Як визначити приблизне значення кореня. Наближене обчислення ірраціональних чисел

Насправді часто доводиться обчислювати квадратне коріння з різних чисел. Зараз це можна зробити на калькуляторі або за допомогою комп'ютера. Ми ж розглянемо спосіб, як обчислити квадратний корінь з будь-якої кількості з необхідною точністю, не використовуючи комп'ютер, калькулятор або інші обчислювальні засоби.

Наприклад, спробуємо обчислити корінь із числа 2, з точністю до 0.01, тобто до двох знаків після коми.

Порахуємо квадратний корінь із числа 2

Будемо міркувати так. Число √2 більше 1, тому що 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятковий записчисла буде починатися так: 1,… Тобто корінь з двох, це одиниця з чимось. 1< √2 < 2.

Тепер спробуємо знайти цифру десятих.Для цього будемо дроби від одиниці до двійки зводити в квадрат, доки не отримаємо число більше двох. Крок розподілу візьмемо 0,1, оскільки ми шукаємо число десятих. Тобто будемо зводити в квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

• 1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Отримавши число, що перевищує двійку, інші числа вже не треба зводити в квадрат. Число 1,4 2 менше 2, а 1,5 2 вже більше двох, то число √2 має належати проміжку від 1,4 до 1,5 (1,4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

• 1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Вже за 1.42 отримуємо, що його квадрат більше двох, далі зводити у квадрат числа немає сенсу.

З цього отримуємо, що число √2 належатиме проміжку від 1,41 до 1,42 (1,41< √2

Оскільки нам необхідно записати √2 з точністю до двох знаків після коми, ми вже можемо зупинитися і продовжувати обчислення. √2 ≈ 1,41. Це буде відповіддю. Якби необхідно було обчислити ще більш точне значення, потрібно було б продовжувати обчислення, повторюючи знову і знову ланцюжок міркувань.

Як вже говорилося вище, даний прийом дозволяє витягувати корінь з будь-якою заданою наперед точністю.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Тема наближеного обчислення коренів актуальна завжди, оскільки завдання з квадратним корінням є у кожному курсі предметів природничого циклу. У ході вирішення багатьох математичних завдань, а також задач з геометрії, фізики, хімії і т.д. доводиться стикатися з квадратним корінням. Для отримання квадратного кореня існують таблиці квадратів для двозначних чисел, але її буває недостатньо. Вилучення кореня розкладанням на множники теж непросте завдання, яка не завжди призводить до бажаному результату, і я вирішила вивчити різні способи вилучення квадратного корінняз метою їхнього практичного застосування.

Тому мета роботи спрямована на зіставлення різних способівнаближеного вилучення квадратного коріння, при цьому ставляться завдання: вивчення матеріалу, виявлення найбільш ефективного способув залежності від поставленого завдання.

Розв'яжемо графічно рівняння. Для цього в одній системі координат побудуємо параболу та пряму. Абсциси точок A і B є корінням рівняння. Вирішимо рівняння. Ясно, що це рівняння має два корені і, причому ці числа, як і в двох попередніх випадках, дорівнюють абсолютної величиниі протилежні за знаком (). За кресленням ми можемо вказати точні значення коренів. Число x1, що цікавить нас, розташоване між числами 1 і 2, але між числами 1 і 2 знаходиться нескінченна безлічраціональних чисел, наприклад, і т.д. У роботі доведено, що маючи тільки раціональні числа, рівняння ми вирішити не зможемо.

Математики ввели на розгляд новий символ, Який назвали квадратним коренем, і за допомогою цього символу корені рівняння записали так: і. Читається: "арифметичний квадратний корінь із двох". Тепер для будь-якого рівняння виду, де можна знайти коріння - ними є числа і.

Квадратним коренем із невід'ємного числа називають таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює. Це число позначають. Якщо, то рівняння не має коріння.

Операцію знаходження квадратного кореня з негативного числа називають вилученням квадратного кореня.

У ході дослідження методів обчислення квадратного кореня було знайдено кілька методів, таких як: арифметичний спосіб; метод грубої оцінки; стовпчиком; Вавилонський спосіб; метод Герона та метод Ньютона; геометричний метод. У цьому роботі розглянуті лише з них.

