Достатня умова екстремуму функції однієї змінної. Визначення спадної функції

За допомогою цього сервісу можна знайти найбільше і найбільш менше значенняфункціїоднієї змінної f(x) з оформленням рішення Word . Якщо задана функція f(x,y) , отже, необхідно знайти екстремум функції двох змінних . Також можна знайти інтервали зростання та зменшення функції.

Правила введення функцій:

Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

Достатня умова екстремуму функції однієї змінної

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * є точкою локального (глобального) мінімуму функції.

Якщо у точці x * виконується умова:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

То точка x * – локальний (глобальний) максимум.

Приклад №1. Знайти найбільше та найменше значення функції: на відрізку .
Рішення.

Критична точка одна x 1 = 2 (f'(x) = 0). Ця точка належить відрізку. (Точка x=0 перестав бути критичної, оскільки 0∉).
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка та у критичній точці.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Відповідь: f min = 5/2 при x=2; f max =9 при x=1

Приклад №2. За допомогою похідних вищих порядків знайти екстремум функції y = x-2 sin (x).
Рішення.
Знаходимо похідну функції: y'=1-2cos(x). Знайдемо критичні точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Знаходимо y’’=2sin(x), обчислюємо , отже x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки мінімуму функції; , Отже x = - π / 3 +2πk, k∈Z - точки максимуму функції.

Приклад №3. Дослідити на екстремум функцію на околицях точки x=0.
Рішення. Тут потрібно знайти екстремуми функції. Якщо екстремум x = 0, то з'ясувати його тип (мінімум або максимум). Якщо знайдених точок немає x = 0, то обчислити значення функції f(x=0).
Слід звернути увагу на те, що коли похідна з кожної сторони від цієї точки не змінює свого знака, не вичерпуються можливі ситуаціїнавіть для диференційованих функцій: може статися, що для будь-якої малої околиці по одну зі сторін від точки x 0 або по обидва боки похідна змінює знак. У цих точках доводиться застосовувати інші методи дослідження функцій на екстремум.

Урок на тему: "Знаходження точок екстремумів функцій. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:
1. Введення.
2. Точки мінімуму та максимуму.

4. Як обчислювати екстремуми?
5. Приклади.

Введення в екстремуми функцій

Діти, давайте подивимося на графік деякої функції:

Зауважить, що поведінка нашої функції y = f (x) багато чому визначається двома точками x1 і x2. Давайте уважно подивимося на графік функції у цих точках та біля них. До точки x2 функція зростає, у точці x2 відбувається перегин, і відразу після цієї точки функція зменшується до точки x1. У точці x1 функція знову перегинається, і після цього знову зростає. Точки x1 і x2 поки що так і називатимемо точками перегину. Давайте проведемо дотичні у цих точках:

Дотичні в наших точках паралельні осі абсцис, а отже, кутовий коефіцієнтдотичної дорівнює нулю. Це означає, як і похідна нашої функції у цих точках дорівнює нулю.

Подивимося на графік ось такої функції:

Щодо точок x2 і x1 провести неможливо. Отже, похідної у цих точках немає. Тепер подивимося знову на наші точки на двох графіках. Точка x2 - це точка, в якій функція досягає найбільшого значення в деякій області (поряд з точкою x2). Точка x1 - це точка, у якій функція сягає свого найменшого значення у певній області (поруч із точкою x1).

Точки мінімуму та максимуму

Визначення: Точку x= x0 називають точкою мінімуму функції y=f(x), якщо існує околиця точки x0, у якій виконується нерівність: f(x) ≥ f(x0).

Визначення: Точку x=x0 називають точкою максимуму функції y=f(x), якщо існує околиця точки x0, у якій виконується нерівність: f(x) ≤ f(x0).

Хлопці, а що таке околиця?

Визначення: Околиця точки - безліч точок, що містить нашу точку, та близькі до неї.

Околиця ми можемо ставити самі. Наприклад, для точки x=2 ми можемо визначити околицю у вигляді точок 1 і 3.

