Формули математичної логіки. Математична логіка
сучасна математична модель формальної логіки як науки про правильне міркування. За влучним висловом російського логіка Порецького, математична логіка суть логіка з предмета і математика - за методом вирішення своїх проблем. Систематична розробка математичної логіки розпочалася з робіт Больцано, Фреге, Рассела та Вітгенштейна. Суть цієї логіки та розгляд більшості логічних категорій (поняття, предикат, судження, висновок, висновок, доказ) як логічних функцій, областю значення яких є істиннісні значення. Як логічні функції тлумачаться і всі логічні оператори (терміни «Все», «Існує», «Деякі», «Один», «Ніодин», «і», «або», «якщо, то», «тотожно», «можливо », «Необхідно» і т. д. і т. п.). Усі логічні функції задаються, зрештою, табличним способом з допомогою всіляких поєднань введеного числа істиннісних значень на «вході» і «виході» цих функций. Приміром, логічне ставлення «якщо, то...» моделюється з допомогою функції =), званої матеріальної імплікацією.
Відмінне визначення
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА
логіка, що розвинулася в точну науку, що застосовує математич. методи, або, згідно з П. С. Порецьким, логіка з предмету, математика за методами. Ідея побудови М. л. висловлювалася вперше Лейбніцем. Але лише 19 в. в соч. Буля "Математичний аналіз логіки" (G. "Boole, "The Mathematical analysis of logic", 1847) була розпочата систематична розробка цієї науки. Подальший розвитокМ. л. отже. мері стимулювалося потребами математики, що ставила логіч. проблеми, для вирішення яких брало старі засоби класич. формальної логіки були непридатними. Однією з цих проблем стала проблема недоказності 5-го постулату Евкліда в геометрії. Ця проблема пов'язана з аксіоматичним методом, Що є найбільш поширеним способом логіч. систематизації математики Він вимагає точного формулювання основних, прийнятих без доказу положень теорії, що розгортається – т.зв. а до с і про м, з яких брало все подальше її зміст логічно виводиться. Математич. теорії, що розвиваються т.ч., зв. а к с і о м а т і ч с к і м і. Класич. прототипом такої побудови математич. Теорія є евклідова побудова геометрії. У зв'язку з будь-якої аксіоматич. теорією природно виникає низка логіч. проблем. Зокрема, виникає проблема логічні часи даної теорії даної теорії, яка полягає у встановленні того, що жодна з аксіом теорії не може бути суто логічно виведена з інших аксіом. Для евклідової геометрії протягом двох тисячоліть залишалося відкритим питання про логіч. незалежності 5-го постулату Евкліда Було зроблено багато марних спроб вивести його з інших аксіом евклідової геометрії, поки, нарешті, у роботах М. І. Лобачевського був уперше у явній формі висловлено переконання у неможливості здійснити такий висновок. Це переконання було підкріплене Лобачевським побудовою нової геометрії, докорінно відмінної від евклідової. У геометрії Лобачевського, ретельно розробленої її творцем, не виявлялося протиріч; це вселяло впевненість у тому, що протиріччя і взагалі не можуть виникнути, хоч би як далеко не було просунуто виведення наслідків з аксіом нової геометрії. Згодом нім. Математиком Ф. Клейном було доведено, що прот і в р о ч я не можуть виникнути в геометрії Лобачевського, якщо вони не можуть виникнути в евклідовій геометрії (див. Метод аксіоматичний). Так виникли і були частково вирішені історично перші проблеми "недоказовості" та несуперечності в аксіоматич. теоріях. Точна постановка таких проблем, їх розгляд як математичних проблем вимагають уточнення поняття доказу. Будь-який математич. доказ полягає в послідовне застосуваннятих чи інших логіч. коштів до вихідних положень. Але логіч. кошти не є чогось абсолютного, раз назавжди встановленого. Вони вироблялися багатовіковою людською практикою; "...практична діяльність людини мільярди разів повинна була приводити свідомість людини до повторення різних логічних фігур, щоб ці фігури могли отримати значення аксиом" (Ленін В. І., Соч., т. 38, стор. 181-82). Людська практика є, однак, на кожному історич. етапі обмеженою, а обсяг її постійно зростає. Логіч. засоби, що задовільно відображали людське мислення на даному етапі або в цій галузі, можуть виявитися невідповідними на слід. етапі чи ін. області. Тоді залежно від зміни змісту предмета, що розглядається, змінюється і спосіб його розгляду – змінюються логіч. кошти. Це особливо стосується математики з її далекосяжними багатоступеневими абстракціями. Тут безглуздо говорити про логіч. засобах як про щось дане у своїй сукупності, як про щось абсолютне. Натомість має сенс розгляд логіч. засобів, що застосовуються в тій же іншій конкретній обстановці, що зустрічається в математиці. Їхнє встановлення для к.-л. аксіоматич. теорії та становить шукане уточнення поняття докази цієї теорії. Важливість цього уточнення у розвиток математики виявилася особливо за Останнім часом. Розробляючи безліч теорію, вчені зіткнулися з низкою важких проблем, зокрема з проблемою про потужність континууму, висунутої Г. Кантором (1883), до якої до 1939 року не було знайдено задовольнить. підходів. Др. проблеми, які так само вперто не піддавалися вирішенню, зустрілися в дескриптивній теорії множин, що розробляється сов. математики. Поступово з'ясувалося, що труднощі цих проблем є логічною, що вона пов'язана з неповною виявленістю логіч, що застосовуються. коштів та аксіом і що єдностей. шляхом до її подолання є уточнення тих та інших. З'ясувалося, що вирішення цих завдань вимагає залучення М. л., яка, отже, є наукою, необхідною для розвитку математики. У наст. час надії, що покладалися на М. л. у зв'язку з цими проблемами вже виправдали себе. Щодо проблеми континууму дуже суттєвий результат був отриманий К. Геделем (1939), що довело несуперечність узагальненої континуум-гіпотези Кантора з аксіомами теорії множин за умови, що ці останні несуперечливі. Щодо низки важких проблем дескриптивної теорії множин важливі результатиотримані П. С. Новіковим (1951). Уточнення понять докази аксіоматич. Теорія є важливим етапом її розвитку. Теорії, минулі цей етап, тобто. аксіоматич. теорії із встановленими логіч. засобами, називають д е д у к т і в н ими т е о р і ями. Тільки їм допускають точне формулювання цікавлять математиків проблеми доказовості і несуперечливості в аксіоматич. теоріях. Для вирішення цих проблем у суч. М. л. застосовується метод формалізації доказів. Ідея методу формалізації доказів належить ньому. математику Д. Гільберта. Проведення цієї ідеї стало можливим завдяки розробці М. л. Булем, Порецьким, Шредером, Фреге, Пеано та ін. В даний час метод формалізації доказів є потужним знаряддям дослідження в проблемах обґрунтування математики. Застосування методу формалізації буває зазвичай пов'язані з виділенням логіч. частини аналізованої дедуктивної теорії. Ця логіч. частина, оформлювана, як і вся теорія, як деякого обчислення, тобто. системи формалізованих аксіом та формальних правилвисновку, можна розглядати як самостійне ціле. Найпростішим із логіч. обчислень є обчислення висловлювань, класичне та конструктивне. Формальна відмінність двох обчислень висловлювань відбиває глибоку різницю у тому тлумаченнях, що стосується сенсу пропозициональных змінних і логіч. зв'язок (див. Інтуїціонізм, Обчислення завдань, Логіка висловлювань). Найбільш широко використовується при побудові дедуктивних математич. теорій в наст. час класич. предикатів обчислення, що являє собою розвиток та уточнення класич. теорії суджень Аристотеля і водночас відповідне теоретико-множин. системи абстракцій. Конструктивне обчислення предикатів відноситься до класич. обчислення предикатів так само, як конструктивне обчислення висловлювань до класич. обчислення висловлювань. Найістотніше з розбіжностей між цими двома обчисленнями предикатів пов'язані з тлумаченням у яких приватних, чи екзистенційних, думок. У той час як у конструктивному обчисленні предикатів такі судження тлумачаться як твердження про можливість визначення. конструкцій і вважаються встановленими лише при зазначенні цих конструкцій, класич. обчисленні предикатів екзистенційні судження зазвичай трактуються у відриві від конструктивних можливостей як " чисті " твердження про існування (див. Конструктивне напрям). Більше задовільний тлумачення экзистен-циальных суджень класич. обчислення предикатів, що ув'язує визнач. Таким чином це обчислення з конструктивним обчисленням предикатів було