Замкненість безлічі дійсних чисел. Замикання множин

2. Замкнуті та відкриті множини

Нехай задано безліч.

Точка називається граничною точкою множини , якщо з того, що і , випливає, що .

Гранична точка може належати і не належати, але якщо всі граничні точки належать, то множина називається замкненою.

Таким чином, безліч замкнуто, якщо з того, що і , випливає, що .

Порожня множина вважається замкненою.

Приклад 1. Нехай є функція, певна і безперервна і - будь-яке число.

Безліч 1) , 2) , 3) замкнуті.

Доказ у разі 1). Нехай і; тоді і . Але і , тобто. .

Приклад 2. Куля V= є замкнута множина в силу

Приклад 1, тому що функція визначена і безперервна на .

Відмітимо, що якщо-замкненебезліч, то - відкрита множина.

Справді, якби це було не так, то існувала б точка, яка не є внутрішня точка. Виходить, що, як би не було натуральне число, має знайтися точка, на яку

Ми отримали б послідовність точок. Але за умовою замкнуто, і тому . Ми отримали протиріччя з тим, що передбачалося, що .

Назад, якщо - відкрита множина, то - замкнута множина.

Справді, якби це було не так, то знайшлася б послідовність точок , і . Але - відкрите безліч, і можна покрити кулею з центром у ній, що повністю належить . Вийшло протиріччя з тим, що будь-який такий шар містить точки .

Приклад 3. Нехай – безперервна функція. 1) безліч замкнуто, а відкрито. 2) безліч замкнуто, а відкрито.

Якщо встановлено довільне не порожня безліч, відмінне від , можна у вигляді суми трьох непересекающихся попарно множин:

,

де - сукупність внутрішніх точок - це відкрите ядро, - сукупність внутрішніх точок - це відкрите ядро, - сукупність точок, кожна з яких не є внутрішня для , але і не є внутрішня для . Такі точки називаються граничними точками, а називається кордоном; відкрито, відкрито + теж відкрито = замкнуто.

Таким чином, межа є замкнута множина.

Будь-яку граничну точку множини можна визначити як таку точку, що будь-яка куля з центром містить як точки, так і точки. Сама точка може належати і не належати.

Порожня множина вважається одночасно замкненою і відкритою.

Будь-яка з множин, що входять до теоретико-множинної суми (1), може виявитися порожньою.

Приклад 4. Нехай ; тоді , - Відкрите ядро, - Відкрите ядро, - кордон (не належить).

Приклад 5 - безліч точок з раціональними координатами. - відкрите ядро ​​- порожня множина, - відкрите ядро ​​- порожня множина, - кордон.

У наступних двох теоремах встановлюються основні властивостізамкнутих множин. При цьому розглядаються множини, що містяться в тому самому метричному просторі .

Теорема 1. Сума кінцевого числазамкнених множин також – замкнута множина.

Доведення. Оскільки суму будь-якого кінцевого числа множин можна утворити послідовним додатком по одному множині, досить довести теорему для суми двох множин.

Нехай і - замкнуті множини, та . У послідовності існує нескінченна часткова послідовність, що складається цілком з точок однієї з цих множин, наприклад. Але теж прагне до , і оскільки замкнуто, то , тому .

Теорема 2. Перетин будь-якої множини замкнених множин замкнутий.

Доведення. Нехай і всі замкнуті. Якщо і , то все за будь - якого , а тому і за будь - якого . Отже, , і замкнуто.

Надалі важливу рольбуде грати операція замикання довільної множини, що полягає в приєднанні до безлічі меж всіх послідовностей його точок, що сходяться. Отримуване таким чином безліч позначається і називається замиканням множини.

У замиканні інтервалу, буде відрізок. Однак у довільному метричному просторі для замикання відкритої кулі має місце лише включення але рівність зовсім не обов'язково.

Лемма 1: будь-яка точка уявна у вигляді , де .

Лемма 2: для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб, як би не було, існувала така точка, що.

Теорема 3. Замикання будь-якої множини замкнуте.

Теорема 4. Замикання є найменшою замкненою множиною, що містить .

Нехай. Якщо до безлічі додати його граничні точки, то отримаємо безліч, зване замиканням і позначимо його так: .

У замкнутої безлічі граничних точок, що не належать йому, немає. Насправді, будь-яка точка є внутрішня точка множини. Отже, якщо - замкнуте безліч, то .

