Екстремуми функції за графіком. Зростання та зменшення функцій, екстремуми

>> Екстремуми

Екстремум функції

Визначення екстремуму

Функція y = f (x) називається зростаючою (спадаючою) у деякому інтервалі, якщо при x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f (x ) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Крапка x о називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x ), якщо існує околиця точки x продля всіх точок якої правильна нерівність f (x )≤ f (x про) (f (x)≥ f (x про)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Крапки екстремуму

Необхідні умови екстремуму . Якщо точка x о є точкою екстремуму функції f (x ), або f " (x про) = 0, або f(x о) немає. Такі точки називають критичними,причому сама функція у критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова. Нехай x о - Критична точка. Якщо f " (x) при переході через точку x о змінює знак плюс на мінус, то в точці x профункція має максимум, інакше - мінімум. Якщо під час переходу через критичну точку похідна не змінює знак, то точці x о екстремуму немає.

Друга достатня умова. Нехай функція f (x) має
f " (x) в околиці точки x о і другу похідну у самій точці x про. Якщо f "(x про) = 0, >0 ( <0), то точка x проє точкою локального мінімуму (максимуму) функції f(x). Якщо ж =0, потрібно або користуватися першою достатньою умовою, або залучати вищі .

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого або найбільшого значення або в критичних точках, або на кінцях відрізка .

Приклад 3.22.

Рішення.Так як f " (

Завдання на знаходження екстремуму функції

Приклад 3.23. a

Рішення. xі y y
0 ≤ x≤
> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функції кв. од).

Приклад 3.24. p ≈

Рішення. p p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Приклад 3.22.Знайти екстремуми функції f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Рішення.Так як f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), то критичні точки функції x 1 = 2 і x 2 = 3. Екстремуми можуть бути тільки в цих точках. Оскільки при переході через точку x 1 = 2 похідна змінює знак плюс мінус, то цій точці функція має максимум. При переході через точку x 2 = 3 похідна змінює знак мінус плюс, тому в точці x 2 = 3 у функції мінімум. Обчисливши значення функції у точках
x 1 = 2 і x 2 = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f(2) = 14 і мінімум f(3) = 13.

Приклад 3.23.Потрібно побудувати прямокутний майданчик біля кам'яної стіни так, щоб з трьох боків вона була відгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною примикала до стіни. Для цього є aсітки погонних метрів. При якому співвідношенні сторін майданчик матиме найбільшу площу?

Рішення.Позначимо сторони майданчика через xі y. Площа майданчика дорівнює S = xy. Нехай y- Це довжина сторони, що примикає до стіни. Тоді за умовою має виконуватись рівність 2x + y = a. Тому y = a - 2x та S = x (a - 2x), де
0 ≤ x≤ a /2 (довжина та ширина майданчика не можуть бути негативними). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, звідки
y = a - 2 × a/4 = a/2. Оскільки x = a /4 - єдина критична точка, перевіримо, чи змінюється знак похідної під час переходу цю точку. При x a /4 S "> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функції S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. од). Оскільки S безперервна і її значення на кінцях S(0) і S(a /2) дорівнюють нулю, то знайдене значення буде найбільшим значенням функції. Таким чином, найбільш вигідним співвідношенням сторін майданчика за даних умов завдання є y = 2x.

Приклад 3.24.Потрібно виготовити закритий циліндричний бак місткістю V = 16 p ≈ 50 м3. Які мають бути розміри бака (радіус R і висота Н), щоб його виготовлення пішло найменша кількістьматеріалу?

Рішення.Площа повної поверхніциліндра дорівнює S = 2 p R(R+Н). Ми знаємо об'єм циліндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/R 2 . Значить, S(R) = 2 p (R 2+16/R). Знаходимо похідну цієї функції:
S "(R) = 2p (2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, отже,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Це досить-таки цікавий розділ математики, з яким стикаються всі учні. випускних класівта студенти. Проте далеко не кожному подобається матан. Деякі не можуть зрозуміти навіть елементарних речей на зразок, начебто, стандартного дослідження функції. Ця стаття покликана виправити подібну помилку. Бажаєте детальніше дізнатися про аналіз функції? Бажаєте дізнатися, що таке точки екстремуму та як їх знайти? Тоді ця стаття для вас.

Дослідження графіка функції

Спочатку варто зрозуміти, навіщо взагалі необхідно аналізувати графік. Існують прості функції, накреслити які не складе труднощів. Яскравим прикладомподібною функцією може служити парабола. Накреслити її графік не складе труднощів. Все, що необхідно, так це за допомогою простого перетвореннязнайти числа, при яких функція набуває значення 0. І в принципі це все, що знати для того, щоб накреслити графік параболи.

