Як досліджувати функцію на умовний екстремум. Найбільше та найменше значення функції у замкнутій області

Визначення1: Кажуть, що функція має в точці локальний максимум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції< 0.

Визначення2: Кажуть, що функція має в точці локальний мінімум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції > 0.

Визначення 3: Точки локальних мінімуму та максимуму називаються точками екстремуму.

Умовні екстремуми

При відшуканні екстремумів функції багатьох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом.Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.

Нехай задані функція та лінія Lна площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії Lзнайти таку точку P(x, y),в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції у точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки Pназиваються точками умовного екстремумуфункції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише в тих, що лежать на лінії L.

Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (кажуть також безумовного екстремуму) є точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Поясню сказане звичайним прикладом. Графіком функції є верхня напівсфера (Додаток 3 (Рис 3)).

Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина Mпівсфери. Якщо лінія Lє пряма, що проходить через крапки Аі У(її рівняння x+y-1=0), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками Аі Ст.Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції даної лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.

Зазначимо, що в заключній частині задачі про віднайдення найбільшого та найменшого значень функції в замкнутої областінам доводиться шукати екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання на умовний екстремум.

Приступимо тепер до практичного відшукання точок умовного екстремуму функції Z = f (x, y) за умови, що змінні x і y пов'язані рівнянням (x, y) = 0. Це співвідношення називатимемо рівняння зв'язку. Якщо рівняння зв'язку y можна виразити явно через х: y=(x), ми отримаємо функцію однієї змінної Z= f(x, (x)) = Ф(х).

Знайшовши значення х, при яких ця функція досягає екстремуму, і визначивши потім рівняння зв'язку відповідні їм значення у, ми отримаємо шукані точки умовного екстремуму.

Так, у наведеному вище прикладі з рівняння зв'язку x+y-1=0 маємо y=1-х. Звідси

Легко перевірити, що z досягає максимуму за х = 0,5; але тоді з рівняння зв'язку y=0,5, і ми отримуємо якраз точку P, знайдену з геометричних міркувань.

Дуже просто вирішується завдання на умовний екстремум і тоді, коли рівняння зв'язку можна уявити параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t). Підставляючи вирази для х і у цю функцію, Знову приходимо до завдання відшукання екстремуму функції однієї змінної.

Якщо рівняння зв'язку має більше складний вигляді нам не вдається ні явно висловити одну змінну через іншу, ні замінити його параметричними рівняннями, то завдання відшукання умовного екстремуму стає складнішим. Будемо, як і раніше, вважати, що у вираженні функції z=f(x, y) змінна (x, y) = 0. Повна похідна від функції z=f(x, y) дорівнює:

Де похідна y`, знайдена за правилом диференціювання неявної функції. У точках умовного екстремуму знайдена повна похідна повинна дорівнювати нулю; це дає одне рівняння, що зв'язує х та у. Оскільки вони повинні задовольняти ще й рівняння зв'язку, ми отримуємо систему двох рівнянь із двома невідомими

Перетворимо цю систему до більш зручної, записавши перше рівняння у вигляді пропорції і ввівши нову допоміжну невідому:

(Знак мінус перед поставлений для зручності). Від цих рівностей легко перейти до наступної системи:

f ` x = (x, y) + ` x (x, y) = 0, f ` y (x, y) + ` y (x, y) = 0 (*),

яка разом із рівнянням зв'язку (x, y) = 0 утворює систему трьох рівнянь з невідомими х, у в.

Ці рівняння (*) найлегше запам'ятати за допомогою наступного правила: щоб знайти точки, які можуть бути точками умовного екстремуму функції

Z= f(x, y) при рівнянні зв'язку (x, y) = 0, потрібно утворити допоміжну функцію

Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y)

Де - деяка стала, і скласти рівняння для відшукання точок екстремуму цієї функції.

Зазначена система рівнянь доставляє, як правило, тільки необхідні умови, тобто. не кожна пара значень х і у, що задовольняє цій системі, обов'язково є точкою умовного екстремуму. Достатні умови для точок умовного екстремуму я наводити не стану; Найчастіше конкретний зміст завдання саме підказує, чим є знайдена точка. Описаний прийом розв'язання задач на умовний екстремум називається методом множників Лагранжа.