відкрито А. Н. Колмогоровим в 1925. У математиці логіч. обчислення застосовуються у поєднанні зі специфіч. аксіомами дедуктивних теорій, що розгортаються. напр., теорію натуральних чиселможна будувати, поєднуючи аксіоми Пеано для арифметики з обчисленням предикатів (класичним чи конструктивним). Застосовуване у своїй об'єднання логіч. символіки з математичної не лише дозволяє оформляти математич. теорії як обчислень, а й може бути ключем до уточнення сенсу математич. пропозицій. У наст. час сов. математиком Н. А. Шаніним розроблено точні правила конструктивного тлумачення математич. суджень, що охоплюють широкі сфери математики. Застосування цих правил стає можливим лише після того, як розглядається судження записано на належному точному логіко-математич. мовою. В результаті застосування правил тлумачення може виявитися конструктивне завдання, яке пов'язується з даним судженням. Це, однак, відбувається не завжди: не з кожним математич. пропозицією обов'язково пов'язується конструктивне завдання. З обчисленнями пов'язані наступні поняттята ідеї. Про обчисленні говорять, що воно несуперечливе, якщо в ньому не виводиться жодна формула виду U разом із формулою U (де є знак заперечення). Завдання встановлення несуперечності використовуваних у математиці обчислень є одним із гол. задач М. л. У наст. час це завдання вирішено лише в дуже обмежується. обсязі. Використовуються разл. поняття по л н о ти обчислення. Маючи на увазі охоплення тієї чи іншої змістовно визначеної галузі математики, вважають обчислення повним щодо цієї галузі, якщо в ньому виводиться будь-яка формула, що виражає вірне твердження з цієї галузі. Інше поняття повноти обчислення пов'язане з вимогою доставляти або доказ, або спростування для будь-якої пропозиції, що формулюється в обчисленні. Першорядне значення у зв'язку з цими поняттями має теорема Геделя–Россера, яка стверджує несумісність вимоги повноти з вимогами несуперечності для широкого класу обчислень. Згідно з теоремою Геделя-Россера, ніяке несуперечливе обчислення з цього класу не може бути повним щодо арифметики: для будь-якого такого обчислення може бути побудовано вірне арифметич. твердження, що формалізується, але не виводиться в цьому обчисленні (див. Метатеорія). Ця теорема, не знижуючи значення М. л. як потужного організуючого засобу в науці, докорінно вбиває надії на цю дисципліну як на щось здатне здійснити загальне охоплення математики в рамках однієї дедуктивної теорії. Надії такого роду висловлювалися багато хто. вченими, у тому числі Гільбертом – головним представником формалізму в математиці – напряму, який намагався звести всю математику до маніпуляцій з формулами за певними разами назавжди встановленим правилам. Результат Геделя і Россера завдав цьому напрямку нищівного удару. У силу їхньої теореми, навіть така порівняно елементарна частина математики, як арифметика натуральних чисел, не може бути охоплена однією дедуктивною теорією. М. л. органічно пов'язана з кібернетикою, зокрема з теорією релейно-контактних схем та автоматів, машинною математикою та лінгвістикою математичною. Програми М. л. до релейно-контактним схемам засновані на тому, що будь-яка двополюсна релейно-контактна схема в слід. сенсі модерує нек-ру формулу U класич. обчислення висловлювань. Якщо схема управляється n реле, то стільки ж різних змінних змінних містить U, і, якщо позначити через bi, судження "Реле номер i спрацювало", то ланцюг буде тоді і тільки тоді замкнена, коли буде вірний результат підстановки суджень b1, ... , bn замість відповідних логіч. змінних в U. Побудова такої моделюваної формули, що описує "умови роботи" схеми, виявляється особливо простою для т.зв. ?-з х е м, одержуваних виходячи з елементарних одноконтактних ланцюгів шляхом паралельних та послідовних з'єднань. Це з тим, що паралельне і послідовне з'єднання ланцюгів моделюють, відповідно, диз'юнкцію і кон'юнкцію суджень. Дійсно, ланцюг, отриманий шляхом паралельного (послідовного) з'єднання ланцюгів Ц1 і Ц2, тоді і тільки тоді замкнутий, коли замкнутий ланцюг Ц1 або (і) замкнутий ланцюг Ц2. Застосування обчислення висловлювань до релейно-контактних схем відкрило плідний підхід до важливим проблемамсуч. техніки. Разом про те цей зв'язок теорії з практикою призвела до постановки та часткового рішення мн. нових і важких проблем М. л., до яких брало в першу чергу відноситься т.зв. проблема мінімізмаці, яка полягає в розшуку ефективних методівзнаходження найпростішої формули, рівносильної даної формули Релейно-контактні схеми є окремим випадком керуючих схем, що застосовуються в совр. автомати. Керуючі схеми інших типів, зокрема, схеми з електронних ламп або напівпровідникових елементів, що мають ще більше практич. значення, також можуть бути розроблювані за допомогою М. л., яка доставляє адекватні засоби як для аналізу, так і для синтезу таких схем. Мова М. л. виявився також застосовним теоретично програмування, створюваної в наст. час у зв'язку з розвитком машинної математики. Нарешті, створений М. л. апарат обчислень виявився застосовним у математичній лінгвістиці, що вивчає мову математич. методами. Однією з осн. Проблем цієї науки є точне формулювання правил граматики аналізованої мови, тобто. точне визначення того, що слід розуміти під "граматично правильною фразою цієї мови". Як показав амер. вчений Хомський, є всі підстави шукати вирішення цього завдання наступному вигляді: будується деяке обчислення, і граматично правильними фразами оголошуються вирази, складені зі знаків алфавіту даної мовита виведені в цьому обчисленні. Роботи у цьому напрямі продовжуються. також Алгебра логіки, Конструктивна логіка, Логіка комбінаторна, Логіка класів, Логічне обчислення, Модальна логіка та літ. за цих статтях. О. Марков. Москва.
Інші розділи
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА,
дедуктивна логіка, Що включає математичні методи дослідження способів міркувань (висновків); математична теорія дедуктивних методів міркувань. Математичною логікоюназивають також логіку, якою користуються в математиці.
Важливу роль математичної логіці грають поняття дедуктивної теорії та обчислення.Обчисленням
називається сукупність правил виведення, що дозволяють вважати деякі формули, що виводяться. Правила виведення поділяються на два класи. Одні їх безпосередньо кваліфікують деякі формули як виведені. Такі правила висновку прийнято називатиаксіомами . Інші дозволяють вважати виведеними формули, синтаксично пов'язані деяким заздалегідь визначеним способом з кінцевими наборами формул, що виводяться. Широко застосовуваним правилом другого типу є правило modus ponens: якщо виводиться формула і, то виводиться і формула.
Ставлення обчислень до семантики виражається поняттями семантичної придатності та семантичної повноти обчислення. Обчислення І називається семантично придатним для мови Я, якщо будь-яка виводиться в І формула мови Я є вірною. Аналогічно, обчислення І називається семантично повним у мові Я, якщо будь-яка вірна формуламови Я виводиться в І.
Математична логіка вивчає логічні зв'язкита відносини, що лежать в основі логічного (дедуктивного) висновку, з використанням мови математики.
Багато з мов, що розглядаються в математичній логіці, мають семантично повні і семантично придатні обчислення. Зокрема, відомий результат К. Геделя про те, що так зване класичне літочислення предикатів є семантично повним та семантично придатним для мови класичної логіки предикатів першого порядку. З іншого боку, є чимало мов, для яких побудова семантично повного та семантично придатного обчислення неможлива. У цій галузі класичним результатом є теорема Геделя про неповноту, що стверджує неможливість семантично повного та семантично придатного обчислення для мови формальної арифметики.
На практиці безліч елементарних логічних операцій є обов'язковою частиною набору інструкцій всіх сучасних мікропроцесорів і відповідно входить до мов програмування. Це є одним з найважливіших практичних додатків методів математичної логіки, що вивчаються в сучасних підручникахінформатики.
Розділи математичної логіки
Алгебра логіки
Логіка висловлювань
Теорія доказів
Теорія моделей
Логіка висловлювань
(чи пропозиційна логіка від англ. propositional logic, чи обчислення висловлювань) - це формальна теорія, основним об'єктом якої є поняття логічного висловлювання. З погляду виразності, її можна охарактеризувати як класичну логіку нульового порядку.
