Безліч називається замкнутим якщо. Повнота

Відкриті та замкнуті множини

Додаток 1 . Відкриті та замкнуті множини

Безліч Mна прямий називається відкритим, якщо кожна його точка збереться в цій множині разом з деяким інтервалом. Замкнутимназивається безліч, що містить всі свої граничні точки (тобто такі, що будь-який інтервал, що містить цю точку, перетинається з безліччю ще хоча б по одній точці). Наприклад, відрізок є замкнутим безліччюале не є відкритим, а інтервал, навпаки, є відкритим безліччю, але не є замкнутим. Бувають множини, які не є ні відкритими, ні замкнутими (наприклад, напівінтервал). Існують дві множини, які одночасно і замкнуті, і відкриті - це порожнє і все Z(Доведіть, що інших немає). Легко бачити, що якщо Mвідкрито, то [` M] (або Z \ M- Доповнення до безлічі Mдо Z) замкнуто. Справді, якщо [ M] не замкнуте, воно не містить якусь свою граничну точку m. Але тоді mПро M, причому кожен інтервал, що містить m, перетинається з безліччю [ M], тобто має точку, що не лежить в M, а це суперечить тому, що M- Відкрите. Аналогічно, теж прямо з визначення, доводиться, що якщо Mзамкнуто, то [ M] відкрито (перевірте!).

Тепер доведемо таку важливу теорему.

Теорема. Будь-яке відкрите безліч Mможна у вигляді об'єднання інтервалів з раціональними кінцями (тобто з кінцями в раціональних точках).

Доведення . Розглянемо об'єднання Uвсіх інтервалів з раціональними кінцями, які є підмножинами нашої множини. Доведемо, що це об'єднання збігається з усією множиною. Справді, якщо m- Якась точка з M, то існує інтервал ( m 1 , m 2) М M, що містить m(це випливає з того, що M- Відкрите). На будь-якому інтервалі можна знайти оптимальну точку. Нехай на ( m 1 , m) – це m 3 , на ( m, m 2) - це m 4 . Тоді точка mпокрита об'єднанням U, а саме, інтервалом ( m 3 , m 4). Таким чином, ми довели, що кожна точка mз Mпокрита об'єднанням U. Крім того, як очевидно випливає з побудови U, ніяка точка, що не міститься в M, не покрита U. Значить, Uі Mзбігаються.

Важливим наслідком цієї теореми є той факт, що будь-яке відкрите безліч є лічильнийпоєднання інтервалів.

Ніде нещільні множини і безлічі міри нуль. Канторове безліч>

Додаток 2 . Ніде не щільні множини і безлічі міри нуль. Канторове безліч

Безліч Aназивається ніде не щільним, якщо для будь-яких різних точок aі bзнайдеться відрізок [ c, d] М [ a, b], що не перетинається з A. Наприклад, безліч точок послідовності a n = [ 1/(n)] є ніде не щільним, а безліч раціональних чисел- Ні.

Теорема Бера. Відрізок не можна у вигляді рахункового об'єднання ніде не щільних множин.

Доведення . Припустимо, що існує послідовність A kніде не щільних множин, таких що І i A i = [a, b]. Побудуємо наступну послідовність відрізків. Нехай I 1 – якийсь відрізок, вкладений у [ a, b] і не перетинається з A 1 . За визначенням ніде не щільної множини на відрізку I 1 знайдеться відрізок, що не перетинається з безліччю A 2 . Назвемо його I 2 . Далі, на відрізку I 2 візьмемо аналогічним чином відрізок I 3 , що не перетинається з A 3 , і т. д. I kвкладених відрізків є загальна точка(це одне з основних властивостей дійсних чисел). Ця точка з побудови не лежить в жодній з множин A k, отже, ці множини не покривають весь відрізок [ a, b].

Назвемо безліч M що мають міру нульякщо для будь-якого позитивного e знайдеться послідовність I kінтервалів із сумарною довжиною менше e , що покриває M. Очевидно, що будь-яка лічильна множина має міру нуль. Однак бувають і численні множини, що мають міру нуль. Побудуємо одне таке, дуже відоме, зване канторовим.

