Умови застосування практично розподілу релею. Закон розподілу релею

Реалізація деяких методів видозміни гістограм у системі Matlab

Як неодноразово зазначалося, однією з найважливіших характеристик зображення є гістограма розподілу яскравостей його елементів. Раніше ми вже стисло розглядали теоретичні основи видозміни гістограм, тому в цій роботі більше уваги приділимо практичним аспектам реалізації деяких методів перетворення гістограм у системі Matlab. При цьому відзначимо, що видозміна гістограм є одним із методів покращення візуальної якості зображень.

Крок 1: Зчитування вихідного зображення.

Вважаємо з файлу вихідне зображення до робочого простору Matlab і виведемо його на екран монітора.

L=imread("lena.bmp");

figure, imshow(L);

Так як досліджуване вихідне напівтонове зображення, то будемо розглядати тільки одну складову багатовимірного масиву .

Рис. 1. Вихідне зображення.

Оскільки у роботі розглядаються гістограмні методи перетворення, то збудуємо також гістограму вихідного зображення.

Рис.2. Гістограма вихідного зображення.

Крок 2: Поступово перетворення гістограми.

Рівномірне перетворення гістограми здійснюється за формулою

де - мінімальне і максимальне значення елементів масиву інтенсивності вихідного зображення;

Функція розподілу ймовірностей вихідного зображення, що апроксимується гістограмою розподілу . Іншими словами, мова йдепро кумулятивну гістограму зображення.

У Matlab це можна реалізувати наступним чином. Обчислюємо кумулятивну гістограму вихідного зображення

CH=cumsum(H)./(N*M);

Вектор значень гістограми вихідного зображення, а - розміри цього зображення, які визначаються за допомогою функції size

L1(i,j)=CH(ceil(255*L(i,j)+eps));

figure, imshow(L1);

Значення eps використовується разом із функцією ceil у тому, щоб уникнути присвоєння індексам кумулятивної гістограми нульових значень. Результат застосування методу рівномірного перетворення гістограми на рис. 3.

Рис. 3. Вихідне зображення, оброблене шляхом рівномірного перетворення гістограми.

Гістограма, перетвореного згідно з формулою (1) зображення, представлена ​​на рис. 4. Вона справді займає майже весь динамічний діапазон і є рівномірною.

Рис. 4. Гістограма зображення, поданого на рис. 3.

Про рівномірну передачу рівнів інтенсивностей елементів зображення свідчить також і його кумулятивна гістограма (рис. 5).

Рис.5. Кумулятивна гістограма зображення представленого на рис. 3.

Крок 3: Експонентне перетворення гістограми.

Експоненційне перетворення гістограми здійснюється за формулою

де - деяка константа, що характеризує крутість експоненційного перетворення.

Matlab перетворення за формулою (2) можна реалізувати наступним чином.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

figure, imshow(L2);

Рис. 6. Вихідне зображення після обробки шляхом експоненційного перетворення гістограми.

Гістограма зображення, обробленого методом експонентного перетворення, представлена ​​на рис. 7.

Рис. 7. Гістограма зображення, обробленого методом експонентного перетворення.

Найбільш чітко експоненційний характер перетворень проявляється на кумулятивній гістограмі обробленого зображення, яка представлена ​​на рис. 8.

Рис. 8. Кумулятивна гістограма зображення, опрацьованого методом експоненційного перетворення.

Крок 4: Перетворення гістограми згідно із законом Релея.

Перетворення гістограми за законом Релея здійснюється згідно з виразом

де - деяка константа, що характеризує гістограму розподілу інтенсивностей елементів результуючого зображення.

Наведемо реалізацію даних перетворень серед Matlab.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps))))));

figure, imshow(L3);

Рис. 9. Вихідне зображення, оброблене шляхом перетворення гістограми за законом Релея.

Гістограма зображення, обробленого шляхом перетворення за законом Релея, представлена ​​на рис. 10.

Рис. 10. Гістограма зображення, обробленого шляхом перетворення за законом Релея.

Кумулятивна гістограма зображення, обробленого шляхом перетворення за законом Релея, представлена ​​на рис. 11.

Рис. 11. Кумулятивна гістограма зображення, обробленого шляхом перетворення за законом Релея.

Крок 5: Перетворення гістограми за законом ступеня.

Перетворення гістограми зображення за законом ступеня реалізується згідно з виразом

У Matlab цей метод можна реалізувати наступним чином.

L4(i,j)=(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

figure, imshow(L4);

Рис. 12. Вихідне зображення, оброблене шляхом перетворення гістограми за законом ступеня .

Гістограма розподілу інтенсивностей елементів обробленого зображення представлена ​​на рис. 13.

Рис. 13. Гістограма зображення, обробленого методом перетворення гістограми за законом ступеня.

Кумулятивна гістограма обробленого зображення, яка найчіткіше демонструє характер передачі рівнів сірого, представлена ​​на рис. 14.

Рис. 14. Кумулятивна гістограма зображення, обробленого шляхом перетворення за законом ступеня .