Незважаючи на свою важливість та широку сферу застосування, логіка висловлювань є найпростішою логікою та має дуже обмежені засоби для дослідження суджень
Алгебра логіки (алгебра висловлювань) - Розділ математичної логіки, в якому вивчаються логічні операції над висловлюваннями. Найчастіше передбачається, що висловлювання може бути лише істинними чи хибними.
Базовими елементами, якими оперує алгебра логіки, є висловлювання. Висловлювання будуються над безліччю , над елементами якого визначено три операції:
Заперечення (унарна операція),
Кон'юнкція (бінарна),
Диз'юнкція (бінарна),
а також константи - логічний нуль 0 та логічна одиниця 1.
Теорія ймовірності - розділ математики, що вивчає випадкові події їх властивості та операції з них.
У теорії ймовірностей вивчаються, ті випадкові події, які можуть бути відтворені в одних і тих же умовах і такі властивості: в результаті експерименту, за умови S подія A може статися з певною ймовірність p.
Основними поняттями теорії ймовірності є: подія, ймовірність, випадкова подія, Довільне явище, математичне очікування, дисперсія, функція розподілу, імовірнісний простір.
Як наука теорія ймовірностей виникає у середині 17 століття. Перші роботи з'являються у зв'язку з підрахунком ймовірностей в азартних іграх. Досліджуючи прогнозування виграшу при киданні кісток,Блез Паскаль та П'єр ФермаУ своєму листуванні 1654 року відкрили перші ймовірні закономірності. Зокрема в цьому листуванні вони дійшли до поняття математичного очікування і теорем множення та складання ймовірностей. В 1657 ці результати були наведені в книзі Х. Гюйгенса «Про розрахунки в азартних іграх», яка є першим трактатом з теорії ймовірностей.
Великих успіхів у теорії ймовірностей досягнувЯків Бернуллі : він встановив закон великих чисел у найпростішому випадку, сформулював багато понять сучасної теорії ймовірностей. Їм була написана монографія з теорії ймовірностей, яка була видана посмертно в 1713, під назвою «Мистецтво припущень».
У першій половині 19 століття теорія ймовірностей починає застосовуватися теоретично помилок спостережень. В цей час були доведенітеорема Муавра - Лапласа (1812) та теорема Пуассона(1837), є першими граничними теоремами. Лаплас розширив та систематизував математичні основи теорії ймовірностей. Гаус і Лежандр розробили метод найменших квадратів.
У другій половині 19 століття більшість відкриттів у теорії ймовірності було зроблено російськими вченимиП. Л. Чебишевимта його учням та А. М. Ляпуновим та А.А Марковим.У 1867 році Чебишев сформулював і досить просто довів закон великих чисел за загальних умов. У 1887 він же вперше сформулював та запропонував метод вирішення центральної граничної теореми для сум незалежних випадкових величин. У 1901 році ця теорема була доведена Ляпуновим за більш загальних умов. Марков в 1907 році вперше розглянув схему випробувань пов'язаних у ціп, тим самим поклавши основу теорії Марківських ланцюгів. Також він зробив великий внесок у дослідження, що стосуються теорії великих чисел і центральної граничної теореми.
На початку 20 століття відбувається розширення кола застосування теорії ймовірностей, створюються системи строго математичного обґрунтування та нові методи теорії ймовірностей. У цей період завдяки працямАндрія Миколайовича Колмогороватеорії ймовірностей набуває сучасного вигляду.
У 1926 році, будучи аспірантом, Колмогоров отримує необхідні та достатні умови, за яких має місце закон великих чисел. У 1933 у своїй роботі «Основні поняття теорії ймовірностей» Колмогоров запроваджує аксіоматику теорії ймовірностей, яка загальновизнана найкращою.
Математичний апарат теорії ймовірності широко використовується в науці та техніці. Зокрема в астрономії до розрахунку орбіт комет використовується метод найменших квадратів. У медицині в оцінці ефективності методів лікування як і використовується теорія ймовірності.
/
БДЕ Математика /
Дедукція
Пам'ятаєте, Шерлок Холмс постійно стверджував про свої дедуктивні здібності? То що таке дедукція?
Дедукція (лат. deductio - виведення)-
така форма мислення, коли нова думкавиводиться чисто логічним шляхом
з попередніх думок. Така послідовність думок називається висновком, а кожен компонент цього висновку є раніше доведеною думкою, або аксіомою, або гіпотезою. Остання думка цього висновку називається укладанням.
Дедуктивний висновок, що є предметом традиційної логіки, застосовується нами кожного разу, коли потрібно розглянути якесь явище на підставі вже відомого нам загального стану і вивести щодо цього явища необхідний висновок. Нам відомий, наприклад, наступний конкретний факт - "дана площина перетинає кулю" і загальне правило щодо всіх площин, що перетинають кулю, - "будь-який переріз кулі площиною є коло". Застосовуючи це загальне правило до конкретного факту, кожен правильно мисляча людинаНеобхідно дійти одного й тому висновку: “значить дана площина є коло”.
Структура дедуктивного висновку та примусовий характер його правилвідобразили найпоширеніші відносини між предметами матеріального світу: відносини роду, виду та особини, тобто загального, приватного та одиничного: те, що притаманне всім видам даного роду, то властиво і будь-якому виду; те, що притаманне всім особинам роду, то притаманне і кожній особині.
Вперше теорія дедукції була розроблена Аристотелем. Він з'ясував вимоги, яким мають відповідати окремі думки, що входять до складу дедуктивного висновку, визначив значення термінів та розкрив правила деяких видів дедуктивних висновків. Позитивною стороноюарістотелівського вчення про дедукцію є те, що в ньому відобразилися реальні закономірності об'єктивного світу.
Під терміном “дедукція” у вузькому значенні слова розуміють таке:
1) Метод дослідження, який полягає в наступному: для того, щоб отримати нове знання про предмет чи групу однорідних предметів, треба, по-перше знайти найближчий рід, куди входять ці предмети, і, по-друге, застосувати до них відповідний закон, властивий всьому даному роду предметів.
Дедуктивний методграє величезну роль математиці. Відомо, що всі теореми виводяться логічним шляхом за допомогою невеликої дедукції. кінцевого числавихідних початків, званих аксіомами.
2) Форма викладу матеріалу у книзі, лекції, доповіді, бесіді, коли від загальних положень, правил, законів йдуть до менш загальним положенням, правил, законів.
Цей спосіб дозволяє ставити формальні аксіоматичні теорії.
2.Завдання тільки аксіом
У цьому випадку правила виведення вважаються загальновідомими, тому задаються лише аксіоми. Тому при такій побудові теорем кажуть, що напівформальна аксіоматична теорія.
3.Завдання лише правил виведення
Цей спосібпобудови теорем ґрунтується на завданні лише правил виведення, оскільки безліч аксіом порожня. Виходячи з цього, теорія, задана таким чином, є окремий випадокформальної теорії Пізніше цей різновид став називатися теорією природного висновку.
До основних властивостей дедуктивних теорій відносяться:
1. Суперечливість
Суперечливою називається теорія, в якій безліч теорем покриває безліч формул.
2. Повнота
Повною називається теорія, в якій для будь-якої формули F виводиться або сама F, або її заперечення -F.
3. Незалежність аксіом
Коли окрему аксіому теорії не можна вивести з інших аксіом, її називають незалежною. Система аксіом називається незалежною лише тому випадку, якщо кожна аксіома у ній незалежна.
4. Дозвілість
Коли теоретично існує ефективний алгоритм, що дозволяє визначити кількість кроків, що доводять теорему, теорія називається розв'язною.
Наприклад, логіка висловлювань, логіка першого порядку (обчислення предикатів), формальна арифметика (теорія S).