Спочатку розглянемо випадок функції двох змінних. Умовним екстремумом функції $z=f(x,y)$ у точці $M_0(x_0;y_0)$ називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні $x$ і $y$ в околиці цієї точки задовольняють рівняння зв'язку $\ varphi (x, y) = 0 $.

Назва «умовний» екстремум пов'язана з тим, що на змінні накладено додаткову умову $ Varphi (x, y) = 0 $. Якщо з рівняння зв'язку можна виразити одну змінну через іншу, то завдання визначення умовного екстремуму зводиться до завдання на звичайний екстремум функції однієї змінної. Наприклад, якщо з рівняння зв'язку випливає $y=\psi(x)$, то підставивши $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$, отримаємо функцію однієї змінної $z=f\left (x, \ psi (x) \ right) $. У загальному випадкуПроте такий метод малопридатний, тому потрібно введення нового алгоритму.

Метод множників Лагранжа для функцій двох змінних.

Метод множників Лагранжа полягає в тому, що для відшукання умовного екстремуму складають функцію Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$ (параметр $lambda$ називають множником Лагранжа ). Необхідні умови екстремуму задаються системою рівнянь, з якої визначаються стаціонарні точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$$

Достатньою умовою, з якої можна з'ясувати характер екстремуму, є знак $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Якщо стаціонарної точці $d^2F > 0$, то функція $z=f(x,y)$ має у цій точці умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, то условный максимум.

Є й інший спосіб визначення характеру екстремуму. З рівняння зв'язку отримуємо: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_ (y)^("))dx$, тому в будь-якій стаціонарній точці маємо:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Другий помножувач (розташований у дужці) можна представити у такій формі:

Червоним кольором виділено елементи визначника $ \ left | \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, який є гесіаном функції Лагранжа. Якщо $H > 0$, то $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, тобто. маємо умовний мінімум функції $ z = f (x, y) $.

Примітка щодо форми запису визначника $H$. показати\сховати

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

У цій ситуації сформульоване вище правило зміниться так: якщо $H > 0$, то функція має умовний мінімум, а при $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритм дослідження функції двох змінних на умовний екстремум

Скласти функцію Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$
Вирішити систему $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$
Визначити характер екстремуму у кожній із знайдених у попередньому пункті стаціонарних точок. Для цього застосувати будь-який із зазначених способів:
- Скласти визначник $H$ та з'ясувати його знак
- З урахуванням рівняння зв'язку обчислити знак $d^2F$

Метод множників Лагранжа для функцій n змінних

Допустимо, ми маємо функцію $n$ змінних $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ і $m$ рівнянь зв'язку ($n > m$):

$ $ \ Varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Позначивши множники Лагранжа як $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, складемо функцію Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необхідні умови наявності умовного екстремуму задаються системою рівнянь, з якої знаходяться координати стаціонарних точок та значення множників Лагранжа:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

З'ясувати, умовний мінімум чи умовний максимум має функція у знайденій точці, можна, як і раніше, за допомогою символу $d^2F$. Якщо знайденої точці $d^2F > 0$, то функція має умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Визначник матриці $ \ left | \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, виділеної в матриці $L$ червоним, є гессиан функції Лагранжа. Використовуємо таке правило:

Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матриці $L$ збігаються зі знаком $(-1)^m$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного мінімуму функції $z=f(x_1,x_2 , x_3, \ ldots, x_n) $.
Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ чергуються, причому знак мінору $H_(2m+1)$ збігається зі знаком числа $(-1)^(m+1)$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного максимуму функції $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.

Приклад №1

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=x+3y$ за умови $x^2+y^2=10$.

Геометрична інтерпретація цього завдання така: потрібно знайти найбільше і найменше значенняаплікати площини $z=x+3y$ для точок її перетину з циліндром $x^2+y^2=10$.

Виразити одну змінну через іншу з рівняння зв'язку і підставити її у функцію $z(x,y)=x+3y$ дещо важко, тому будемо використовувати метод Лагранжа.