Крок 6: Гіперболічне перетворення гістограми.

Гіперболічне перетворення гістограми реалізується згідно з формулою

де – деяка константа, щодо якої здійснюється гіперболічне перетворення гістограми. Фактично параметр дорівнює мінімальному значенню інтенсивності елементів зображення.

У Matlab цей метод може бути реалізований наступним чином

L5(i,j)=.01^(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))); % в даному випадкуА = 0,01

figure, imshow(L5);

Рис. 15. Початкове зображення, оброблене методом гіперболічного перетворення.

Гістограма розподілу інтенсивностей елементів обробленого у такий спосіб зображення представлена ​​на рис. 16.

Рис. 16. Гістограма зображення, обробленого методом гіперболічного перетворення.

Кумулятивна гістограма, форма якої відповідає характеру перетворень, що проводяться, представлена ​​на рис. 17.

Рис. 17. Кумулятивна гістограма зображення, опрацьованого методом гіперболічного перетворення.

У роботі були розглянуті деякі методи видозміни гістограм. Результатом застосування кожного методу є те, що гістограма розподілу яскравостей елементів обробленого зображення набуває певної форми. Такі перетворення можуть застосовуватися для усунення спотворень при передачі рівнів квантування, яким були піддані зображення на етапі формування, передачі або обробки даних.

Зазначимо також, що розглянуті методи можуть бути реалізовані не лише глобально, а й у режимі ковзання. Це спричинить ускладнення обчислень, оскільки потрібно буде аналізувати гістограму кожному локальному ділянці. Проте, з іншого боку, такі перетворення, на відміну глобальної реалізації, дозволяють збільшувати детальність локальних ділянок.

Щільність ймовірності у законі Релея (див. рис. 3.4) має наступний вигляд

де  - параметр розподілу Релея (рівний моді цього розподілу). Його не потрібно змішувати із середньоквадратичним відхиленням:

.

Інтенсивність відмов дорівнює:

.

Характерною ознакою розподілу Релея є пряма лінія графіка  (t),починається з початку координат.

Імовірність безвідмовної роботи об'єкта у разі визначиться за висловлюванням

. (3.12)

Середнє напрацювання до відмови

. (3.13)

1. 3.4. Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

Нормальний закон розподілу характеризується щільністю ймовірності виду

, (3.14)

де m x ,  x - відповідно математичне очікуваннята середньо квадратичне відхиленнявипадкової величини x.

При аналізі надійності електроустановок як випадкової величини, крім часу, часто виступають значення струму, електричної напругита інших аргументів. Нормальний закон- це двопараметричний закон, для запису якого потрібно знати m xі  x .

Імовірність безвідмовної роботи визначається за формулою

, (3.15)

а інтенсивність відмов - за формулою

.

На рис. 3.5 зображені криві (t), Р(t) та(t) для випадку  t  m t , характерного для елементів, що використовуються в системах автоматичного керування .

У цьому посібнику показані лише найпоширеніші закони розподілу випадкової величини. Відомий цілий рядзаконів, що так само використовуються в розрахунках надійності: гамма-розподіл, -розподіл, розподіл Максвелла, Ерланга та ін.

Слід зазначити, що якщо нерівність  t  m t не дотримується, слід використовувати усічений нормальний розподіл .

Для обґрунтованого вибору типу практичного розподілу напрацювання вщент необхідно велика кількістьвідмов із поясненням фізичних процесів, що відбуваються в об'єктах перед відмовою.

У високонадійних елементах електроустановок, під час експлуатації чи випробувань на надійність, відмовляє лише незначна частина наявних об'єктів. Тому значення числових характеристик, знайдене в результаті обробки досвідчених даних, Сильно залежить від типу передбачуваного розподілу напрацювання до відмови. Як показано в , при різних законахнапрацювання до відмови, значення середнього напрацювання до відмови, обчислені за одним і тим самим вихідним даним, можуть відрізнятися в сотні разів. Тому питання вибору теоретичної моделірозподілу напрацювання до відмови необхідно приділяти особливу увагуз відповідним доказом наближення теоретичного та експериментального розподілів (див. разд. 8).

1. 3.5. Приклади використання законів розподілу у розрахунках надійності

Визначимо показники надійності для законів розподілу часу виникнення відмов, що найчастіше використовуються.

1. 3.5.1. Визначення показників надійності при експоненційному законі розподілу

приклад . Нехай об'єкт має експоненційний розподіл часу виникнення відмов з інтенсивністю відмов  = 2,5  10 -5 1/год.

Потрібно обчислити основні показники надійності об'єкта, що не відновлюється, за t = 2000 год.

Імовірність безвідмовної роботи за час t = 2000 год дорівнює

Імовірність відмови за t = 2000 год дорівнює

 (2000) = 1 - Р (2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

Використовуючи вираз (2.5), ймовірність безвідмовної роботи в інтервалі часу від 500 до 2500 год за умови, що об'єкт пропрацював безвідмовно 500 год дорівнює

Середнє напрацювання до відмови

год.

Розподіл Релея введено Дж. У. Релеєм (1880) у зв'язку із завданням складання гармонійних коливаньіз спіральними фазами. Закон Релея застосовується для опису невід'ємних величин, зокрема коли випадкова величина є радіусом - вектором при двомірному гауссовому розподілі. У ткацькому виробництві закон Релея широко застосовується для аналізу геометричної форминаприклад некруглості, нециліндричності, ексцентриситету намотування на сновальних валах і ткацьких навоях. Також зустрічається у застосуваннях теорії ймовірностей, наприклад, до радіотехніки.

Розподіл є геометричною сумоювипадкових величин , підпорядкованих закону Гауса з параметрами: .

Щільність ймовірності розподілу Релея має вигляд:

(2.3.1)

де - Середнє квадратичне відхилення вихідного двомірного розподілу=). Значення є параметром закону Релея.

Максимальне значеннящільності одно і досягається при (на рис.2.3.1 дано графіки щільності розподілу Релея за різних ) .

Рис.2.3.1 графіки щільності розподілу Релея за різних

Функція розподілу має вигляд: (2.3.2)

При заміні нової змінної отримаємо щільність ймовірності та функцію розподілу нормованого закону Релея:

(2.3.3)

(2.3.4)

Графіки нормованої щільності ймовірності та функції розподілу показані на рис. 2.3.2.

Диференціальна крива (рис. 2.3.2,а) має позитивну асиметрію і гострішу вершину, ніж гауссовий розподіл.

Рис.2.3.2. Щільність ймовірності (а) та функція розподілу (б) нормованого закону Релея.

Обчислимо математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення:

1. Математичне очікування.

Отже, (2.3.5)

2. Дисперсія.

.

.

Отже,

(2.3.6)

3.Середнє квадратичне відхилення.

(2.3.7).

Обчислимо асиметрію та ексцес:

1.Асиметрія.

де .

Отже,

(2.3.8)

2. Ексцес.

де .

Отже,

(2.3.9)

Нормований релеєвський розподіл не залежить від параметра та легко табулюється.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Доповіді з дисципліни – додаткові розділи математичної статистики. Регресійний аналіз

Якщо вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Види регресійного аналізу
Багатокрокова регресія (ШРА) - послідовність кроків РА, що виконується в напрямку збільшення або зменшення кількості коефіцієнтів лінійної моделі регресії, що враховуються.

Лінійна регресія
Регресійний аналіз- розділ математичної статистики, що об'єднує практичні методидослідження регресійної залежності між величинами за статистичними даними Проблема

Дослідження лінійної залежності між ЧСС та потужністю виконуваної роботи на основі РА
Розрахувати та побудувати графік рівняння лінійної регресії для відносних значень PWC170 (1) і часу човникового бігу 3х10 м у 13 досліджуваних і зробити висновок про точність розрахунку рівня

Опис об'єкту
У нашому випадку об'єктом дослідження є сукупність спостережень за відвідуваністю WEB сайту Комітету у справах сім'ї та молоді Уряду м. Москви www.telekurs.ru/ismm. Тематика сайту

Фактори, що формують явище, що моделюється.
Відбір факторів для моделі здійснюється у два етапи. На першому йде аналіз, за результатами якого дослідник робить висновок про необхідність розгляду тих чи інших явищ як зміни

Побудова рівняння регресії
Використовуючи програмне забезпечення«ОЛІМП» (яке у свою чергу використовує для розрахунків зазначені вище принципи та формули чим значно полегшує нам життя), знайдемо шукане рівняння.

Сенс моделі
При збільшенні кількості вакансій на день, кількість людей, що відвідали сайт, буде збільшуватися. Це означає, що в теперішній моментсайт не повністю задовольняє запити користувачів, що необхідне

Загальне призначення
Будь-який закон природи або суспільного розвиткуможе бути виражений в кінцевому рахунку у вигляді опису характеру або структури взаємозв'язків (залежностей), що існують між явищами, що вивчаються, або

Оцінювання лінійних та нелінійних моделей
Формально кажучи, Нелінійне оцінювання є універсальною апроксимуючою процедурою, що оцінює будь-який вид залежності між змінною відгуком та набором незалежних змінних. Загалом

Регресійні моделі з лінійною структурою
Поліноміальна регресія. Поширеною "нелінійною" моделлю є модель поліноміальної регресії. Термін нелінійна укладений у лапки, оскільки ця модель лінійна

Істотно нелінійні регресійні моделі
Для деяких регресійних моделей, які не можуть бути зведені до лінійних, єдиним способомдля дослідження залишається нелінійне оцінювання. У наведеному вище прикладі для швидкості

Регресійні моделі з точками розриву
Шматково-лінійна регресія. Нерідко вид залежності між предикторами і змінною відгуком відрізняється в різних областяхзначень незалежних змінних. Наприклад,

Методи нелінійного оцінювання
Метод найменших квадратівФункція втрат Метод зважених найменших квадратів Метод максимуму правдоподібності Максимум правдоподібності та логіт/пробіт мод

Початкові значення, розміри кроків та критерії збіжності
Загальним моментомвсіх методів оцінювання є необхідність завдання користувача деяких початкових значень, розміру кроків і критерію збіжності алгоритму. Усі методи починають свою роботу з ос

Оцінювання придатності моделі
Після оцінювання регресійних параметрів суттєвою стороною аналізу є перевірка придатності моделі в цілому. Наприклад, якщо ви визначили лінійну регресійну модель, а реальна залежність

Розподіли Пірсона (хі – квадрат), Стьюдента та Фішера
У додатках статистики дуже часто використовують пов'язані з нормальним розподілом: розподіл (хі-квадрат)

Розподіл Вейбулла - Гніденко
Експонентні розподіли - окремий випадоктак званих розподілів Вейбулла – Гніденко. Вони названі на прізвища інженера В. Вейбулла, який ввів ці розподіли в практику аналізу результатів.

Факторний аналіз як метод редукції даних
Під редукцією розуміється перехід від багатьох вихідних кількісних ознак до простору факторів, кількість яких значно менше числавихідних кількісних ознак. Наприклад, від вихідних

Загальний огляд методів факторного аналізу
В основі кожного методу факторного аналізу лежить математична модель, що описує співвідношення між вихідними ознаками та узагальненими факторами. Перейдемо до короткій характеристиціцих моделей для

Метод основних компонент
В основі моделі для вираження вихідних ознак через фактори тут лежить припущення про те, що число факторів дорівнює кількості вихідних ознак (k = m), а характерні фактори взагалі відсутній

Центроїдний метод
Цей метод заснований на припущенні, що кожна з вихідних ознак aj(j = 1...m) може бути представлена ​​як функція невеликого числа загальних факторів F1

Метод екстремального угруповання параметрів
Цей методтакож ґрунтується на обробці матриці коефіцієнтів кореляції між вихідними ознаками. В основі цього методу лежить гіпотеза про те, що сукупність вихідних ознак може бути розбіжним.

Критерії раціонального вибору числа факторів
Скільки чинників слід виділяти? Нагадаємо, що аналіз основних компонент є шляхом скорочення чи редукції даних, тобто. шляхом скорочення числа змінних. Виникає естест

Перевірка якісних характеристик вибірки
Розглянемо критерії однорідності. Будь-який статистично критерій перевірки гіпотез є засіб виміру. Тому користуватися ним слід також кваліфіковано, як

Критерій Смирнова
Передбачається, що функції розподілу та

Критерій однорідності Лемана-Розенблатта
Критерій однорідності Лемана-Розенблатта є критерієм типу. Критерій було запропоновано

Метод мінімальної відстані
Рівномірна метрика, чи метрика Колмогорова, - одне з найстаріших і найчастіше використовуваних ймовірнісних метрик. Термін «метрика Колмогорова» в вітчизняної літературиіс

Перевірка кількісних характеристик вибірки
У §1 було визначено характеристики генеральної сукупності, тобто. приналежність до однієї генеральної вибірці, і навіть середнє і перший момент. На даному етапі є функція розподілу

Кластерний аналіз у завданнях соціально-економічного прогнозування
Кластерний аналіз може бути успішно використаний у завданнях соціально-економічного прогнозування. При аналізі та прогнозуванні соціально-економічних явищ дослідник досить часто став

Кластерний аналіз як інструмент підготовки ефективних маркетингових рішень
Причини невдач чи недостатньо швидкого зростаннябізнесу в нашій країні часто списуються на недосконалу систему кредитування, прогалини в законодавстві, загальну економічну нестабільність і,

Ієрархічні методи кластерного аналізу
Суть ієрархічної кластеризації полягає у послідовному об'єднанні менших кластерів у великі або поділі великих кластерів на менші. Ієрархічний аглом

Заходи подібності
Для обчислення відстані між об'єктами використовуються різні міри подібності (заходи подібності), звані також метриками або функціями відстаней. Для надання більших ваг віддаль

Методи об'єднання чи зв'язку
Коли кожен об'єкт є окремим кластером, відстані між цими об'єктами визначаються обраним заходом. Виникає наступне питання – як визначити відстані між кластерами? З

Ієрархічний кластерний аналіз у SPSS
Розглянемо процедуру ієрархічного кластерного аналізу пакеті SPSS (SPSS). Процедура ієрархічного кластерного аналізу в SPSS передбачає угруповання як об'єктів (рядок матриці даних), т

Визначення кількості кластерів
Існує проблема визначення числа кластерів. Іноді можна апріорно визначити це число. Однак у більшості випадків число кластерів визначається в процесі агломерації/поділу множини про

Ітеративний процес
Обчислюються центри кластерів, якими потім і надалі вважаються покоординатні середні кластери. Об'єкти знову перерозподіляються. Процес обчислення центрів та перерозподілу об'єктів п

Перевірка якості кластеризації
Після отримання результатів кластерного аналізу методом k-середніх слід перевірити правильність кластеризації (тобто оцінити, наскільки кластери відрізняються один від одного). Для цього розраховують