Одна з назв сучасної логіки, що прийшла у друге. підлога. 19 поч. 20 ст. на зміну традиційної логіки. Як ін назви сучасного етапу у розвитку науки логіки використовується також термін символічна логіка. Визначення… … Філософська енциклопедія
математична логіка- ЛОГІКА СИМВОЛИЧНА, математична логіка, теоретична логіка, область логіки, в якій логічні висновки досліджуються за допомогою логічних обчислень на основі суворої символічної мови. Термін «Л. с.» був, мабуть, уперше… … Енциклопедія епістемології та філософії науки
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА– Її ще називають символічною логікою. М. л. це та сама Арістотелева силогістична логіка, але тільки громіздкі словесні висновки замінені в ній математичною символікою. Цим досягається, по-перше, стислість, по-друге, ясність, ... Енциклопедія культурології
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- МАТЕМАТИЧНА логіка, дедуктивна логіка, що використовує математичні методи дослідження способів міркувань (висновків); математична теорія дедуктивних способів міркування … Сучасна енциклопедія
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- Дедуктивна логіка, що включає математичні методи дослідження способів міркувань (висновків); математична теорія дедуктивних методів міркувань. Математичною логікою називають також логіку, якою користуються в математиці. Великий Енциклопедичний словник
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- (Символічна логіка), аналітичний розділ логіки, результат застосування математичних методівдо проблем класичної логіки Розглядає поняття, які можуть бути істинними чи хибними, зв'язок між поняттями та оперування ними, включаючи… Науково-технічний енциклопедичний словник
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- один із провідних розділів сучасної логіки та математики. Сформувався у 19 20 ст. як реалізація ідеї про можливість записати всі вихідні припущення мовою знаків, аналогічних математичним і тим самим замінити міркування обчисленнями. Новий філософський словник
математична логіка- сущ., кіл у синонімів: 1 логістика (9) Словник синонімів ASIS. В.М. Тришин. 2013 … Словник синонімів
математична логіка- - Тематики електрозв'язок, основні поняття EN mathematical logic... Довідник технічного перекладача
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- Теоретична логіка, символічна логіка, розділ математики, присвячений вивченню математич. доказів та питань основ математики. Історичний нарис. Ідея побудови універсальної мови для всієї математики та формалізації на базі… Математична енциклопедія
Книги
- Математична логіка, Єршов Юрій Леонідович, Палютін Євген Андрійович. У книзі викладено основні класичні обчислення математичної логіки: обчислення висловлювань та обчислення предикатів; є короткий виклад основних понять теорії множин та теорії… Купити за 1447 грн (тільки Україна)
- Математична логіка, Єршов Ю.Л.. У книзі викладено основні класичні обчислення математичної логіки: обчислення висловлювань та обчислення предикатів; є короткий виклад основних понять теорії множин та теорії.
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА
теоретична логіка, символічна логіка - розділ математики, присвячений вивченню математич. доказів та питань основ математики.
Історичний нарис. Ідея побудови універсальної мови для всієї математики та формалізації на базі такої мови математич. доказів висувалась у 17 ст. Г. Лейбніцем (G. Leibniz). Але тільки в сірий. 19 ст. з'явилися перші наукові роботиз алгебризації аристотелевод логіки [Дж. Буль (G. Boole, 1847) та О. де Морган (A. de Morgan, 1858)]. Після того як Г. Фреге (G. Frege, 1879) і Ч. Пірс (С. Peirce, 1885) ввели в мову алгебри логіки предикати, предметні змінні та квантори, виникла реальна можливість застосувати цю мову до питань математики.
З іншого боку, створення 19 в. Неевклідова геометрія сильно похитнула впевненість математиків в абсолютної надійностігеометричні. інтуїції, на якій була заснована . Сумнівам у надійності геометрич. інтуїції сприяло також те, що в результаті розвитку числення нескінченно малих математики натрапили на несподівані приклади усюди безперервних функційбез похідних. З'явилася потреба відокремити поняття дійсного числа від неясного поняття "величини", яке було засноване на геометричні. інтуїції. Це завдання було вирішено різними шляхамив роботах К. Вейєрштрасса (К. Weierstrab, P. Дедекінда (R. Dedekind) і Г. Кантора (G. Cantor). Вони показали можливість "арифметизації" аналізу і теорії функцій, в результаті чого в якості фундаменту всієї класичної математики стала розглядатися цілих чисел, потім була здійснена аксіоматизація арифметики [Р. праці Б. Рассела (В. Russell) і А. Уайтхеда (A. Whitehead) "Принципи математики" (1910), де була спроба зведення всієї математики до логіки. з чисто логічного аксіом існування нескінченних множин Хоча логістичне Фреге - Рассела в підставах математики так і не досягла своєї головної мети- відомості математики до логіки, у тому роботах було створено багатий логіч. апарат, без якого оформлення М. л. як повноцінний математич. дисципліни було б неможливо.
На рубежі 19-20 ст. були виявлені антиномії,пов'язані з основними поняттями теорії множин. Найбільш сильне враження на сучасників справила опублікована в 1903 р. Рассела. Нехай Помста всіх таких множин, кожна з яких не є своїм власним елементом. Легко переконатися, що є своїм елементом тоді і тільки тоді, коли Мені є своїм елементом. Звичайно, можна намагатися вийти з суперечності, зробивши висновок, що такої множини Мені буває. Однак, якщо не може існувати безліч, що складається точно з усіх елементів, що задовольняють такому чітко певною умовою, які ми маємо в наведеному вище визначенні множини М,то де гарантія того, що в нашій повсякденній роботі ми не зіткнемося з множинами, які також не можуть існувати? І яким, взагалі, умовам має задовольняти визначення множини для того, щоб воно існувало? Ясно було одне: треба якось обмежити канторівську теорію безлічі.
Л. Брауер (L. Brouwer, 1908) виступив проти застосування правил класич. логіки до нескінченних множин. У висунутій ним інтуїціоністській програмі пропонувалося відмовитися від розгляду абстракції актуальної нескінченності,тобто нескінченних множин як завершених сукупностей! Допускаючи існування скільки завгодно великих натуральних чисел, інтуїціоністи виступають проти розгляду натурального ряду як завершеної множини. Вони вважають, що у математиці будь-яке існування тієї чи іншої об'єкта має бути конструктивним, т. е. має супроводжуватися побудовою цього об'єкта. Якщо припущення у тому, що шуканий немає, наведено протиріччя, це, на думку інтуїціоністів, неспроможна розглядатися як доказ існування. Особливу критику з боку інтупціоністів зазнав виключеноготретій закон.Зважаючи на те, що цей закон спочатку розглядався стосовно кінцевих множин і, враховуючи, що багато властивостей кінцевих множин не виконуються для нескінченних множин (напр., що всяка власна частина менша за ціле), інтуїціоністи вважають неправомірним застосування цього закону до нескінченних множин. Так, напр., щоб стверджувати, що проблема Ферма має позитивне чи має негативне рішення, інтуїціоніст має вказати відповідне вирішення цієї проблеми. А поки що проблема Ферма не вирішена, ця вважається неправомірною. Така ж вимога пред'являється до розуміння будь-якої диз'юнкції. Ця вимога інтуїціоністів може створити труднощі й у разі розгляду завдань, пов'язаних із кінцевими множинами. Уявімо, що хтось, заплющивши очі, дістає з урни, в якій є три чорні і три білі кулі, і тут же кидає цю кулю назад. Якщо ніхто не бачив цей шар, то ми не маємо можливості дізнатися, якого він був кольору. Однак навряд чи можна всерйоз заперечувати твердження, що ця куля була або чорного, або білого кольору.
Інтуїціоністи збудували свою математику, що має цікаві своєрідні особливості. Але вона виявилася складнішою і громіздкішою, ніж класич. . Позитивний внесок інтуїціоністів у дослідження питань підстав математики висловився в тому, що вони ще раз рішуче підкреслили різницю між конструктивним і неконструктивним в математиці, вони провели ретельний аналіз багатьох труднощів, з якими зіткнулася математика у своєму розвитку, і тим самим сприяли їх подоланню .
Д. Гільберт (D. Hilbert, див. додавання VII-X ст) намітив інший подолання труднощів, що виникли в підставах математики на рубежі 19-20 ст. Цей шлях заснований на застосуванні аксіоматич. методу розгляду формальних моделей, змістовної математики та на дослідженні питань несуперечності таких моделей надійними фінітними засобами, отримав у математиці назву фінітизму Гільберта. Визнаючи ненадійність геометричні. інтуїції, Д. Гільберт передусім робить ретельний перегляд евклідової геометрії, звільняючи її від звернення до інтуїції. Результатом такої переробки з'явилися його "Підстави геометрії" (1899).