Позначивши $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, складемо функцію Лагранжа:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Запишемо систему рівнянь визначення стаціонарних точок функції Лагранжа:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligned) \right.$$

Якщо припустити $\lambda=0$, перше рівняння стане таким: $1=0$. Отримане протиріччя свідчить, що $lambdaneq 0$. За умови $\lambda\neq 0$ з першого та другого рівнянь маємо: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda)$. Підставляючи отримані значення третє рівняння, отримаємо:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Отже, система має два рішення: $ x_1 = 1; \; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ і $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці: $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$. І тому обчислимо визначник $H$ у кожному з точок.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda. \ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

У точці $ M_1 (1; 3) $ отримаємо: $ H = 8 \ cdot \ left | \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, тому в точці $M_1(1;3)$ функція $z(x,y)=x+3y$ має умовний максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Аналогічно, у точці $M_2(-1;-3)$ знайдемо: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Оскільки $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Зазначу, що замість обчислення значення визначника $H$ у кожній точці набагато зручніше розкрити його в загальному вигляді. Щоб не захаращувати текст подробицями, цей спосіб приховую під примітку.

Запис визначника $H$ у загальному вигляді. показати\сховати

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\x&\lambda&0\y&0&lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

У принципі, очевидно, який знак має $H$. Оскільки жодна з точок $M_1$ або $M_2$ не збігається з початком координат, $y^2+x^2>0$. Отже, знак $H$ протилежний символу $\lambda$. Можна і довести обчислення до кінця:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$

Питання характер екстремуму в стаціонарних точках $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$ можна вирішити без використання визначника $H$. Знайдемо знак $d^2F$ у кожній стаціонарній точці:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Зазначу, що запис $dx^2$ означає саме $dx$, зведений на другий ступінь, тобто. $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Звідси маємо: $dx^2+dy^2>0$, тому при $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ отримаємо $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В наступний прикладдля визначення знака $d^2F$ вже необхідно врахувати зв'язок між $dx$ і $dy$.

Відповідь: у точці $(-1;-3)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=-10$. У точці $(1;3)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=10$

Приклад №2

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ за умови $x+y=0$.

Перший спосіб (метод множників Лагранжа)

Позначивши $\varphi(x,y)=x+y$ складемо функцію Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y) = 9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda = 0; \ \ & x + y = 0. \end (aligned) \right.

Вирішивши систему, отримаємо: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ і $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9)$ , $ \ lambda_2 = -10 $. Маємо дві стаціонарні точки: $M_1(0;0)$ і $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці з використанням визначника $H$.

$ $ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

У точці $ M_1 (0; 0) $ $ H = -10-18 \ cdot 0 = -10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, тому у цій точці функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Досліджуємо характер екстремуму в кожній з точок іншим способом, виходячи з знаку $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy^2 $$

З рівняння зв'язку $x+y=0$ маємо: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Оскільки $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ є точкою умовного мінімуму функції $z(x,y)=3y^3+4x^ 2-xy $. Аналогічно $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Другий спосіб

З рівняння зв'язку $x+y=0$ отримаємо $y=-x$. Підставивши $y=-x$ у функцію $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, отримаємо деяку функцію змінної $x$. Позначимо цю функцію як $u(x)$:

$$u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Таким чином, задачу про знаходження умовного екстремуму функції двох змінних ми звели до завдання визначення екстремуму функції однієї змінної.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\ -9x^2+10x=0; \;x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ y_1=-x_1=0;\\x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).

Отримали точки $M_1(0;0)$ і $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Подальше дослідженнявідомо з курсу диференціального обчисленняфункцій однією зміною. Досліджуючи знак $u_(xx)^("")$ у кожній стаціонарній точці або перевіряючи зміну знака $u_(x)^(")$ у знайдених точках, отримаємо ті самі висновки, що і при вирішенні першим способом. Наприклад, перевіримо знак $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Оскільки $u_(xx)^("")(M_1)>0$, то $M_1$ - точка мінімуму функції $u(x)$, у своїй $u_(\min)=u(0)=0$ . Оскільки $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Значення функції $u(x)$ за заданої умови зв'язку збігаються зі значеннями функції $z(x,y)$, тобто. знайдені екстремуми функції $u(x)$ і є умовні екстремуми функції $z(x,y)$, що шукаються.

Відповідь: у точці $(0;0)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=0$. У точці $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Розглянемо ще один приклад, у якому характер екстремуму з'ясуємо у вигляді визначення знака $d^2F$.

Приклад №3

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=5xy-4$, якщо змінні $x$ і $y$ позитивні та задовольняють рівняння зв'язку $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2) -1 = 0 $.