Візьмемо відрізок. Поділимо його на три рівні частини. Середній відрізок викинемо (рис. 11, а). Залишиться два відрізки сумарної довжини [2/3]. З кожним з них проробимо таку саму операцію (рис. 11, б). Залишиться чотири відрізки сумарної довжини [4/9] = ([2/3]) \ B 2 . Продовжуючи так далі (рис. 11, в–е) до нескінченності, отримуємо безліч, яка має міру менше будь-якогонаперед заданою позитивною, тобто міру нуль. Можна встановити взаємно однозначну відповідність між точками цієї множини та нескінченними послідовностями нулів та одиниць. Якщо при першому "викиданні" наша точка потрапила у правий відрізок, поставимо на початку послідовності 1, якщо в лівий – 0 (рис. 11, а). Далі, після першого "викидання", отримуємо маленьку копію великого відрізка, з якої робимо так само: якщо наша точка після викидання потрапила у правий відрізок, поставимо 1, якщо в лівий - 0, і т. д. (перевірте взаємну однозначність) , Мал. 11, б, в. Оскільки безліч послідовностей нулів та одиниць має потужність континуум, канторова безліч також має потужність континуум. Крім того, нескладно довести, що воно ніде не щільне. Однак невірно, що воно має сувору міру нуль (див. визначення суворої міри). Ідея доказу цього факту наступного: візьмемо послідовність a n, що дуже швидко прагне до нуля. Для цього підійде, наприклад, послідовність a n = [ 1/(2 2 n)]. Після чого доведемо, що цією послідовністю не можна покрити канторово безліч (зробіть це!).

Додаток 3 . Завдання

Операції над множинами

Безліч Aі Bназиваються рівними, якщо кожен елемент множини Aналежить безлічі B, і навпаки. Позначення: A = B.

Безліч Aназивається підмножиноюбезлічі B, якщо кожен елемент множини Aналежить безлічі B. Позначення: AМ B.

1. Для кожних двох з наступних множин вказати, чи є одна з них підмножиною іншого:

2. Доведіть, що безліч Aтоді і тільки тоді є підмножиною множини B, коли кожен елемент, що не належить B, не належить A.

3. Доведіть, що для довільних множин A, Bі C

а) AМ A; б) якщо AМ Bі BМ C, то AМ C;

в) A = Bякщо і тільки якщо AМ Bі BМ A.

Безліч називається порожнімякщо воно не містить жодного елемента. Позначення: Ж .

4. Скільки елементів у кожної з наступних множин:

5. Скільки підмножин у множини з трьох елементів?

6. Чи може у множини бути рівно а) 0; б *) 7; в) 16 підмножин?

Об'єднанняммножин Aі B x, що xПро Aабо xПро B. Позначення: AІ B.

Перетиноммножин Aі Bназивається безліч, що складається з таких x, що xПро Aі xПро B. Позначення: AЗ B.

Різницямножин Aі Bназивається безліч, що складається з таких x, що xПро Aі xП B. Позначення: A \ B.

7. Дано безлічі A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Знайдіть безліч:

8. Нехай A– безліч парних чисел, а B– множина чисел, що діляться на 3. Знайдіть AЗ B.

9. Доведіть, що для будь-яких множин A, B, C

а) AІ B = BІ A, AЗ B = BЗ A;

б) AІ ( BІ C) = (AІ B)І C, AЗ ( BЗ C) = (AЗ B)З C;

в) AЗ ( BІ C) = (AЗ B)І ( AЗ C), AІ ( BЗ C) = (AІ B)З ( AІ C);

г) A \ (BІ C) = (A \ B)З ( A \ C), A \ (BЗ C) = (A \ B)І ( A \ C).

10. Чи правда, що для будь-яких множин A, B, C

Відображення множин

Якщо кожному елементу xбезлічі Xпоставлений у відповідність рівно один елемент f(x) множини Y, то кажуть, що поставлено відображення fз множини Xу безліч Y. При цьому, якщо f(x) = y, то елемент yназивається чиномелемента xпри відображенні f, а елемент xназивається прообразомелемента yпри відображенні f. Позначення: f: X ® Y.

11. Намалюйте всілякі відображення з множини (7,8,9) до множини (0,1).

Нехай f: X ® Y, yПро Y, AМ X, BМ Y. Повним прообразом елемента y при відображенні fназивається безліч ( xПро X | f(x) = y). Позначення: f - 1 (y). Образом безлічі AМ X при відображенні fназивається безліч ( f(x) | xПро A). Позначення: f(A). Прообразом множини BМ Y називається безліч ( xПро X | f(x) Про B). Позначення: f - 1 (B).