Арифметичний спосіб

квадратний корінь витяг наближений

Для квадратів натуральних чисел вірні такі рівності:

Тобто, щоб дізнатися цілу частину квадратного кореня числа, можна, віднімаючи з нього все непарні числапо порядку, поки залишок не стане менше наступного числа, що віднімається, або дорівнює нулю, Порахувати кількість виконаних дій.

Наприклад, знайдемо квадратнийкорінь числа 16 так:

Виконано 4 дії, отже, квадратний корінь числа 16 дорівнює 4. Аналогічно знайдемо квадратний корінь числа 12:

Виконано 3 дії, квадратний корінь числа 12 дорівнює 3 цілим.

Недоліком такого способу є те, що якщо видобутий корінь не є цілим числом, можна дізнатися тільки його цілу частину, але не точніше. У той самий час такий спосіб цілком придатний грубої оцінки, для учнів, вирішальних найпростіші математичні завдання, які вимагають вилучення квадратного кореня.

Вавилонський спосіб або перший метод Герона

Якщо - додатне числоі - наближене значення для надлишку, то - наближене значення для недоліку.

Доказ теореми розглянуто у роботі. Оскільки і є наближеними значеннями для надлишку і недоліку, і є середнім геометричних чиселі, як кращого наближення для природно вибрати середнє арифметичне цих чисел, тобто. число. А щоб отримати ще більш точне значення для, треба взяти середнє арифметичне чиселі, тобто. число. Так обчислюються одне одним все більш точні наближені значення для. Наближення ведуть до тих пір, поки два отримані значення і не збігатимуться в межах заданої точності. Тоді ми маємо формулу:

. (1)

Цю формулу можна вивести і з інших міркувань.

Нехай, наприклад, потрібно витягти квадратний корінь із числа 32. Виберемо спочатку якесь наближене значення цього кореня, наприклад, . Похибка цього наближеного значення позначимо через тоді. Щоб знайти значення, зведемо обидві частини цієї рівності квадрат, отримаємо:

,

. (2)

Таким чином, для вийшло квадратне рівняння. Якщо його вирішити, то. Ми, виходить, ходимо по колу: щоб знайти, треба порахувати, а щоб знайти, треба вирахувати. На допомогу приходить таке міркування. Похибка наближеного значення невелика, вона менша від одиниці, значить число ще менше, тому в рівності (2) його можна відкинути. При цьому для виходить наближене рівняння, отже. Отже, наближене значення виправлення знайдено.

Оскільки, то друге наближення. Щоб знайти більш точне наближення для повторимо описаний процес.

.

Зведемо обидві частини в квадрат і відкинемо мале доданок:

,

.

Тоді третє наближення для виражається формулою:

. Тому що.

Так само, виходячи з наближеного значення, можна знайти наступне наближення. Тоді, якщо знайдено наближене значення, наступне виражається формулою:

.

При цьому кожен наступний крок призводить до все більш точних наближень. Отримана формула є окремим випадком формули (1), в якій деяке дійсне число.

За формулою (1) можна знайти наближене значення, воно приблизно дорівнює 1,414213562.

Правило знаходження наближеного значення квадратного кореня з будь-якого натурального числабуло відомо ще математикам стародавнього Вавилону понад 4000 років тому. Вони становили таблиці квадратів чисел і квадратних коренів із чисел. При цьому вони вміли знаходити приблизно значення квадратного кореня з будь-якого цілого числа.

Формула, за допомогою якої обчислювалися послідовні наближення за Вавилонським способом, може бути записана таким чином:

.

У даному випадкуяк функція береться, де - це число, корінь якого необхідно знайти. Діяльність з'ясовується точність Вавилонського методу.

Цей метод був відомий ще в Стародавню Греціюі приписується Герону Олександрійському. Потім цей спосіб був покинутий, але зараз його застосовують для вилучення квадратних коренів на калькуляторах і обчислювальних машинах.

Робота над цим дослідженням показала, що вивчення квадратного коріння - об'єктивна необхідність: реального життятрапляються ситуації, математичні моделіяких містять операцію вилучення квадратного кореня. Але не завжди під рукою ми маємо калькулятор. Крім того, бувають ситуації, коли використання калькулятора є неприпустимим, наприклад, ЄДІ.

