3 ознака рівності трикутників називається. Третя ознака рівності трикутників

Теорема

Доведення

Розглянемо трикутники АВС і A 1 B 1 C 1 , у яких АВ = A 1 B 1 , ∠A = ∠A 1 , ∠B = ∠B 1 (рис. 68). Доведемо, що ΔАВС = ΔА1В1С1.

Мал. 68

Накладемо трикутник АВС на трикутник A 1 B 1 C 1 так, щоб вершина А сумісна з вершиною А 1 , сторона АВ - з рівною стороною AjBj, і вершини С і С 1 виявилися по одну сторону від прямої А 1 В 1 .

Оскільки ∠A = ∠A 1 і ∠B = ∠B 1 , то сторона АС накладеться на промінь А 1 С 1 , а сторона ВС - на промінь В 1 С 1 . Тому вершина С - загальна точка сторін АС і ВС - виявиться лежачою як на промені А 1 С 1 так і на промені B 1 C 1 і, отже, суміситься з спільною точкоюцих променів - вершиною З 1 . Отже, суміщаються сторони АС і A 1 C 1 , ВС і 1 С 1 .

Отже, трикутники АВС та А 1 В 1 С 1 повністю суміщаються, тому вони рівні. Теорему доведено.

Третя ознака рівності трикутників

Теорема

Доведення

Розглянемо трикутники АВС і A1B1C1, у яких АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1 (рис. 69).

Мал. 69

Доведемо, що ΔАВС = ΔА1В1С1. Прикладемо трикутник АВС до трикутника A 1 B 1 C 1 так, щоб вершина А сумісна з вершиною А 1 , вершина В - з верховною В 1 , а вершини С і С 1 виявилися різні сторонивід прямої A 1 B 1 (рис. 70).

Мал. 70

Можливі три випадки: промінь С1С проходить усередині кута А1С1В1 (рис. 70, а); промінь З 1 Збігається з однією зі сторін цього кута (рис. 70, б); промінь С1С проходить поза кутом А1С1В1 (рис. 70, в). Розглянемо перший випадок (інші випадки розгляньте самостійно).

Так як за умовою теореми сторони АС і А 1 С 1 ВС і В 1 С 1 рівні, то трикутники А 1 С 1 С і В 1 С 1 С - рівнобедрені (див. рис. 70, а). По теоремі про властивість кутів рівнобедреного трикутника∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, тому ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Отже, АС = А1С1, ВС = В1С1, ∠C = ∠C1.

Отже, трикутники АВС і А1В1С1 рівні за першою ознакою рівності трикутників. Теорему доведено.

З третьої ознаки рівності трикутників випливає, що трикутник - жорстка фігура. Пояснимо, що це означає.

Уявімо дві рейки, у яких два кінці скріплені цвяхом (рис. 71, а). Така конструкція не є жорсткою: зсуваючи або розсуваючи вільні кінці рейок, ми можемо змінювати кут між ними. Тепер візьмемо ще одну рейку і скріпимо її кінці з вільними кінцями перших двох рейок (рис. 71, б).

Мал. 71

Отримана конструкція – трикутник – буде вже жорсткою. У ній не можна зрушити або розсунути жодні дві сторони, тобто не можна змінити жоден кут. Справді, якби це вдалося, ми отримали б новий трикутник, не рівний вихідному. Але це неможливо, тому що новий трикутник повинен дорівнювати вихідному за третьою ознакою рівності трикутників.

Ця властивість – жорсткість трикутника – широко використовується на практиці. Так, щоб закріпити стовп у вертикальному положенні, до нього ставлять підпору (рис. 72 а); такий самий принцип використовується при встановленні кронштейна (рис. 72, б).

Мал. 72

Завдання

121. Відрізки АВ та CD перетинаються в середині О відрізка АВ, ∠OAD = ∠OBC.

а) Доведіть, що Δ СВО = ΔDAO;
б) знайдіть ВС та СО, якщо CD = 26 см, AD = 15 см.