Повернемося до наших графіків, подивимося на точку x2, вона найбільша за всі інші точки з деякої околиці, тоді за визначенням - це точка максимуму. Тепер подивимося на точку x1, вона менша за всі інші точки з деякої околиці, тоді за визначенням - це точка мінімуму.

Хлопці, давайте введемо позначення:

Y min - точка мінімуму,
y max – точка максимуму.

Важливо!Хлопці, не плутайте точки максимуму та мінімуму з найменшим та найбільшим значенням функції. Найменше і найбільше значення шукаються по всій області визначення заданої функції, а точки мінімуму і максимуму у околиці.

Екстремуми функції

Для точок мінімуму та максимуму є загальної термін- Точки екстремуму.

Екстремум (лат. extremum – крайній) – максимальне чи мінімальне значення функції на заданій множині. Крапка, в якій досягається екстремум, називається точкою екстремуму.

Відповідно, якщо досягається мінімум – точка екстремуму називається точкою мінімуму, а якщо максимум – точкою максимуму.

Як шукати екстремуми функції?

Повернімося до наших графіків. У наших точках похідна або звертається в нуль (на першому графіку), або не існує (на другому графіку).

Тоді можна зробити важливе твердження: Якщо функція y=f(x) має екстремум у точці x=x0, то цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або немає.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними.

Точки, у яких похідної функції немає, називаються критичними.

Як обчислювати екстремуми?

Діти, давайте знову повернемося до першого графіку функції:

Аналізуючи цей графік, ми говорили: до точки x2 функція зростає, у точці x2 відбувається перегин, і після цієї точки функція зменшується до точки x1. У точці x1 у функції знову перегинається, і після цього функція знову збільшується.

З таких міркувань, можна дійти невтішного висновку, що функція у точках екстремуму змінює характер монотонності, отже, і похідна функція змінює знак. Згадаймо: якщо функція зменшується, то похідна менше чи дорівнює нулю, і якщо функція зростає, то похідна більше чи дорівнює нулю.

Узагальним отримані знання твердженням:

Теорема: Достатня умова екстремуму: нехай функція y = f (x) безперервна на деякому проміжку Х і має всередині проміжку стаціонарну або критичну точку x = x0. Тоді:

• Якщо ця точка існує така околиця, у якій при x x0 виконується f'(x)>0, то точка x0 – точка мінімуму функції y= f(x).
• Якщо у цієї точки існує така околиця, в якій при x 0, а при x > x0 виконується f'(x) Якщо у цієї точки існує така околиця, в якій і зліва і праворуч від точки x0 похідні знаки однакові, то в точці x0 екстремуму немає.

Для вирішення завдань запам'ятайте такі правила: Якщо знаки похідних визначено:

Алгоритм дослідження безперервної функції y= f(x) на монотонність та екстремуми:

• Знайти похідну y'.
• Знайти стаціонарні (похідна дорівнює нулю) та критичні точки (похідна не існує).
• Відзначити стаціонарні і критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на проміжках, що виходять.
• За зазначеними вище твердженням дійти невтішного висновку характері точок екстремуму.

Приклади знаходження точки екстремумів

1) Знайти точки екстремуму функції та визначити їх характер: y= 7+ 12*x - x 3

Рішення: Наша функція безперервна, тоді скористаємося нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2
б) y"= 0, при x= ±2,

Точка x=-2 – точка мінімуму функції, точка x=2 – точка максимуму функції.
Відповідь: x=-2 – точка мінімуму функції, x=2 – точка максимуму функції.

2) Знайти точки екстремуму функції та визначити їх характер.

3) Знайти точки екстремуму функції y= x - 2cos(x) і визначити їх характер, при -π ≤ x ≤ π.

Рішення: Наша функція безперервна, скористаємося нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) знайдемо значення у якій похідна дорівнює нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) відзначимо стаціонарні точки на числовій прямій та визначимо знаки похідної: г) подивимося наш малюнок, де зображені правила визначення екстремумів.
Точка x=-5π/6 - точка максимуму функції.
Точка x=-π/6 – точка мінімуму функції.
Відповідь: x=-5π/6 – точка максимуму функції, x=-π/6 – точка мінімуму функції.