Хотілося б вибрати оптимально раціональний спосібвилучення квадратних коренів. Звичайно, арифметичний спосіб і особливо спосіб грубої оцінки, прості у використанні, але не точні, хоча цілком придатні для першого наближення. До того ж при застосуванні цих способів вилучення квадратного коріння будь-яка помилка, допущена в якомусь місці, повністю знецінює подальші обчислення. Інакше полягає справа при застосуванні Вавилонського способу чи способу послідовних наближень. Хоча він і трудомісткий, але можна правильно визначити значення кореня із заданою точністю.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Поняття та математична сутність квадратного кореня, його призначення та методика обчислення. Теореми, що відображають властивості квадратного кору, їх обґрунтування та доказ. Застосування характеристик квадратного коріння у вирішенні геометричних завдань.

реферат, доданий 05.01.2010


Виведення формули розв'язання квадратного рівняння історія математики. Порівняльний аналізтехнологій різних способів розв'язання рівнянь другого ступеня, приклади їх застосування. Коротка теоріярішення квадратних рівнянь, Складання задачника.

реферат, доданий 18.12.2012


Вивчення способів наближеного розв'язання рівнянь за допомогою графічного зображенняфункцій. Дослідження методу визначення дійсних коренівквадратного рівняння за допомогою циркуля та лінійки для наведених семи рівнянь, побудова їх графіків.

творча робота, доданий 04.09.2010


Метод Гауса, LU-розкладання. Прогін для вирішення лінійних системіз тридіагональними матрицями коефіцієнтів. Метод квадратного кореня для вирішення систем: коротка характеристика, теоретична основа, реалізація, тестування та лістинг програми.

курсова робота , доданий 15.01.2013


Система лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні формули Крамера. Точні, наближені методи розв'язання лінійних систем. Алгоритм реалізації методу квадратного коріння мовою програмування в середовищі Matlab 6.5. Вплив мірності, обумовленості матриці.

контрольна робота , доданий 27.04.2011


Дослідження методу квадратного коріння для симетричної матриці як одного з методів розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри. Аналіз різних параметрів матриці та їх впливу на точність розв'язання: мірність, обумовленість та розрядженість.

курсова робота , доданий 27.03.2011


Історія розвитку формул коріння квадратних рівнянь. Квадратні рівняння в Стародавньому Вавилоні. Розв'язання квадратних рівнянь Діофант. Квадратні рівняння в Індії, Хорезмії і в Європі XIII - XVII ст. Теорема Вієта, сучасний запис алгебри.

контрольна робота , доданий 27.11.2010


Знаходження коренів рівнянь (Equation Section 1) методом: Ньютона, Ріддера, Брента, Лобачевського та Лагерра. Обчислення коренів багаточленів за схемою Горнера. Функції довільного вигляду (у разі використання пакета Mathcad). Знаходження коріння поліномів.

контрольна робота , доданий 14.08.2010


Вивчення історії квадратних рівнянь. Аналіз загального правиларозв'язання квадратних рівнянь, викладеного італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою циркуля та лінійки, за допомогою номограми, способом "перекидання".

Тепер таке питання: як звести число в ір раціональний ступінь? Наприклад, нам хочеться дізнатися, що таке 10 √2 Відповідь у принципі дуже проста. Візьмемо замість √2 його наближення у вигляді кінцевої десяткової дрдбі - це- раціональне число. Зводити у раціональний ступінь ми вміємо; справа зводиться до зведення в цілу міру та вилучення кореня. Ми матимемо наближене значення числа. Можна взяти десятковий дріб довше (це знову раціональне число). Тоді доведеться витягти корінь більшою мірою; адже знаменник раціонального дробузбільшиться, але ми отримаємо більш точне наближення. Звичайно, якщо взяти наближене значення √2 у вигляді дуже довгого дробу, то зведення в ступінь буде дуже важким. Як упоратися з цим завданням?