Точка називається точкою згущення множини M, якщо в кожному її околиці міститься хоч одна точка множини M, відмінна від .

Точки згущення для відкритої області, які не належать їй, називаються прикордонними точками цієї області. Прикордонні точки їх сукупності утворюють кордон області. Відкрита область разом із кордоном називається замкненою областю. Нагадаю, що відкритою областюназивається безліч, що повністю складається з внутрішніх точок.

Одне з основних завдань теорії точкових множин - вивчення властивостей різних типівточкових множин. Познайомимося з цією теорією на двох прикладах і вивчимо властивості про замкнених і відкритих множин.

Безліч називається замкнутим, якщо воно містить усі свої граничні точки. Якщо безліч немає жодної граничної точки, його теж прийнято вважати замкнутим. Крім своїх граничних точок, замкнута множина може також містити ізольовані точки. Безліч називається відкритим, якщо кожна його точка є для нього внутрішньою.

Наведемо приклади замкнутих та відкритих множин. Кожен відрізок є замкнута множина, а всякий інтервал - відкрита множина. Невласні напівінтервали та замкнуті, а невласні інтервали і відкриті. Вся пряма є одночасно замкненою і відкритою безліччю. Зручно вважати порожню множину теж одночасно замкненою і відкритою. Будь-яке кінцеве безліч точок на прямій замкнуте, оскільки воно не має граничних точок. Безліч, що складається з точок

замкнуто; це безліч має єдину граничну точку, яка належить множині.

Наше завдання полягає в тому, щоб з'ясувати, як влаштовано довільну замкнуту чи відкриту множину. Для цього нам знадобиться низка допоміжних фактів, які ми ухвалимо без доказу.

1. Перетин будь-якої кількості замкнених множин замкнутий.

2. Сума будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною.

3. Якщо замкнута множина обмежена зверху, воно містить свою верхню грань. Аналогічно, якщо замкнута множина обмежена знизу, воно містить свою нижню грань.

Нехай – довільна безліч точок на прямій. Назвемо доповненням множини і позначимо через безліч усіх точок на прямій, не що належать безлічі. Ясно, що якщо є зовнішня точка для , то вона є внутрішньою точкою для множини і назад.

4. Якщо безліч замкнута, його доповнення відкрито і назад.

Пропозиція 4 показує, що між замкнутими та відкритими множинами є дуже тісний зв'язок: одні є доповненнями інших. З огляду на це досить вивчити одні замкнуті чи одні відкриті множини. Знання властивостей множин одного типу дозволяє відразу з'ясувати властивості множин іншого типу. Наприклад, всяке відкрите безліч виходить шляхом видалення з прямої деякої замкненої множини.

Приступаємо до вивчення властивостей замкнених множин. Введемо одне визначення. Нехай - замкнута множина. Інтервал, що володіє тим властивістю, що жодна з його точок не належить множині, а точки і належать, називається суміжним інтервалом множини. До суміжних інтервалів ми також відноситимемо невласні інтервали або , якщо точка чи точка належить безлічі , а самі інтервали з не перетинаються. Покажемо, що й точка не належить замкнутій множині , вона належить одному з його суміжних інтервалів.

Позначимо через частину множини, розташовану правіше точки. Так як сама точка не належить безлічі, то можна уявити у формі перетину

Кожна з множин і замкнута. Тому, через пропозицію 1, безліч замкнуто. Якщо безліч порожня, весь напівінтервал не належить безлічі . Допустимо тепер, що безліч не пуста. Так як ця множина цілком розташована на напівінтервалі, то вона обмежена знизу. Позначимо через його нижню грань. Відповідно до пропозиції 3, , отже . Далі, оскільки є нижня граньмножини , то напівінтервал , що лежить ліворуч від точки , не містить точок множини і, отже, не містить точок множини . Отже, ми побудували напівінтервал, що не містить точок множини, причому або, або точка належить множині. Аналогічно будується напівінтервал, що не містить точок множини, причому або, або. Тепер ясно, що інтервал містить точку і є суміжним інтервалом множини . Легко бачити, що якщо і - два суміжні інтервали множини, то ці інтервали або збігаються, або не перетинаються.

