Дипольне наближення довільного розподілу. Потенціал поля довільно розподіленого у просторі заряду

• Олександр Миколайович Фурс Білоруська державний університет, пр. Незалежності, 4, 220030, м. Мінськ, Республіка Білорусь

Анотація

У калібруванні Кулона розраховані потенціали поля довільного розподілузарядів та струмів. Показано, що векторний потенціалвизначається не тільки значеннями щільності струму в моменти часу, що запізнюються, але і передісторією зміни щільності заряду на тимчасовому інтервалі, обмеженому запізнюючим і поточним моментами. Отримано різні уявлення потенціалів Лієнара – Віхерта у калібруванні Кулона. Вони застосовані до випадку рівномірно і прямолінійно точкового заряду, що рухається.

Біографія автора

Олександр Миколайович Фурс, Білоруський державний університет, пр. Незалежності, 4, 220030, м. Мінськ, Республіка Білорусь

доктор фізико-математичних наук, доцент; професор кафедри теоретичної фізики та астрофізики фізичного факультету

Література

1. Ландау Л. Д., Ліфшиц Є. М. Теорія поля. М., 1973.
2. Джексон Дж. Класична електродинаміка. М., 1965.
3. Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтигін І. Н. Класична електродинаміка. М., 1985.
4. Гайтлер Ст. Квантова теоріявипромінювання. М., 1956.
5. Гінзбург В. Л. Теоретична фізиката астрофізика. Додаткові розділи. М., 1980.
6. Wundt BJ, Jentschura U.D. Phys. 2012. Vol. 327 № 4. P. 1217-1230.
7. Ахієзер А. І., Берестецький Ст Б. Квантова електродинаміка. М., 1969.

Ключові слова

Калібрувальна інваріантність, калібрування Лоренца і Кулона, запізнювальні потенціали, потенціали Лієнара – Віхерта

1. Автори зберігають за собою авторські права на роботу та надають журналу право першої публікації роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (КК BY-NC 4.0).
2. Автори зберігають право укладати окремі контрактні домовленості щодо неексклюзивного поширення версії роботи в опублікованому тут вигляді (наприклад, розміщення її в інститутському сховищі, публікацію в книзі) з посиланням на її оригінальну публікацію в цьому журналі.
3. Автори мають право розміщувати їх роботу в інтернеті (наприклад, в інститутському сховищі або на персональному сайті) до та під час процесу розгляду її даним журналом, оскільки це може призвести до продуктивного обговорення та більшій кількостіпосилань на цю роботу. (Див.

Так само цікаво і не менш важливе поле диполя, що виникає за інших обставин. Нехай у нас є тіло зі складним розподіломзаряду, скажімо, як у молекули.води (див. фіг. 6.2), а нас цікавить тільки поле далеко від нього. Ми покажемо, що можна отримати порівняно простий вираз для полів, придатний для відстаней, набагато більших за розміри тіла.

Ми можемо дивитися на це тіло як на скупчення точкових зарядів q ¡ в деякій обмеженій області (фіг. 6.7). (Пізніше, якщо знадобиться, ми q ¡ замінимо на ρdV.) Нехай заряд q ¡ віддалений від початку координат, обраного десь усередині групи зарядів, на відстань d ¡ . Чому дорівнює потенціал у точці Р,розташованої десь на відльоті, з відривом R, набагато більшому, ніж найбільше з d ¡ ? Потенціал всього нашого скупчення виражається формулою

де r ¡ — відстань від Рдо заряду q ¡ (довжина вектор R-d¡). Якщо відстань від зарядів до Р(до точки спостереження) надзвичайно велике, то кожне з r ¡ можна прийняти за R. Кожен член у сумі стане рівним q ¡/R, і 1/R можна буде винести під знаку суми. Вийде простий результат

де Q - Сумарний заряд тіла. Таким чином, ми переконалися, що з точок, досить віддалених від накопичення зарядів, воно здається просто точковим зарядом. Цей результат загалом не дуже дивовижний.

Але що, якщо позитивних і негативних зарядіву групі виявиться порівну? Сумарний заряд Q тоді буде дорівнює нулю. Це не такий вже й рідкісний випадок; ми знаємо, що більшість тіл є нейтральними. Нейтральна молекула води, але заряди в ній розміщуються аж ніяк не в одній точці, так що, наблизившись впритул, ми повинні будемо помітити якісь ознаки того, що розділені заряди. Для потенціалу довільного розподілу зарядів у нейтральному тілі ми потребуємо наближення, краще, ніж формула (6.22). Рівняння (6.21), як і раніше, годиться, але вважати r ¡ =R більше не можна. Для r ¡Необхідно вираз точніше. У хорошому наближенні r ¡ можна вважати, що відрізняється від R (якщо точка Рсильно видалена) на проекцію вектора d вектор R (див. фіг. 6.7, але ви повинні тільки уявляти, що Рнабагато далі, ніж показано). Іншими словами, якщо е r- одиничний вектор у напрямку R, то за наступне наближення до r ¡ потрібно прийняти

Але ж нам потрібно не r ¡ а 1/ r ¡ ; воно в нашому наближенні (з урахуванням d'«R) одно

Підставивши це в (6.21), ми побачимо, що потенціал дорівнює

Багатокрапка вказує члени вищого порядкупо d/ R, якими ми знехтували. Як і ті члени, які ми виписали, це наступні члени розкладання. / r ¡ в ряд Тейлора на околиці 1/R за ступенями d ¡/ R.

Перший член у (6.25) ми вже отримали; у нейтральних тілах він пропадає. Другий член, як і в диполя, залежить від 1/R 2 . Справді, якщо ми визначимо

як величину, що описує розподіл зарядів, то другий член потенціалу (6.25) звернеться в

тобто. якраз у дипол'ний потенціал.Величина р називається дипольним моментом розподілу.Це узагальнення нашого колишнього визначення; воно зводиться до нього в окремому випадку точкових зарядів.

У результаті ми з'ясували, що досить далеко від будь-якогонабору зарядів потенціал виявляється дипольним, аби цей набір був загалом нейтральним. Він зменшується, як 1/ R 3 , і змінюється як cos θ, а величина його залежить від дипольного моменту розподілу зарядів. Саме з цієї причини поля диполів і є важливими; самі по собі пари точкових зарядів зустрічаються вкрай рідко.

У молекули води, наприклад, дипольний моментдосить великий. Електричне поле, створюване цим моментом, є відповідальним за деякі важливі властивостіводи. А у багатьох молекул, скажімо у СО2, дипольний момент зникає завдяки їхній симетрії. Для таких молекул розкладання потрібно проводити ще точніше, до наступних членів потенціалу, що спадають як 1/ R 3 та званих квадрупольним потенціалом. Ці випадки ми розглянемо пізніше.

Потенціал поля системи зарядів

Нехай система складається з нерухомих точкових зарядів q 1 , q 2 ... Відповідно до принципу суперпозиції в будь-якій точці поля напруженість Е = Е 1 + Е 2 +., де Е 1 - Напруженість поля заряду q 1 і т.д. Тоді можна записати, використовуючи формулу (1.8):

де тобто. принцип суперпозиції виявляється справедливим й у потенціалу. Таким чином, потенціал системи нерухомих точкових зарядів

де r i - відстань від точкового заряду q, до точки поля, що цікавить нас. Тут також довільну постійну опущено. Це повністю відповідає тому факту, що будь-яка реальна системазарядів обмежена у просторі, тому її потенціал на нескінченності можна прийняти рівним нулю.

Якщо заряди, що утворюють систему, розподілені безперервно, то, як завжди, ми вважаємо, що кожен елементарний об'єм dV містить "точковий" заряд сdV, де - об'ємна щільністьзаряду у місці знаходження об'єму dV. З огляду на це формулі (1.10) можна надати інший вид

де інтегрування проводиться або з усього простору, або з тієї його частини, що містить заряди. Якщо заряди розташовані лише на поверхні S , то

де у - поверхнева густина заряду; dS - елемент поверхні S. Аналогічний вираз буде й у тому випадку, коли заряди розподілені лінійно.