Але що робити, якщо функція, графік якої нам потрібно накреслити, набагато складніша? Оскільки властивості складних функційдосить-таки неочевидні, необхідно проводити цілий аналіз. Тільки після цього можна зобразити функцію графічно. Як це зробити? Відповідь на це питання ви зможете знайти у цій статті.

План аналізу функції

Перше, що необхідно зробити, так це провести поверхове дослідження функції, під час якого ми знайдемо область визначення. Отже, почнемо по порядку. Область визначення - це сукупність тих значень, якими функція задається. Простіше кажучи, це ті числа, які можна використовувати функції замість х. Щоб визначити область визначення, потрібно просто поглянути запис. Наприклад, зрозуміло, що з функції у (х) = x 3 + x 2 - x + 43 область визначення - безліч дійсних чисел. Ну а з функцією на кшталт (х 2 - 2х) / х все трохи інакше. Оскільки число в знаменнику не повинно дорівнювати 0, то областю визначення цієї функції будуть усі дійсні числа, Окрім нуля.

Далі необхідно знайти звані нулі функції. Це значення аргументу, у яких вся функція приймає значення нуль. Для цього необхідно прирівняти функцію до нуля, докладно її розглянути та зробити деякі перетворення. Візьмемо вже знайому нам функцію у (х) = (х 2 - 2х) / х. З шкільного курсуми знаємо, що дріб дорівнює 0 тоді, коли чисельник дорівнює нулю. Тому знаменник ми відкидаємо та починаємо працювати з чисельником, прирівнюючи його до нуля. Отримуємо х 2 - 2х = 0 і виносимо х за дужки. Звідси х (х - 2) = 0. У результаті отримуємо, що наша функція дорівнює нулю тоді, коли х дорівнює 0 або 2.

Під час дослідження графіка функції багато хто стикається з проблемою у вигляді точок екстремуму. І це дивно. Адже екстремуми - це досить-таки проста тема. Не вірите? Переконайтеся самі, прочитавши цю частинустатті, в якій ми поговоримо про точки мінімуму і максимуму.

Для початку варто розібратися в тому, що являє собою екстремум. Екстремум - це граничне значення, яке досягає функція на графіку. Звідси виходить, що існує два крайні значення - максимум і мінімум. Для наочності можна подивитися на картинку, розташовану вище. На дослідженій ділянці точка -1 є максимумом функції у (х) = х 5 - 5х, а точка 1, відповідно, мінімумом.

Також не варто плутати поняття. Точки екстремуму функції - це аргументи, у яких задана функція набуває крайні значення. У свою чергу, екстремумом називають значення мінімумів та максимумів функції. Наприклад, знову розглянемо рисунок вище. -1 і 1 – це точки екстремуму функції, а 4 та –4 – це самі екстремуми.

Знаходження точок екстремуму

Але як же знайти точки екстремуму функції? Все досить просто. Перше, що необхідно зробити – знайти похідну рівняння. Допустимо, ми отримали завдання: "Знайдіть точки екстремуму функції y(x), x - аргумент. Для наочності візьмемо функцію у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведемо диференціювання і отримаємо наступне рівняння: 3х 2 + 4х + 1. У результаті ми отримали стандартне квадратне рівняння, все, що необхідно зробити далі - прирівняти його до нуля і знайти коріння, оскільки дискримінант більше нуля(D = 16 - 12 = 4), дане рівняннявизначається двома корінням. Знаходимо їх і отримуємо два значення: 1/3 та -1. Це і будуть точки екстремуму функції. Однак як таки визначити, хто є хто? Яка точка є максимумом, а яка є мінімумом? Для цього потрібно взяти сусідню точкута дізнатися її значення. Наприклад, візьмемо число -2, яке знаходиться ліворуч по координатній прямій від -1. Підставляємо це значення наше рівняння у(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. У результаті ми отримали додатне число. Це означає, що у проміжку від 1/3 до -1 функція зростає. Це, своєю чергою, означає, що у проміжках від мінус нескінченності до 1/3 і від -1 до плюс нескінченності функція зменшується. Таким чином, можна дійти невтішного висновку, що число 1/3 - точка мінімуму функції на дослідженому проміжку, а -1 - точка максимуму.

Також варто зазначити, що на ЄДІ вимагають не просто знайти точки екстремуму, а й провести з ними якусь операцію (додати, помножити і т.д.). Саме з цієї причини варто звернути особливу увагуна умови завдання. Адже через неуважність можна втратити бали.