12. Для відображення f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), заданого картинкою, знайдіть f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

13. Нехай f: X ® Y, A 1 , A 2 М X, B 1 , B 2 М Y. Чи завжди вірно, що

а) f(X) = Y;

б) f - 1 (Y) = X;

в) f(A 1 І A 2) = f(A 1)І f(A 2);

г) f(A 1 З A 2) = f(A 1) З f(A 2);

д) f - 1 (B 1 І B 2) = f - 1 (B 1)І f - 1 (B 2);

е) f - 1 (B 1 З B 2) = f - 1 (B 1) З f - 1 (B 2);

ж) якщо f(A 1) М f(A 2), то A 1 М A 2 ;

з) якщо f - 1 (B 1) М f - 1 (B 2), то B 1 М B 2 ?

Композицієювідображень f: X ® Yі g: Y ® Zназивається відображення, що зіставляє елементу xбезлічі Xелемент g(f(x)) безлічі Z. Позначення: g° f.

14. Доведіть, що для довільних відображень f: X ® Y, g: Y ® Zі h: Z ® Wвиконується таке: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. Нехай f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5)– відображення, показані на малюнку:

Намалюйте картинки для наступного відображення:

а) g° f; б) h° g; в) f° h° g; г) g° h° f.

Відображення f: X ® Yназивається бієктивним, якщо для кожного yПро Yзнайдеться рівно один xПро Xтакий, що f(x) = y.

16. Нехай f: X ® Y, g: Y ® Z. Чи правда, що якщо fі gбієктивні, то й g° fбієктивно?

17. Нехай f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3) – відображення, зображені на малюнку:

18. Про кожні два з наступних множин з'ясуйте, чи існує біокція з першого до другого (треба вважати, що нуль – натуральне число):

а) безліч натуральних чисел;

б) безліч парних натуральних чисел;

в) множина натуральних чисел без числа 3.

Метричним просторомназивається множиться Xіз заданою метрикою r : X× X ® Z

1) " x,yПро X r ( x,y) і 0, причому r ( x,y) = 0, якщо і тільки якщо x = y (невід'ємність ); 2) " x,yПро X r ( x,y) = r ( y,x) (симетричність ); 3) " x,y,zПро X r ( x,y) + r ( y,z) і r ( x,z) (нерівність трикутника ). 19 19. X

а) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

б) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C[a,ba,b] функцій,

відкритим(відповідно, замкнутим) кулею радіусу rв просторі Xз центром у точці xназивається безліч U r (x) = {yПро x: r ( x,y) < r) (відповідно, B r (x) = {yПро X: r ( x,y) Ј r}).

Внутрішньою точкоюбезлічі UМ X U

відкритим околицеюцієї точки.

Граничною точкоюбезлічі FМ X F.

замкнутим

20. Доведіть, що

21. Доведіть, що

б) об'єднання множини A замикання A

Відображення f: X ® Yназивається безперервним

22.

23. Доведіть, що

F (x) = inf yПро F r ( x,y

F.

24. Нехай f: X ® Y- . Чи правда, що протилежне до нього безперервно?

Безперервне взаємно однозначне відображення f: X ® Y гомеоморфізмом. Простору X, Yгомеоморфними.

25.

26. Для яких пар X, Y f: X ® Y, яке не склеюєточки (тобто. f(x) № f(y) при x № y вкладеннями)?

27*. локальним гомеоморфізмом(Тобто у кожної точки xплощині та f(x) тора існують такі околиці Uі V, що fгомеоморфно відображає Uна V).

Метричні простори та безперервні відображення

Метричним просторомназивається множиться Xіз заданою метрикою r : X× X ® Z, що задовольняє наступним аксіомам:

1) " x,yПро X r ( x,y) і 0, причому r ( x,y) = 0, якщо і тільки якщо x = y (невід'ємність ); 2) " x,yПро X r ( x,y) = r ( y,x) (симетричність ); 3) " x,y,zПро X r ( x,y) + r ( y,z) і r ( x,z) (нерівність трикутника ). 28. Доведіть, що наступні пари ( X,r) є метричними просторами:

а) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

б) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C[a,b] - безліч безперервних на [ a,b] функцій,

відкритим(відповідно, замкнутим) кулею радіусу rв просторі Xз центром у точці xназивається безліч U r (x) = {yПро x: r ( x,y) < r) (відповідно, B r (x) = {yПро X: r ( x,y) Ј r}).

Внутрішньою точкоюбезлічі UМ Xназивається така точка, яка міститься в Uразом із деякою кулею ненульового радіусу.