Питання несуперечності різних теорійсутнісно розглядалися і до Д. Гільберта. Так, побудована Ф. Клейном (F. Klein, 1871) проективна неевклідова геометрія Лобачевського зводить питання про несуперечність геометрії Лобачевського до несуперечності евклідової геометрії. Несуперечність евклідової геометрії аналогічно можна звести до несуперечності аналізу, тобто теорії дійсних чисел. Однак не було видно, якими засобами можна будувати моделі аналізу та арифметики для доказу їх несуперечності. Заслуга Д. Гільберта у тому, що він вказав прямий шлях на дослідження цього питання. Несуперечність даної теорії означає, що в ній не може бути отримано, тобто не може бути доведено деяке твердження А і його Д. Гільберт запропонував представити розглянуту теорію у вигляді формальної аксіоматич. системи, в якій будуть виведені всі ті і тільки ті твердження, які є теоремами нашої теорії. Тоді для доказу несуперечливості досить встановити невиводимість у аналізованої теорії деяких тверджень. Отже, математич. , Несуперечливість якої ми хочемо довести, стає предметом вивчення деякий математич. науки, яку Д. Гільберт назвав метаматематикою, або теорією доказів.
Д. Гільберт писав, що парадокси теорії множин викликані не законом виключеного третього, а " швидше тим, Що математики користуються неприпустимими і безглуздими утвореннями понять, які в моїй теорії доказів виключаються самі собою. ...Відібрати у математиків закон виключеного третього - це те ж, що забрати у астрономів телескоп або заборонити боксерам використовувати кулаки" (див. с. 383). Д. Гільберт пропонує розрізняти "дійсні" і "ідеальні" пропозиції класичної математики. Перші мають змістовний зміст, а другі не зобов'язані мати змістовний зміст.Пропозиції, що відповідають вживанню актуальної нескінченності, ідеальні.Ідеальні пропозиції приєднуються до дійсних для того, щоб прості правила логіки були застосовні і до міркувань про нескінченні множини.Це суттєво спрощує структуру всієї теорії тому, як при розгляді проективної геометрії на площині додається нескінченно віддалена , що перетинає будь-які дві в деякій точці.
Висунута Д. Гільбертом програма обґрунтування математики та його ентузіазм надихнули сучасників на інтенсивну розробку аксіоматичного методу.Саме з вжитою на початку 20 ст. Д. Гільбертом та її послідовниками розробкою теорії доказів з урахуванням розвиненого у роботах Р. Фреге, Дж. Пеано і Б. Рассела логіч. мови слід пов'язувати становлення М. л. як самостійний математич. дисципліни.
Предмет та основні розділи математичної логіки, зв'язок з іншими областями математики.Предмет сучасної М. л. різноманітний. Насамперед слід зазначити дослідження логіч. та логіко-математич. обчислень, з яких брало основним є класич. предикатів. Ще в 1930 К. Гёдель (К. Godel) довів теорему про повноту обчислення предикатів, згідно з якою безліч всіх суто логіч. тверджень математики збігається з безліччю всіх виведених у обчисленні предикатів формул (див. Геделя про повноту).
Ця теорема показала, що обчислення предикатів є логіч. системою, на основі якої можна формалізувати математику. За підсумками обчислення предикатів будуються різні логіко-математич. теорії (див. Логіко-математичні обчислення),
являють собою формалізацію змістовних математич. теорій - арифметики, аналізу, теорії множин, теорії груп та ін. елементарними теоріямирозглядаються також теорії вищих порядків, в яких брало допускаються також квантори з предикатів, предикати від предикатів і т. д. Традиційними питаннями, які досліджуються для тих чи інших формальних логіч. систем, є дослідження структури висновків у цих системах, тих чи інших формул, питання несуперечності та повноти аналізованих систем.
Доведена у 1931 Геделя теорема про неповнотуарифметики похитнула оптимістич. надії Д. Гільберта на повне рішенняпитань основ математики на зазначеному шляху. Відповідно до цієї теореми, якщо , що містить арифметику, несуперечлива, то твердження про її несуперечність, виразне в цій системі, не може бути доведено засобами, що формуються в ній. Це означає, що з питаннями підстав математики справа не така проста, як хотілося або здавалося Д. Гільберту спочатку. Але вже К. Гёдель зауважив, що несуперечність арифметики можна доводити, користуючись досить надійними конструктивними засобами, хоч і виходять за межі засобів, що формуються в арифметиці. Аналогічні докази несуперечності арифметики були отримані Г. Генценом (G. Gentzen, 1936) та П. С. Новіковим (1943).
В результаті аналізу канторівської теорії множин та пов'язаних з нею парадоксів були побудовані різні системи аксіоматичної теорії множин,в яких брало приймається те чи інше обмеження на освіту множин, щоб виключити виникнення відомих антиномій. У цих аксіоматич. системах можна розвинути досить великі розділи математики. Питання про несуперечність досить багатих аксіоматич. систем теорії множин залишається відкритим. З найбільш значних результатів, отриманих в аксіоматич. теорії множин, слід зазначити результат К. Геделя про несуперечність континуум-гіпотезиі вибору аксіомиу системі Бернайса - Геделя (1939) і результат П. Коена (P. Cohen, 1963) про незалежність цих аксіом від аксіом системи Цермело-Френкеля ZF. Зазначимо, що ці дві системи аксіом і ZF рівно суперечливі. Для доказу своїх результатів К. Гьодель ввів важливе поняття конструктивної множини (див. Конструктивна по Геделю безліч).і показав існування моделі системи, що складається з таких множин. Метод К. Геделя був використаний П. С. Новіковим для доказу несуперечності деяких інших тверджень дескриптивної теорії множин (1951). Для побудови моделей теорії множин ZF, в яких брало виконуються заперечення континуум-гіпотези або аксіоми вибору, П. Коен ввів так зв. вимушення метод,який згодом був удосконалений і став основним методом побудови моделей теорії множин, що задовольняють тим чи іншим властивостям.
Одним із найбільш чудових досягнень М. л. з'явилася розробка поняття загальнорекурсивної функціїта формулювання Чорча тези,який стверджує, що поняття загальнорекурсивної функції є уточненням інтуїтивного поняття алгоритму.З інших еквівалентних уточнень поняття алгоритму найбільшого поширення набули поняття Тьюринга машиниі нормального алгоритмуМаркова. Фактично вся математика пов'язані з тими чи іншими алгоритмами. Але лише після уточнення поняття алгоритму з'явилася можливість виявити існування нерозв'язних алгоритмічних проблему математиці. Нерозв'язні алгоритміч. проблеми були виявлені в багатьох розділах математики ( , теорія чисел, теорія ймовірностей та ін.), причому виявилося, що вони можуть бути пов'язані з дуже поширеними та фундаментальними поняттями математики. Дослідження алгоритміч. проблем у тій чи іншій галузі математики, як правило, супроводжується проникненням ідей та методів М. л. в цю , що призводить до вирішення також і інших проблем, які вже не мають алгоритміч. характеру.
Розробка точного поняття алгоритму дала можливість уточнити поняття ефективності та розвивати на базі такого уточнення конструктивне у математиці (див. Конструктивна математика),
втілило в собі деякі риси інтуїціоністського напряму, але суттєво відрізняється від останнього. Було створено основи конструктивного аналізу, конструктивної топології, конструктивної теорії ймовірностей та ін.
У самій теорії алгоритмів можна виділити дослідження в галузі рекурсивної арифметики, куди входять різні класифікації рекурсивних і рекурсивно-перелічуваних множин, ступеня нерозв'язності множин рекурсивно-перерахованих, дослідження складності запису алгоритмів і складності алгоритмич. обчислень (за часом та за зоною, див. Алгоритма складність). Обширним розділом теорії алгоритмів, що розвивається, є теорія нумерацій.
Як зазначалося вище, аксіоматич. Метод вплинув на розвиток багатьох розділів математики. Особливо значним було проникнення цього в алгебру. Так, на стику М. л. та алгебри виникла загальна теорія алгебраїчних систем,або моделей теорії.Цей напрямок було закладено у роботах А. І. Мальцева, А. Тарського (A. Tarski) та їх учнів. Тут можна відзначити дослідження з елементарним теоріямкласів моделей, зокрема питання розв'язання цих теорій, аксіоматизованість класів моделей, моделей, питання категоричності та повноти класів моделей.