З попереднього випливає, що всяка замкнута множина на прямій виходить шляхом видалення з прямої деякої кількості інтервалів, а саме суміжних інтервалів множини. Так як кожен інтервал містить принаймні одну раціональну точку, а всіх раціональних точок на прямій - лічильна множина, то легко переконатися, що кількість всіх суміжних інтервалів не більш ніж лічильна. Звідси отримуємо остаточний висновок. Будь-яке замкнуте безліч на прямій виходить шляхом видалення з прямий не більше ніж лічильної множини інтервалів, що не перетинаються.

У силу пропозиції 4, звідси відразу випливає, що будь-яке відкрите безліч на прямий є не більш ніж лічильну суму інтервалів, що не перетинаються. В силу пропозицій 1 і 2 ясно також, що всяка множина, влаштована, як зазначено вище, дійсно є замкненою (відкритою).

Як видно з наведеного нижче прикладу, замкнуті множини можуть мати дуже складну будову.

Канторове безліч

Побудуємо одну спеціальну замкнуту множину, що має поруч чудових властивостей. Насамперед видалимо з прямої невласні інтервали та . Після цієї операції у нас залишиться відрізок. Далі, видалимо з цього відрізку інтервал, що становить його середню третину. З кожного з двох відрізків, що залишилися, і видалимо його середню третину. Цей процес видалення середніх третин у відрізків, що залишаються, продовжимо необмежено. Безліч точок на прямій, що залишається після видалення всіх цих інтервалів, називається досконалим канторовим безліччю; ми позначатимемо його буквою.

Розглянемо деякі властивості цієї множини. Безліч замкнуте, так як воно утворюється шляхом видалення з прямої деякої, безлічі інтервалів, що не перетинаються. Безліч не порожня; принаймні у ньому містяться кінці всіх викинутих інтервалів.

Замкнене безліч називається досконалимякщо воно не містить ізольованих точок, тобто якщо кожна його точка є граничною точкою. Покажемо, що безліч зовсім. Справді, якби деяка точка була ізольованою точкою множини, то вона служила б загальним кінцемдвох суміжних інтервалів цієї множини. Але, згідно з побудовою, суміжні інтервали множини не мають спільних кінців.

Безліч не містить жодного інтервалу. Справді, припустимо, що певний інтервал цілком належить множині . Тоді він цілком належить одному з відрізків, що виходять на-му етапі побудови множини. Але це неможливо, тому що при довжині цих відрізків прагнуть нуля.

Можна показати, що множина має потужність континууму. Зокрема, звідси випливає, що досконале канторово містить, крім кінців суміжних інтервалів, ще й інші точки. Справді, кінці суміжних інтервалів утворюють лише численне безліч.

Різноманітні типи точкових множин постійно зустрічаються в різних розділах математики, і знання їх властивостей зовсім необхідне при дослідженні багатьох математичних проблем. Особливо велике значеннямає теорія точкових множин для математичного аналізута топології.

Наведемо кілька прикладів появи точкових множин у класичних розділах аналізу. Нехай – безперервна функція, задана на відрізку. Зафіксуємо число та розглянемо безліч тих точок, для яких. Неважко показати, що ця множина може бути довільною замкненою множиною, розташованою на відрізку . Так само безліч точок, для яких, може бути будь-яким відкритим безліччю. Якщо є послідовність безперервних функцій, Заданих на відрізку , то безліч тих точок , де ця послідовність сходиться, не може бути довільним, а належить до цілком певного типу.

Математична дисципліна, що займається вивченням будови точкових множин, називається дескриптивною теорією множин. Дуже великі заслуги у справі розвитку дескриптивної теорії множин належать радянським математикам - Н.М. Лузину та її учням П.С. Александрову, М.Я. Сусліну, О.М. Колмогорову, М.А. Лаврентьеву, П.С. Новікова, Л.В. Келдиш, А.А. Ляпунову та ін.

Дослідження Н.М. Лузіна та його учнів показали, що є глибокий зв'язок між дескриптивною теорією множин і математичною логікою. Труднощі, що виникають при розгляді низки задач дескриптивної теорії множин (зокрема, задач про визначення потужності тих чи інших множин), є труднощами логічної природи. Навпаки, методи математичної логікидозволяють глибше проникнути деякі питання дескриптивної теорії множин.

Одне з основних завдань теорії точкових множин - вивчення властивостей різних типів точкових множин. Познайомимося з цією теорією на двох прикладах і вивчимо властивості про замкнених і відкритих множин.