Порівняльний аналіз ієрархічних та неієрархічних методів кластеризації
Перед проведенням кластеризації у аналітика може виникнути питання, якій групі методів кластерного аналізу віддати перевагу. Вибираючи між ієрархічними та неієрархічними методами, необхідно

Нові алгоритми та деякі модифікації алгоритмів кластерного аналізу
Методи, які ми розглянули, є класикою кластерного аналізу. До останнього часу основним критерієм, за яким оцінювався алгоритм кластеризації, була якість кластеризації: статі

Алгоритм BIRCH
Алгоритм запропонований Тьян Зангом та його колегами. Завдяки узагальненим уявленням кластерів, швидкість кластеризації

Алгоритм WaveCluster
WaveCluster є алгоритм кластеризації на основі хвильових перетворень. На початку роботи алгоритму дані узагальнюються шляхом накладення простору даних багатовимірної решітки. Н

Алгоритми Clarans, CURE, DBScan
Алгоритм Clarans (Clustering Large Applications based upon RANdomized Search) формулює завдання кластеризації як випадковий пошук у графі. У результаті цього алгоритму сукупність вузлів гр

Однофакторний дисперсійний аналіз
Однофакторна дисперсійна модель має вигляд: xij = μ + Fj + εij, (1) де х

Багатофакторний дисперсійний аналіз
Слід відразу ж зазначити, що принципової різниці між багатофакторним та однофакторним ТАК немає. Багатофакторний аналіз не змінює загальну логіку ТАК, а лише дещо ускладнює її, оскільки, крім у

Використання дисперсійного аналізу щодо міграційних процесів
Міграція – складне соціальне явище, що багато в чому визначає економічну і політичну сторонужиття суспільства. Дослідження міграційних процесів пов'язане з виявленням факторів зацікавленості

Принципи математико-статистичного аналізу даних медико-біологічних досліджень
Залежно від поставленого завдання, обсягу та характеру матеріалу, виду даних та їх зв'язків знаходиться вибір методів математичної обробки на етапах як попереднього (для оцінки характеру рас

Біотестування ґрунту
Різноманітні забруднюючі речовини, потрапляючи в агроценоз, можуть зазнавати у ньому різні перетворення, посилюючи у своїй свою токсичну дію. З цієї причини виявилися необхідні

Дисперсійний аналіз у хімії
ТАК - сукупність методів визначення дисперсності, тобто характеристики розмірів частинок у дисперсних системах. ТАК включає різні способивизначення розмірів вільних частинок у рідких та газових

У наступних розділах ми зустрінемо кілька різних типіввипадкових величин. У цьому розділі ми перерахуємо ці нові, що часто зустрічаються випадкові величини, їх ФПВ, ПФР та моменти. Ми почнемо з біномного розподілу, який є розподілом дискретної випадкової величини, а потім представимо розподіл деяких безперервних випадкових величин.

Біноміальний розподіл.Нехай - дискретна випадкова величина, яка приймає два можливі значення, наприклад, або , з ймовірністю і відповідно. Відповідна ФПВ показана на рис. 2.1.6.

Рис. 2.1.6. Функція розподілу ймовірностей

Тепер припустимо, що

де , , - статистично незалежні та ідентично розподілені випадкові величини з ФПВ, показаною на рис. 2.1.6. Яка функція розподілу?

Щоб відповісти на це питання, зауважимо, що спочатку це ряд цілих чисел від 0 до . Імовірність того, що , просто дорівнює ймовірності того, що всі . Оскільки статистично незалежні, то

.

Імовірність те, що , дорівнює ймовірності те, що одне доданок , інші рівні нулю. Так як ця подія може виникнути різними шляхами,

.

(2.1.84)

різних комбінацій, які призводять до результату, отримуємо

де – біноміальний коефіцієнт. Отже, ФПВ можна виразити як

, (2.1.87)

де означає найбільше ціле число , таке, що .

ІФР (2.1.87) характеризує біномний розподілдовільної величини.

Перші два моменти рівні

а характеристична функція

. (2.1.89)

Рівномірний розподіл.ФПВ та ІФР рівномірно розподіленої випадкової величини показано на рис. 2.1.7.

Рис. 2.1.7. Графіки ФПВ та ІФР для рівномірно розподіленої випадкової величини

Перші два моменти рівні

,

, (2.1.90)

,

а характеристична функція дорівнює

(2.1.91)

Гауссівський розподіл. ФПВ гауссівської або нормально розподіленої випадкової величини визначається формулою

, (2.1.92)

де – математичне очікування, а – дисперсія випадкової величини. ІФР дорівнює

де - функція помилок, що визначається виразом

. (2.1.94)

ФПВ та ПФР ілюструється на рис. 2.1.8.

Рис. 2.1.8. Графіки ФПВ (а) та ІФР (b) гауссівської випадкової величини

ІФР можна висловити через додаткову функцію помилок, тобто.