Важливе місцетеоретично моделей займає дослідження нестандартних моделей арифметики та аналізу. Ще на зорі розвитку диференціального обчислення в роботах Г. Лейбніца (G. Leibniz) та І. Ньютона (I. Newton) нескінченно малі та нескінченно великі величинирозглядалися як числа. Пізніше з'явилося поняття змінної величини, і математики відмовилися від вживання нескінченно малих чисел, яких відмінний від нуля і менше будь-якого позитивного дійсного числа, тому що їх вживання зажадало б відмови від аксіоми Архімеда. І лише через три століття внаслідок розвитку методів М. л. вдалося встановити, що (нестандартний) аналіз з нескінченно малими та нескінченно великими числами несуперечливий щодо звичайного (стандартного) аналізу дійсних чисел.
Не обійшлася без впливу аксіоматич. методу та інтуїціоністська математика. Так, ще в 1930 р. А. Рейтинг (A. Heyting) ввів у розгляд формальні системи інтуїціоністської логікивисловлювань та предикатів (конструктивні обчислення висловлювань та предикатів). Пізніше було запроваджено формальні системи інтуїціоністського аналізу (див., напр., ). Багато досліджень з інтуїціоністської логіки та математики мають справу з формальними системами. Зазнавали спеціального вивчення також так зв. проміжні логіки(або суперінтуїціоністські), тобто логіки, що лежать між класичною та інтуїціоністською логіками. Поняття реалізованості формул за Клині представляє одну зі спроб інтерпретувати поняття інтуїціоністської істинності з точки зору класич. математики. Однак виявилося, що не будь-яка обчислення висловлювань, що реалізується, виводиться в інтуїціоністському (конструктивному) обчисленні висловлювань.
Зазнала формалізації також і модальна логіка.Однак, незважаючи на наявність великої кількості робіт з формальних систем модальної логіки та їх семантики ( Крипці моделі),
можна сказати, що тут відбувається процес накопичення поки що розрізнених фактів.
М. л. має велике прикладне значення; з кожним роком зростає глибоке проникнення ідей та методів М. л. у кібернетику, у обчислювальну математику, у структурну лінгвістику.
Літ.: Гільберт Д., Берн з П., Підстави математики. Логічні обчислення та формалізація арифметики, пров. з ньому., М., 1979; Клін і С. До., Введення в метаматематику, пров. з англ., М., 1957; Мендельсон Еге., Введення у математичну логіку, пров. сангл., 2 видавництва, М., 1976; Новіков П. С., Елементи математичної логіки, 2 видавництва, М., 1973; Єр ш о Ю. Л., Палютін Є. А., Математична логіка, М., 1979; Шенфільд Д. Р., Математична логіка, пров. з англ., М., 1975; Новик П. С., Конструктивна математична логіка з точки зору класичної, М., 1977; Клін і С. К., Весли Р., Підстави інтуїціоністської математики з точки зору теорії рекурсивних функцій, пров. з англ., М., 1978; Гільберт Д., Підстави геометрик, пров. з ньому., М., 1948; Френкель А.-А., Бар-Хіллел І., Підстави теорії множин, пров. з англ., М., 1966; Математика ХІХ століття. Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей, М., 1978; Mostowski A., Thirty years of foundational studies, Hels., 1965.
також літ. при статтях про окремі розділи М. л.
С. І. Адян.
Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
Синоніми:Дивитись що таке "МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА" в інших словниках:
Одна з назв сучасної логіки, що прийшла у друге. підлога. 19 поч. 20 ст. на зміну традиційної логіки. Як ін назви сучасного етапу у розвитку науки логіки використовується також термін символічна логіка. Визначення… … Філософська енциклопедія
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти
«ЛИПЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
Факультет фізико-математичних та комп'ютерних наук
Кафедра математики
Контрольна робота на тему:
"Історія розвитку математичної логіки"
Виконала:
Студентка 2 курсу
групи МФ-2
Понамарьова Вікторія Сергіївна
Науковий керівник:
к. ф.-м. н., доцент
Єршова Олександра Олексіївна
Липецьк, 2014
Вступ
§1. Історія виникнення математичної логіки
§2. Застосування математичної логіки
§3. Математична логіка у техніці
§4. Математична логіка у криптографії
§5. Математична логіка у програмуванні
Висновок
Список використаної літератури
математичне позначення криптографія програмування
Вступ
Логіка<#"center">§1. Історія виникнення математичної логіки
Математична логіка тісно пов'язана з логікою та завдячує їй своїм виникненням. Основи логіки, науки про закони та форми людського мислення (звідси одна з її назв - формальна логіка), були закладені найбільшим давньогрецьким філософом Арістотелем (384-322 рр. до н. е.), який у своїх трактатах докладно досліджував термінологію логіки, докладно розібрав теорію висновків і доказів, описав ряд логічних операцій, сформулював основні закони мислення. закони протиріччя та виключення третього. Внесок Арістотеля в логіку дуже великий, недарма інша її назва - Арістотельова логіка. Ще сам Аристотель зауважив, що між створеною ним наукою та математикою (тоді вона називалася арифметикою) багато спільного. Він намагався поєднати ці дві науки, а саме звести міркування, або, вірніше, висновок, до обчислення на підставі вихідних положень. В одному зі своїх трактатів Арістотель впритул наблизився до одного з розділів математичної логіки – теорії доказів.
Надалі багато філософів і математиків розвивали окремі положення логіки і іноді навіть намічали контури сучасного обчислення висловлювань, але найближче до створення математичної логіки підійшов вже в другій половині XVII століття видатний німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 - 1716), що вказав шляхи «Зі словесного царства, повного невизначеностей, в царство математики, де відносини між об'єктами або висловлюваннями визначаються точно» . Лейбніц сподівався навіть, що в майбутньому філософи, замість безплідно сперечатися, братимуть папір і обчислюватимуть, хто з них правий. При цьому у своїх роботах Лейбніц торкався і двійкової системи числення.
Слід зазначити, що ідея використання двох символів для кодування інформації дуже стара. Австралійські аборигенивважали двійками, деякі племена мисливців-збирачів Нової Гвінеї та Південної Америкитеж користувалися двійковою системоюрахунки. У деяких африканських племенах передають повідомлення з допомогою барабанів як комбінацій дзвінких і глухих ударів. Знайомий всім приклад двосимвольного кодування - абетка Морзе, де літери алфавіту представлені певними поєднаннямиточок та тире.
Після Лейбніца дослідження в цій галузі вели багато видатних учених, проте справжній успіх прийшов тут до англійського математика-самоучки Джорджа Буля (1815-1864), цілеспрямованість якого не знала кордонів. Матеріальне становищебатьків Джорджа (батько якого був шевським майстром) дозволило йому закінчити лише початкову школудля бідняків. Згодом Буль, змінивши кілька професій, відкрив маленьку школу, де сам викладав. Він багато часу приділяв самоосвіті і незабаром захопився ідеями символічної логіки. В 1847 Буль опублікував статтю «Математичний аналіз логіки, або Досвід обчислення дедуктивних висновків», а в 1854 з'явився головний його праця «Дослідження законів мислення, на яких засновані математичні теоріїлогіки та ймовірностей».
Буль винайшов своєрідну алгебру - систему позначень і правил, що застосовується до різноманітних об'єктів, від чисел та букв до речень. Користуючись цією системою, він міг закодувати висловлювання (ствердження, істинність чи хибність яких потрібно довести) за допомогою символів своєї мови, а потім маніпулювати ними, подібно до того, як у математиці маніпулюють числами. Основними операціями булевої алгебри є кон'юнкція (І), диз'юнкція (АБО) та заперечення (НЕ).
Через деякий час стало зрозуміло, що система Буля добре підходить для опису електричних схем перемикання. Струм у ланцюгу може або протікати, або бути відсутнім, подібно до того, як твердження може бути або істинним, або помилковим. А ще через кілька десятиліть, уже в XX столітті, вчені об'єднали створений Джорджем Булем математичний апаратз двійковою системою числення, заклавши цим основи розробки цифрового електронного комп'ютера.
Окремі положення робіт Буля тією чи іншою мірою торкалися і до, і після нього іншими математиками та логіками. Однак сьогодні в цій галузі саме праці Джорджа Буля зараховуються до математичної класики, а сам він по праву вважається засновником математичної логіки і тим більше найважливіших її розділів – алгебри логіки (бульової алгебри) та алгебри висловлювань.
Великий внесок у розвиток логіки зробили і російські вчені П.С. Порецький (1846-1907), І.І. Жегалкін (1869-1947).
