиск газу висоті h. Тоді тиск на висоті h+dh буде P+dP, а різниця тисків dP дорівнюватиме ваги газу mg в об'ємі V з площею основи S = 1 м 2 і висотою dh (V=Sdh), віднесеному до S. Виразимо щільність газу через тиск P з рівняння Менделєєва-Клапейрона Проінтегруємо окремо ліву та праву частини рівняння. Вважаючи температуру постійної T = const, отримаємо lnP = - , де С - постійна інтегрування. Вираз для тиску буде Постійну інтегрування визначають з граничної умови. Якщо h = 0, то С = Р 0 і тоді Це рівняння має назву барометричної формули і показує залежність тиску газу від висоти. Видно, що чим важче молекули і що нижча температура, то швидше зменшується тиск зі збільшенням висоти. Замінимо у формулі тиск, виразивши його через концентрацію молекул із рівнянь P = nkT, P 0 = n 0 kT та де n 0 - Концентрація молекул на висоті h = 0; n – концентрація молекул на висоті h≠0. Дана формула описує зміну концентрації молекул від висоти h у потенційному полі земного тяжіння та від температури Т. Можна відзначити дві тенденції, що визначають розподіл молекул за висотою: 1. Притягнення молекул до Землі (mg) прагне розташувати на поверхні Землі. 2. Тепловий рух (kT) прагне розкидати молекули поступово по всіх висотах від 0 до . Внаслідок цих конкуруючих процесів розподіл молекул газу по висоті має проміжний вигляд. Потенційна енергія молекули Р = mgh. Отже, отримана формула є розподілом молекул за значеннями потенційної енергії Це формула функції розподілу Больцмана. Тут n 0 концентрація молекул у тому місці, де Р = 0, n -концентрація молекул у тій точці простору, де молекула має потенційну енергію p ≠ 0. Молекули прагнуть розташуватися з найбільшою щільністю там, де у них мінімальна потенціальна енергія Закон Максвелла дає розподіл молекул за значеннями кінетичної енергії, а закон Больцмана – за значеннями потенційної енергії. Больцман довів, що формула розподілу справедлива у разі потенційного поля земного тяжіння, а й у будь-якому потенційному полі сил для сукупності будь-яких однакових частинок, що у стані хаотичного теплового руху. Що таке ступінь свободи молекул? Чому дорівнює кількість ступенів свободи одно-, дво- та триатомної молекул? Сформулюйте закон розподілу енергії за ступенями свободи молекул. Наведіть вираз функції розподілу молекул за швидкостями. За якими формулами визначаються середньоарифметична, найбільш ймовірна та середньоквадратична швидкості молекул? Яким є вираз для функції розподілу Больцмана за значеннями потенційної енергії? Тести
Чому дорівнює число ступенів свободи двоатомної молекули? а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) 5. Скільки ступенів свободи посідає обертальний рух у двоатомної молекули? а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) 5. Який із наведених виразів описує найбільш ймовірну швидкість? закон зміни тиску з висотою, припускаючи, що поле тяжіння однорідне, температура постійна і маса всіх молекул однакова Вираз (45.2) називається барометричною формулою.Вона дозволяє знайти атмосферний тиск залежно від висоти або, вимірявши тиск, знайти висоту: Так як висоти позначаються щодо рівня моря, де тиск вважається нормальним, то вираз (45.2) може бути записаний у вигляді де р -тиск на висоті h. Барометричну формулу (45.3) можна перетворити, якщо скористатися виразом (42.6) p=
nkT: де n- Концентрація молекул на висоті h,
n 0 – те саме, на висоті h=
0. Оскільки M =
m 0 N A ( N A – постійна Авогадро, т 0
–
маса однієї молекули), a R=
kN A ,
то де m 0 gh=П - потенційна енергія молекули у полі тяжіння, тобто. Вираз (45.5) називається розподілом Больцманадля зовнішнього потенційного поля. З вето випливає, що при постійній температурі щільність газу більша там, де менша потенційна енергія його молекул. Якщо частинки мають однакову масу і перебувають у стані хаотичного теплового руху, то розподіл Больцмана (45.5) справедливий у будь-якому зовнішньому потенційному полі, а чи не лише полі сил тяжкості. Це є закон Больцмана про рівномірний розподіл середньої кінетичної енергії за ступенями свободи. Молекули можна як системи матеріальних точок (атомів) здійснюють як поступальний, і обертальний руху. При русі точки прямої лінії з метою оцінки її становища необхідно знати одну координату, тобто. точка має один ступінь свободи. Якщо точка руху площиною, її положення характеризується двома координатами; при цьому точка має два ступені свободи. Положення точки у просторі визначається 3 координатами. Число ступенів свободи зазвичай позначають літерою i. Молекули, які складаються із звичайного атома, вважаються матеріальними точками та мають три ступені свободи (аргон, гелій). Середня кінетична енергія молекул газу (в розрахунку на одну молекулу) визначається виразом Кінетична енергія поступального руху атомів і молекул, усереднена за величезною кількістю часток, що безладно рухаються, є мірилом того, що називається температурою. Якщо температура T вимірюється в градусах Кельвіна (К), то зв'язок її з Ek дається співвідношенням З рівнянь (6) і (7) можна визначити значення середньо-квадратичної швидкості молекул. тепловому русі. Звідси випливає закон Джоуля, який підтверджують численні експерименти. Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від його температури і не залежить від обсягу Молекулярно-кінетична теорія призводить до наступного виразу для внутрішньої енергії одного моля ідеального одноатомного газу (гелій, неон та ін), молекули якого здійснюють тільки поступальний рух: Оскільки потенційна енергія взаємодії молекул залежить від відстані між ними, в загальному випадку внутрішня енергія тіла U поряд з температурою T також і від об'єму V: U = U (T, V). Вважається, що внутрішня енергія є функцією стану. Розподіл Больцмана Статистика Максвелла – Больцмана- Статистичний метод опису фізичних систем, що містять велику кількість невзаємодіючих частинок, що рухаються за законами класичної механіки (тобто класичного ідеального газу); запропонована 1871 р. австрійським фізиком Л. Больцманом. Із загального розподілу Гіббса.Розглянемо систему частинок, що у однорідному полі. У такому полі кожна молекула ідеального газу має повну енергію. Де Кінетична енергія її поступальногоруху, а - потенційна енергія у зовнішньому полі, яка від її становища. Підставимо цей вираз для енергії в розподіл Гіббса для молекули ідеального газу (де - ймовірність того, що частка знаходиться в стані зі значеннями координат та імпульсів, в інтервалі) де інтеграл станів дорівнює: інтегрування ведеться за всіма можливими значеннями змінних. Далі інтеграл станів можна написати у вигляді: ми вважаємо, що нормований на одиницю розподіл Гіббса для молекули газу за наявності зовнішнього поля має вигляд: Отриманий розподіл ймовірностей, що характеризує ймовірність того, що молекула має даний імпульс і знаходиться в даному елементі об'єму, має назву розподіл Максвелла – Больцмана. При розгляді розподілу Максвелла - Больцмана, впадає у вічі важлива властивість - його можна уявити як добуток двох множників: Перший множник є ніщо інше як розподіл Максвелла, воно характеризує розподіл ймовірностей імпульсів. Другий множник залежить тільки від координат частинок і визначається видом її потенційної енергії. Він характеризує ймовірність виявлення частки обсягом dV. Відповідно до теорії ймовірності , розподіл Максвелла - Больцмана можна як твір ймовірностей двох незалежних подій - ймовірність даного значення імпульсу і цього становища молекули. Перша з них: представляє розподіл Максвелла; друга ймовірність: Розподіл Больцмана. Очевидно, що кожна з них нормована на одиницю. Незалежність ймовірностей дає важливий результат: ймовірність даного значення імпульсу не залежить від становища молекули і, навпаки, ймовірність становища молекули залежить від її імпульсу. Це означає, що розподіл частинок по імпульсам (швидкостям) залежить від поля, тобто залишається тим самим від точки до точки простору, у якому укладено газ. Змінюється лише ймовірність виявлення частинки або, що те саме, число частинок. Wikimedia Foundation. 2010 . розподіл Больцмана- Bolcmano skirstinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Boltzmann distribution; Boltzmann distribution law vok. Boltzmannsche Verteilung, f; Boltzmannsches Verteilungsgesetz, n; Boltzmann Verteilung, f rus. больцманівський розподіл, … … Fizikos terminų žodynas Статистич. метод опису фіз. св у систем, що містять велику кількість невзаємодіючих ч ц, що рухаються за законами класич. механіки (тобто св в класич. ідеального газу). Створено австр. фізиком Л. Больцманом у 1868 71. У Би. с. розглядається… … Фізична енциклопедія Розподіл Гіббса - розподіл, що визначає кількості частинок у різних квантових станах. Основується на постулатах статистики: Усі доступні мікростани системи рівноймовірні. Рівновагу відповідає найбільш ймовірне… … Вікіпедія Фізична статистика для систем із великої кількості невзаємодіючих частинок. Строго Б.С. підпорядковуються атомні та молекулярні ідеальні гази, тобто гази, у яких потенційна енергія взаємодії молекул вважається рівною нулю. Велика Радянська Енциклопедія Як функція від ε/μ, побудована для 4 різних температур. Зі зростанням температури сходинка розмивається Статистика Фермі Дірака у статистичній фізиці квантова статистика, що застосовується до систем тотожних ферміонів (як правило, частинок з … Вікіпедія Статистично рівноважна ф ція розподілу по імпульсах р і координат r ч ц ідеального газу, молекули якого рухаються за законами класич. механіки, у зовніш. потенц. поле: f(p, r) = Aехр((р2/2m+U(r))/kT). (1) Тут p2/2m кінетич. енергія… … Фізична енциклопедія - (Максвелла Больцмана розподіл) рівноважний розподіл частинок ідеального газу за енергіями (E) у зовнішньому силовому полі (напр., у полі тяжіння); визначається функцією розподілу f e E/kT, де E сума кінетичної та потенційної енергій … Великий Енциклопедичний словник - (Максвелла Больцмана розподіл), рівноважний розподіл частинок ідеального газу за енергіями у зовнішньому силовому полі (наприклад, у полі тяжіння); визначається функцією розподілу f ≈ e E/kT, де Е сума кінетичної та потенційної… Енциклопедичний словник Функція щільності розподілу Розподіл Максвелла розподіл ймовірності, що зустрічається у фізиці та хімії. Воно лежить в основі кінетичної теорії газів, яка пояснює багато фундаментальних властивостей газів, включаючи тиск і ... ВікіпедіяКонтрольні питання
24. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями свободи. Число ступенів свободи. Середня кінетична енергія теплового руху молекул.
Висновок розподілу
Деякі властивості
Див. також
Дивитись що таке "Розподіл Больцмана" в інших словниках:
