Перші форми інтегрального обчислення. Реферат: Інтегральне обчислення

Поняття інтеграл безпосередньо з інтегральним обчисленням – розділом математики, займається вивченням інтегралів, їх властивостей і методів обчислення. Разом з диференціальним обчисленнямінтегральне обчислення складає основу математичного аналізу.

Витоки інтегрального обчислення відносяться до античного періодурозвитку математики та беруть початок від методу вичерпування, розробленого математиками Стародавню Грецію.

Метод вичерпування це набір правил обчислення площ і обсягів, розробка яких приписується Евдоксу Книдскому. Подальший розвитокМетод отримав у роботах Евкліда, а особливим мистецтвом та різноманітністю застосування методу вичерпування славився Архімед.

Типова схема доказів методом вичерпування виглядала так. Для визначення величини A будувалася деяка послідовність величин С1, С2, …, Сn, … така, що

Передбачалося також відомим таке B, що

і що для будь-якого цілого K можна знайти досить велике n, що задовольняє умову:

Де D – постійно. Після громіздких міркувань з останнього виразу вдавалося отримати:

Як видно з наведеної схеми метод був заснований на апроксимації об'єктів, що розглядаються, ступінчастими фігурами або тілами, складеними з найпростіших фігур або просторових тіл (прямокутників, паралелепіпедів, циліндрів тощо, позначених послідовністю С1, С2, …, Сn, …). У цьому сенсі метод вичерпування можна як античний інтегральний метод.

Криза та занепад стародавнього світупривів до забуття багатьох наукових досягнень. Про метод вичерпування згадали лише XVII столітті. Це було пов'язано з іменами Ісака Ньютона, Готфріда Лейбніца, Леонарда Ейлера та інших видатних учених, які поклали основу сучасного математичного аналізу.

У наприкінці XVIIй у XVIII столітті все зростаючі запити практики та інших наук спонукали вчених максимально розширювати сферу та методи досліджень математики. Поняття нескінченності, руху та функціональної залежностівисуваються перше місце, стають основою нових методів математики.

Наприкінці XVII та у XVIII столітті в математиці та механіці були отримані класичні результати фундаментального значення. Основним тут був розвиток диференціального та інтегрального обчислення, теорії диференціальних рівнянь, варіаційного обчислення та аналітичної механіки.

Основні поняття та теорія інтегрального та диференціального обчислень, насамперед зв'язок операцій диференціювання та інтегрування, а також їх застосування до вирішення прикладних завданьбули розроблені наприкінці XVII століття, але ґрунтувалися на ідеях, сформульованих у початку XVIIстолітті великим математиком та астрономом Йоганом Кеплером.

У листопаді 1613 року королівський математик та астролог австрійського двору І. Кеплер святкував весілля. Готуючись до неї, він придбав кілька діжок виноградного вина. При покупці Кеплер був уражений тим, що продавець визначав місткість бочки, виробляючи одну єдину дію - вимірюючи відстань від наливного отвору до дальньої від нього точки днища. Адже такий вимір зовсім не враховував форму бочки! Кеплер одразу побачив, що перед ним найцікавіша математична задача- за декількома вимірами обчислити місткість бочки. Розмірковуючи над цим завданням, він знайшов формули не тільки для об'єму бочок, але і для об'єму самих різних тіл: лимона, яблука, айви і навіть турецької чалми Для кожного з тіл Кеплеру доводилося створювати нові, дуже хитромудрі методи, що було вкрай незручно. Спроба знайти досить спільні, а головне, прості методирішення подібних завданьта призвела до виникнення сучасного інтегрального числення. Але це була заслуга зовсім іншого математика.

Важко знайти інше ім'я, яке виявило б настільки сильний впливна історію світової науки та культури, як Ісаак Ньютон. Відомий математик і історик науки Б. Л. Ван-дер-Варден пише у своїй книзі “Наука, що прокидається”: “Кожен природознавець безумовно погодиться, що механіка Ньютона є основою сучасної фізики. Кожен астроном знає, що сучасна астрономія починається з Кеплера та Ньютона. І кожен математик знає, що найзначнішим і найважливішим для фізики відділом сучасної математики є аналіз, основу якого лежать диференціальне і інтегральне обчислення Ньютона. Отже, праці Ньютона є основою величезної частини точних наукнашого часу”. І не тільки наук: “Математика та техніка впливають навіть на наше духовне життя, і так. що ми рідко можемо уявити це цілком. Слідом за надзвичайним зльотом, яке пережило і XVII столітті природознавство, послідував неминуче раціоналізм XVIII століття, обожнювання розуму, занепад релігії... ?”

Ісаак Ньютон народився 1643 року. Хлопчик відвідував спочатку сільську школу, а дванадцять років його відправили вчитися у найближче місто. Директор школи звернув увагу на здібного хлопчика і вмовив мати Ньютона відправити сина вчитися до Кембриджського університету. Ньютон був прийнятий туди як бідний студент, зобов'язаний прислужувати бакалаврам, магістрам і студентам старших курсів.

Кафедру математики в Кембриджі займав тоді молодий блискучий учений Ісаак Барроу. Він незабаром став не лише вчителем, а й другом Ньютона, а через кілька років поступився своєму великому учню кафедрою математики. На той час Ньютон отримав уже ступеня бакалавра та магістра. У 1665-1667 роках Ньютон почав працювати над створенням математичного апарату, за допомогою якого можна було б досліджувати та виражати закони фізики. Ньютон перший побудував диференціальне та інтегральне числення (він назвав його методом флюксій). Це одразу дозволило вирішувати найрізноманітніші, математичні та фізичні завдання. До Ньютона багато функцій визначалися лише геометрично, отже до них неможливо було застосовувати алгебру і нове обчислення флюксій. Ньютон знайшов новий загальний методаналітичного представлення функції - він ввів математику і почав систематично застосовувати нескінченні ряди.

Пояснимо цю ідею Ньютона. Відомо, що будь-яке дійсне число можна уявити десятковим дробом- Кінцевою або нескінченною. Так. наприклад:

Це означає, що будь-яке число a можна подати у вигляді:

де N - ціла частина, а a1, a2, ... an, ... можуть приймати одне із значень 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За аналогією з таким уявленням чисел Ньютон припустив, що будь-яка функція від x, наприклад, може бути представлена ​​як нескінченний багаточлен або ряд, розташований вже не за ступенями, а за ступенями x:

де a1, a2, ... an, ... - коефіцієнти, які щоразу мають бути визначені. Прикладом такого ряду може бути відома нам геометрична прогресія:

Подання функції за допомогою ряду дуже зручно. За допомогою рядів, як писав Ньютон, "вдається подолати труднощі, в іншому вигляді представляються майже непереборними".

Одночасно з Ньютоном до аналогічних ідей прийшов інший видатний учений – Готфрід Вільгельм Лейбніц.

Готфрід Вільгельм Лейбніц народився в Німеччині в м. Лейпцигу в 1646 р. Допитливий хлопчик уже 6 років вів цікаві розмовиз історії зі своїм батьком, професором Лейпцизького університету. До 12 років він добре вивчив Латинська моваі захопився давньогрецькою. Особливо його цікавили давні філософи, і він міг довго розмірковувати про філософські теорії Аристотеля чи Демокріта. У 15 років Лейбніц вступає і Лейпцизький університет, де ретельно вивчає право та філософію. Він дуже багато читає, серед його улюблених книг – книги Р. Декарта, Г. Галілея, II. Кеплера та Д. Кампанелли.

Свої колосальні знання з математики Лейбніц набув самоукою. Через три роки, закінчивши університет, Лейбніц покинув Лейпциг. Він був скривджений відмовою вченої ради університету привласнити ступінь доктора прав. Відмову пояснили тим. що Лейбніц був... надто молодий!

Почалося життя, повне напруженої праці та численних подорожей. Легко собі уявити, наскільки незручні були подорожувати в незграбних каретах трясими дорогами Європи тих часів. Лейбніц умів не гаяти часу - багато вдалих думок прийшло йому і голову саме під час цих тривалих поїздок. Лейбніц відрізнявся винятковою здатністю швидко "входити" і завдання і вирішувати її найбільш загальним способом. Розмірковуючи над філософськими та математичними питаннямиЛейбніц переконався, що найнадійнішим засобом шукати і знаходити істину в науці може стати математика. Все заспіваю свідоме життя він прагнув висловити закони мислення, людську здатністьдумати і у вигляді математичного обчислення. Для цього необхідно, вчив Лейбніц, вміти позначати будь-які поняття чи ідеї певними символами, комбінуючи їх у особливі формули, і зводити правила мислення до правил у обчисленнях, але цим символічним формулам. Замінюючи звичайні слова чітко визначеними символами, Лейбніц прагнув позбавити наші міркування будь-якої невизначеності і можливості помилитися самому або вводити в оману інших. Якщо, мріяв Лейбніц. між людьми виникнуть розбіжності, то вирішуватимуться вони не в довгих та стомлюючих суперечках. а так, як вирішуються завдання чи доводяться теореми. Сперечальники візьмуть у руки пір'я і, сказавши: "Почнемо обчислювати" - візьмуться за розрахунки.

Як зазначалося, Лейбніц одночасно з Ньютоном і незалежно від нього відкрив основні принципи диференціального та інтегрального обчислень. Теорія набула чинності після того, як Лейбніцем і Ньютоном було доведено, що диференціювання та інтегрування – взаємно зворотні операції. Про цю властивість хороню знав і Ньютон. Але тільки Лейбніц побачив тут ту чудову нагоду, яку відкриває застосування символічного методу.

Будь-яка людина, вивчивши невелику кількість правил дії із символами, що позначають операції диференціювання та інтегрування, стає володарем потужного математичного методу. Нині такі символи операцій називають операторами. Оператори диференціювання d() і інтегрування діють функції, “переробляючи” в інші, точно обчислювані функції. Лейбніц розробляє особливу алгебру дій із цими операторами. Він доводить, що звичайне числоа можна виносити за знак оператора:

Однакові оператори можна виносити за дужку:

Скорочено всі ці властивості можна виразити співвідношенням:

де: a та b - числа.

Оператори. які мають таку властивість. називаються лінійними. Теорія лінійних операторів, яку з таким успіхом почав розвивати, Лейбніц. в сучасної математикиє добре розробленою та корисною у додатках теорією.

Багаторазове застосування операторів можна приймати як ступінь оператора, наприклад, для d():

Те, що основні оператори математичного аналізу є взаємно зворотними Лейбніц підкреслював своєю символікою, стверджуючи, що d(x) і також взаємно зворотні, як ступеня і коріння у звичайному обчисленні. Вживаючи так само позначення, аналогічне позначення a-1 числа, зворотного a, причому добуток a×a-1=1. Позначаючи оператори або навпаки:

і розуміючи під їх твором послідовне їх застосування, маємо:

т. е. твір є "одиниця", яка не змінює функцію.

Однак у підході Ньютона-Лейбніца крилася серйозна суперечність.

Лейбніц та її послідовники - брати Бернуллі, Лопіталь та інші - трактували диференціали як нескінченно малі різниці звичайних кінцевих величин, як тоді казали - “реальних” величин “нижчої” математики. Тому вони поводилися з тими та іншими однаково і в обчисленні застосовували до перших самі прийоми, які справедливі при діях з іншими. Разом з тим з'ясувалося, що таким чином трактованим нескінченно малим властива властивість, що суперечить одній основній властивості основних кінцевих величин: якщо А - кінцева величина, а a - нескінченно мала, то щоб результат обчислення виходив абсолютно точним, виявилося необхідним проводити обчислення в припущенні, що А+a=А.

Диференційне обчислення, значення якого для розвитку науки і техніки було поза сумнівом, виявилося в парадоксальному становищі: щоб його методами отримати точний результат, треба було виходити з помилкового утвердження.

Ньютон намагався обґрунтувати диференціальне обчислення на законах механіки та понятті межі. Але йому не вдалося звільнити своє обчислення флюксій від недоліків, властивих диференціальному обчисленню Лейбніца. У практиці обчислення Ньютон, як і Лейбніц, застосовував принцип відкидання нескінченно малих.

Така непослідовність дозволила назвати диференційне літочислення Лейбніца-Ньютона містичним. Цим насамперед підкреслювалося, що Лейбніц і Ньютон вводили в диференціальне обчислення нескінченно малі величини метафізично, відразу вважаючи їх існуючими, без з'ясування їх виникнення та розвитку та без аналізу природи їх специфічних властивостей.

Спроби побудувати аналіз нескінченно малих і теорію рядів у повній відповідності до основних понять та істин “нижчої” математики від самого початку до успішним результатамне привели. Тому Лейбніц і його послідовники намагалися виправдати принципи аналізу нескінченно малих шляхом порівняння нескінченно малої з піщинкою, яку можна знехтувати при обчисленні висоти гори, за допомогою посилань на ймовірність тощо.

Іншу спробу було зроблено в кінці XVIIIстоліття. Відомий німецький математик Вессель запропонував залишити аналіз нескінченно малих в аналізі як “корисні допоміжні функції”. Однак таке трактування широкого поширенняне отримала - математики знали механічне та геометричне тлумачення dx та dy.

Приблизно з останньою чверті XVIIIстоліття область додатків математичного аналізу починає значно перекривати межі його звичайного застосування в механіці та геометрії. Ще швидше розгортається цей процес у першій чверті XIXстоліття.

Математики намагалися спочатку вирішувати нові завдання методами, розробленими класиками XVIII століття – Ейлером, Даламбером, Лагранжем та іншими. Однак, незабаром з'ясувалося, що методи класиків недостатні, що треба розвивати нові, більш загальні та сильні методи. З'ясувалося також, що недостатність методів класиків нерідко пов'язана з вузькістю трактування основних понять, з "поняттям про нескінченно малому, що виганяється", з "виключеннями", які раніше залишалися в тіні.

Пояснимо сказане одним прикладом.

Ньютон і Лейбніц розробили два трактування поняття звичайного певного інтегралу.

Ньютон трактував певний інтеграл як різницю відповідних значень первісної функції:

,

де F`(x) = f(x).

Для Лейбніца певний інтеграл був сумою всіх нескінченно малих диференціалів.

.

Перше трактування відповідало техніці обчислення певних інтегралів за допомогою первісної підінтегральної функції, друге - тому, що в додатках певний інтеграл з'являвся як межа відомого видусуми (інтегральної суми).

Приблизно до останньої чверті XVIII століття перше трактування поняття певного інтеграла займало панівне становище. Цьому сприяли дві обставини.

До початку XVIIIстоліття були встановлені правила диференціювання всіх елементарних функцій та розпочалася успішна розробка методів знаходження їх первісних (раціональних, окремих класів ірраціональних та трансцендентних функцій). Завдяки цьому думка Ньютона цілком відповідала розвитку ефективних алгоритмів інтегрального обчислення.

Безпосереднє обчислення як межі інтегральної суми зіштовхнулося з багатьма труднощами. Природно, що ця обставина зміцненню погляду Лейбниці не сприяла.

Тлумачення звичайного певного інтеграла по Лейбніцу спиралося на поняття про нескінченно малі, від якого математики XVIII століття хотіли звільнити математичний аналіз. Це також сприяло зміцненню погляду Ньютона. Факт цей добре підтверджувався тим, як Леонард Ейлер використав поняття про інтегральну суму. Ейлер не заперечував наближеного обчислення певних інтегралів за допомогою відповідних інтегральних сум. Але розглядати певний інтеграл як межу інтегральної суми не міг. І тут всі складові інтегральної суми ставали нескінченно малими, т. е., з погляду Ейлера, були нулями.

Історична довідка. 1963 р. 23-річний Пауль Ейлер закінчив курс теології в Базельському університеті. Але вчених теологів було в ті роки більше, ніж було потрібно, і лише в 1701 він отримав офіційну посаду священика сирітського будинку в Базелі. 19 квітня 1706 р. пастор Пауль Ейлер одружився з дочкою священика. А 15 квітня 1707 р. вони народився син, названий Леонардом.

Початкове навчання майбутній учений пройшов удома під керівництвом батька, який колись навчався математики у Якоба Бернуллі. Добрий пастор готував старшого сина до духовної кар'єри, проте займався з ним і математикою – як розвагою, так і для розвитку логічного мислення. Хлопчик захопився математикою, став ставити батькові питання одне складніше іншого.

Коли Леонардо проявився інтерес до навчання, його направили в Базельську латинську гімназію - під нагляд бабусі.

20 жовтня 1720 р. 13-річний Леонард Ейлер став студентом факультету мистецтв Базельського університету: батько хотів, щоб він став священиком. Але любов до математики, блискуча пам'ять і відмінна працездатність сина змінили ці наміри і направили Леонарда іншим шляхом.

Ставши студентом, він легко засвоював навчальні предмети, віддаючи перевагу математиці. І не дивно, що здібний хлопчик незабаром звернув на себе увагу Бернуллі. Він запропонував юнакові читати математичні мемуари, а суботами приходити до нього додому, щоб спільно розбирати незрозуміле. У будинку свого вчителя Ейлер познайомився і потоваришував із синами Бернуллі – Миколою та Данилом, які також захоплено займалися математикою. А 8 червня 1724р. 17-річний Леонард Ейлер сказав латиноючудову мову про порівняння філософських поглядівДекарта і Ньютона - і був удостоєний наукового ступеня магістра (у XIX ст. у більшості університетів Західної Європи наукова ступіньмагістра була замінена ступенем доктора філософії).

Ейлер вирізнявся феноменальною працездатністю. Він не міг не займатися математикою чи її додатками. У 1735 р. Академія отримала завдання виконати термінове та дуже громіздке астрономічне обчислення. Група академіків просила три місяці, а Ейлер взявся виконати роботу за 3 дні – і впорався самостійно. Однак перенапруга не пройшла безслідно: він захворів і втратив зір на праве око. Однак учений поставився до нещастя з найбільшим спокоєм: "Тепер я менше відволікатися від занять математикою", - філософськи зауважив він.

До цього часу Ейлер був відомий лише вузькому колу вчених. Але двотомне твір " Механіка, чи наука про рух, в аналітичному викладі " , виданий 1736 р., принесло йому світову славу. Ейлер блискуче застосував методи математичного аналізу до вирішення проблем руху в порожнечі і в середовищі, що опирається. "Той, хто має достатні навички в аналізі, зможе все побачити з надзвичайною легкістю і без будь-якої допомоги прочитає роботу повністю", - закінчує Ейлер свою передмову до книги.

Дух часу вимагав аналітичного шляху розвитку точних наук, застосування диференціального та інтегрального обчислення для опису фізичних явищ. Цей шлях і почав прокладати Леонард Ейлер.

Звичайно, і до останньої чверті XVIII століття концепція Ньютона стикалася з труднощами. У цей час зустрічалися елементарні функції, первісні яких неможливо знайти виражені через елементарні функції. Знали математики та деякі невласні інтеграли, у тому числі й розбіжні. Але такого роду факти були одиничними і ефективної концепції інтеграла, що встановилася, порушити не могли. Іншим виявилося становище в останній чверті XVIII і особливо в початку XIXстоліття.

З 70-х років XVIII століття вирішення завдань аналітичної механіки, фізики та інших дисциплін зажадало значного розвитку поняття певного інтегралу. Особливе значеннянабувають подвійні та потрійні інтеграли (Ейлер, Лагранж, Лаплас та ін.).

Це був час, коли великі ідеї Ньютона та Лейбніца були опубліковані порівняно недавно і сучасний математичний аналіз тільки створювався. Потужні методи, які принесли із собою ці ідеї, знаходили застосування у всіх галузях точного знання. Застосування це йшло пліч-о-пліч з розвитком самого аналізу, часто вказуючи шляхи і напрями, якими має розвиватися нове обчислення. Це була, мабуть, єдина за своєю інтенсивністю епоха математичної творчості, і Ейлер був одним із небагатьох за своєю продуктивністю творців. Його "Введення в аналіз нескінченно малих", "Підстави диференціального обчислення" та "Підстави інтегрального обчислення" були першими трактатами, в яких вже великий, але розрізнений матеріал нового аналізу був об'єднаний у цілісну науку. У них був вироблений той скелет сучасного аналізуякий зберігся і до нашого часу.

Розробка прийомів обчислення подвійних та потрійних інтегралівпоказала, що обчислювати ці інтеграли оскільки обчислювали звичайний певний інтеграл - з допомогою невизначеного, дуже важко і навіть неможливо. Тому математики змушені були зберігати концепцію Ньютона тільки на словах, а насправді, при вирішенні завдань точних наук, стали на шлях Лейбніца. Вони обчислювали відповідні інтегральні суми (у прямокутних, циліндричних та сферичних координатах) та знаходили їх межі.

Коротше кажучи, розробка способів обчислення нових видів певного інтеграла показала, що звичайний, подвійний і т. д. певний інтеграли мають бути обгрунтовані власними силами незалежно від поняття невизначеного інтеграла. Але кожен доданок будь-якої інтегральної суми є нескінченно малою величиною. Тим самим не тільки ставилося питання про легалізацію поняття нескінченно малого, що раніше “виганяється”, а й про розкриття його реального змістута про відповідне його використання. Як зазначалося, щоб це зробити треба було подолати - узагальнити, розвинути традиційне (Ейлерово) тлумачення функції і поняття межі.

У зв'язку з цим постало питання про існування меж інтегральних сум, складові яких були б нескінченно малими. У першій чверті XIX століття поняття нескінченно малої виявилося необхідним і для вивчення та зіставлення властивостей безперервних та розривних функцій. Отримання основних результатів пов'язане тут з ім'ям Коші. "Між багатьма поняттями, - вказував Коші, - тісно пов'язаними з властивостями нескінченно малих, слід помістити поняття про безперервність і перервність функцій". Тут же Коші дає тлумачення безперервності функції, яке більш ніж ясно підтверджує ясність його твердження.

Нова постановка завдань обґрунтування математичного аналізу ясно показувала, що справа не лише у визнанні та застосуванні нескінченно малих – це робили й раніше! - але насамперед у науковому тлумаченні їх змісту та обгрунтованому цьому використанні їх у алгоритмах математичного аналізу. Однак, щоб це зробити треба було подолати вузьке тлумачення поняття межі, що панувало у XVIII столітті, розробити загальну теоріюмеж.

Вивчення розривних функцій і зіставлення їх із функціями безперервними змусило визнати те, що раніше вважалося неможливим: що межа, якого прагнути послідовність значень функції, при прагненні аргументу у певній точці може бути відмінним від значення функції у цій точці. Отже, межа який завжди є “останнім” значенням змінної, але у всіх випадках межа є число, якого змінна наближається необмежено. Отже, dx і dy не потрібно нулі або "містично" актуально нескінченно малі; нескінченно мала - це змінна, що має межею нуль, причому факт цей із протиріччями та парадоксами не пов'язаний.

Коші подолав і другу обмежувальну тенденцію у прийнятому до нього трактуванні поняття межі. Він визнав, що змінна може наближатися до своєї межі як монотонно, а й вагаючись, часом приймаючи значення, рівні її межі. Ця обставина надало теорії Коші необхідну спільність та виняткову гнучкість. Ми досі слідуємо шляху, наміченому Огюстеном Луї Коші, з тими вдосконаленнями, які були внесені у другій половині ХІХ століття К. Вейєрштрассом.

Роботи Коші та Вейєрштрасса завершили створення класичного математичного аналізу, Тим самим підвівши підсумок багатовікового розвитку інтегрального обчислення.

Список літератури

Большакова А. А. Три кризи у розвитку математики. Дипломна робота; Астрахань: АГПІ, 1996.

Дитяча енциклопедія для середнього та старшого віку. Т.2; М: Просвітництво, 1965.

Математична енциклопедія. ред. Виноградова. Т.2; М: Рад. Енциклопедія, 1979.

Фіхтенгольц Г.М. Основи математичного аналізу. Т.1; М: Наука, 1968.

Інтегральне числення

розділ математики, в якому вивчаються властивості та способи обчислення інтегралів та їх застосування. І. в. тісно пов'язане з диференціальним обчисленням. і становить разом із ним одну з основних частин математичного аналізу (або аналізу нескінченно малих). Центральними поняттями І. в. є поняття певного інтеграла та невизначеного інтеграла функцій одного дійсного змінного.

Визначений інтеграл.Нехай потрібно обчислити площу S « криволінійної трапеції» - фігури ABCD(Див. Мал. ), обмеженою дугою безперервної лінії, рівняння якої у = f(x), відрізком ABосі абсцис та двома ординатами ADі BC.Для обчислення площі Sцієї криволінійної трапеції основа AB(відрізок [ a, b]) розбивають на nділянок (необов'язково рівних) точками а = x 0 x 1 x n-1 x n = b, позначаючи довжини цих ділянок Δ x 1 , Δ x 2 , ..., Δ x n; на кожній такій ділянці будують прямокутники з висотами f(ξ 1), f(ξ 2), ..., f(ξ n) де ξ k- деяка точка з відрізка [ x k - 1 , x k] (на Мал. заштрихований прямокутник, побудований на k-му ділянцірозбиття; f (ξ k) – його висота). Сума S nплощ побудованих прямокутників розглядається як наближення до площі Sкриволінійної трапеції:

S≈S n = f(ξ 1) Δ x 1 + f(ξ 2) Δ x 2 + f(ξ n) Δ x n

або, застосовуючи для скорочення запису символ суми Σ ( грецька літера"сигма"):

Вказаний вираз для площі криволінійної трапеції тим точніше, чим менше довжини Δ x kділянок розбиття. Для знаходження точного значенняплощі Sтреба знайти Межа сум S nу припущенні, що кількість точок поділу необмежено збільшується та найбільша із довжин Δ x kпрагне нуля.

Відволікаючись від геометричного змісту розглянутої задачі, дійшли поняття певного інтеграла від функції f(x), безперервної на відрізку [ а, b], як до межі інтегральних сум S nпри тому ж граничному переході. Цей інтеграл позначається

Символ ∫ (подовжений) S- перша буква слова Summa) називається знаком інтеграла, f(x) - підінтегральною функцією, числа аі bназиваються нижньою та верхньою межами певного інтеграла. Якщо а = b, то, за визначенням, вважають

Властивості певного інтегралу:

(k -постійна). Очевидно також, що

До обчислення певних інтегралів зводяться завдання про вимірювання площ, обмежених кривими (завдання «знаходження квадратур»), довжин дуг кривих («спрямування кривих»), площ поверхонь тіл, об'ємів тіл («знаходження кубатур»), а також завдання визначення координат центрів тяжіння , моментів інерції, шляхи тіла по відомої швидкостіруху, роботи, що виробляється силою, та багато інших завдань природознавства та техніки. Наприклад, довжина дуги плоскої кривої, заданою рівнянням у = f(x) на відрізку [ a, b], виражається інтегралом

об'єм тіла, освіченого обертаннямцієї дуги навколо осі Ox,- інтегралом

Фактичне обчислення певних інтегралів здійснюється у різний спосіб. В окремих випадках певний інтеграл можна знайти, обчислюючи межу відповідної інтегральної суми. Однак здебільшоготакий перехід до межі скрутний. Деякі певні інтеграли вдається обчислювати за допомогою попереднього пошуку невизначених інтегралів (див. нижче). Як правило ж, доводиться вдаватися до наближеного обчислення певних інтегралів, застосовуючи різні квадратурні формули (наприклад, трапецій формулу, Симпсона формулу). Таке наближене обчислення може бути здійснено на ЕОМ абсолютною похибкою, що не перевищує будь-якого заданого малого позитивного числа. У випадках, які не вимагають великої точності, для наближеного обчислення певних інтегралів застосовують графічні методи(Див. Графічні обчислення).

Поняття певного інтеграла поширюється у разі необмеженого проміжку інтегрування, і навіть деякі класи необмежених функцій. Такі узагальнення називаються невласними інтегралами(Див. Невласні інтеграли).

Вирази виду

де функція f(x, α) безперервна по xназиваються інтегралами, які залежать від параметра. Вони є основним засобом вивчення багатьох спеціальних функцій (див., наприклад, Гамма-функція).

Невизначений інтеграл.Знаходження невизначених інтегралів, чи інтегрування, є операція, зворотна диференціювання. При диференціації цієї функції шукається її похідна. При інтегруванні, навпаки, шукається первісна (або примітивна) функція - така функція, похідна якої дорівнює цій функції. Таким чином, функція F(x) є первісною для даної функції f(x), якщо F"(x) = f(x) або, що те саме, dF(x) = f(x) dx. Ця функція f(x) може мати різні первісні, але всі вони відрізняються один від одного тільки постійними доданками. Тому всі первісні для f(x) містяться у виразі F(x) + З, яке називають невизначеним інтегралом від функції f(x) та записують

Певний інтеграл як функція верхньої межіінтегрування

Взаємно зворотний характер операцій інтегрування та диференціювання виражається рівностями

Звідси випливає можливість отримання формул і правил диференціювання відповідних формул і правил інтегрування (див. табл., де C, m, a, k- постійні та m≠ -1, а > 0).

Таблиця основних інтегралів та правил інтегрування

Труднощі І. в. в порівнянні з диференціальним обчисленням полягає в тому, що інтеграли від елементарних функцій не завжди виражаються через елементарні, можуть не виражатися, як то кажуть, «в кінцевому вигляді». І. в. має у своєму розпорядженні лише окремі прийоми інтегрування в кінцевому вигляді, область застосування кожного з яких обмежена (способи інтегрування викладаються в підручниках математичного аналізу: великі таблиці інтегралів наводяться в багатьох довідниках).

До класу функцій, інтеграли від яких завжди виражаються в елементарних функціях, належить багато всіх раціональних функцій

де P(x) та Q(x) - багаточлени. Багато функцій, що не є раціональними, також інтегруються в кінцевому вигляді, наприклад функції, що раціонально залежать від

або ж від xі раціональних ступенівдроби

У кінцевому вигляді інтегруються і багато трансцендентних функцій, наприклад раціональні функціїсинуса та косинуса. Функції, які зображуються невизначеними інтегралами, що не беруться в кінцевому вигляді, є нові трансцендентні функції. Багато з них добре вивчені (див., наприклад, Інтегральний логарифм, Інтегральний синус та інтегральний косинус, Інтегральна показова функція).

Історична довідка.Виникнення завдань І. в. пов'язане зі знаходженням площ та обсягів. Ряд завдань такого роду було вирішено математиками Стародавню Грецію. Антична математика передбачила ідеї І. в. значно більшою мірою, Чим диференціального обчислення. Велику рольпри вирішенні таких завдань грав Вичерпування метод, створений Євдоксом Кнідським і широко застосовувався Архімедом. Однак Архімед не виділив загального змістуінтеграційних прийомів та поняття про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму І. і. Вчені Середнього та Близького Сходу у 9-15 ст. вивчали та перекладали праці Архімеда на загальнодоступний у їхньому середовищі Арабська мова, але суттєво нових результатів у І. в. вони не отримали. Діяльність європейських вчених у цей час була ще скромнішою. Лише у 16 ​​та 17 ст. розвиток природничих наукпоставило перед математикою Європи низку нових завдань, зокрема завдання знаходження квадратур, кубатур і визначення центрів тяжкості. Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (латинською та грецькою мовами), стали привертати широку увагу, та його вивчення стало однією з найважливіших відправних пунктівподальшого розвитку І. в. Античний «неподільний» метод був відроджений І. Кеплером. У більш загальної формиідеї цього методу були розвинені Б. Кавальєрі, Е. Торрічеллі, Дж. Валлісом, Б. Паскалем. Методом «неподільних» було вирішено низку геометричних та механічних завдань. До цього ж часу належать опубліковані пізніше роботи П. Ферма з квадрування парабол n-й ступеня, а потім - роботи Х. Гюйгенса по спрямовування кривих.

Через війну цих досліджень виявилася спільність прийомів інтегрування під час вирішення зовні несхожих завдань геометрії і механіки, які приводилися до квадратурам як геометричному еквіваленту певного інтеграла. Заключною ланкою в ланцюзі відкриттів цього періоду було встановлення взаємно зворотнього зв'язкуміж завданнями на проведення дотичної та на квадратури, тобто між диференціюванням та інтегруванням. Основні поняття та алгоритм І. в. були створені незалежно один від одного І. Ньютоном і Г. Лейбніцем. Останньому належить термін «інтегральне обчислення» та позначення інтеграла ∫ ydx.

При цьому в роботах Ньютона основну роль відігравало поняття невизначеного інтеграла (флюенти, див. Флюксій обчислення), тоді як Лейбніц виходив з поняття певного інтеграла. Подальший розвиток І. в. у 18 ст. пов'язано з іменами І. Бернуллі і особливо Л. Ейлер . На початку 19 ст. І. в. разом із диференціальним обчисленням було перебудовано О. Коші на основі теорії меж. У розвитку І. в. у 19 ст. взяли участь російські математики М. В. Остроградський, В. Я. Буняковський, П. Л. Чебишев. Наприкінці 19 – початку 20 ст. розвиток теорії множин та теорії функцій дійсного змінного призвело до поглиблення та узагальнення основних понять І. в. (Б. Ріман, А. Лебег та ін).

Літ.:Історія.Ван дер Варден Би. Л., Пробуджувана наука, пров. з голл., М., 1959; Вілейтнер Р., Історія математики від Декарта до середини 19 століття, пров. з ньому., 2 видавництва, М., 1966; Будинок Д. Я., Короткий нарисісторії математики, пров. з ньому., 2 видавництва, М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. – B., 1901-24.

Роботи основоположників та класиків І. в.Ньютон І., Математичні роботи, пров. з латин., М.-Л., 1937; Лейбніц Р., Вибрані уривки з математичних творів, пров. с. латин., «Успіхи математичних наук», 1948, т. 3, ст. 1; Ейлер Л., Інтегральне обчислення, пров. з латин., ТТ. 1-3, М., 1956-58; Коші О. Л., Короткий викладуроків про диференціальне та інтегральне обчислення, пров. з франц., СПБ, 1831; його ж, алгебраїчний аналіз, пров. з франц., Лейпциг, 1864.

Підручники та навчальні посібникиз І. в.Хінчін Д. Я., Короткий курсматематичного аналізу, 3 видавництва, 1957; Смірнов Ст І., Курс вищої математики, 22 видавництва, т. 1, М., 1967; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального та інтегрального обчислення, 7 видавництво, т. 2, М., 1969; Ільїн Ст, Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс диференціального та інтегрального обчислення, пров. з ним. та англ., 4 видавництва, т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблиці інтегралів та інші математичні формули, пров. з англ., М., 1964.

За редакцією академіка А. Н. Колмогорова.

Велика радянська енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Інтегральне числення" в інших словниках:

Інтегральне числення- Інтегральне обчислення. Побудова інтегральних сум для обчислення певного інтегралу безперервної функції f(x), графік якої крива MN. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗЛІЧЕННЯ, розділ математики, в якому вивчаються властивості та способи обчислення. Ілюстрований енциклопедичний словник

Розділ математики, в якому вивчаються властивості та способи обчислення інтегралів та їх застосування до вирішення різних математичних, фізичних та інших завдань. У систематичній формі інтегральне обчислення було запропоновано у 17 ст. І. Ньютоном та Г … Великий Енциклопедичний словник

Відділ вищої математики, вчення про дії, протилежні диференціальному обчисленню, а саме про визначення залежності між декількома змінними величинамиза цим диференційного рівнянняз них. Таким чином, знаходиться… Словник іноземних слівросійської мови

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗЛІЧЕННЯ, див. ЗЛІЧЕННЯ … Науково-технічний енциклопедичний словник

Вступ

Символ інтеграла запроваджено з 1675 р., а питаннями інтегрального обчислення займаються з 1696 р. Хоча інтеграл вивчають, переважно, вчені-математики, а й фізики зробили свій внесок у цю науку. Майже жодна формула фізики не обходиться без диференціального та інтегрального обчислень. Тому я вирішила дослідити інтеграл і його застосування.

Історія інтегрального обчислення

Історія поняття інтеграла тісно пов'язана із завданнями знаходження квадратур. Завданнями про квадратуру тієї чи іншої плоскої постаті математики Стародавню Грецію і Риму називали завдання обчислення площ. Латинське слово quadratura перекладається як “додання квадратної форми”. Необхідність у спеціальному термініпояснюється тим, що в античний час (і пізніше, аж до XVIII століття) ще були досить розвинені ставлення до дійсних числах. Математики оперували з їх геометричними аналогами або скалярними величинамиякі не можна перемножувати. Тому і завдання на знаходження площ доводилося формулювати, наприклад, так: «Побудувати квадрат, рівновеликий даному колу». (Ця класичне завдання"про квадратуру кола" кола» не може, як відомо, бути вирішена за допомогою циркуля та лінійки.)

Символ т введений Лейбніцем (1675). Цей знак є зміною латинської літери S (першої літери слова summ a) Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі (1690). Ймовірно, воно походить від латинського integro, яке перекладається як приводити до колишнього стану, відновлювати. (Дійсно, операція інтегрування «відновлює» функцію, диференціюванням якої отримано підінтегральну функцію.) Можливо, походження терміна інте грало інше: слово integer означає цілий.

У ході листування І. Бернуллі та Г. Лейбніц погодився з пропозицією Я. Бернуллі. Тоді ж, у 1696 р., з'явилася і назва нової гілки математико-інтегрального обчислення (calculus integralis), яку запровадив І. Бернуллі.

Інші відомі терміни, що стосуються інтегрального обчислення, з'явилися помітно пізніше. Назва, що вживається зараз, первісна функція замінило більш її раннє «примітивна функція», яке ввів Лагранж (1797 р.). Латинське слово primitivus перекладається як «початковий»: F(x) = т f(x)dx - початкова (чи первісна, чи первісна) для f(x), яка виходить із F(x) диференціюванням.

У сучасної літературибезліч всіх первісних для функції f(х) називається також не певним інтегралом. Це поняття виділив Лейбніц, який помітив, що всі первісні функціївідрізняються довільну постійну b, називають певним інтегралом (позначення ввів До. Фур'є (1768-1830), але межі інтегрування вказував вже Ейлер).

Багато значних досягнень математиків Стародавню Грецію у вирішенні завдань перебування квадратур (тобто. обчислення площ) плоских фігур, і навіть кубатур (обчислення обсягів) тіл пов'язані із застосуванням методу вичерпування, запропонованим Евдоксом Книдским (бл. 408 - бл. 355 е.). За допомогою цього методу Евдокс довів, наприклад, що площі двох кіл відносяться як квадрати їх діаметрів, а об'єм конуса дорівнює 1/3 об'єму циліндра, що має таку ж основу та висоту.

Метод Євдокса було вдосконалено Архімедом. Основні етапи, що характеризують метод Архімеда: 1) доводиться, що площа кола менше площікожного описаного біля нього правильного багатокутника, але більше площібудь-якого вписаного; 2) доводиться, що при необмеженому подвоєнні числа сторін різниця площ цих багатокутників прагне нуля; 3) для обчислення площі кола залишається знайти значення, якого прагне відношення площі правильного багатокутника при необмеженому подвоєнні числа його сторін.

За допомогою методу вичерпування, цілої низки інших дотепних міркувань (у тому числі із залученням моделей механіки) Архімед вирішив багато завдань. Він оцінив число p (3.10/71

Архімед передбачив багато ідей інтегрального обчислення. (Додамо, що й перші теореми про межах були доведені им.) Але знадобилося понад півтори тисячі років, як ці ідеї знайшли чітке вираження і було доведено рівня обчислення.

Математики XVII століття, отримали багато нових результатів, навчалися на працях Архімеда. Активно застосовувався й інший метод - метод неподільних, який також зародився у Стародавній Греції (він пов'язаний насамперед з атомістичними поглядами Демокріта). Наприклад, криволінійну трапецію (рис. 1, а) вони уявляли собі складеною з вертикальних відрізків довжиною f(х), яким, тим щонайменше, приписували площу, рівну нескінченно малій величині f(х)dx . Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівною сумі

нескінченно великої кількості нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки у цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які, складені у нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.

На такій здається тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571-1630) у своїх творах "Нова астрономія".

1609 і «Стереометрія винних бочок» (1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад, площа фігури обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло розрізалося на 6ecкінцево тонкі пластинки). Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальєрі (1598-1647) та Е. Торрічеллі (1608-1647). Зберігає своє значення і в наш час сформульований Б. Кавальєрі принцип, запроваджений ним за деяких додаткових припущень.

Нехай потрібно знайти площу фігури, зображеної на малюнку 1 б, де криві, що обмежують фігуру зверху і знизу, мають рівняння

y = f(x) та y=f(x)+c.

Представляючи фігуру складеної з «неподільних», за термінологією Кавальєрі, нескінченно тонких стовпчиків, помічаємо, що вони мають загальну довжину с. Пересуваючи їх у вертикальному напрямку, можемо скласти з них прямокутник з основою b-а та висотою с. Тому потрібна площа дорівнює площі отриманого прямокутника, тобто.

S = S1 = c (b – а).

Загальний принцип Кавальєрі для площ плоских фігур формулюється так: Нехай прямі деякого пучка паралельних перетинають фігури Ф1 та Ф2 за відрізками рівної довжини (рис. 1, в). Тоді площі фігур Ф1 та Ф2 рівні.

Аналогічний принцип діє в стереометрії і виявляється корисним при знаходженні обсягів.

У XVII ст. було зроблено багато відкриття, що стосуються інтегрального числення. Так, П.Ферма вже у 1629 р. задачу квадратури будь-якої кривої у = хn, де п - ціле (тобто по суті вивів формулу т хndx = (1/n+1)хn+1), і на цій основі вирішив ряд завдань перебування центрів тяжкості. І. Кеплер під час виведення своїх знаменитих законів руху планет фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1630-1677), вчитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтегрування та диференціювання. Велике значення мали роботи з представлення функцій у вигляді статечних рядів.

Проте за всієї значимості результатів, отриманих багатьма надзвичайно винахідливими математиками XVII століття обчислення ще був. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі вирішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання та інтегрування, що дає досить загальний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, які відкрили незалежно один від одного факт, відомий під назвою формули Ньютона - Лейбніца. Тим самим було остаточно оформився загальний метод. Належало ще навчитися знаходити першорядні багато функцій, дати логічні нового обчислення і т.п. Але головне вже було зроблено: диференційне та інтегральне числення створено.

Методи математичного аналізу активно розвивалися у наступному столітті (насамперед слід назвати імена Л. Ейлера, який завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, та І. Бернуллі). У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики М.В. Остроградський (1801-1862), В.Я. Буняковський (1804-1889), П.Л. Чебишев (1821-1894). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, який доказав, що є інтеграли, не виразні через елементарні функції.

Суворий виклад теорії інтеграла виник лише у минулому столітті. Вирішення цього завдання пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків, німецького вченого Б. Рімана (1826-1866), французького математика Г. Дарбу (1842-1917).

Відповіді на багато питань, пов'язаних із існуванням площ та обсягів фігур, були отримані зі створенням К. Жорданом (1838-1922) теорії міри.

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку нашого століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875-1941) та А. Данжуа (1884-1974), радянським математиком А.Я. Хінчинчин (1894-1959).

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗЛІЧЕННЯ- розділ математики, в якому вивчаються інтеграли різного виду, такі як певний інтеграл, невизначений інтеграл, криволінійний інтеграл, поверхневий інтеграл, подвійний інтеграл, потрійний інтеграл і т.д., їх властивості, способи обчислення, а також застосування цих інтегралів до різних задачам природознавства.

Центральною формулою І. в. є формула Ньютона-Лейбніца (див. Ньютона-Лейбніца формула), що пов'язує певний і невизначений інтеграли (див. Певний інтеграл, Невизначений інтеграл) функції - величини, що визначаються в абсолютно несхожих один на одного термінах.

Саме ця формула стверджує, що

за наступних умов та позначень:

Відрізок числової осі, - безперервна на функція, - розбиття відрізка крапками, - відрізок, - точка відрізка, , Т. е. максимальна з довжин відрізків , - Первісна функція для , тобто така, що . Межа в лівій частині існує у разі безперервної функції, будь-якого способу подрібнення розбиття, при якому і будь-якого вибору точок.