Складемо функцію Лагранжа: $ F = 5xy-4 + lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1 = 0; \ \ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right.$$

Усі подальші перетворення здійснюються з урахуванням $x>0; \; y > 0$ (це обумовлено за умови завдання). З другого рівняння виразимо $\lambda=-\frac(5x)(y)$ і підставимо знайдене значення в перше рівняння: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Підставляючи $x=2y$ у третє рівняння, отримаємо: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.

Оскільки $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер екстремуму у точці $(2;1)$ визначимо, з знаку $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Оскільки $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, то:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

В принципі, тут можна відразу підставити координати стаціонарної точки $x=2$, $y=1$ та параметра $\lambda=-10$, отримавши при цьому:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Однак в інших завданнях на умовний екстремум стаціонарних точок може бути декілька. У таких випадках краще $d^2F$ уявити в загальному вигляді, а потім підставляти в отриманий вираз координати кожної зі знайдених стаціонарних точок:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\=\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Підставляючи $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, отримаємо:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Оскільки $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Відповідь: у точці $(2;1)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=6$.

У наступній частині розглянемо застосування методу Лагранжа для функцій більшої кількостізмінних.

Необхідне та достатні умовиекстремуму функцій двох змінних.Точка називається точкою мінімуму (максимуму) функції якщо у певній околиці точки функція визначена і задовольняє нерівності (відповідно Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму функції).

Необхідна умова екстремуму. Якщо точці екстремуму функція має перші приватні похідні, всі вони звертаються у цій точці нанівець. Звідси випливає, що для відшукання точок екстремуму такої функції слід вирішити систему рівнянь точки, координати яких задовольняють цій системі, називаються критичними точками функції. Серед них можуть бути точки максимуму, точки мінімуму, а також точки, які не є точками екстремуму.

Достатні умови екстремуму використовуються виділення точок екстремуму з безлічі критичних точок і наведені нижче.

Нехай функція має у критичній точці безперервні другі приватні похідні. Якщо у цій точці виконується

умова то вона є точкою мінімуму при і точкою максимуму при Якщо в критичній точці вона не є точкою екстремуму. Що стосується потрібно більш тонке дослідження характеру критичної точки, яка у разі може бути точкою екстремуму, і може й бути такий.

Екстремуми функцій трьох змінних.У разі функції трьох змінних визначенняточок екстремуму дослівно повторюють відповідні визначення функції двох змінних. Обмежимося викладом порядку вивчення функції на екстремум. Вирішуючи систему рівнянь слід знайти критичні точкифункції, а потім у кожній з критичних точок обчислити величини

Якщо всі три величини позитивні, то критична точка, що розглядається, є точкою мінімуму; якщо дана критична точка є точкою максимуму.

Умовний екстремум функції двох змінних.Точка називається точкою умовного мінімуму (максимуму) функції за умови, якщо існує околиця точки в якій функція визначена і в якій (відповідно) для всіх точок координати яких задовольняють рівнянню

Для знаходження точок умовного екстремуму використовують функцію Лагранжа

де число називається множником Лагранжа. Вирішуючи систему трьох рівнянь

знаходять критичні точки функції Лагранжа (і навіть значення допоміжного множника Л). У цих критичних точках може бути умовний екстремум. Наведена система дає лише необхідні умови екстремуму, але не достатні: їй можуть задовольняти координати точок, які не є точками умовного екстремуму. Проте, з суті завдання, часто вдається встановити характер критичної точки.

Умовний екстремум функції багатьох змінних.Розглянемо функцію змінних за умови, що пов'язані рівняннями

Достатня умова екстремуму функції двох змінних

1. Нехай функція безперервно диференційована в околиці точки і має безперервні приватні похідні другого порядку (чисті та змішані).

2. Позначимо за визначник другого порядку

екстремум змінна лекційна функція

Теорема

Якщо точка з координатами є стаціонарною точкою для функції, то:

А) При вона є точкою локального екстремуму, причому, при локального максимуму, - Локального мінімуму;

В) при точку не є точкою локального екстремуму;

С) якщо, можливо і те, й інше.

Доведення

Запишемо формулу Тейлора для функції, обмежившись двома членами:

Оскільки за умовою теореми точка є стаціонарною, то приватні похідні другого порядку дорівнюють нулю, тобто. в. Тоді

Позначимо

Тоді збільшення функції набуде вигляду:

Через безперервність приватних похідних другого порядку (чистих і змішаних) за умовою теореми в точці можна записати:

Де чи; ,

1. Нехай і, тобто. або.