Отже, знаючи розподіл зарядів (дискретний, безперервний), ми можемо в принципі знайти потенціал поля будь-якої системи.

Зв'язок між потенціалом та напруженістю поля

Електричне поле, як відомо, повністю описується векторною функцією Е(r). Знаючи її, ми можемо знайти силу, що діє на цікавий для нас заряд у будь-якій точці поля, обчислити роботу сил поля при будь-якому переміщенні заряду та інше. А що дає запровадження потенціалу? Насамперед, виявляється, знаючи потенціал ц (r) даного електричного поляможна досить просто відновити і саме поле Е (r). Розглянемо це питання докладніше.

Зв'язок між ц та Е можна встановити за допомогою рівняння (1.8). Нехай переміщення dl паралельно до осі X , тоді dl = Ei dx, де i – орт осі X; dx - збільшення координати х . В цьому випадку

де - проекція вектора E на орт i (а чи не на переміщення dl). Зіставивши останній вираз із формулою (1.8), отримаємо

де символ приватної похідної підкреслює, що функцію ц (х, у, z) треба диференціювати лише з х , вважаючи у та z у своїй постійними.

Розмірковуючи аналогічно, можна отримати відповідні вирази для проекцій Е у та Е z . А визначивши Е x , Е y , Е z легко знайти і сам вектор Е

Величина, що стоїть у дужках, є нічим іншим, як градієнт потенціалу ц (grad ц). Тобто. Напруженість Е поля дорівнює зі знаком мінус градієнту потенціалу. Це та формула, з допомогою якої можна відновити полі Е, знаючи функцію ц (r).

Еквіпотенційні поверхні

Введемо поняття еквіпотенційної поверхні - поверхні, у всіх точках якої потенціал ц має одне й те саме значення. Переконаємося в тому, що вектор Е спрямований у кожній точці за нормаллю до еквіпотенційної поверхні у бік зменшення потенціалу. Справді, з формули (1.13) випливає, що проекція вектора Е на будь-який напрямок, що стосується еквіпотенційної поверхні в даній точці, дорівнює нулю. А це означає, що вектор Е нормальний до цієї поверхні. Далі, візьмемо переміщення dxпо нормалі до поверхні у бік зменшення ц, тоді 5ц<0 и согласно (1.13) E x >0, тобто. вектор Е направлений у бік зменшення ц, або у бік, протилежну вектору grad ц.

Еквіпотенційні поверхні найбільш доцільно проводити так, щоб різниця потенціалів для двох сусідніх поверхонь була б однаковою. Тоді за густотою еквіпотенційних поверхоньможна наочно судити про значення напруженості поля в різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше ("крутіше потенційний рельєф"), там напруженість поля більша.

Тіло, що знаходиться в потенційному полі сил (електростатичне поле), має потенційну енергію, за рахунок якої силами поля здійснюється робота. Робота консервативних сил відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії. Тому роботу сил електростатичного поля можна уявити як різницю потенційних енергій, якими володіє точковий заряд Q 0 у початковій та кінцевій точкахполя заряду Q: , звідки випливає, що потенціальна енергіязаряду q 0у полі заряду Qдорівнює . Вона визначається неоднозначно, а з точністю до довільної постійної З. Якщо вважати, що при видаленні заряду в нескінченність ( r®¥) потенційна енергія перетворюється на нуль ( U=0), то З=0 та потенційна енергія заряду Q 0 , заряду, що знаходиться в полі Qна відстані г від нього, дорівнює . Для однойменних зарядів Q 0 Q> 0 і потенційна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) позитивна, для різноїменних зарядів Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Потенціал jв будь-якій точці електростатичного поляє фізична величина, яка визначається потенційною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку. З чого випливає, що потенціал поля, створюваного точковим зарядом Q, дорівнює. Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні заряду Q 0 з точки 1 в точку 2 , може бути представлена ​​як , тобто дорівнює добутку заряду, що переміщується на різницю потенціалів в початковій і кінцевій точках. Різниця потенціалівдвох точок 1 і 2 в електростатичному полі визначається роботою, що здійснюється силами поля, при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки 1 в точку 2 . Робота сил поля під час переміщення заряду Q 0 з точки 1 в точку 2 може бути записана також у вигляді . Вираз для різниці потенціалів: де інтегрування можна проводити вздовж будь-якої лінії, що з'єднує початкову і кінцеву точки, так як робота сил електростатичного поля не залежить від траєкторії переміщення.