Що таке екстремум функції та яка необхідна умова екстремуму?

Екстремумом функції називається максимум і мінімум функції.

Необхідна умовамаксимуму і мінімуму (екстремуму) функції наступне: якщо функція f(x) має екстремум у точці х = а, то цій точці похідна або дорівнює нулю, або нескінченна, або немає.

Ця умова необхідна, але не достатня. Похідна в точці х = а може звертатися в нуль, у нескінченність або не існувати без того, щоб функція мала екстремум у цій точці.

Яка достатня умова екстремуму функції (максимум або мінімум)?

Перша умова:

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? максимум

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? мінімумза умови, що функція f(x) тут безперервна.

Натомість можна скористатися другою достатньою умовою екстремуму функції:

Нехай у точці х = а перша похідна f?(x) перетворюється на нуль; якщо у своїй друга похідна f??(а) негативна, то функція f(x) має у точці x = a максимум, якщо позитивна - то мінімум.

Що таке критична точка функції та як її знайти?

Це значення аргументу функції, у якому функція має екстремум (тобто максимум чи мінімум). Щоб його знайти, потрібно знайти похіднуфункції f?(x) і, прирівнявши її до нуля, вирішити рівняння f?(x) = 0. Коріння цього рівняння, і навіть ті точки, у яких немає похідна цієї функції, є критичними точками, т. е. значеннями аргументу, у яких може бути екстремум. Їх можна легко визначити, глянувши на графік похідної: нас цікавлять ті значення аргументу, за яких графік функції перетинає вісь абсцис (вісь Ох) і ті, за яких графік зазнає розривів.

Наприклад знайдемо екстремум параболи.

Функція y(x) = 3x2 + 2x – 50.

Похідна функції: y? (x) = 6x + 2

Вирішуємо рівняння: y? (x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х = -2/6 = -1/3

У даному випадкукритична точка – це х0=-1/3. Саме при цьому значенні аргументу функція має екстремум. Щоб його знайти, підставляємо для функції замість «х» знайдене число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Як визначити максимум і мінімум функції, тобто. її найбільше та найменше значення?

Якщо знак похідної під час переходу через критичну точку х0 змінюється з «плюсу» на «мінус», то х0 є точка максимуму; якщо ж знак похідної змінюється з мінуса на плюс, то х0 є точка мінімуму; якщо знак не змінюється, то у точці х0 ні максимуму, ні мінімуму немає.

Для розглянутого прикладу:

Беремо довільне значення аргументу ліворуч від критичної точки: х = -1

При х = -1 значення похідної буде у? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (тобто знак - "мінус").

Тепер беремо довільне значення аргументу праворуч від критичної точки: х = 1

При х = 1 значення похідної буде у (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (тобто знак - плюс).

Як бачимо, похідна під час переходу через критичну точку змінила знак із мінуса на плюс. Отже, за критичного значення х0 ми маємо точку мінімуму.

Найбільше та найменше значенняфункції на інтервалі(на відрізку) знаходять за такою ж процедурою тільки з урахуванням того, що, можливо, не всі критичні точки лежатимуть усередині зазначеного інтервалу. Ті критичні точки, які перебувають за межею інтервалу, слід виключити з розгляду. Якщо всередині інтервалу знаходиться лише одна критична точка – у ній буде або максимум, або мінімум. У цьому випадку для визначення найбільшого та найменшого значень функції враховуємо також значення функції на кінцях інтервалу.

Наприклад, знайдемо найбільше та найменше значення функції

y(x) = 3sin(x) - 0,5х

на інтервалах:

Отже, похідна функції -

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Вирішуємо рівняння 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Знаходимо критичні точки на інтервалі [-9; 9]:

х = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (не входить в інтервал)

х = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687

х = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входить до інтервалу)

Знаходимо значення функції при критичних значенняхаргументу:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Видно, що на інтервалі [-9; 9] найбільше значенняфункція має при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а найменше – при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На інтервалі [-6; -3] маємо лише одну критичну точку: х = -4,88. Значення функції при х = -4,88 дорівнює у = 5,398.

Знаходимо значення функції на кінцях інтервалу:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На інтервалі [-6; -3] маємо найбільше значення функції

у = 5,398 при x = -4,88

найменше значення -

у = 1,077 при x = -3

Як знайти точки перегину графіка функції та визначити сторони опуклості та увігнутості?