4) Знайти точки екстремуму функції та визначити їх характер:

Завдання для самостійного вирішення

Точка екстремуму функції - це точка області визначення функції, в якій значення функції приймає мінімальне або максимальне значення. Значення функції у цих точках називаються екстремумами (мінімумом і максимумом) функції.

Визначення. Крапка x1 області визначення функції f(x) називається точкою максимуму функції якщо значення функції в цій точці більше значень функції в досить близьких до неї точках, розташованих праворуч і ліворуч від неї (тобто виконується нерівність f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 максимум.

Визначення. Крапка x2 області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму функціїякщо значення функції в цій точці менше значень функції в досить близьких до неї точках, розташованих праворуч і зліва від неї (тобто виконується нерівність f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). У цьому випадку кажуть, що функція має у точці x2 мінімум.

Допустимо, точка x1 - точка максимуму функції f(x). Тоді в інтервалі до x1 функція зростаєтому похідна функції більше нуля (f "(x) > 0 ), а в інтервалі після x1 функція зменшується, отже, і похідна функціїменше нуля ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Допустимо також, що точка x2 - точка мінімуму функції f(x). Тоді в інтервалі до x2 функція зменшується, а похідна функції менше нуля ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 функція зростає, а похідна функції більше нуля ( f "(x)> 0). У цьому випадку також у точці x2 похідна функції дорівнює нулю чи немає.

Теорема Ферма ( необхідна ознакаіснування екстремуму функції). Якщо точка x0 - точка екстремуму функції f(x) , то в цій точці похідна функції дорівнює нулю ( f "(x) = 0) або не існує.

Визначення. Точки, у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає, називаються критичними точками .

приклад 1.Розглянемо функцію.

У точці x= 0 похідна функції дорівнює нулю, отже, точка x= 0 є критичною точкою. Однак, як видно на графіку функції, вона зростає у всій області визначення, тому точка x= 0 не є точкою екстремуму цієї функції.

Таким чином, умови про те, що похідна функції в точці дорівнює нулю або не існує, є необхідними умовами екстремуму, але не достатніми, оскільки можна навести й інші приклади функцій, для яких ці умови виконуються, але функція екстремуму у відповідній точці не має. Тому потрібно мати достатні ознаки, що дозволяють судити, чи є в конкретній критичній точці екстремум і який саме - максимум чи мінімум.

Теорема (перший достатня ознакаіснування екстремуму функції).Критична точка x0 f(x) якщо при переході через цю точку похідна функції змінює знак, причому, якщо знак змінюється з "плюса" на "мінус", то точкою максимуму, а якщо з "мінуса" на "плюс", то точкою мінімуму.

Якщо ж поблизу точки x0 , ліворуч і праворуч від неї, похідна зберігає знак, то це означає, що функція або тільки зменшується, або тільки зростає в околиці точки x0 . В цьому випадку в точці x0 екстремуму немає.

Отже, щоб визначити точки екстремуму функції, потрібно виконати таке :

1. Знайти похідну функцію.
2. Прирівняти похідну нулю та визначити критичні точки.
3. Подумки чи папері відзначити критичні точки на числової осі і визначити знаки похідної функції отриманих інтервалах. Якщо знак похідної змінюється з " плюса " на " мінус " , то критична точка є точкою максимуму, і якщо з " мінуса " на " плюс " , то точкою мінімуму.
4. Обчислити значення функції у точках екстремуму.

приклад 2.Знайти екстремуми функції .

Рішення. Знайдемо похідну функції:

Прирівняємо похідну нулю, щоб знайти критичні точки:

.

Так як для будь-яких значень "ікса" знаменник не дорівнює нулю, то дорівнює нулю чисельник:

Отримали одну критичну точку x= 3. Визначимо знак похідної в інтервалах, розмежованих цією точкою:

в інтервалі від мінус нескінченності до 3 - знак мінус, тобто функція зменшується,

в інтервалі від 3 до плюс нескінченності – знак плюс, тобто функція зростає.

Тобто, точка x= 3 є точкою мінімуму.