,

. (2.1.95)

Зауважимо, що , , і . Для додаткової функції помилок пропорційна площі під частиною гаусівської ФПВ. Для великих значень додаткова функція помилок може бути апроксимована поруч

, (2.1.96)

причому помилка апроксимації менше, ніж останній утримуваний доданок.

Функція, яка зазвичай використовується для площі під частиною гаусівської ФПВ, позначається через і визначається як

, . (2.1.97)

Порівнюючи (2.1.95) та (2.1.97), знаходимо

. (2.1.98)

Характеристична функція гауссівської випадкової величини із середнім та дисперсією дорівнює

Центральні моменти гауссівської випадкової величини дорівнюють

(2.1.100)

а звичайні моменти можна виразити через центральні моменти

. (2.1.101)

Сума статично незалежних випадкових гаусовських величин також є гаусовською випадковою величиною. Щоб це продемонструвати, припустимо

де, - незалежні випадкові величини із середнім та дисперсіями. Використовуючи результат (2.1.79), ми бачимо, що характеристична функція дорівнює

Отже, є гауссівською випадковою величиною із середнім та дисперсією.

Хі-квадрат-розподіл.Випадкова величина з хі-квадрат-розподілом породжується гауссівською випадковою величиною, у тому сенсі, що її формування можна розглядати як перетворення останньої. Для конкретності, нехай , де - Гаусовська випадкова величина. Тоді має хі-квадрат-розподіл. Ми розрізняємо два види хі-квадрат розподілу. Перше називається центральним хі-квадрат-розподілом, і виходить, коли має нульове середнє значення. Друге називається нецентральним хі-квадрат-розподілом, і виходить, коли має ненульове середнє значення.

Спочатку розглянемо центральний хі-квадрат-розподіл. Нехай - гауссівська випадкова величина з нульовим середнім та дисперсією. Оскільки результат дається функцією (2.1.47) з параметрами і . Таким чином, отримуємо ФПВ у вигляді

, . (2.1.105)

яке не може бути виражене у замкнутому вигляді. Характеристична функція, однак, може бути виражена у замкнутій формі:

. (2.1.107)

Тепер припустимо, що випадкова величина визначається як

де , , - статистично незалежні та однаково розподілені гауссівські випадкові величини з нульовими середніми та дисперсією. Внаслідок статистичної незалежності характеристична функція

. (2.1.109)

Зворотне перетворення цієї характеристичної функціїдає ФПВ

, , (2.1.110)

де - гамма-функція, визначена як

,

Ціле число, , (2.1.111)

Ця ФПВ є узагальненням (2.1.105) і названа хі-квадрат-(або гамма-) ФПВ із ступенями свободи. Вона ілюструє рис. 2.1.9.

Випадок, коли рівні

Перші два моменти рівні

, (2.1.112)

ІФР дорівнює

, (2.1.113)

Рис. 2.1.9 Графіки ФПВ для випадкової величини з хі-квадрат-розподілом для кількох значень ступенів свободи

Цей інтеграл перетворюється на неповну гамма-функцію, що була табульована Пірсоном (1965).

Якщо парно, інтеграл (2.11.113) можна виразити у замкнутому вигляді.

Зокрема, нехай де - ціле. Тоді, використовуючи повторно інтегрування частинами, отримуємо

, . (2.1.114)

Тепер розглянемо нецентральний хі-квадрат-розподіл, який є результатом зведення у квадрат гауссівської випадкової величини з ненульовим середнім. Якщо - гауссівська випадкова величина із середнім та дисперсією, випадкова величина має ФПВ

, (2.1.115)

Цей результат виходить при використанні (2.1.47) для гаусівської ФПВ із розподілом (2.1.92). Характеристична функція для ФПВ

. (2.1.116)

Для узагальнення результатів припустимо, що сумою квадратів гауссовских випадкових величин, визначених (2.1.108). Всі, передбачаються статистично незалежними із середніми, і однаковими дисперсіями. Тоді характеристична функція, що отримується з (2.1.116), при використанні співвідношення (2.1.79) дорівнює

. (2.1.117)

Зворотне перетворення Фур'є від цієї характеристики дає ФПВ

де введено позначення

а - модифікована функція Бесселя першого роду порядку, яку можна уявити нескінченним рядом

, . (2.1.120)

ФПВ, що визначається (2.1.118), називається нецентральним хі-квадрат-розподіл зі ступенем свободи. Параметр називається параметром нецентральності розподілу. ІФР для нецентрального хі-квадрат-розподілу зі ступенями свобода

Цей інтеграл не виявляється у замкнутій формі. Однак, якщо - ціле число, ІФР можна виразити через узагальнену -функцію Маркума, яка визначається як

, (2.1.122)

, (2.1.123)

Якщо замінити змінну інтегрування (1.2.121) на , причому , і покласти, що , тоді можна легко знайти

. (2.1.124)

На закінчення зауважимо, що перші два моменти для центрального хі-квадрату розпаду випадкових величин рівні

,

.