122. На малюнку 53 (див. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Доведіть, що ΔАВС = ΔCDA;
б) знайдіть АВ і ПС, якщо АВ = 19 см, CD = 11 см.

123. На бісектрисі кута А взято точку D, а на сторонах цього кута - точки В і С такі, що ∠ADB = ∠ADC. Доведіть, що BD = CD.

124. За даними малюнка 73 доведіть, що ОР = ВІД, ∠P = ∠T.

Мал. 73

125. На малюнку 74 ∠DAC = ∠DBC, АТ = ВО. Доведіть, що ∠C = ∠D та AC = BD.

Мал. 74

126. На малюнку 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС = 13 см. Знайдіть BD.

127. У трикутниках АВСі А 1 B 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , ВС = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 . На сторонах АВ і A 1 B 1 відзначені точки D та D 1 так, що ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Доведіть, що ΔBCD = ΔB1C1D1.

128. Доведіть, що в рівних трикутникахбісектриси, проведені відповідно до рівних сторін, рівні.

129. Відрізки АС та BD перетинаються в середині О відрізка АС, ∠BCO = ∠DAO. Доведіть, що ΔВОА = ΔDOC.

130. У трикутниках АВС і A 1 В 1 С 1 відрізки СО і С 1 О 1 - медіани, BC = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 і ∠C = ∠C 1 . Доведіть, що:

а) ΔАСО = ΔА1С1О1;
б) ΔВСО = Δ В 1 С 1 O.

131. У трикутниках DEF та MNP EF - NP, DF = MP та ∠F = ∠P. Бісектриси кутів Е і D перетинаються в точці О, а бісектриси кутів М і N - у точці К. Доведіть, що ∠DOE = ∠MKN.

132. Пряма, перпендикулярна до бісектриси кута А, перетинає сторони кута в точках М та N. Доведіть, що трикутник AMN – рівнобедрений.

133. Доведіть, що якщо бісектриса трикутника є його висотою, то трикутник – рівнобедрений.

134. Доведіть, що рівнобедрені трикутники рівні, якщо основа та прилеглий до нього кут одного трикутника відповідно дорівнюють основі та прилеглому до нього куту іншого трикутника.

135. Доведіть, що якщо сторона одного рівностороннього трикутникадорівнює стороні іншого рівностороннього трикутника, то трикутники дорівнюють.

136. На малюнку 52 (див. с. 31) АВ-АС, BD = DC та ∠BAC = 50°. Знайдіть ∠CAD.

137. На малюнку 53 (див. стор. 31) BC = AD, AB = CD. Доведіть, що ∠B = ∠D.

138. На малюнку 75 AB = CD та BD = АС. Доведіть, що: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.

Мал. 75

139. На малюнку 76 AB = CD, AD = BC, BE – бісектриса кута ABC, a DF - бісектриса кута ADC. Доведіть, що:

а) ∠ABE = ∠ADF;
б) ΔАВЕ = ΔCDF.

Мал. 76

140. У трикутниках АВС та А 1 В 1 С 1 медіани ВМ та В 1 М 1 рівні, АВ = А 1 В 1 АС = А 1 С 1 . Доведіть, що ΔАВС = ΔА1В1С1.

141. У трикутниках АВС та А 1 В 1 С 1 відрізки AD та A 1 D 1 - бісектриси, АВ = А 1 В 1 , BD = B 1 D 1 та AD = A 1 D 1 . Доведіть, що ΔАВС = ΔА1В1С1.

142. Рівностегнові трикутники ADC та BCD мають загальну основу DC. Пряма АВ перетинає відрізок CD у точці О. Доведіть, що: a) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Відповіді до завдань

121. б) ПС = 15 см, СО = 13 см.

122. б) АВ = 11 см, НД = 19см.

142. Вказівка. Розглянути два випадки. Точка лежить: а) на промені АТ; б) на продовженні променя АТ.