2. Збільшення функції помножимо і розділимо на, отримаємо:

3. Доповнимо вираз у фігурних дужках до повного квадратасуми:

4. Вираз у фігурних дужках невід'ємний, оскільки

5. Тому якщо отже, і, отже, відповідно до визначення, точка є точкою локального мінімуму.

6. Якщо отже, і, то, згідно з визначенням точка з координатами - точка локального максимуму.

2. Розглянемо квадратний тричлен, його дискримінант; .

3. Якщо, то існують такі точки, що багаточлен

4. Повне збільшення функції в точці відповідно до виразу, отриманого в I, запишемо у вигляді:

5. Через безперервність приватних похідних другого порядку за умовою теореми в точці можна записати, що

отже, існує - околиця точки, що для будь-якої точки квадратний тричлен більше нуля:

6. Розглянемо - околиця точки.

Виберемо будь-яке значення, тож точка. Вважаючи, що у формулі збільшення функції

Що, отримаємо:

7. Тому що.

8. Розмірковуючи аналогічно для кореня, отримаємо, що в будь-якій точки точки існує точка для якої, отже, в околиці точки не зберігає знак, отже в точці екстремуму немає.

Умовний екстремум функції двох змінних

При відшуканні екстремумів функції двох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом. Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.

Нехай задані функція та лінія L на площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії L знайти таку точку P (x, y), в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції в точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки P називають точками умовного екстремуму функції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише тих, які лежать на лінії L.

Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (говорять також безумовного екстремуму) є і точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Проілюструємо сказане з прикладу.

Приклад №1. p align="justify"> Графіком функції є верхня півсфера (рис. 2).

Мал. 2.

Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина M півсфери. Якщо лінія L є пряма, що проходить через точки А та В (її рівняння), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками А і В. Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції цієї лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.

Зазначимо, що у заключній частині завдання знайти найбільшого і найменшого значень функції у замкнутої області доводиться шукати екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання умовного екстремуму.

Визначення 1.Говорять, що, де має в точці, яка задовольняє рівняння, умовний або відносний максимум (мінімум): якщо для будь-якої, яка задовольняє рівняння, виконується нерівність

Визначення 2.Рівняння виду називається рівнянням зв'язку.

Теорема

Якщо функції і безперервно диференційовані в околиці точки, і похідна, і точка є точкою умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку, то визначник другого порядку дорівнює нулю:

Доведення

1. Так як за умовою теореми приватна похідна, а значення функції, то в деякому прямокутнику

визначено неявну функцію

Складна функція двох змінних у точці буде мати локальний екстремум, отже, або.

2. Дійсно, згідно з властивістю інваріантності формули диференціалу першого порядку

3. Рівняння зв'язку можна уявити у такому вигляді, отже

4. Помножимо рівняння (2) на, а (3) на і складемо їх

Отже, при

довільному. ч.т.д.

Слідство

Пошук точок умовного екстремуму функції двох змінних практично здійснюється шляхом вирішення системи рівнянь

Так, у наведеному вище прикладі №1 з рівняння зв'язку маємо. Звідси легко перевірити, що досягає максимуму при. Але тоді із рівняння зв'язку. Отримуємо точку P, знайдену геометрично.

Приклад №2.Знайти точки умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку.

Знайдемо приватні похідні заданої функціїта рівняння зв'язку:

Складемо визначник другого порядку:

Запишемо систему рівнянь для відшукання точок умовного екстремуму:

отже, є чотири точки умовного екстремуму функції з координатами: .

Приклад №3.Знайти точки екстремуму функції.

Прирівнюючи приватні похідні до нуля: знаходимо одну стаціонарну точку - початок координат. Тут. Отже, і точка (0, 0) не є точкою екстремуму. Рівняння є рівняння гіперболічного параболоїда(Рис. 3) на малюнку видно, що точка (0, 0) не є точкою екстремуму.

Мал. 3.

Найбільше та найменше значення функції у замкнутій області

1. Нехай функція визначена та безперервна в обмеженій замкнутій ділянці D.

2. Нехай у цій галузі функція має кінцеві приватні похідні, крім окремих точокобласті.

3. Відповідно до теореми Вейєрштраса в цій області знайдеться точка, в якій функція набуде найбільшого та найменшого значення.

4. Якщо ці точки будуть внутрішніми точками області D, то, очевидно, вони будуть максимум або мінімум.