Безліч, всі точки якого внутрішні, називається відкритим. Відкрита множина, що містить дану точку, називається околицеюцієї точки.

Граничною точкоюбезлічі FМ Xназивається така точка, в будь-якій околиці якої міститься нескінченно багато точок множини F.

Безліч, що містить усі свої граничні точки, називається замкнутим(порівняйте це визначення з тим, що було дано у додатку 1).

29. Доведіть, що

а) множина відкрита тоді і лише тоді, коли її доповнення замкнуте;

б) кінцеве об'єднання та лічильний перетин замкнутих множин замкнуто;

в) лічильне об'єднання та кінцеве перетин відкритих множин відкрито.

30. Доведіть, що

а) безліч граничних точок будь-якої множини є замкненою множиною;

б) об'єднання множини Aі безлічі його граничних точок ( замикання A) є замкнутим безліччю.

Відображення f: X ® Yназивається безперервним, якщо прообраз кожної відкритої множини відкритий.

31. Доведіть, що це визначення узгоджується з визначенням безперервності функцій прямої.

32. Доведіть, що

а) відстань до множини r F (x) = inf yПро F r ( x,y) є безперервною функцією;

б) безліч нулів функції пункту а) збігається із замиканням F.

33. Нехай f: X ® Y

Безперервне взаємно однозначне відображення f: X ® Y, зворотне до якого також безперервно, називається гомеоморфізмом. Простору X, Y, для яких таке відображення існує, називаються гомеоморфними.

34. Для кожної пари з таких множин встановіть, чи гомеоморфні вони:

35. Для яких пар X, Yпросторів з попереднього завдання існує безперервне відображення f: X ® Y, яке не склеюєточки (тобто. f(x) № f(y) при x № y– такі відображення називають вкладеннями)?

36*. Придумайте безперервне відображення площини на тор, яке було б локальним гомеоморфізмом(Тобто у кожної точки xплощині та f(x) тора існують такі околиці Uі V, що fгомеоморфно відображає Uна V).

Повнота. Теорема Бера

Нехай X– метричний простір. Послідовність x nйого елементів називається фундаментальної, якщо

37. Доведіть, що послідовність, що сходить, фундаментальна. Чи вірне зворотне твердження?

Метричний простір називається повнимякщо всяка фундаментальна послідовність у ньому сходиться.

38. Чи правда, що простір, гомеоморфний повному, повно?

39. Доведіть, що замкнутий підпростір повного простору самий повний; повний підпростір довільного простору замкнутий у ньому.

40. Доведіть, що у повному метричному просторі послідовність вкладених замкнутих кульз радіусами, що прагнуть нуля, має загальний елемент.

41. Чи можна в попередньому завданні усунути умову повноти простору або прагнення до нуля радіусів куль?

Відображення fметричного простору Xв себе називається стискаючим, якщо

42. Доведіть, що стискаюче відображення безперервне.

43. а) Доведіть, що стискаюче відображення повного метричного простору має рівно одну нерухому точку.

б) На карту Росії масштабу 1:5000000 поклали карту Росії масштабу 1:20000000. Доведіть, що знайдеться точка, зображення якої на обох картах співпадуть.

44*. Чи існує неповний метричний простір, в якому правильне затвердження задачі?

Підмножина метричного простору називається всюди щільнимякщо його замикання збігається з усім простором; ніде не щільним- якщо його замикання не має непустих відкритих підмножин (порівняйте це визначення з тим, що було дано в додаток 2).

45. а) Нехай a, b, a , b Zі a < a < b < b. Доведіть, що безліч безперервних функційна [ a,b], монотонних на , ніде не щільно у просторі всіх безперервних функцій на [ a,b] з рівномірною метрикою.

б) Нехай a, b, c, e Про Zі a < b, c> 0, e > 0. Тоді безліч безперервних функцій на [ a,b], таких що

46. (Узагальнена теорема Бера .) Доведіть, що повний метричний простір не можна уявити у вигляді об'єднання лічильного числа ніде не щільних множин.

47. Доведіть, що безліч безперервних, не монотонних ні на якому непустому інтервалі і ніде не диференційованих функцій, визначених на відрізку , всюди щільно в просторі всіх безперервних функцій з рівномірною метрикою.

48*. Нехай f– функція, що диференціюється на відрізку . Доведіть, що її похідна безперервна на всюди щільній множині точок. Це визначення лебеговийміри нуль. Якщо лічильну кількість інтервалів замінити на кінцеве, то вийде визначення жердановоїміри нуль.