Знайдемо значення функції у точці мінімуму:

Таким чином, точку екстремуму функції знайдено: (3; 0), причому вона є точкою мінімуму.

Теорема (друга достатня ознака існування екстремуму функції).Критична точка x0 є точкою екстремуму функції f(x) , якщо друга похідна функції у цій точці не дорівнює нулю ( f ""(x) ≠ 0 ), причому, якщо друга похідна більша за нуль ( f ""(x) > 0 ), то точкою максимуму, а якщо друга похідна менша за нуль ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Примітка 1. Якщо у точці x0 звертаються в нуль і перша, і друга похідні, то в цій точці не можна судити про наявність екстремуму на підставі другої достатньої ознаки. У цьому випадку потрібно скористатися першою достатньою ознакою екстремуму функції.

Зауваження 2. Друга достатня ознака екстремуму функції не застосовується і тоді, коли в стаціонарній точці перша похідна не існує (тоді не існує і друга похідна). У цьому випадку також потрібно скористатися першою достатньою ознакою екстремуму функції.

Локальний характер екстремумів функції

З наведених визначень випливає, що екстремум функції має локальний характер – це найбільше та найменше значення функції порівняно з найближчими значеннями.

Припустимо, ви розглядаєте свої заробітки у відрізку часу завдовжки один рік. Якщо у травні ви заробили 45 000 рублів, а у квітні 42 000 рублів і в червні 39 000 рублів, то травневий заробіток - максимум функції заробітку в порівнянні з найближчими значеннями. Але у жовтні ви заробили 71 000 рублів, у вересні 75 000 рублів, а у листопаді 74 000 рублів, тому жовтневий заробіток - мінімум функції заробітку порівняно з найближчими значеннями. І ви легко бачите, що максимум серед значень квітня-травня-червня менший за мінімум вересня-жовтня-листопада.

Говорячи узагальнено, на проміжку функція може мати кілька екстремумів, причому може виявитися, що будь-який мінімум функції більший за будь-який максимум. Так, для функції зображеної малюнку вище, .

Тобто не слід думати, що максимум і мінімум функції є, відповідно, її найбільшим і найменшим значеннями на всій частині, що розглядається. У точці максимуму функція має найбільше значеннялише проти тими значеннями, що вона має переважають у всіх точках, досить близьких до точки максимуму, а точці мінімуму - найменше значення лише проти тими значеннями, що вона має переважають у всіх точках, досить близьких до точки мінімуму.

Тому можна уточнити наведене вище поняття точок екстремуму функції та називати точки мінімуму точками локального мінімуму, а точки максимуму – точками локального максимуму.

Шукаємо екстремуми функції разом

приклад 3.

Рішення. Функція визначена і безперервна на всій числовій прямій. Її похідна існує також на всій числовій прямій. Тому в даному випадкукритичними точками є лише ті, у яких , тобто. , звідки та . Критичними точками та розбивають всю область визначення функції на три інтервали монотонності: . Виберемо в кожній з них по одній контрольній точці та знайдемо знак похідної у цій точці.

Для інтервалу контрольною точкою може бути: знаходимо. Взявши в інтервалі точку, отримаємо, а взявши в інтервалі точку, маємо. Отже, в інтервалах і , а в інтервалі . Згідно з першою достатньою ознакою екстремуму, в точці екстремуму немає (оскільки похідна зберігає знак в інтервалі), а в точці функція має мінімум (оскільки похідна при переході через цю точку змінює знак з мінуса на плюс). Знайдемо відповідні значення функції: , а . У інтервалі функція зменшується, оскільки у цьому інтервалі , а інтервалі зростає, оскільки у цьому інтервалі .

Щоб уточнити будову графіка, знайдемо точки перетину його з осями координат. При отримаємо рівняння , коріння якого і , тобто знайдено дві точки (0; 0) та (4; 0) графіка функції. Використовуючи всі отримані відомості, будуємо графік (див. на початку прикладу).

приклад 4.Знайти екстремуми функції та побудувати її графік.

Області визначення функції є вся числова пряма, крім точки , тобто. .