У XX столітті величезну роль розвитку математичної логіки зіграв Д. Гільберт (1862-1943), який запропонував програму формалізації математики, пов'язану з розробкою підстав самої математики. Нарешті, в останні десятиліття XX століття бурхливий розвиток математичної логіки було зумовлено розвитком теорії алгоритмів та алгоритмічних мов, теорії автоматів, теорії графів (С.К. Кліні, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новіков, Гегель та багато інших).
Гегель (1770-1831) дуже іронічно відгукувався закон протиріччя і закон виключеного третього. Останній він представляв, зокрема, у такій формі: "Дух є зеленим або не є зеленим", і ставив "підступне" питання: яке з цих двох тверджень істинно? Відповідь це питання не становить, проте, труднощів. Жоден із двох тверджень: "Дух зелений" і "Дух не зелений" не є істинним, оскільки обидва вони безглузді. Закон виключеного третього докладемо лише до осмислених висловлювань. Тільки вони можуть бути істинними чи хибними. Безглузде ж не істинно і хибно. Гегелівська критика логічних законів спиралася, як це нерідко буває, на надання їм того сенсу, якого вони не мають, і приписування їм тих функцій, яких вони не мають відношення. Випадок із критикою закону виключеного третього – один із прикладів такого підходу. Критика закону виключеного третього (Л.Бауер) призвела до створення нового напряму у логіці – інтуїціоністської логіки. В останній не приймається цей закон і відкидаються всі способи міркування, які з ним пов'язані. Серед відкинутих, наприклад, виявляється доказ шляхом приведення до суперечності чи абсурду.
Звертаю увагу на суть будь-якої критики законів формальної логіки: всі прихильники концепції "розширення" формальної логіки зрушують центр тяжіння логічних дослідженьз вивчення правильних способівміркування на розробку будь-яких конкретних проблем: теорії пізнання, причинності, індукції та ін. У логіку вводяться теми, цікаві й важливі власними силами, але мають стосунки до власне формальної логіки, як до набору прийомів правильного мислення. Закон виключеного третього, не розглядаючи самих протиріч, забороняє визнавати одночасно істинним або водночас хибним два суперечать другдругий судження. У цьому полягає його сенс.
Висновок: не можна ухилятися від визнання істинним одного з двох, що суперечать один одному, висловлюй і шукати щось третє між ними.
Результат застосування: досягається однозначність логічного мислення.
Четвертий закон - закон достатньої підстави
Формулювання: всяка справжня думка має достатню основу.
Коментар: Цей закон фактично заявляє те, що всі думки, які можна пояснити, вважаються істинними, а ті які пояснити не можна - хибними. У логіці висловлювань цей закон формули немає, оскільки він має змістовний характер. На цьому варто зупинитися докладніше:
Достатньою, тобто дійсною, невигаданою основою наших думок може бути індивідуальна практика. Справді, істинність деяких суджень підтверджується шляхом їхнього безпосереднього зіставлення з фактами дійсності (Приклад: "[Істинно, що] йде дощ", "[Є брехнею те, що]Я був у Акапулько"). Але особистий досвід обмежений. Тож у реальної діяльності завжди доводиться спиратися досвід інших людей. Завдяки розвитку наукових знань суб'єкт використовує як підстави своїх думок досвід попередників, закріплений у законах і аксіомах науки, у принципах і положеннях, що у будь-якій галузі людської діяльності. Для підтвердження будь-якого окремого випадку немає необхідності звертатися до його практичної перевірки, обґрунтовувати її за допомогою особистого досвіду. Якщо, наприклад, мені відомий закон Архімеда, то зовсім не обов'язково шукати ванну з водою, щоб, помістивши туди предмет, з'ясувати, скільки він втратив у вазі. Закон Архімеда буде достатньою підставою для підтвердження цього окремого випадку.
Метою науки не лише здобування знання, а й його передача. Саме тому неприпустимі жодні логічні огріхи у формальному поданні вже здобутого знання. Таким чином – знання має бути логічно контрольованим. Саме це оптимально для його збереження, передачі та розвитку. І саме тому наукове знання, як сукупність вже доведених логічних речень, може бути основою наступних доказових міркувань.
Закон достатньої підстави фактично зводиться до наступної вимоги: "будь-яке судження, перш ніж бути прийнятим за істину, має бути обґрунтовано". Таким чином, із цього закону випливає, що при правильному міркуванні ніщо не повинно прийматися просто так, на віру. У кожному разі кожного твердження слід зазначати підстави, з яких воно вважається істинним. Як бачимо - закон достатньої підстави спочатку виступає, як методологічний принцип, Що забезпечує здатність мислення постачати підстави для подальших міркувань. Адже все, що вже доведено коректно, можна покласти в основу наступним доказам.
Висновок: достатньою підставою будь-якої думки може бути будь-яка інша, вже перевірена і визнана істинною думка, з якої випливає істинність цієї думки.
Результат застосування: Закон забезпечує обґрунтованість мислення. В усіх випадках, коли ми стверджуємо щось, ми маємо довести свою правоту, тобто. навести достатні підстави, що підтверджують істинність наших думок.
§2. Застосування математичної логіки
Об'єднання математико-логічної установки з іншими математичними підходами, насамперед із ймовірно-статистичними ідеями та методами - на тлі глибокого інтересудо обчислювальних приладів, - було багато в чому визначальним у формуванні задуму кібернетики як комплексного наукового спрямування, що має своїм предметом процеси
У ряді випадків використовують технічний апарат математичної логіки (синтез релейно-контактних схем); Понад те, що особливо важливо, ідеї математичної логіки це, звичайно ж, у теорії алгоритмів, але також і всієї науки в цілому і властивий їй стиль мислення надали і продовжують дуже впливати на ті своєрідні галузі діяльності, змістом яких є автоматична переробка інформації (інформатика), використання у криптографії та автоматизація процесів управління (кібернетика).
Інформатика – це наука, яка вивчає комп'ютер, а також взаємодію комп'ютера з людиною.
Будівництво логічних машин – цікава глава історії логіки та кібернетики. У ній відображені перші проекти створення штучного розуму та перші суперечки щодо можливості цього. Ідея логічних машин з'явилася в 13 столітті в іспанського схоластика Раймунда Луллія, розглядалася потім Лейбніцем і набула нового розвитку в 19 столітті, після виникнення математичної логіки. У 1870 році англійський філософ та економіст Вільям Стенлі Джевонс побудував у Манчестері логічне піаніно , яке витягало з записів алгебри посилок слідства, виділяючи допустимі комбінації термінів. Це називають також розкладанням висловлювань конституанти. Важливо відзначити можливість практичного застосування логічної машини для вирішення складних логічних завдань.
Сучасні універсальні обчислювальні машиниє водночас логічними машинами. Саме запровадження логічних операцій зробило їх такими гнучкими; воно ж дозволяє їм моделювати міркування. Таким чином, арифметична гілка розумних автоматів поєдналися з логічною. У 20-ті роки, однак, формальна логіка здавалася надто абстрактною про метафізичну для додатку до життя. Тим часом, вже тоді можна було передбачити впровадження логічних обчислень у техніку.
Математична логіка полегшує механізацію розумової праці. Нинішні машини виконують набагато складніші логічні операції, ніж скромні прототипи початку століття.
Проблема штучного розуму складна та багатогранна. Ймовірно, не помилимося, якщо скажемо, що остаточні межі механізації думки можна встановити лише експериментальним шляхом. Зауважимо ще, що в сучасній кібернетиці обговорюється можливість моделювання не тільки формальних, а й змістовних. розумових процесів.