Друга ознака рівності трикутників

Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN = PR N = R M = P

Як і в доказі першої ознаки, потрібно переконатися, чи цього достатньо для рівності трикутників, чи можна їх повністю поєднати?

1. Оскільки MN = PR , ці відрізки поєднуються, якщо поєднати їх кінцеві точки.

2. Оскільки N = R і M = P , то промені (MK) і (NK) накладуться відповідно на промені (PT) і (RT).

3. Якщо збігаються промені, то збігаються точки їх перетину \(K\) і \(T\).

4. Поєднані всі вершини трикутників, тобто Δ MNK і Δ PRT повністю сумісні, отже вони рівні.

Третя ознака рівності трикутників

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN = PR KN = TR MK = PT

Знову спробуємо поєднати трикутники MNK і PRT накладенням і переконається, що відповідно рівні сторонигарантує і рівність відповідних кутівцих трикутників і вони збігаються.

Сумісний, наприклад, однакові відрізки (MK) і (PT). Припустимо, що точки \(N\) і \(R\) при цьому не поєднуються.

Нехай (O) - середина відрізка (NR). Відповідно до цієї інформації MN = PR , KN = TR . Трикутники \(MNR\) і \(KNR\) рівнобедрені із загальною основою \(NR\).

Тому їх медіани \(MO\) і \(KO\) є висотами, отже перпендикулярні \(NR\). Прямі \(MO\) і \(KO\) не збігаються, оскільки точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежать на одній прямій. Але через точку \(O\) прямий \(NR\) можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми дійшли суперечності.

Доведено, що мають поєднатися і вершини (N) і (R).

Третя ознака дозволяє назвати трикутник дуже сильною, стійкою фігурою, іноді кажуть, що трикутник - жорстка фігура . Якщо довжини сторін не змінюються, то кути також не змінюються. Наприклад, чотирикутник такого властивості немає. Тому різні підтримки та зміцнення роблять трикутними.

Але своєрідну стійкість, стабільність і досконалість числа (3) люди оцінювали і виділяли давно.

Про це свідчать казки.

Там ми зустрічаємо «Три ведмеді», «Три вітри», «Три порося», «Три товариші», «Три брати», «Три щасливці», «Троє умільців», «Три царевичи», «Три друзі», «Три друзі». богатиря» та ін.

Там даються "три спроби", "три поради", "три вказівки", "три зустрічі", виконуються "три бажання", потрібно потерпіти "три дні", "три ночі", "три роки", пройти через "три держави". », «три підземні царства», витримати «три випробування», пропливти через «три моря».

З далеких часів і досі пошук ознак рівності фігур вважається базовим завданням, яке є основою основ геометрії; сотні теорем доводяться з використанням ознак рівності. Вміння доводити рівність і подобу фігур важливе завданняу всіх галузях будівництва.

Вконтакте

Застосування досвіду на практиці

Припустимо, що ми маємо фігуру, накреслену на аркуші паперу. При цьому ми маємо лінійку та транспортир, за допомогою яких ми можемо заміряти довжини відрізків та кути між ними. Як перенести на другий аркуш паперу фігуру таких самих розмірів або збільшити масштаб у два рази.

Ми знаємо, що трикутник - це фігура, що складається з трьох відрізків, званих сторонами, що утворюють кути. Таким чином, існує шість параметрів — три сторони та три кути, які визначають цю фігуру.

Однак, вимірявши величину всіх трьох сторін і кутів, перенести цю фігуруна іншу поверхню виявиться непростим завданням. Крім того, є сенс поставити питання: а чи не буде достатньо знання параметрів двох сторін і одного кута, або лише трьох сторін.

Вимірявши довжину двох сторін і між ними, потім відкладемо цей кут на новому аркуші паперу, так ми зможемо повністю відтворити трикутник. Давайте розберемося, як це зробити, навчимося доводити ознаки, якими їх можна вважати однаковими, і визначимося з тим, яке мінімальне число параметрів достатньо знати, щоб отримати впевненість у тому, що трикутники однакові.