Щоб знайти всі точки перегину лінії y = f(x), треба знайти другу похідну, прирівняти її до нуля (вирішити рівняння) і випробувати всі значення х, для яких друга похідна дорівнює нулю, нескінченна або не існує. Якщо при переході через одне з цих значень друга похідна змінює знак, графік функції має в цій точці перегин. Якщо ж не змінює, то перегину немає.

Коріння рівняння f? (x) = 0, а також можливі точкирозриву функції та другої похідної розбивають область визначення функції на ряд інтервалів. Випуклість на кожному їх інтервалі визначається знаком другої похідної. Якщо друга похідна в точці на досліджуваному інтервалі позитивна, лінія y = f(x) звернена тут увігнутістю догори, і якщо негативна - то донизу.

Як знайти екстремуми функції двох змінних?

Щоб знайти екстремуми функції f(x,y), що диференціюється в області її завдання, потрібно:

1) знайти критичні точки, а для цього вирішити систему рівнянь

fх? (x, y) = 0, f? (x, y) = 0

2) для кожної критичної точки Р0(a;b) дослідити, чи залишається незмінним знак різниці

всім точок (х;у), досить близьких до Р0. Якщо різниця зберігає позитивний знак, то точці Р0 маємо мінімум, якщо негативний - то максимум. Якщо різницю не зберігає знака, то точці Р0 екстремуму немає.

Аналогічно визначають екстремуми функції при більшій кількостіаргументів.

Коли у листопаді відзначають Всесвітній день телебачення
17 грудня 1996 року Генеральна Асамблея проголосила 21 листопада «Всесвітнім днем ​​телебачення», щоб ознаменувати дату проведення першого Всесвітнього телевізійного форуму в Організації Об'єднаних Націй. Державам було запропоновано відзначати цей день, обмінюючись телевізійними програмами, присвяченими таким проблемам, як світ, безпека

Що таке черемха
Черемха - вид вишні, сімейство розоцвіті, росте в північній Європіта північної Азії. Це досить високий чагарник, який сягає до 16 метрів заввишки. Зазвичай висота черемхи становить близько 9 метрів. Характеризується вона своїм запашним ароматом квітів. Зростає щонайменше 800 метрів над рівнем моря. Віддає перевагу кислим грунтам дубовим.

Які дві стадії включає період клітинного поділу (фаза М)
Клітинний цикл - це період існування клітини від моменту її утворення шляхом поділу материнської клітини до власного поділу чи загибелі. Тривалість клітинного циклу у різних клітинваріюється. Клітини дорослих організмів, що швидко розмножуються, такі як кровотворні або базальні клітини епідермісу і тонкої кишки, можуть входити в клітинний цикл

Чому у браузера Opera ("Опера") не відображається головне меню
Для економії місця на екрані браузері Opera, починаючи з версії 10.5, за промовчанням вимкнено головне меню. Розробники прийняли таке рішення у зв'язку з поширенням нетбуків, що мають невеликі дисплеї, і широкоформатних РК-моніторів, у яких висота екрана значно менша за його ширину. Доступ до всіх функцій, які були у головному меню

Де розташоване місто Братськ
Братськ — місто в Росії Іркутської області. Географічне розташуванняБратська зумовило його перетворення на «ворота» Півночі. Місто розташоване у центрі Східно-Сибірського регіону Росії у центральній частині Ангарського кряжа на березі Братського водосховища на річці Ангарі. Відстань до обласного центру- Міста Іркутська:

Що таке алегорія
Алегорія (від грец. allegoria - алегорія) - одна з форм алегорії, умовна передача абстрактного поняття або судження за допомогою конкретного образу. Алегорія найбільш поширена в образотворчому мистецтві(Жінка з пов'язкою на очах і вагами в руках - правосуддя, якір - надія і т.д.). У літературі багато алегоричних образів

Як доглядати за геліхризумом
Геліхрізум (Безсмертник, Цмін) Латинська назва: Helichrysum. Категорії: однорічні рослини, рослини для альпінарію. Сімейство: складноцвіті (Compositae). Батьківщина: геліхризум зростає на території помірних районів Європи, Азії, Африки та Австралії. Батьківщина цміна Мілфордової - околиці Кейптауна.