Межі виду виникають при обчисленні багатьох величин, пов'язаних із фізичними, геометричними тощо поняттями. У той же час, обчислення первісної для простих функцій досить ефективно виконується за правилами І. в. В основі цих правил лежать властивості функцій, що диференціюються, що вивчаються в диференціальному обчисленні, так що І. і. та диференціальне обчислення становлять нерозривне цілі.

При переході від функцій одного змінного до функцій кількох змінних зміст І. в. стає значно багатшим. Виникають поняття подвійного, потрійного (і взагалі-n-кратного), поверхневого та криволінійного інтегралів. І. в. встановлює правила обчислення цих інтегралів шляхом зведення до кілька разів повторюваних обчислень певних інтегралів.

Окремим розділом І. в. функцій кількох змінних є теорія поля (див. Поля теорія), істотну частину якої становлять теореми, що встановлюють зв'язок між інтегралами по області та інтегралами по межі області (див. Остроградська формула, Гріна формули, Стокса формула).

Надалі своєму розвитку І. в. призвело до вивчення інтегралів Стілтьєса, Лебега, Данжуа, заснованих на загальніших ідеях, ніж розглянуті вище інтеграли.

Виникнення І. в. пов'язане із завданнями обчислення площ та обсягів різних тіл. Деякі досягнення у цьому напрямі мали місце ще у Стародавній Греції (Евдокс Кіндський, Архімед та ін.). Відродження інтересу до подібних завдань мало місце в Європі в XVI-XVII ст. На той час європейські математики мали можливість ознайомитися з працями Архімеда, перекладеними латинською мовою. Але основною причиною такої уваги до І. в. стало промислове розвиток низки країн Європи, що поставило перед математикою нові завдання. У цей час великий внесок у І. в. внесли І. Кеплер, Б. Кавальєрі, Е. Торрічеллі, Дж. Валліс, Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс.

Якісним зрушенням в І. в. з'явилися праці І. Ньютона і Р. Лейбніца, які створили низку загальних методів знаходження меж інтегральних сум. Важливе значення мала зручна символіка І. в. (Застосовується досі), введена Г. Лейбніцем. Після праць І. Ньютона та Г. Лейбніца багато завдань І. і., які раніше вимагали значного мистецтва для свого рішення, були зведені до рівня суто технічного. При цьому особливо велике значення мали формули диференціювання складної функції, правило заміни змінної у певному та невизначеному інтегралах та (найбільше) формула Ньютона-Лейбніца, згадана вище.

Подальший історичний розвиток І. в. пов'язане з іменами І. Бернуллі, Л. Ейлера, О. Коші та російських математиків М. В. Остроградського, В. Я. Буняковського, П. Л. Чебишева.

І. в. разом із диференціальним обчисленням до нашого часу одна із основних математичних інструментів багатьох фізичних і технічних наук.

План

Первісна функції та невизначений інтеграл. Основні характеристики невизначеного інтеграла. Таблиця основних невизначених інтегралів. Основні методи інтегрування: безпосереднє інтегрування, метод підстановки, інтегрування частинами.

Раціональні дроби. Інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтегрування раціональних дробів.

Інтегрування тригонометричних функцій. Інтегрування деяких ірраціональних функций. Інтеграли, які виражаються через елементарні функції.

Визначений інтеграл. Основні властивості певного інтегралу. Інтеграл зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца. Основні методи обчислення певного інтеграла (заміна змінної, інтегрування частинами).

Геометричні додатки певного інтегралу. Деякі програми певного інтеграла економіки.

Невласні інтеграли (інтеграли з нескінченними межами інтегрування, інтеграли від необмежених функцій).

Первісна функції та невизначений інтеграл

В інтегральному обчисленні основним завданням є знаходження функції y=f(x) за її відомою похідною .

Визначення 1.Функція F(x) називається первісноїфункції f(x) на інтервалі ( a, b), якщо для будь-кого виконується рівність: або .

Теорема 1.Будь-яка безперервна на відрізку [ a, b] функція f(x) має на цьому відрізку первісну F(x).

Надалі розглядатимемо безперервні на відрізку функції.

Теорема 2.Якщо функція F(x) є первісної функції f(x) на інтервалі ( a, b), то безліч всіх первісних задається формулою F(x)+З, де С –постійне число.

Доведення.

Функція F(x)+Зє первісної функції f(x), так як .

Нехай Ф(x) – інша, відмінна від F(x) первісної функції f(x), тобто. . Тоді маємо

а це означає, що

,

де З- Постійне число. Отже,

Визначення 2.Безліч всіх первісних функцій F(x)+Здля функції f(x) називається невизначеним інтеграломвід функції f(x) і позначається символом .

Таким чином, за визначенням

(1)

У формулі (1) f(x) називається підінтегральною функцією, f(x)dx – підінтегральним виразом, x– змінної інтегрування, знаком невизначеного інтегралу.

Операція знаходження невизначеного інтеграла від функції називається інтегруваннямцієї функції.

Геометрично невизначений інтеграл є сімейством кривих (кожне числове значення Звідповідає певна крива сімейства). Графік кожної первісної (кривої) називається інтегральної кривої. Вони не перетинаються між собою і не торкаються один одного. Через кожну точку площини проходить лише одна інтегральна крива. Всі інтегральні криві виходять одна з одною паралельним перенесенням вздовж осі Оy.

Основні властивості невизначеного інтегралу

Розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які з його визначення.

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

Доведення.

Нехай Тоді

2. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

Доведення.

Справді, .

3. Постійний множник a() можна виносити за знак невизначеного інтегралу:

4. Невизначений інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функцій дорівнює сумі алгебри інтегралів від цих функцій:

5. Якщо F(x) – первісної функції f(x), то

Доведення.

Справді,

6 (інваріантність формул інтегрування). Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо змінну інтегрування замінити будь-якою функцією цієї змінної, що диференціюється.:

де u– диференційована функція.

Таблиця основних невизначених інтегралів

Так як інтегрування є дія, зворотне диференціювання, більшість з наведених формул може бути отримано зверненням відповідних формул диференціювання. Інакше кажучи, таблиця основних формул інтегрування виходить із таблиці похідних елементарних функцій при зворотному її читанні (праворуч ліворуч).

Наведемо таблицю основних невизначених інтегралів. (Зазначимо, що тут, як і в диференціальному обчисленні, буква uможе означати як незалежну змінну ( u=x), так і функцію від незалежної змінної ( u=u(x)).)

Інтеграли 1–12 називаються табличними.

Деякі з наведених вище формул таблиці інтегралів, які не мають аналога в таблиці похідних, перевіряються диференціюванням їх правих частин.