Важливо!Фігури називаються однаковими, якщо відрізки, що утворюють їх сторони, та кути рівні між собою. Подібними називаються ті постаті, у яких сторони та кути пропорційні. Таким чином, рівність - це подібність з коефіцієнтом пропорційності 1.

Які існують ознаки рівності трикутників, дамо їх визначення:

• перша ознака рівності: два трикутники можна вважати однаковими, якщо рівні дві сторони, а також кут між ними.
• друга ознака рівності трикутників: два трикутники будуть однаковими, якщо однакові два кути, а також відповідна сторона між ними.
• третя ознака рівності трикутників : трикутники можна вважати однаковими, коли всі сторони мають рівну довжину.

Як довести, що трикутники дорівнюють. Наведемо доказ рівності трикутників.

Доказ 1 ознаки

Довгий час серед перших математиків ця ознака вважалася аксіомою, проте, як виявилося, її можна геометрично довести, спираючись на базовіші аксіоми.

Розглянемо два трикутники - KMN і K1M1N1. Сторона КМ має таку ж довжину, як і K 1 M 1 , а KN = K 1 N 1 . А кут MKN дорівнює кутам KMN та M 1 K 1 N 1 .

Якщо розглядати KM та K 1 M 1 , KN та K 1 N 1 як два промені, які виходять з однієї точки, то можна сказати, що між цими парами променів однакові кути (це задано умовою теореми). Виробимо паралельне перенесенняпроменів K 1 M 1 і K 1 N 1 з точки K 1 в точку К. Внаслідок цього перенесення промені K 1 M 1 і K 1 N 1 повністю співпадуть. Відкладемо на промені K 1 M 1 відрізок довжиною КМ, що бере початок у точці К. Оскільки за умовою отриманий відрізок і буде дорівнює відрізку K 1 M 1 то точки М та M 1 збігаються. Аналогічно і з відрізками KN і K1N1. Таким чином, переносячи K 1 M 1 N 1 так, що точки K 1 і К збігаються, а дві сторони накладаються, отримуємо повний збіг і самих фігур.

Важливо!В інтернеті зустрічаються докази рівності трикутників по обидва боки та кут за допомогою алгебраїчних і тригонометричних тотожностейз чисельними значеннями сторін та кутів. Однак історично та математично дана теоремабула сформульована задовго до алгебри і раніше ніж тригонометрія. Для підтвердження цієї ознаки теореми використовувати щось, крім базових аксіом, некоректно.

Доказ 2 ознаки

Доведемо другий ознака рівності по двох кутах та стороні, ґрунтуючись на першому.

Доказ 2 ознаки

Розглянемо KMN та PRS. До дорівнює Р, N дорівнює S. Сторона КN має таку саму довжину, як і РS. Необхідно довести, що KMN і PRS однакові.

Відобразимо точку М щодо променя КN. Отриману точку назвемо L. У цьому довжина боку КМ = КL. NKL дорівнює PRS. KNL дорівнює RSP.

Оскільки сума кутів дорівнює 180 градусів, то KLN дорівнює PRS, а значить PRS і KLN - однакові (подібні) по обидва боки та кут, згідно з першою ознакою.

Але оскільки KNL дорівнює KMN, то KMN і PRS — дві однакові фігури.

Доказ 3 ознаки

Як встановити, що трикутники рівні? Це прямо випливає із доказу другої ознаки.

Довжина KN = S. Оскільки К = Р, N = S, KL = KM, у своїй КN = KS, MN = ML, то:

Це означає, що обидві фігури є подібними другдругові. Але оскільки їхні сторони однакові, то вони також рівні.

З ознак рівності та подоби випливає безліч наслідків. Одне з них полягає в тому, що для того, щоб визначити, чи рівні трикутники чи ні, необхідно знати їхні властивості, чи однакові:

• усі три сторони;
• обидві сторони та кут між ними;
• обидва кути та сторона між ними.

Використання ознаки рівності трикутників для розв'язання задач

Наслідки першої ознаки

У ході доказу можна дійти до ряду цікавих та корисних наслідків.