Безліч називається замкнутим, якщо воно містить усі свої граничні точки. Якщо безліч немає жодної граничної точки, його теж прийнято вважати замкнутим. Крім своїх граничних точок, замкнута множина може також містити ізольовані точки. Безліч називається відкритим, якщо кожна його точка є для нього внутрішньою.

Наведемо приклади замкнутих та відкритих множин. Кожен відрізок \(\) є замкнута множина, а всякий інтервал \((a,b)\) - відкрита множина. Невласні напівінтервали \((-\infty,b]\) і \(\) , що не містить точок множини \(F\) , причому або \(a=-\infty\) , або \(a\in F\) Тепер ясно, що інтервал \((a,b)\) містить точку \(x\) і є суміжним інтервалом множини \(F\) Легко бачити, що якщо \((a_1,b_1)\) і \( (a_2,b_2)\) - два суміжні інтервали множини \(F\) , то ці інтервали або збігаються, або не перетинаються.

З попереднього випливає, що всяка замкнута множина на прямій виходить шляхом видалення з прямої деякої кількості інтервалів, а саме суміжних інтервалів множини (F) . Так як кожен інтервал містить принаймні одну раціональну точку, а всіх раціональних точок на прямій - лічильна множина, то легко переконатися, що кількість всіх суміжних інтервалів не більш ніж лічильна. Звідси отримуємо остаточний висновок. Будь-яке замкнуте безліч на прямій виходить шляхом видалення з прямий не більше ніж лічильної множини інтервалів, що не перетинаються.

У силу пропозиції 4, звідси відразу випливає, що будь-яке відкрите безліч на прямий є не більш ніж лічильну суму інтервалів, що не перетинаються. В силу пропозицій 1 і 2 ясно також, що всяка множина, влаштована, як зазначено вище, дійсно є замкненою (відкритою).

Як видно з наведеного нижче прикладу, замкнуті множини можуть мати дуже складну будову.

Канторове безліч

Побудуємо одне спеціальне замкнуте безліч, що має низку чудових властивостей. Насамперед видалимо з прямої невласні інтервали \((-\infty,0)\) і \((1,+\infty)\) . Після цієї операції у нас залишиться відрізок \(\). Далі, видалимо з цього відрізку інтервал \(\left(\frac(1)(3),\frac(2)(3)\right)\), що становить його середню третину З кожного з двох відрізків, що залишилися \(\left\)і \(\left[\frac(2)(3),1\right]\)видалимо його середню третину. Цей процес видалення середніх третин у відрізків, що залишаються, продовжимо необмежено. Безліч точок на прямій, що залишається після видалення всіх цих інтервалів, називається досконалим канторовим безліччю; ми позначатимемо його буквою \(P\) .

Розглянемо деякі властивості цієї множини. Безліч \(P\) замкнуте, так як воно утворюється шляхом видалення з прямої деякої, безлічі інтервалів, що не перетинаються. Безліч (P) не порожньо; принаймні у ньому містяться кінці всіх викинутих інтервалів.

Замкнене множина \(P\) називається досконалимякщо воно не містить ізольованих точок, тобто якщо кожна його точка є граничною точкою. Покажемо, що безліч (P) абсолютно. Справді, якби деяка точка \(x\) була ізольованою точкою множини \(P\), то вона служила б загальним кінцем двох суміжних інтервалів цієї множини. Але, згідно з побудовою, суміжні інтервали множини (P) не мають спільних кінців.

Безліч \(P\) не містить жодного інтервалу. Справді, припустимо, що певний інтервал \(\delta\) цілком належить множині \(P\). Тоді він цілком належить одному з відрізків, що виходять на \(n\)-му кроці побудови множини \(P\). Але це неможливо, оскільки при \(n\to\infty\) довжини цих відрізків прагнуть нуля.

Можна показати, що безліч (P) має потужність континууму. Зокрема, звідси випливає, що досконале канторово містить, крім кінців суміжних інтервалів, ще й інші точки. Справді, кінці суміжних інтервалів утворюють лише численне безліч.

Різноманітні типи точкових множин постійно зустрічаються в різних розділах математики, і знання їх властивостей зовсім необхідне при дослідженні багатьох математичних проблем. Особливо велике значення має теорія точкових множин для математичного аналізу та топології.