Для скорочення дослідження можна скористатися тим, що ця функція парна, оскільки . Тому її графік симетричний щодо осі Ойта дослідження можна виконати тільки для інтервалу.

Знаходимо похідну та критичні точки функції:

1) ;

2) ,

але функція зазнає розриву в цій точці, тому вона не може бути точкою екстремуму.

Таким чином, задана функціямає дві критичні точки: і . Враховуючи парність функції, перевіримо за другою достатньою ознакою екстремуму лише точку. Для цього знайдемо другу похідну і визначимо її знак при: отримаємо. Так як і , то є точкою мінімуму функції, при цьому .

Щоб скласти повніше уявлення про графік функції, з'ясуємо її поведінку на межах області визначення:

(тут символом позначено прагнення xдо нуля праворуч, причому xзалишається позитивним; аналогічно означає прагнення xдо нуля зліва, причому xзалишається негативним). Таким чином, якщо , то . Далі, знаходимо

,

тобто. якщо то .

Точка перетину з осями графік функції не має. Малюнок – на початку прикладу.

Продовжуємо шукати екстремуми функції разом

Приклад 8.Знайти екстремуми функції.

Рішення. Знайдемо область визначення функції. Так як має виконуватися нерівність, то одержуємо.

Знайдемо першу похідну функції:

Знайдемо критичні точки функції.

Дуже важливу інформаціюпро поведінку функції надають проміжки зростання та спадання. Їх знаходження є частиною процесу дослідження функції та побудови графіка. До того ж точкам екстремуму, в яких відбувається зміна зі зростання на спадання або з зменшення на зростання, приділяється особливу увагупри знаходженні найбільшого та найменшого значення функції на певному інтервалі.

У цій статті дамо необхідні визначення, сформулюємо достатню ознаку зростання та зменшення функції на інтервалі та достатні умови існування екстремуму, застосуємо всю цю теорію до вирішення прикладів і завдань.

Навігація на сторінці.

Зростання та зменшення функції на інтервалі.

Визначення зростаючої функції.

Функція y=f(x) зростає на інтервалі X якщо для будь-яких і виконується нерівність. Іншими словами - більшого значенняаргумент відповідає більшого значення функції.

Визначення спадної функції.

Функція y=f(x) зменшується на інтервалі X якщо для будь-яких і виконується нерівність . Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

ПРИМІТКА: якщо функція визначена і безперервна в кінцях інтервалу зростання або спадання (a;b) , тобто при x = a і x = b, то ці точки включаються в проміжок зростання або спадання. Це не суперечить визначенням зростаючої та спадної функції на проміжку X .

Наприклад, із властивостей основних елементарних функційми знаємо, що y=sinx визначена і безперервна всім дійсних значеньаргументу. Тому з зростання функції синуса на інтервалі ми можемо стверджувати про зростання на відрізку .

Крапки екстремуму, екстремуми функції.

Точку називають точкою максимумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїі позначають.

Точку називають точкою мінімумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїі позначають.

Під околицею точки розуміють інтервал , де - Досить мале позитивне число.

Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, відповідні точкамекстремуму, називають екстремумами функції.

Не плутайте екстремуми функції з найбільшим та найменшим значеннямфункції.

На першому малюнку найбільше значення функції на відрізку досягається в точці максимуму і дорівнює максимуму функції, а на другому малюнку - найбільше значення функції досягається в точці x = b, яка не є точкою максимуму.

Достатні умови зростання та зменшення функції.

На підставі достатніх умов (ознак) зростання та зменшення функції знаходяться проміжки зростання та зменшення функції.

Ось формулювання ознак зростання та зменшення функції на інтервалі:

• якщо похідна функції y=f(x) позитивна для будь-якого x з інтервалу X, то функція зростає на X;
• якщо похідна функції y=f(x) негативна будь-якого x з інтервалу X , то функція зменшується на X .

Таким чином, щоб визначити проміжки зростання та зменшення функції необхідно:

Розглянемо приклад знаходження проміжків зростання та зменшення функції для роз'яснення алгоритму.

приклад.

Знайти проміжки зростання та зменшення функції .

Рішення.

На першому кроці потрібно знайти область визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, .