Хто написав роман "Білі та чорні"
Роман «Білі та чорні» — про шахів і про шахістів. В якості центральної фігурироману виведено великого шахіста, чемпіона світу Олександра Альохіна. Автор роману «Білі та чорні» — видатний радянський шахіст, міжнародний гросмейстер, письменник, член Спілки письменників

Яка повна назва другої книги трилогії Даніеля Дефо про Робінзона Крузо
Даніель Дефó (англ. Daniel Defoe; народився під ім'ям Daniel Foe; бл. 1660 - 1731) - англійський письменникі публіцист, відомий сьогодні головним чином як автор роману «Робінзон Крузо» (таке прийняте у науковому літературознавстві та видавничій

Чим харчуються горностаї
Горностай (Mustela erminea) - цінний хутровий звір сімейства куньих. Зовнішній вигляд. Всі представники роду тхорів - звірята з гнучким видовженим тілом, дуже витончені і рухливі, від куниць відрізняються наявністю білого кольоруна кінчику морди. Вуха маленькі, округлі. Довжина тіла гірська – 16-3.

З якими хворобами не беруть до армії
Категорії придатності до військової служби("А", "Б", "В", "Г", "Д") визначаються військово-лікарською комісією при медичному огляді призовника. А – придатний до військової служби. Б &nd

Екстремуми функції

Визначення 2

Точка $x_0$ називається точкою максимуму функції $f(x)$, якщо є така околиця даної точки, що всім $x$ з цієї околиця виконується нерівність $f(x)\le f(x_0)$.

Визначення 3

Точка $x_0$ називається точкою максимуму функції $f(x)$, якщо є така околиця даної точки, що всім $x$ з цієї околиця виконується нерівність $f(x)\ge f(x_0)$.

Поняття екстремуму функції тісно пов'язані з поняттям критичної точки функції. Введемо її визначення.

Визначення 4

$x_0$ називається критичною точкоюфункції $f(x)$, якщо:

1) $x_0$ - внутрішня точкагалузі визначення;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ або немає.

Для поняття екстремуму можна сформулювати теореми про достатні та необхідні умови його існування.

Теорема 2

Достатня умоваекстремуму

Нехай точка $ x_0 $ є критичною для функції $ y = f (x) $ і лежить в інтервалі $ (a, b) $. Нехай кожному інтервалі $\left(a,x_0\right)\ і\ (x_0,b)$ похідна $f"(x)$ існує і зберігає постійний знак. Тоді:

1) Якщо на інтервалі $(a,x_0)$ похідна $f"\left(x\right)>0$, а на інтервалі $(x_0,b)$ похідна $f"\left(x\right)

2) Якщо інтервалі $(a,x_0)$ похідна $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка мінімуму цієї функції.

3) Якщо і на інтервалі $(a,x_0)$, і на інтервалі $(x_0,b)$ похідна $f"\left(x\right) >0$ або похідна $f"\left(x\right)

Ця теорема проілюстрована малюнку 1.

Рисунок 1. Достатня умова існування екстремумів

Приклади екстремумів (рис. 2).

Рисунок 2. Приклади точок екстремумів

Правило дослідження функції на екстремум

2) Знайти похідну $f"(x)$;

7) Зробити висновки про наявність максимумів і мінімумів кожному проміжку, використовуючи теорему 2.

Зростання та зменшення функції

Введемо, для початку, визначення зростаючої та спадної функцій.

Визначення 5

Функція $y=f(x)$, визначена на проміжку $X$, називається зростаючою, якщо для будь-яких точок $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Визначення 6

Функція $y=f(x)$, визначена на проміжку $X$, називається спадною, якщо для будь-яких точок $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Дослідження функції на зростання та спадання

Дослідити функції на зростання та зменшення можна за допомогою похідної.

Для того щоб дослідити функцію на проміжки зростання та спадання, необхідно зробити наступне:

1) Знайти область визначення функції $ f (x) $;

2) Знайти похідну $f"(x)$;

3) Знайти точки, у яких виконується рівність $f"\left(x\right)=0$;

4) Знайти точки, де $f"(x)$ немає;

5) Відзначити на координатній прямій усі знайдені точки та область визначення цієї функції;

6) Визначити знак похідної $f"(x)$ на кожному проміжку, що вийшов;

7) Зробити висновок: на проміжках, де $f"\left(x\right)0$ функція зростає.

Приклади завдань на дослідження функцій на зростання, спад та наявність точок екстремумів

Приклад 1

Дослідити функцію на зростання і спадання, і наявність точок максимумів і мінімумів: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Так як перші 6 пунктів збігаються, проведемо для початку їх.

1) Область визначення – всі дійсні числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

\ \ \

4) $f"(x)$ існує у всіх точках області визначення;

5) Координатна пряма:

Малюнок 3.

6) Визначити знак похідної $f"(x)$ на кожному проміжку:

\ \}