5. У цьому випадку цікаві для нас точки знаходяться серед підозрілих точок на екстремум.

6. Однак, найбільше або найменше значення функція може приймати і на межі області D.

7. Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції у сфері D, потрібно знайти все внутрішні точкипідозрілі на екстремум, обчислити значення функції в них, потім порівняти зі значенням функції в прикордонних точках області, і найбільше з усіх знайдених значень буде найбільшим замкнутої області D.

8. Метод відшукання локального максимуму чи мінімуму розглядався раніше у п. 1.2. та 1.3.

9. Залишається розглянути спосіб пошуку максимального і меншого значення функції межі області.

10. У разі функції двох змінних областьзазвичай виявляється обмеженою кривою або кількома кривими.

11. Уздовж такої кривої (або кількох кривих) змінні і або залежать одна від одної, або обидві залежать від одного параметра.

12. Таким чином, на кордоні функція виявляється залежною від однієї змінної.

13. Спосіб відшукання найбільшого значенняфункції однієї змінної було розглянуто раніше.

14. Нехай межа області D задана параметричними рівняннями:

Тоді на цій кривій функція двох змінних буде складною функцією від параметра: . Для такої функції найбільше та найменше значення визначається за методикою визначення найбільшого та найменшого значення для функції однієї змінної.

Екстремуми функцій кількох змінних. Необхідна умова екстремуму. Достатня умова екстремуму. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Знаходження найбільших та найменших значень.

лекція 5.

Визначення 5.1.Крапка М 0 (х 0, у 0)називається точкою максимумуфункції z = f(x, y),якщо f (x o , y o) > f(x, y)для всіх точок (х, у) М 0.

Визначення 5.2.Крапка М 0 (х 0, у 0)називається точкою мінімумуфункції z = f(x, y),якщо f (x o , y o) < f(x, y)для всіх точок (х, у)з деякої околиці точки М 0.

Зауваження 1. Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремумуфункції кількох змінних.

Зауваження 2. Аналогічно визначається точка екстремуму для функції від будь-якої кількості змінних.

Теорема 5.1(Необхідні умови екстремуму). Якщо М 0 (х 0, у 0)– точка екстремуму функції z = f(x, y),то в цій точці приватні похідні першого порядку даної функції дорівнюють нулю або існують.

Доведення.

Зафіксуємо значення змінної у, вважаючи у = у 0. Тоді функція f (x, y 0)буде функцією однієї змінної х, для котрої х = х 0є точкою екстремуму. Отже, за теоремою Ферма чи не існує. Аналогічно доводиться таке саме твердження для .

Визначення 5.3.Точки, що належать області визначення функції кількох змінних, у яких приватні похідні функції дорівнюють нулю або не існують, називаються стаціонарними точкамицієї функції.

Зауваження. Таким чином, екстремум може досягатися тільки в стаціонарних точках, але не обов'язково він спостерігається у кожній із них.

Теорема 5.2(Достатні умови екстремуму). Нехай в деякій околиці точки М 0 (х 0, у 0), що є стаціонарною точкою функції z = f(x, y),ця функція має безперервні приватні похідні до 3-го порядку включно. Позначимо:

1) f(x, y)має в точці М 0максимум, якщо AC – B² > 0, A < 0;

2) f(x, y)має в точці М 0мінімум, якщо AC – B² > 0, A > 0;

3) екстремум у критичній точці відсутня, якщо AC – B² < 0;

4) якщо AC – B² = 0, необхідне додаткове дослідження.

Доведення.

Напишемо формулу Тейлора другого порядку для функції f (x, y),пам'ятаючи про те, що в стаціонарній точці приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю:

де Якщо кут між відрізком М 0 М, де М (х 0+Δ х, у 0 +Δ у), і віссю О хпозначити φ, то Δ х =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. При цьому формула Тейлора набуде вигляду: . Нехай Тоді можна розділити та помножити вираз у дужках на А. Отримаємо:

Розглянемо тепер чотири можливі випадки:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и за досить малих Δρ. Отже, в деякій околиці М 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), тобто М 0- Точка максимуму.

2) Нехай AC – B² > 0, A> 0.Тоді , і М 0- Точка мінімуму.