Якщо переміщувати заряд Q 0 з довільної точки за межі поля, тобто в нескінченність, де, за умовою, потенціал дорівнює нулю, робота сил електростатичного поля A ¥ =Q 0 jзвідки

Потенціал- фізична величина, яка визначається роботою по переміщенню одиничного позитивного заряду при видаленні його з цієї точки поля в нескінченність. Ця робота чисельно дорівнює роботі, що здійснюється зовнішніми силами (проти сил електростатичного поля) щодо переміщення одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля. Одиниця потенціалу - вольт(В): 1 В є потенціал такої точки поля, в якій заряд в 1 Кл має потенційну енергію 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл).

У разі електростатичного поля потенційна енергія є мірою взаємодії зарядів. Нехай у просторі існує система точкових зарядів Q i(i = 1, 2, ... ,n). Енергія взаємодії всіх nзарядів визначиться співвідношенням

де r ij -відстань між відповідними зарядами, а підсумовування здійснюється таким чином, щоб взаємодія між кожною парою зарядів враховувалася один раз.

З цього випливає, що потенціал поля системи зарядів дорівнює алгебраїчноїсумі потенціалів полів усіх цих зарядів:

Розглядаючи електричне поле, створене системою зарядів, слід визначення потенціалу поля використовувати принцип суперпозиції:

Потенціал електричного поля системи зарядів у даній точці простору дорівнює сумі алгебри потенціалів електричних полів, створюваних у даній точці простору, кожним зарядом системи окремо:

6. Еквіпотенційні поверхні та їх властивості. Зв'язок між різницею потенціалів та напруженістю електростатичного поля.
Уявна поверхня, всі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційною поверхнею. Рівняння цієї поверхні

Якщо поле створюється точковим зарядом, його потенціал Отже, еквіпотенційні поверхні у разі - концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості у разі точкового заряду – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярніеквіпотенційним поверхням.

Всі точки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота по переміщенню заряду вздовж цієї поверхні дорівнює нулю, тобто електростатичні сили, що діють на заряд, завждиспрямовані за нормалями до еквіпотенційних поверхонь. Отже, вектор Е завжди нормальний до еквіпотенційних поверхонь,а тому лінії вектора Еортогональні цим поверхням.

Еквіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду та кожної системи зарядів можна провести безліч. Однак їх зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша.

Отже, знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна побудувати еквіпотенційні поверхні і, навпаки, за відомим розташуванням еквіпотенційних поверхонь можна визначити в кожній точці поля модуль і напрямок напруженості поля.

Знайдемо взаємозв'язок між напруженістю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою,та потенціалом - енергетичною характеристикою поля

Робота з переміщення одиничноготочкового позитивного заряду з однієї точки поля в іншу вздовж осі хза умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного і x 2 -x 1 = d x,дорівнює E x d x.Та ж робота дорівнює j 1 -j 2 = dj.Прирівнявши обидва вирази, можемо записати

де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання здійснюється тільки по х.Повторивши аналогічні міркування для осей уі z,можемо знайти вектор Е:

де i, j, k- поодинокі вектори координатних осей х, у, z.

З визначення градієнта випливає, що

тобто напруженість Еполя дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус визначається тим, що вектор напруженості Еполя направлено в бік спаданняпотенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у разі поля тяжіння, користуються еквіпотенційними поверхнями- поверхнями, у всіх точках яких потенціал jмає одне й те саме значення.

Напруженість поля відокремленого позитивного точкового заряду qу точці Aна відстані rвід заряду (рис.2.1) дорівнює

Тут ― одиничний вектор, спрямований вздовж прямої, що з'єднує цю точку та заряд.

Рис.2.1. Поле точкового заряду

Нехай потенціал дорівнює нулю на нескінченності. Тоді потенціал довільної точки поля точкового заряду

.