§3.Математичналогікавтехніці
Роль логічної обробки бінарних даних на сучасному етапірозвитку обчислювальної техніки значно зросла. Це пов'язано, насамперед, зі створенням технічних систем. реалізують у тому чи іншому вигляді технології отримання та накопичення знань, моделювання окремих інтелектуальних функцій людини. Ядром таких систем є потужні ЕОМ та обчислювальні комплекси. Крім того, існує великий клас прикладних завдань, які можна звести до вирішення логічних завдань, наприклад, обробка та синтез зображень, транспортні завдання. Необхідна продуктивність обчислювальних засобів досягається шляхом розпаралелювання та конвеєризації обчислювальних процесів. Це реалізується, як правило, на основі надвеликих інтегральних схем (НВІС). Однак технологія НВІС та їх структура пред'являє низку специфічних вимог до алгоритмів, а саме: регулярність, паралельно - потокова організація обчислень, надлінійна операційна складність (багаторазове використання кожного елемента вхідних даних), локальність зв'язків обчислень, двомірність простору реалізації обчислень. Ці вимоги зумовлюють необхідність вирішення проблеми ефективного занурення алгоритму в обчислювальне середовище, або, як заведено говорити, - відображення алгоритму в архітектуру обчислювальних засобів. Нині доведено помилковість раніше поширених поглядів, які у тому, що перехід на паралельно-конвеєрні архітектури ЕОМ вимагатимуть лише невеликий модифікації відомих алгоритмів. Виявилося, що паралелізм і конвеєризація обчислювальних процесів потребує розробки нових алгоритмів навіть для тих завдань, для яких існували добре вивчені та апробовані методи та алгоритми вирішення, але орієнтовані на послідовний принцип реалізації. За прогнозами фахівців, найближчим десятиліттям слід очікувати появи нових концепцій побудови обчислювальних засобів. Підставою для прогнозів є результати проведених нині перспективних досліджень, зокрема, в галузі біочипів та органічних перемикаючих елементів. Деякі напрями ставлять за мету створення схем у вигляді шарів органічних молекул і плівок з високорозвиненою структурою. Це дозволить, на думку дослідників, вирощувати комп'ютери на основі генної інженерії та посилити аналогію між елементами технічних системта клітинами мозку. Тим самим реальні обриси набувають нейрокомп'ютерів, які імітують інтелектуальні функції біологічних об'єктів, у тому числі людини. Очевидно, молекулярна електроніка стане основою створення ЕОМ шостого покоління. Все це об'єктивно зумовлює інтенсивні роботи з методів синтезів алгоритмів обробки логічних даних та їх ефективного занурення в операційне середовище бінарних елементів. Очевидно, що бінарні елементи та бінарні дані найбільш повно відповідають один одному в плані представлення та обробки останніх на таких елементах, якщо їх розглядати окремо. Справді, наприклад, алгебра логіки над числами (0,1) реалізується на бінарному елементі повному використаннійого операційний ресурс. Іншими словами, порушується питання про ефективність, а іноді взагалі можливості реалізації даного алгоритму на такій мережі (структурі). У цьому полягає суть занурення алгоритму структуру.
§4. Математична логіка у криптографії
Криптографія вивчає методи пересилання повідомлень у замаскованому вигляді, за яких лише намічені відправником одержувачі можуть видалити маскування та прочитати повідомлення. Загальна схемазахисту інформації представлена на малюнку 2. Етап кодування від помилок заснований на внесенні до повідомлення, що передаєтьсянадлишку інформації, достатньої подолання перешкод лінії зв'язку. Наприклад, припустимо, передається послідовність символів типу 0і 1. При цьому в мережі зв'язку з певною ймовірністю можуть відбуватися помилки прийому сигналу 0 замість сигналу 1або навпаки, тоді кодер на кожен символ ai повідомлення передає п'ятьма імпульсами 00000 якщо ai -0 і навпаки. На приймальному кінці послідовність імпульсів, що приймається, розбивається по п'ять імпульсів, звана блоками. Якщо прийнятому блоці міститься 2 і менше імпульсу 0, то приймається рішення про те, що передавався символ ai-1. Таким чином, вихідна ймовірність помилки буде значно знижена. Елегантніші методи кодування, які при достатньої надійності дозволяють вносити не такий великий надлишок інформації. Для вираження інформації потрібно ввести деякий алфавіт, з якого складатиметься повідомлення (кінцеві впорядковані множини з цих символів). Позначимо через A – потужність обраного алфавіту. Будемо також вважати, що всі множини інформації або, що те саме, безліч всіляких повідомлень звичайно. Як міра інформації в повідомленні даної довжини можна взяти log 2від числа всіляких повідомлень звісно. Тоді обсяг інформації, що падає на символ алфавіту X=log 2a. Далі маємо справу зі словами довгою S, тоді всього таких слів буде N=AS (декартова S- ступінь алфавіту), а отже, кількість інформації в слові Y=Log 2N=Log 2As = SX. Левову частку криптоаналізу становлять методи, побудовані на ймовірнісному аналізі криптограми та пропонованої вихідної мови. Оскільки будь-яка звичайна мова має надлишок інформації, причому нерівномірно розміщених у словах, то літери алфавіту цієї мови можуть мати стійкі приватні характеристики. Наприклад, в англійською- це літера, що часто повторює e Крім того, частотними характеристиками можуть бути буквосполучення та їх комбінації. Загальна схема криптосистеми з секретним ключем зображена малюнку 3. Тут Х - відкритий текст, Y- шифр тексту, K - ключ шифру, R - рандомизирующая послідовність.
§5.Математичналогікавпрограмування
Функція одного аргументу - це правило, що ставить відповідність будь-якому значенню, що лежить в області зміни цього аргументу (яка буде і областю визначення цієї функції), іншу величину, що лежить в області значень функції.
Поняття функції було перенесено до мов програмування. У мові програмування, зазвичай, передбачено ряд вбудованих функцій, наприклад sin, cos, sqrt тощо. Крім того, програміст має можливість визначати свої власні функції. Вони можуть працювати не тільки з речовими числами, але і з різними типами даних, що включають зазвичай integer (ціле), real (речове), boolean (булевское), character (рядкове). Вони можуть працювати зі структурами. У мовах Паскаль, Алгол=68 і ПЛ/1 є, наприклад, типи records (записи), arrays (масиви), lists (списки), files of records (файли, що з записів), а значеннями функцій може бути покажчики цих структур . Усе це узгоджено з поняттям області визначення, поза якою функцію не визначено. У мовах програмування ця область задана зазвичай вказівкою типу даних, що є деяким безліччю величин. Так, у Паскалі компілятор повинен стежити, щоб ніяка функція не застосовувалася до величини невідповідного типу, яка б вийти межі області визначення функції.
Функція багатьох аргументів. Тепер потрібно узагальнити визначення, щоб охопити функції багатьох аргументів. Для цього зберемо n аргументів упорядкований набір, який розглядатимемо як один аргумент. Візьмемо функцію віднімання diff(x.y). Трактується її як відображення пар<х,у>у цілі числа. У вигляді безлічі впорядкованих пар її можна записати так: diff = (<<5,3>, 2>. <<6,3>, 3>, <<4,5>, -1>...) Якби натомість у нас була функція чотирьох аргументів h(x,y,z,w), то використали б відображення, визначене на четвірках
Висновок
Математична логіка чимало сприяла бурхливому розвитку інформаційних технологійу XX столітті, але з її поля зору випало поняття "судження", яке з'явилося у логіці ще за часів Аристотеля і на якому, як на фундаменті, тримається логічна основа природної мови. Таке недогляд аж ніяк не сприяло розвитку логічної культури суспільства і в багатьох навіть породило ілюзію, що комп'ютери здатні мислити не гірше за саму людину. Багатьох навіть не бентежить та обставина, що на тлі загальної комп'ютеризації напередодні третього тисячоліття логічні безглуздості в межах самої науки (я вже не говорю про політику, законотворчу діяльність і про псевдонауку) зустрічаються навіть частіше, ніж наприкінці XIX століття. І для того, щоб зрозуміти суть цих безглуздостей, немає необхідності звертатися до складних математичних структур з багатомісними відносинами та рекурсивними функціями, що застосовуються у математичній логіці. Виявляється, для розуміння та аналізу цих безглуздостей цілком достатньо застосувати набагато простішу. математичну структурусудження, яка не тільки не суперечить математичним основам сучасної логіки, але в чомусь доповнює та розширює їх.
Список використаної літератури
1. Ігошин, В.І. Математична логіка та теорія алгоритмів [Текст]/В.І. Ігошин. – М.: Академія, 2008. – 448 с.; з іл.
Стяжкін, Н.І. Формування математичної логіки [Текст]/Н.І. Стяжкін. – М.: Наука, 1967. – 508 с.; з іл.
Марков, А.А. Елементи математичної логіки [Текст]/А.А. Марків. – М.: МДУ, 2004. – 310 с.; з іл.
Каррі, Х.Б. Підстави математичної логіки [Текст] / Х.Б. Каррі. - М: Мир, 1969. - 568 с.; з іл.
Репетиторство
Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?
Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.