3) Нехай AC-B² < 0, A> 0. Розглянемо збільшення аргументів вздовж променя φ = 0. Тоді з (5.1) випливає, що , тобто під час руху вздовж цього променя функція зростає. Якщо ж переміщатися вздовж такого променя, що tg φ 0 = -A/B,то , Отже, під час руху вздовж цього променя функція зменшується. Значить, точка М 0не є точкою екстремуму.

3`) При AC – B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

аналогічно попередньому.

3``) Якщо AC – B² < 0, A= 0, то. При цьому . Тоді при досить малих вираз 2 B cosφ + C sinφ близько до 2 У, тобто зберігає постійний знак, а sinφ змінює знак на околиці точки М0.Значить, збільшення функції змінює знак в околиці стаціонарної точки, яка тому не є точкою екстремуму.

4) Якщо AC – B² = 0, а , , тобто знак збільшення визначається знаком 2α 0 . При цьому для з'ясування питання існування екстремуму необхідне подальше дослідження.

приклад. Знайдемо точки екстремуму функції z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Для пошуку стаціонарних точок вирішимо систему . Отже, стаціонарна точка (-2,-1). При цьому А = 2, У = -2, З= 4. Тоді AC – B² = 4 > 0, отже, у стаціонарній точці досягається екстремум, а саме мінімум (бо A > 0).

Визначення 5.4.Якщо аргументи функції f (x 1, x 2, ..., x n)пов'язані додатковими умовамиу вигляді mрівнянь ( m< n) :

φ 1 ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, φ 2 ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, …, φ m ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, (5.2)

де функції φ i мають безперервні похідні приватні, то рівняння (5.2) називаються рівняннями зв'язку.

Визначення 5.5.Екстремум функції f (x 1, x 2, ..., x n)при виконанні умов (5.2) називається умовним екстремумом.

Зауваження. Можна запропонувати таке геометричне тлумачення умовного екстремуму функції двох змінних: нехай аргументи функції f(x, y)пов'язані рівнянням φ (х,у)= 0, що задає деяку криву в площині ху. Відновивши з кожної точки цієї кривої перпендикуляри до площини худо перетину з поверхнею z = f(x, y),отримаємо просторову криву, що лежить на поверхні над кривою φ (х,у)= 0. Завдання полягає у пошуку точок екстремуму отриманої кривої, які, зрозуміло, у випадку не збігаються з точками безумовного екстремуму функції f(x, y).

Визначимо необхідні умови умовного екстремуму для функції двох змінних, запровадивши попередньо наступне визначення:

Визначення 5.6.Функція L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

де λ i –деякі постійні, називається функцією Лагранжа, а числа λ i– невизначеними множниками Лагранжа.

Теорема 5.3(Необхідні умови умовного екстремуму). Умовний екстремум функції z = f(x, y)за наявності рівняння зв'язку φ ( х, у)= 0 може досягатися лише у стаціонарних точках функції Лагранжа L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y).

Доведення. Рівняння зв'язку задає неявну залежність увід х, тому вважатимемо, що ує функція від х: у = у(х).Тоді zє складна функціявід х, та її критичні точки визначаються умовою: . (5.4) З рівняння зв'язку випливає, що . (5.5)

Помножимо рівність (5.5) на деяке число і складемо з (5.4). Отримаємо:

, або .

Остання рівність має виконуватися в стаціонарних точках, звідки слідує:

(5.6)

Отримано систему трьох рівнянь щодо трьох невідомих: х, ута λ, причому перші два рівняння є умовами стаціонарної точки функції Лагранжа. Виключаючи із системи (5.6) допоміжне невідоме λ, знаходимо координати точок, у яких вихідна функція може мати умовний екстремум.

Зауваження 1. Перевірку наявності умовного екстремуму в знайденій точці можна провести за допомогою дослідження приватних похідних другого порядку функції Лагранжа за аналогією до теореми 5.2.

Зауваження 2. Точки, в яких може досягатися умовний екстремум функції f (x 1, x 2, ..., x n)при виконанні умов (5.2) можна визначити як рішення системи (5.7)

приклад. Знайдемо умовний екстремум функції z = xyза умови х + у= 1. Складемо функцію Лагранжа L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Система (5.6) виглядає так:

Звідки -2λ=1, λ=-0,5, х = у = -λ = 0,5. При цьому L(x, y)можна уявити у вигляді L(x, y) = - 0,5 (x – y)² + 0,5 ≤ 0,5, тому у знайденій стаціонарній точці L(x, y)має максимум, а z = xy -умовний максимум.