Обчислення квадратних коренів, кубічних коренів та інших коренів невисокого ступеня - цілком доступний нам арифметичний процес; обчислюючи, ми послідовно, один за одним, пишемо знаки десяткового дробу. Але для того, щоб звести до ірраціонального ступеня або взяти логарифм (вирішити зворотне завдання), потрібна така праця, що застосувати колишню процедуру вже не просто. На допомогу приходять таблиці. Їх називають таблицями логарифмів чи таблицями ступенів, дивлячись у тому, навіщо, вони призначені. Вони економлять час: щоб звести число до ірраціонального ступеня, ми не обчислюємо, а лише перегортаємо сторінки.

Хоча обчислення зібраних у таблиці значень - процедура чисто технічна, а все ж таки справа ця цікава і має велику історію. Тож подивимося, як це робиться. Ми обчислимо не тільки х = 10 √2 , але розв'яжемо й інше завдання: 10 х = 2, або x = log 10 2. При вирішенні цих задач ми не відкриємо нових чисел; це просто обчислювальні завдання. Рішенням будуть ірраціональні числа, нескінченні десяткові дроби, А їх якось незручно оголошувати новим видом чисел.

Подумаємо, як розв'язати наші рівняння. Загальна ідеядуже проста. Якщо обчислити 10 1 і 10 1/10 і 10 1/100 і 10 1/1000 і т. д., а потім перемножити результати, то ми отримаємо 10 1,414… або l0 √2 Поступаючи так, ми вирішимо будь-яке завдання такого роду. Однак замість 10 1/10 і т. д. ми будемо обчислювати 10 1/2 і 10 1/4 і т. д. Перш ніж починати обчислення, пояснимо ще, чому ми звертаємося до 10 частіше, ніж до інших чисел. Ми знаємо, що значення таблиць логарифмів виходить далеко за межі математичного завданняобчислення коренів, тому що

Це добре відомо всім, хто скористався таблицею логарифмів, щоб перемножити числа. З якої підстави b брати логарифми? Це байдуже; адже в основу таких обчислень покладено лише принцип, загальна властивість логарифмічної функції. Обчисливши логарифми один раз по якомусь довільній підставі, можна перейти до логарифмів з іншої основи за допомогою множення. Якщо помножити рівняння (22.3) на 61, то воно залишиться вірним, тому якщо перемножити всі числа в таблиці логарифмів на підставі b на 61, то можна буде скористатися і такою таблицею. Припустимо, що нам відомі логарифми всіх чисел на основі b. Інакше висловлюючись, можна розв'язати рівняння b а = з будь-якого с; при цьому існує таблиця. Завдання полягає в тому, як знайти логарифм цього ж числа з іншої основи, наприклад x. Нам потрібно розв'язати рівняння х а' = с. Це легко зробити, тому що х завжди можна так: х = b t . Знайти t, знаючи х та b, просто: t = log b x. Підставимо тепер х = b t рівняння х а' = с; воно перейде у таке рівняння: (b t) а' = b ta' = c. Іншими словами, твір ta' є логарифм з підстави b. Значить, а = a/t. Таким чином, логарифми на підставі х рівні творам логарифмів на підставі b на постійне число l/t. Отже, всі таблиці логарифмів еквівалентні з точністю до множення число l/log b x. Це дозволяє нам вибрати для складання таблиць будь-яку основу, але ми вирішили, що найзручніше взяти за основу число 10. (Може виникнути питання: чи не існує все-таки якоїсь природної основи, при якій все виглядає якось простіше? Ми спробуємо відповісти на це питання пізніше, поки всі логарифми будуть обчислюватися на підставі 10

Тепер подивимося, як складають таблицю логарифмів. Робота починається з послідовних витягів квадратного кореня із 10. Результат можна побачити в табл. 22.1. Показники ступенів записані в першому стовпці, а числа 10 s - у третьому. Зрозуміло, що 10 1 = 10. Звести 10 на половину ступінь легко - це квадратний корінь з 10, а як витягувати квадратний корінь з будь-якого числа, знає кожен. (Квадратний корінь найкраще видобувати не тим способом, якому зазвичай навчають у школі, а трохи інакше. Щоб витягти квадратний корінь із числа N, виберемо досить близьке до відповіді число а, обчислимо N/a та середнє а' =1/2; це середнє буде новим числом а, новим наближенням кореня N. Цей процес дуже швидко призводить до мети: число значущих цифрподвоюється після кожного кроку.) Отже, ми знайшли перший квадратний корінь; він дорівнює 3,16228. Що дає? Дещо дає. Ми вже можемо сказати, чому дорівнює 10 0,5 і знаємо принаймні один логарифм.