Релеєвський розподіл.Релеєвський розподіл часто використовується як модель для статистичних сигналів, переданих через радіоканали, таких як, наприклад, в радіозв'язку. Цей розподіл тісно пов'язаний із центральним хі-квадрат-розподілом. Щоб це проілюструвати, припустимо, що , де і - статистично незалежні гауссівські випадкові величини з нульовими середніми однаковою дисперсією. З викладеного вище випливає, що має хі-квадрат-розподіл із двома ступенями свободи. Отже, ФПВ для

, . (2.1.126)

Тепер припустимо, що ми визначаємо нову випадкову величину

. (2.1.127)

Виконавши прості перетворення (2.1.126), отримаємо для ФПВ

, . (2.1.128)

Це ФПВ для релеївської випадкової величини. Відповідна ІФР дорівнює

, . (2.1.129)

Моменти від рівні

, (2.1.130)

а дисперсія

. (2.1.131)

Характеристична функція для розподіленої за Релеєм випадкової величини

. (2.1.132)

Цей інтеграл можна так:

де - це вироджена гіпергеометрична функція, яка визначається як

, … (2.1.134)

Боулі (1990) показав, що можна висловити як

. (2.1.135)

Як узагальнення одержаних вище виразів розглянемо випадкову величину

де , , статистично незалежні однаково розподілені гауссівські випадкові величини з нульовим середнім. Зрозуміло, що має хі-квадрат-розподіл із ступенями свободи. Його ФПВ задається формулою (2.1.100). Прості перетвореннязмінної (2.1.110) приводять до ФПВ для у вигляді

, . (2.1.137)

Як наслідок фундаментальної залежності між центральним хі-квадрат-розподілом та релеївським розподілом, відповідна ІФР досить проста. Так, для будь-якого ІФР можна уявити у формі неповної гамма-функції. У разі, коли чітко, тобто. коли , ІФР для може бути представлено в замкнутій формі

, . (2.1.138)

Наприкінці наведемо формулу для -го моменту

, , (2.1.139)

справедливу для будь-кого.

Розподіл Райсу.У той час як розподіл Релея пов'язаний із центральним хі-квадрат-розподілом, розподіл Райса пов'язаний з нецентральним хі-квадрат-розподілом. Щоб проілюструвати цей зв'язок, припустимо, де і - статистично незалежні гауссівські випадкові величини із середнім, і однаковою дисперсією. З попереднього розгляду ми знаємо, що має нецентральний хі-квадрат-розподіл із параметром відхилення . ФПВ для одержуємо з (2.1.118), а при знаходимо

, . (2.1.140)

Тепер введемо нову змінну.

ФПВ для виходить з (2.1.140) шляхом заміни змінної

, . (2.1.141)

Функція (2.1.141) називається розподілом Райсу.

Як буде показано в гол. 5, ця ФПВ характеризує статистику огинаючої гармонійного сигналу схильному до впливу вузькосмугового гаусівського шуму. Вона також використовується для статистики сигналу, що переїде через деякі радіоканали. ІФР для легко знайти (2.1.124) для випадку, коли . Це дає

, , (2.1.142)

де визначається (2.1.123).

Для узагальнення наведеного вище результату нехай визначається (2.1.136), де - статистично незалежні випадкові величини з середнім, і однаковими дисперсіями. Випадкова величина має нецентральний хі-квадрат-розподіл з -ступенями свободи нецентральним параметром, що визначається (2.1.119). Еe ФПВ визначається (2.1.118), отже, ФПВ для дорівнює

, , (2.1.143)

а відповідна ІФР

де визначається (2.1.121). В окремому випадку, коли - ціле число, маємо

, , (2.1.145)

яке випливає з (2.1.124). Наприкінці зазначимо, що момент від

, , (2.1.146)

де – вироджена гіпергеометрична функція.

-розподіл Накагамі.І розподіл Релея, і розподіл Райса часто використовується для опису статистики флуктуацій сигналу на виході багатоколійного каналу із завмираннями. Ця модель каналу у гол. 14. Інший розподіл, що часто використовується для характеристики статистичних сигналів, що передаються через багатоколійні канали із завмираннями - це -розподіл Накагамі. ФПВ для цього розподілу надано Накагамі (1960)

, , (2.1.147)

де визначається як

а параметр визначається як відношення моментів і названий параметром завмирань:

, . (2.1.149)

Нормалізовану версію для (2.1.147) можна отримати шляхом введення іншої випадкової величини (див. задачу 2.15). -й момент від дорівнює

.

При цьому можна бачити, що (2.1.147) призводить до розподілу Релея. При значеннях, що задовольняють умові, отримуємо ФПВ, яка має протяжні хвости, ніж при розподілі Релея. При значеннях хвости ФПВ розподілу Накагамі зменшуються швидше, ніж розподілу Релея. Малюнок 2.1.10 ілюструє ФПВ для різних значень.

Багатовимірний гауссівський розподіл.З багатьох багатопараметричних або багатовимірних розподілів, які можуть бути визначені, багатопараметричний розподіл Гауса найбільш важливий і найчастіше використовується на практиці. Введемо цей розподіл та розглянемо його основні властивості.