Одне з основних завдань теорії точкових множин - вивчення властивостей різних типівточкових множин. Познайомимося з цією теорією на двох прикладах і вивчимо властивості про замкнених і відкритих множин.

Безліч називається замкнутим, якщо воно містить усі свої граничні точки. Якщо безліч немає жодної граничної точки, його теж прийнято вважати замкнутим. Крім своїх граничних точок, замкнута множина може також містити ізольовані точки. Безліч називається відкритим, якщо кожна його точка є для нього внутрішньою.

Наведемо приклади замкнутих та відкритих множин. Кожен відрізок \(\) є замкнута множина, а всякий інтервал \((a,b)\) - відкрита множина. Невласні напівінтервали \((-\infty,b]\) і \(\) , що не містить точок множини \(F\) , причому або \(a=-\infty\) , або \(a\in F\) Тепер ясно, що інтервал \((a,b)\) містить точку \(x\) і є суміжним інтервалом множини \(F\) Легко бачити, що якщо \((a_1,b_1)\) і \( (a_2,b_2)\) - два суміжні інтервали множини \(F\) , то ці інтервали або збігаються, або не перетинаються.

З попереднього випливає, що всяка замкнута множина на прямій виходить шляхом видалення з прямої деякої кількості інтервалів, а саме суміжних інтервалів множини (F) . Так як кожен інтервал містить принаймні одну раціональну точку, а всіх раціональних точок на прямій - лічильна множина, то легко переконатися, що кількість всіх суміжних інтервалів не більш ніж лічильна. Звідси отримуємо остаточний висновок. Будь-яке замкнуте безліч на прямій виходить шляхом видалення з прямий не більше ніж лічильної множини інтервалів, що не перетинаються.

У силу пропозиції 4, звідси відразу випливає, що будь-яке відкрите безліч на прямий є не більш ніж лічильну суму інтервалів, що не перетинаються. В силу пропозицій 1 і 2 ясно також, що всяка множина, влаштована, як зазначено вище, дійсно є замкненою (відкритою).

Як видно з наведеного нижче прикладу, замкнуті множини можуть мати дуже складну будову.

Канторове безліч

Побудуємо одну спеціальну замкнуту множину, що має поруч чудових властивостей. Насамперед видалимо з прямої невласні інтервали \((-\infty,0)\) і \((1,+\infty)\) . Після цієї операції у нас залишиться відрізок \(\). Далі, видалимо з цього відрізку інтервал \(\left(\frac(1)(3),\frac(2)(3)\right)\), що становить його середню третину З кожного з двох відрізків, що залишилися \(\left\)і \(\left[\frac(2)(3),1\right]\)видалимо його середню третину. Цей процес видалення середніх третин у відрізків, що залишаються, продовжимо необмежено. Безліч точок на прямій, що залишається після видалення всіх цих інтервалів, називається досконалим канторовим безліччю; ми позначатимемо його буквою \(P\) .

Розглянемо деякі властивості цієї множини. Безліч \(P\) замкнуте, так як воно утворюється шляхом видалення з прямої деякої, безлічі інтервалів, що не перетинаються. Безліч (P) не порожньо; принаймні у ньому містяться кінці всіх викинутих інтервалів.

Замкнене множина \(P\) називається досконалимякщо воно не містить ізольованих точок, тобто якщо кожна його точка є граничною точкою. Покажемо, що безліч (P) абсолютно. Справді, якби деяка точка \(x\) була ізольованою точкоюмножини \(P\) , то вона служила б загальним кінцемдвох суміжних інтервалів цієї множини. Але, згідно з побудовою, суміжні інтервали множини (P) не мають спільних кінців.

Безліч \(P\) не містить жодного інтервалу. Справді, припустимо, що певний інтервал \(\delta\) цілком належить множині \(P\). Тоді він цілком належить одному з відрізків, що виходять на \(n\)-му кроці побудови множини \(P\). Але це неможливо, оскільки при \(n\to\infty\) довжини цих відрізків прагнуть нуля.

Можна показати, що безліч (P) має потужність континууму. Зокрема, звідси випливає, що досконале канторово містить, крім кінців суміжних інтервалів, ще й інші точки. Справді, кінці суміжних інтервалів утворюють лише численне безліч.

Різноманітні типи точкових множин постійно зустрічаються в різних розділах математики, і знання їх властивостей зовсім необхідне при дослідженні багатьох математичних проблем. Особливо велике значеннямає теорія точкових множин для математичного аналізута топології.