Логарифм числа 3,16228 дуже близький до 0,50000. Однак потрібно ще докласти невеликих зусиль: нам потрібна докладніша таблиця. Витягнемо ще один квадратний корінь і знайдемо 10 1/4, що дорівнює 1,77828. Тепер ми знаємо ще один логарифм: 1,250 це логарифм числа 17,78; крім того, ми можемо сказати, чому дорівнює 10 0,75: адже це 10 (0,5 +0,25), тобто добуток другого та третього чисел з третього стовпця табл. 22.1. Якщо зробити перший стовпець таблиці досить довгим, то таблиця міститиме майже всі числа; перемножуючи числа з третього стовпця, ми отримуємо 10 майже будь-якою мірою. Такою є основна ідея таблиць. У нашій таблиці міститься десять послідовного корінняз 10; Основний працю зі складання таблиці вкладено у обчислення цього коріння.

Чому ж ми не продовжуємо підвищувати точність таблиць далі? Тому що ми вже дещо помітили. Звівши 10 дуже малий ступінь, ми отримуємо одиницю з малою добавкою. Це, звичайно, відбувається тому, що якщо звести, наприклад, 10 1/1000 в 1000 ступінь, то ми знову отримаємо 10; ясно, що 10 1/1000 не може бути більшим числом: воно дуже близьке до одиниці Більше того, малі добавки до одиниці поводяться так, ніби їх щоразу поділяють на 2; подивіться на таблицю уважніше: 1815 переходить у 903, потім у 450, 225 і т. д. Таким бразом, якщо обчислити ще один, одинадцятий, квадратний корінь, він з великою точністюдорівнюватиме 1,00112, і цей результат ми вгадали ще до обчислення. Чи можна сказати, якою буде добавка до одиниці, якщо звести 10 до ступеня ∆/1024, коли ∆ прагне нуля? Можна, можливо. Добавка приблизно дорівнює 0,0022511∆. Звичайно, не в точності 0,0022511∆; щоб обчислити цю добавку точніше роблять такий трюк: віднімають з 10 s одиницю і ділять різницю на показник ступеня s. Відхилення отриманого таким чином приватного від нього точного значенняоднакові для будь-якого ступеня s. Видно, що це відносини (табл. 22.1) приблизно рівні. Спочатку вони сильно різняться, але потім все ближче підходять один до одного, явно прагнучи якогось числа. Що за число? Простежимо, як змінюються числа четвертого стовпця, якщо опускатися вниз стовпцем. Спочатку різницю двох сусідніх чисел дорівнює 0,0211, потім 0,0104, потім 0,0053 і, нарешті, 0,0026. Різниця щоразу меншає наполовину. Зробивши ще один крок, ми доведемо її до 0,0013, потім до 0,0007, 0,0003, 0,0002 і, нарешті, приблизно 0,0001; треба послідовно ділити 26 на 2. Таким чином ми спустимося ще на 26 одиниць і знайдемо для межі 2,3025. (Пізніше ми побачимо, що правильніше було б взяти 2,3026, але давайте візьмемо те, що у нас вийшло.) Користуючись цією таблицею, можна звести 10 у будь-який ступінь, якщо її показник у будь-який спосіб виражається через I/I024.

Тепер легко скласти таблицю логарифмів, тому що все необхідне для цього ми вже припасли. Процедура цього зображена у табл. 22.2, а потрібні числаберуться з другого та третього стовпців табл. 22.1.