Переходимо до знаходження похідної функції:

Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренемчисельника є x = 2, а знаменник звертається в нуль при x=0. Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі.

Таким чином, і .

У точці x=2 функція визначена і безперервна, тому її слід додати до проміжку зростання і до проміжку спадання. У точці x=0 функція не визначена, тому цю точку не включаємо в інтервали, що шукаються.

Наводимо графік функції зіставлення з нею отриманих результатів.

Відповідь:

Функція зростає при , зменшується на інтервалі (0; 2] .

Достатні умови екстремуму функції.

Для знаходження максимумів і мінімумів функції можна користуватися будь-якою із трьох ознак екстремуму, звичайно, якщо функція задовольняє їхні умови. Найпоширенішим і найзручнішим є перший з них.

Перша достатня умова екстремуму.

Нехай функція y=f(x) диференційована в околиці точки, а в самій точці безперервна.

Іншими словами:

Алгоритм знаходження точок екстремуму за першою ознакою екстремуму функції.

• Знаходимо область визначення функції.
• Знаходимо похідну функції області визначення.
• Визначаємо нулі чисельника, нулі знаменника похідної та точки області визначення, в яких похідна не існує (усі перераховані точки називають точками можливого екстремуму, проходячи через ці точки, похідна може змінювати свій знак).
• Ці точки розбивають область визначення функції проміжки, у яких похідна зберігає знак. Визначаємо знаки похідної кожному з інтервалів (наприклад, обчислюючи значення похідної функції у будь-якій точці окремо взятого інтервалу).
• Вибираємо точки, в яких функція безперервна і, проходячи через які, похідна змінює знак – вони є точками екстремуму.

Занадто багато слів, розглянемо краще кілька прикладів знаходження точок екстремуму та екстремумів функції за допомогою першої достатньої умови екстремуму функції.

приклад.

Знайти екстремуми функції.

Рішення.

Областю визначення функції є все безліч дійсних чисел, Крім x = 2 .

Знаходимо похідну:

Нулями чисельника є точки x = -1 і x = 5 знаменник звертається в нуль при x = 2 . Відзначаємо ці точки на числовій осі

Визначаємо знаки похідної кожному інтервалі, при цьому обчислимо значення похідної у кожній з точок кожного інтервалу, наприклад, у точках x=-2, x=0, x=3 і x=6 .

Отже, на інтервалі похідна є позитивною (на малюнку ставимо знак плюс над цим інтервалом). Аналогічно

Тому над другим інтервалом ставимо мінус, над третім – мінус, над четвертим – плюс.

Залишилося вибрати точки, у яких функція безперервна та її похідна змінює знак. Це і є точки екстремуму.

У точці x=-1 функція безперервна і похідна змінює знак із плюса на мінус, отже, за першою ознакою екстремуму, x=-1 – точка максимуму, їй відповідає максимум функції .

У точці x=5 функція безперервна і похідна змінює знак з мінуса на плюс, отже, x=-1 – точка мінімуму, їй відповідає мінімум функції .

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ: перша достатня ознака екстремуму не вимагає диференційності функції у самій точці .

приклад.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції .

Рішення.

Областю визначення функції є вся безліч дійсних чисел. Саму функцію можна записати у вигляді:

Знайдемо похідну функції:

У точці x=0 похідна немає, оскільки значення односторонніх меж при прагненні аргументу до нуля не збігаються:

У цей час, вихідна функція є безперервною у точці x=0 (дивіться розділ дослідження функції на безперервність):

Знайдемо значення аргументу, при якому похідна звертається до нуля:

Зазначимо всі отримані точки на числовій прямій і визначимо похідний знак на кожному з інтервалів. Для цього обчислимо значення похідної у довільних точках кожного інтервалу, наприклад, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тобто,

Таким чином, за першою ознакою екстремуму, точками мінімуму є , точками максимуму є .

Обчислюємо відповідні мінімуми функції

Обчислюємо відповідні максимуми функції

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

.

Друга ознака екстремуму функції.

Як бачите, ця ознака екстремуму функції потребує похідної як мінімум до другого порядку в точці .