У разі об'ємного розподілу заряду (в кінцевій галузі) з урахуванням маємо:

.

Аналогічно маємо:

для поверхневого розподілу заряду ,

для лінійного розподілу заряду .

Рівняння Пуассона та Лапласа

Раніше було отримано
. Тоді:

Звідки одержуємо рівнянням Пуассона:

або .

- Оператор Лапласа(Лапласіян, оператор дельта).

У декартовій системі координат може бути представлено у формі

Рішення рівняння Пуассонау загальному вигляді можна знайти таким чином. Припустимо, що в обсязі Vє заряди густиною r. Ці заряди представимо у вигляді сукупності точкових зарядів r dV, де dV― елемент об'єму. Складова потенціалу d j електричного поля від елементарного заряду r dVдорівнює .

Значення j визначається як сума (інтеграл) потенціалів від усіх зарядів поля:

.

Передбачається, що потенціал на нескінченності дорівнює нулю і заряди, що створюють поля розподілені в обмеженій області (інакше інтеграл може бути розбіжним).

У реальних умовах вільні заряди розташовуються на поверхні провідників нескінченно тонким шаром. У діелектриках, якими розділені заряджені провідники, об'ємні заряди відсутні . І тут у діелектриці маємо рівняння Лапласа:

або .

Для однозначного розв'язання диференціальних рівнянь поля потрібні граничні умови.

Граничні умови для векторів електричного поля

Нехай на поверхні розділу двох діелектриків з різними діелектричними проникностями ε 1 і ε 2 розподілений поверхневий заряд щільністю σ.

Оточимо точку на поверхні розділу середовищ елементарним циліндром ( висота циліндра набагато менше радіусу) таким чином, щоб його основи знаходилися в різних середовищах і були перпендикулярні до нормалі, проведеної в точці (рис.2.2). Цей циліндр охоплює малу площадку поверхні розділу середовищ із зарядом σ .

Вектори електричного зміщення в першому та другому середовищах позначимо відповідно і .

Застосуємо до поверхні циліндра теорему Гауса

,

де S― поверхня елементарного циліндра.

Рис.2.2. Вектори електричного зміщення на межі середовищ

Спрямуємо обсяг циліндра до нуля за умови, що висота циліндра значно менша за його радіус. У цьому випадку можна знехтувати потоком вектора крізь бічну поверхню. Враховуючи малі розміри майданчиків основ, можна вважати, що вектор у межах свого майданчика має одне й те саме значення. З огляду на це після інтегрування для проекцій вектора на номаль отримаємо

Враховуючи що , після скорочення отримуємо граничну умову нормальної складової вектора електричного зміщення

D n 2 –D n 1 = σ . (**)

Нормальна проекція вектора електричного зміщення на межі розділу двох середовищ зазнає стрибка, що дорівнює поверхневій щільності вільних зарядів, розподілених на цьому кордоні..

За відсутності на поверхні поділу середовищ поверхневого заряду маємо .

На межі поділу двох діелектриків у разі відсутності на межі поділу двох середовищ вільного заряду дорівнюють нормальні складові вектора електричного зміщення.

Виділимо на межі розділу середовищ малий контур таким чином, щоб його сторони abі cdзнаходилися в різних середовищах і були перпендикулярні до нормалі, проведеної в точці (рис.2.3). Розміри сторін спрямуємо до нуля контуру задовольняють умову.

Рис.2.3. Вектори напруженості електричного поля на межі середовищ

Застосуємо до контуру друге рівняння Максвелла в інтегральній формі:

,

де ― площа поверхні, обмеженої контуром abcd; ― вектор елементарного майданчика, спрямований перпедикулярно до майданчика.

При інтегруванні нехтуємо вкладом в інтеграл на бічних сторонах daі bcчерез їх дрібниці. Тоді:

Оскільки кінцева величина, а прагне батога, то

(***)

.

На межі розділу двох діелектриків дорівнюють тангенціальні складові вектора напруженості електричного поля.

За відсутності на поверхні розділу середовищ поверхневого заряду

Виразів (*) і (***) отримуємо співвідношення, що визначає заломлення векторів і на межі поділу середовищ