Припустимо, що ми хочемо знати логарифм 2. Це означає, що ми хочемо знати, на який ступінь треба звести 10, щоб отримати 2. Можливо, звести 10 на ступінь 1/2? Ні, вийде занадто велике число. Дивлячись на табл. 22.1, можна сказати, що потрібне нам число лежить між 1/4 та 1/2. Пошук його розпочнемо з 1/4; розділимо 2 на 1,778 ..., вийде 1,124 ...; при розподілі ми відібрали від логарифму двох 0,250000, і тепер нас цікавить логарифм 1,124. Знайшовши його, ми додамо до результату 1/4 = 256/1024. Знайдемо в табл.22.1 число, яке при русі по третьому стовпцю зверху вниз стояло відразу за 1,124… . Це 1,074607. Відношення 1,124 ... до 1,074607 дорівнює 1,046598. Зрештою ми представимо 2 у вигляді добутку чисел з табл. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Для останнього множника (1,000573) у таблиці місця не знайшлося; щоб знайти його логарифм, треба представити це число у вигляді 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. Звідси легко виявити, що ∆ = 0,254. Таким чином, наш твір можна представити у вигляді десятки, зведеної у ступінь 1/1024 (266+32+16+4+0,254). Складаючи і ділячи, ми маємо потрібний логарифм: log 10 2 = 0,30103; цей результат вірний до п'ятого десятковий знак!

Ми обчислювали логарифми так само, як це робив містер Бріггс з Галіфакса в 1620 р. Закінчивши роботу, він сказав: «Я обчислив послідовно 54 квадратних кореня з 10». Насправді він вирахував лише 27 перших коренів, а потім зробив фокус із ∆. Обчислити 27 разів квадратний корінь із 10, взагалі-то кажучи, трохи складніше, ніж
10 разів, як ми це зробили. Проте містер Бріггс зробив набагато більше: він обчислював коріння з точністю до шістнадцятого десяткового знака, а коли опублікував свої таблиці, то залишив у них лише 14 десяткових знаків, щоб округлити помилки. Скласти таблиці логарифмів з точністю до чотирнадцятого десяткового знака таким методом - справа дуже важка. Зате через 300 років укладачі таблиць логарифмів займалися тим, що зменшували таблиці містера Бріггса, викидаючи з них щоразу різне числодесяткових знаків. Тільки в Останнім часомза допомогою електронних обчислювальних машин виявилося можливим скласти таблиці логарифмів незалежно від Містера Бріггса. При цьому використовувався більше ефективний методобчислень, заснований на розкладанні логарифму в ряд.

Складаючи таблиці, ми натрапили на цікавий факт; якщо показник ступеня дуже малий, то дуже легко обчислити 10 ε ; це просто 1+2,3025?. Це означає, що 10 n/2,3025 = 1 + n дуже малих n. Крім того, ми говорили із самого початку, що обчислюємо логарифми на підставі 10 тільки тому, що у нас на руках 10 пальців і по десятках нам вважати зручніше. Логарифми з будь-якої іншої основи виходять з логарифмів з основи 10 простим множенням. Тепер настав час з'ясувати, чи не існує математично виділеної основи логарифмів, виділеної з причин, які не мають нічого спільного з числом пальців на руці. У цій природній шкалі формули з логарифмами мають виглядати простіше. Складемо нову таблицюлогарифмів, помноживши всі логарифми на підставі 10 на 2,3025. Це відповідає переходу до нової основи - натуральної, або основи е. Зауважимо, що log e (l + n) ≈ n або е n ≈ 1 + n, коли n → 0.

Легко знайти саме число е; воно дорівнює 101 / 2,3025 або 10 0,4342294 ... Це 10 в ірраціональному ступені. Для обчислення е можна скористатися таблицею коренів з 10. Уявімо 0,434294… спочатку у вигляді 444,73/1024, а чисельник цього дробу у вигляді суми 444,73 = 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0,73 . Число е тому дорівнює добутку чисел
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Числа 0,73 немає в нашій таблиці, але відповідний йому результат можна подати у вигляді 1 + 2,3025∆/1024 і обчислити при ∆ = 0,73.) Перемноживши всі 7 співмножників, ми отримаємо 2,7184 (на насправді має бути 2,7183, але і цей результат хороший). Використовуючи такі таблиці, можна зводити число до ірраціонального ступеня та обчислювати логарифми ірраціональних чисел. Ось як треба поводитися з ірраціональностями!