1. . Той факт, що точка перетину діагоналей паралелограма поділяє їх на дві однакові частини — наслідок ознак рівності і цілком піддається доказу.
2. Якщо є два прямокутний трикутник, у яких однакові гострі кути, то вони подібні. Якщо цьому катет першого дорівнює катету другого, всі вони рівні. Зрозуміти це досить легко — будь-які прямокутні трикутники мають прямий кут. Тому ознаки рівності їм простіші.
3. Два трикутники з прямими кутами, у яких два катети мають однакову довжину, Можна вважати однаковими. Це пов'язано з тим, що між двома катетами кут завжди дорівнює 90 градусів. Тому за першою ознакою (по двох сторонах і кутом між ними) всі трикутники з прямими кутами та однаковими катетами рівні.
4. Якщо є два прямокутні трикутники, і вони мають один катет і гіпотенуза рівні, отже і трикутники однакові.

Доведемо цю просту теорему.

Третя ознака рівності трикутників з трьох сторін формулюється як теореми.

Теорема : Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення.розглянемо ΔABC та ΔA 1 B 1 C 1 у яких AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 . Доведемо, що ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Нехай ABC та A 1 B 1 C 1 – трикутники, у яких AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Накладемо ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, щоб вершина A сумісна A 1 , а вершини B і B 1 , а вершини С і С 1 виявилися по різні боки від прямої A 1 В 1 . Можливі три випадки: 1) промінь С1С проходить усередині кута А1С1В1 (рис. а)); 2) промінь С1С збігається з однією зі сторін цього кута (рис. б)); промінь С1С проходить поза кутом А1С1В1 (рис. в)). Розглянемо перший випадок. Так як за умовою теореми сторони АС і A 1 C 1 ВС і В 1 С 1 рівні, то трикутники А 1 С 1 С і В 1 С 1 С - рівнобедрені. По теоремі про властивість кутів рівнобедреного трикутника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, тому ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 С 1 B 1 . Отже, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 . Отже, трикутники ABCі А 1 В 1 З 1 дорівнюють за першою ознакою рівності трикутників.

Запис на дошці:

Дано:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1

Довести:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доведення.Накладемо ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, щоб A →A 1 , а B → B 1 , а С та С 1 виявилися по різні боки від прямої A 1 В 1 . Розглянемо нагоду. промінь С 1 С проходить всередині ÐА 1 С 1 В 1 (рис. а)).

АС=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С і ΔВ 1 С 1 С - рівноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву кутів рівноб. Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 С 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 ═>

ΔABC=ΔА 1 В 1 С 1 за першою ознакою рівності трикутників.

2.Ромб. Визначення, властивості, ознаки.

Ромб є різновидом чотирикутника.

Визначення: Ромб називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

На малюнку зображено паралелограм ABCD у якого AB=BC=CD=DA. За визначенням цей паралелограм – ромб. АС та ВD – діагоналі ромба. Оскільки ромб – паралелограм, йому справедливі всі властивості та ознаки паралелограма.

Властивості:

1) У ромбі протилежні кутирівні (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл. (BО = ОD, AО = ОC)

3) Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться його кути навпіл. (АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО) ( особлива властивість)

4) Сума кутів, прилеглих до однієї сторони дорівнює 180 0

ознаками ромба:

1) Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, цей паралелограм – ромб

2) Якщо діагональ паралелограма ділить його кути навпіл, цей паралелограм ромб.

3) якщо в паралелограмі всі сторони рівні, він є ромбом.

Запис на дошці.

Властивості:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0

Зворотні твердженняє ознаками ромба:

1 ) Якщо ABСD - парал-м, і АС DВ, то - ABСD - ромб.

2) Якщо ABCD - парал-м, і АС і DВ - бісектриси, то - ABCD - ромб.

3) Якщо ABCD - парал-м, і АС = DВ і BC = AD, то - ABCD - ромб.

Завдання.