Наведемо кілька прикладів появи точкових множин у класичних розділах аналізу. Нехай \(f(x)\) - безперервна функція, задана на відрізку \(\). Зафіксуємо число \(\alpha\) і розглянемо безліч тих точок \(x\) , для яких \(f(x)\geqslant\alpha\). Неважко показати, що ця множина може бути довільною замкненою множиною, розташованою на відрізку \(\) . Так само безліч точок \(x\) , для яких \(f(x)>\alpha\) , може бути будь-яким відкритим безліччю \(G\subset\) . Якщо \(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots\)є послідовність безперервних функцій, заданих на відрізку \(\) , безліч тих точок \(x\) , де ця послідовність сходиться, не може бути довільним, а належить до цілком певного типу.

Математична дисципліна, що займається вивченням будови точкових множин, називається дескриптивною теорією множин. Дуже великі заслуги у справі розвитку дескриптивної теорії множин належать радянським математикам - Н. Н. Лузіну та його учням П. С. Александрову, М. Я. Сусліну, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьєву, П. С. Новікову , Л. В. Келдиш, А. А. Ляпунову та ін.

Дослідження М. М. Лузіна та його учнів показали, що є глибокий зв'язок між дескриптивною теорією множин та математичною логікою. Труднощі, що виникають під час розгляду низки завдань дескриптивної теорії множин (зокрема, завдань визначення потужності тих чи інших множин), є труднощами логічної природи. Навпаки, методи математичної логіки дозволяють глибше проникнути у деякі питання дескриптивної теорії множин.

ВИЗНАЧЕННЯ 5. Нехай Х - метричний простір, МÌ Х, аÎХ. Точка а називається граничною точкою М, якщо в будь-якій околиці є точки множини М(a). Останнє означає, що в будь-якій околиці є точки множини М, відмінні від а.

Зауваження. 1. Гранична точка може, як належати, так і не належати множині. Наприклад, 0 та 1 є граничними точками множини (0,2), але перша йому не належить, а друга належить.

2. Точка множини М може бути його граничною точкою. У цьому випадку вона називається ізольованою точкою М. Наприклад, 1 - ізольована точкамножини (-1,0)È(1).

3. Якщо гранична точка а не належить множині М, то знайдеться послідовність точок х n ÎM, що сходить до а в цьому метричному просторі. Для доказу достатньо взяти відкриті куліу цій точці радіусів 1/n і вибрати з кожної кулі точку, що належить М. Вірно і зворотне, якщо а є така послідовність, то точка є граничною.

ВИЗНАЧЕННЯ 6. Замиканням множини М називається об'єднання М з множиною його граничних точок. Позначення.

Зазначимо, що замикання кулі має збігатися із замкнутим кулею тієї самої радіуса. Наприклад, у дискретному просторі замикання кулі B(a,1) дорівнює самій кулі (складається з однієї точки a) тоді як замкнута куля(a,1) збігається з усім простором.

Опишемо деякі властивості замикання множин.

1. МÌ . Це випливає безпосередньо з визначення замикання.

2. Якщо М Ì N, то Ì . Справді, якщо a Î , a ÏМ, то у будь-якій околиці a є точки множини М. Вони ж є точками N. Тому aÎ . Для точок з М це зрозуміло за визначенням.

4. .

5. Замикання порожньої множини порожнє. Ця угода не випливає з загального визначенняале є природним.

ВИЗНАЧЕННЯ 7. Множина M Ì X називається замкненою, якщо = M.

Безліч M Ì X називається відкритим, якщо замкнута безліч XM.

Множина M Ì X називається всюди щільною в X, якщо = X.

ВИЗНАЧЕННЯ 8. Точка а називається внутрішньою точкою множини M, якщо B(a,r)ÌM при деякому позитивному r, тобто внутрішня точка входить до множини разом з деякою околицею. Точка а називається зовнішньою точкою множини M, якщо куля B(a,r)ÌХ/M при деякому позитивному r, тобто внутрішня точка не входить до множини разом з деякою околицею. Точки, які є ні внутрішніми, ні зовнішніми точками множини M, називаються граничними.

Таким чином, граничні точки характеризуються тим, що в кожному їх околиці є точки як вхідні, так і не входять до M.

ПРОПОЗИЦІЯ 4. Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб усі її точки були внутрішніми.

Прикладами замкнених множин на прямій є , )