Припустимо, що , є випадковими гауссовськими величинами з середніми , , дисперсіями , і коваріаціями , . Зрозуміло, що , . Нехай - це матриця підступів розмірності з елементами. Нехай визначає вектор-стовпець випадкових величин і нехай означає вектор-стовпець середніх значень . Спільна ФПВ гауссівських випадкових величин , , визначається так., то бачимо, що якщо гауссівські випадкові величини не кореловані, вони також статистично незалежні. є некорельованими і, отже, статистично незалежними. у вигляді діагональної. Отже, ми повинні вимагати ми отримуємо власні вектори

Отже,

.

Легко показати, що і де діагональні елементи рівні і .

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ

Федеральна державна бюджетна освітня установа

вищої професійної освіти

«Чуваський державний університет імені І.М. Ульянова»

Факультет дизайну та комп'ютерних технологій

Кафедра комп'ютерних технологій

з дисципліни «Надійність, ергономіка та якість АСОіУ»

на тему " Основні математичні моделі, що використовуються в теоріїнадійності»

Виконав:

студент гр. зДіКТ-25-08

Люсенков І.В.

Перевірив:

Григор'єв В.Г.

Чобоксари

Вступ

Основні математичні моделі, які у теорії надійності……. 3

Розподіл Вейбулла…………………………………………………………. 3

Експоненційний розподіл………………………………………………. 4

Розподіл Релея……………………………………………………………… 5

Нормальний розподіл (розподіл Гауса)………………………….. 5

Визначення закону розподілу ……………………………………………. 6

Вибір числа показників надійності …………………………………………. 7

Точність та достовірність статистичної оцінкипоказників надійності… 10

Особливості програм на надійність………………………………………… 11

Література……………………………………………………………………… 13

Основні математичні моделі, що використовуються в теорії надійності

У наведених вище математичних співвідношеннях найчастіше використовувалося поняття щільності ймовірності та закону розподілу.

Закон розподілу - встановлюється певним чином зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Щільність розподілу (імовірностей) - поширений спосіб опису закону розподілу

Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбула є двопараметричним розподілом. Відповідно до цього розподілу щільність ймовірності моменту відмови

де - параметр форми (визначається підбором в результаті обробки експериментальних даних, > 0);

λ - параметр масштабування,

Від значення коефіцієнта форми великою мірою залежить графік функції густини ймовірності.

Інтенсивність відмов визначається за виразом

(2)

Можливість безвідмовної роботи

(3)

Зазначимо, що за параметра δ = 1 розподіл Вейбулла перетворюється на експоненційне, а при δ = 2 - у розподіл Релея.

При δ<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >1 монотонно зростає (період зносу). Отже, шляхом підбору параметра можна отримати, на кожному з трьох ділянок, таку теоретичну криву λ(t), яка досить близько збігається з експериментальною кривою, і тоді розрахунок необхідних показників надійності можна проводити на основі відомої закономірності.

Експонентний розподіл

Як було зазначено експоненційний розподіл ймовірності безвідмовної роботи є окремим випадком розподілу Вейбулла, коли параметр форми δ = 1. Це розподіл однопараметричний, тобто для запису розрахункового виразу достатньо одного параметра = const . Для цього закону правильне і зворотне твердження: якщо інтенсивність відмов постійна, то можливість безвідмовної роботи як функція часу підпорядковується експоненційному закону:

(4)

Середній час безвідмовної роботи під час експоненційного закону розподілу інтервалу безвідмовної роботи виражається формулою:

(5)

Таким чином, знаючи середній час безвідмовної роботи Т 1 (або постійну інтенсивністьвідмов λ), можна у разі експоненційного розподілу знайти ймовірність безвідмовної роботи для інтервалу часу від моменту включення об'єкта до будь-якого заданого моменту t.

Розподіл Релею

Щільність ймовірності в законі Релея має такий вигляд

(6)

де δ * - Параметр розподілу Релея.

Інтенсивність відмов дорівнює:

. (7)

Характерною ознакою розподілу Релея є пряма лінія графіка (t), що починається з початку координат.

Імовірність безвідмовної роботи об'єкта у разі визначиться за висловлюванням

(8)

Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

Нормальний закон розподілу характеризується щільністю ймовірності виду

(9)

де m x , σ x - відповідно математичне очікування та середньоквадратичне відхилення випадкової величини Х.

При аналізі надійності РЕЗІ у вигляді випадкової величини, крім часу, часто виступають значення струму, електричної напруги та інших аргументів. Нормальний закон - це двопараметричний закон, для запису якого потрібно знати m x і s x.

Імовірність безвідмовної роботи визначається за формулою

(10)

а інтенсивність відмов - за формулою

(11)

У цьому посібнику показані лише найпоширеніші закони розподілу випадкової величини. Відомий цілий ряд законів, що так само використовуються в розрахунках надійності: гамма-розподіл, 2 -розподіл, розподіл Максвелла, Ерланга та ін.