Наведемо кілька прикладів появи точкових множин у класичних розділах аналізу. Нехай \(f(x)\) - безперервна функція, задана на відрізку \(\). Зафіксуємо число \(\alpha\) і розглянемо безліч тих точок \(x\) , для яких \(f(x)\geqslant\alpha\). Неважко показати, що ця множина може бути довільною замкненою множиною, розташованою на відрізку \(\) . Так само безліч точок \(x\) , для яких \(f(x)>\alpha\) , може бути будь-яким відкритим безліччю \(G\subset\) . Якщо \(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots\)є послідовність безперервних функцій, заданих на відрізку \(\) , безліч тих точок \(x\) , де ця послідовність сходиться, не може бути довільним, а належить до цілком певного типу.

Математична дисципліна, що займається вивченням будови точкових множин, називається дескриптивною теорією множин. Дуже великі заслуги у справі розвитку дескриптивної теорії множин належать радянським математикам - Н. Н. Лузіну та його учням П. С. Александрову, М. Я. Сусліну, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьєву, П. С. Новікову , Л. В. Келдиш, А. А. Ляпунову та ін.

Дослідження М. М. Лузіна та його учнів показали, що є глибокий зв'язок між дескриптивною теорією множин і математичною логікою. Труднощі, що виникають при розгляді низки задач дескриптивної теорії множин (зокрема, задач про визначення потужності тих чи інших множин), є труднощами логічної природи. Навпаки, методи математичної логікидозволяють глибше проникнути деякі питання дескриптивної теорії множин.

ВИЗНАЧЕННЯ 5. Нехай Х - метричний простір, МÌ Х, аÎХ. Точка а називається граничною точкою М, якщо в будь-якій околиці є точки множини М(a). Останнє означає, що в будь-якій околиці є точки множини М, відмінні від а.

Зауваження. 1. Гранична точка може, як належати, так і не належати множині. Наприклад, 0 та 1 є граничними точками множини (0,2), але перша йому не належить, а друга належить.

2. Точка множини М може бути його граничною точкою. У цьому випадку вона називається ізольованою точкою М. Наприклад, 1 - ізольована точка множини (-1,0)È(1).

3. Якщо гранична точка а не належить множині М, то знайдеться послідовність точок х n ÎM, що сходить до а в цьому метричному просторі. Для доказу достатньо взяти відкриті куліу цій точці радіусів 1/n і вибрати з кожної кулі точку, що належить М. Вірно і зворотне, якщо а є така послідовність, то точка є граничною.

ВИЗНАЧЕННЯ 6. Замиканням множини М називається об'єднання М з множиною його граничних точок. Позначення.

Зазначимо, що замикання кулі має збігатися із замкнутим кулею тієї самої радіуса. Наприклад, у дискретному просторі замикання кулі B(a,1) дорівнює самому кулі (складається з однієї точки a) у той час як замкнута куля (a,1) збігається з усім простором.

Опишемо деякі властивості замикання множин.

1. МÌ . Це випливає безпосередньо з визначення замикання.

2. Якщо М Ì N, то Ì . Справді, якщо a Î , a ÏМ, то у будь-якій околиці a є точки множини М. Вони ж є точками N. Тому aÎ . Для точок з М це зрозуміло за визначенням.

4. .

5. Замикання порожньої множини порожнє. Ця угода не випливає з загального визначенняале є природним.

ВИЗНАЧЕННЯ 7. Множина M Ì X називається замкненою, якщо = M.

Безліч M Ì X називається відкритим, якщо замкнута безліч XM.

Множина M Ì X називається всюди щільною в X, якщо = X.

ВИЗНАЧЕННЯ 8. Точка а називається внутрішньою точкоюмножини M, якщо B(a,r)ÌM при деякому позитивному r, тобто внутрішня точка входить до множини разом з деякою околицею. Точка а називається зовнішньою точкою множини M, якщо куля B(a,r)ÌХ/M при деякому позитивному r, тобто внутрішня точка не входить до множини разом з деякою околицею. Точки, які є ні внутрішніми, ні зовнішніми точками множини M, називаються граничними.

Таким чином, граничні точки характеризуються тим, що в кожному їх околиці є точки як вхідні, так і не входять до M.

ПРОПОЗИЦІЯ 4. Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб усі її точки були внутрішніми.

Прикладами замкнених множин на прямій є , )