Елементи центральної проекції. Центральні проекції та їх основні властивості

Вступ

Усі розділи нарисної геометріїкористуються одним методом – методом проектування, тому креслення, що застосовуються не тільки в накреслювальній геометрії, називаються проекційні креслення.

Метод проектування полягає в тому, що будь-яка з точок безлічі точок простору може бути спроектована за допомогою променів, що проектують, на будь-яку поверхню. Для цього представимо деяку задану поверхню(рис.1) та точку Ав просторі. При проведенні променя Sчерез точку Ау напрямку поверхні останній перетне її в точці А 1 . Крапку Аназивають точкою, що проектується. Площина α, де отримують проекцію, називають площина проекцій. Точка перетину променя з площиною називається проекцією точки А. Пряма АА 1 (промінь), називається проеціюючим променем.

Центральний (конічний або полярний) метод проектування заснований на тому, що при проектуванні на площину ряду точок ( А, B, Cі т.д.) всі проєцірующие промені проходять через одну точку, звану центром проектування, або полюсом.

Представимо у просторі трикутник АВСі проецірующие промені, що проходять через цей полюс Sі через крапки АВСтрикутника, проведені до перетину із площиною α. Трикутник А 1 B 1 C 1 буде центральною проекцією трикутника АВС(Рис.2).

Метод центрального проектування не задовольняє цілу низку умов, необхідних для технічного креслення, а саме: не дає однотипності зображення, повної ясності всіх геометричних форм, не має зручності вимірювання, не має простоти зображення.

Метод паралельного (косокутного) проектування полягає в тому, що всі проецірующие промені, що проходять через точки трикутника АВС, Будуть паралельні між собою (рис.3). Цей метод випливає з методу центрального проектування, при цьому полюс має бути видалено на нескінченно велика відстаньвід площини, яку проектується предмет.

Ортогональний (прямокутний) метод проектування – метод, коли проєкуючі промені паралельні між собою та перпендикулярні до площини проекцій (рис.4). Цей метод – окремий випадокпаралельного проектування.

Таким чином, будь-яка точка простору може бути спроектована на площині проекцій: на горизонтальну П 1 фронтальну П 2 і профільну П 3 . Горизонтальна проекція точки позначається А 1 або А′, фронтальна А 2 або А″, профільна А 3 або А′″ (рис.5).

• При будь-якому вигляді проекції відрізок прямої перетворюється на відрізок прямої (у виродженому разі - коли відрізок лежить на проекційному промені - у крапку); пряма може перейти у пряму чи промінь.
• Ця властивість помітно спрощує застосування проекції в образотворчих цілях, особливо в технічному кресленні, коли об'єкт містить багато прямолінійних елементів. У останньому випадкуДосить спроектувати кінці відрізків і з'єднати їх на кресленні прямими.
• Еліпс або коло переходять в еліпс (у виродженому випадку - у відрізок або коло).

Проекція із довільного простору на його підпростір

Проекція в цьому сенсі (згадана у вступі в пункті 2) - широко застосовується в лінійній алгебрі (докладніше, див.: Проекція (лінійна алгебра)), але на практиці не тільки в абстрактних контекстах, але і при роботі з векторами будь-якої природи, розмірності та ступеня абстракції, і навіть у елементарній геометрії, а також – дуже широко – при використанні прямолінійних координат(як прямокутних чи афінних).

Окремо слід згадати проекцію точки на пряму та проекцію вектора на пряму (на напрямок).

Ортогональна проекція на пряму та на напрямок

Найчастіше використовується ортогональна проекція.

Термін проекціяу цьому сенсі використовується і щодо самої операції проектування, і щодо її результату (при операції проектування на пряму образи точки, вектора, множини точок називаються проекцією точки, вектора, множини точок на цю пряму).

Елементарний опис ортогональної проекції точки на пряму зводиться до того, що з точки на пряму слід опустити перпендикуляр, і його перетин з прямої дасть образ точки (проекцію точки на цю пряму). Це визначення працює і на площині, і в тривимірному просторі, і просторі будь-якої розмірності.

Елементарне визначення проекції вектора на пряму найлегше дати, представивши вектор спрямованим відрізком. Тоді на пряму можна спроектувати його початок і його кінець і спрямований відрізок від проекції початку до проекції кінця вихідного вектора дасть його проекцію на пряму.

Проекцією вектора на деякий напрямок зазвичай називають число, що збігається по абсолютної величиниз довжиною проекції цього вектора на пряму, що визначає цей напрямок; знак числа вибирається так, що воно вважається позитивним, коли напрямок цієї проекції збігається з цим напрямком, і негативним, коли напрямок протилежний.

Неортогональна проекція на пряму та на напрямок

Неортогональна проекція використовується рідше, до того ж, навіть при використанні, особливо в елементарних контекстах, цей термін не завжди використовується.

Найпростіше не ортогональну проекціюна пряму можна задати, задаючи саму цю пряму і площину (у двовимірному випадку - замість площини іншу пряму, у разі n-мірного простору - гіперплощина розмірності ( n-1)), що перетинає пряму. Проекція точки визначається як перетин площини (гіперплощини), що містить цю точку та паралельну площині, що задає проекцію.

У випадку, коли площина (гіперплощина), що задає проекцію, ортогональна пряма, ми отримуємо ортогональну проекцію (це може бути її альтернативним визначенням). Тому, власне, для неортогональної проекції треба вимагати, щоб ця ортогональність була відсутня.

Для неортогональної проекції вектора на пряму і напрямок визначення виходять, виходячи з наведеного визначення проекції точки, прямо аналогічно тому, як це було описано в параграфі про ортогональної проекції.

• Треба, щоправда, пам'ятати, що за умовчанням під проекцією вектора на пряму чи напрямок розуміється все-таки ортогональна проекція.

Проте поняття неортогонального проектування може бути корисним (принаймні, якщо не боятися термінологічної плутанини) для введення косокутних координат та роботи з ними (через них може бути в принципі досить легко визначено поняття координат точки та координат вектора у цьому випадку).

Див. також

Проекційний апарат, Фотозбільшувач, Проекційне друкування, Кінопроекційний апарат // Фотокінотехніка: Енциклопедія / Гол. ред. Є. А. Йофіс. - М.: Радянська енциклопедія, 1981. - 447 с.

При центральному проектуванні (побудові центральних проекцій) задають площину проекцій та центр проекцій - точку, що не лежить у площині проекцій. На малюнку 1.1 площинаР - площина проекцій, точка S – центр проекцій.

Для проектування довільної точки через неї та центр проекцій проводять пряму. Точка перетину цієї прямої з площиною проекцій і єцентральною проекцією заданої точки на вибраній площині проекцій.

На малюнку 1.1 центральною проекцією точкиА є точка а р перетину прямий SA із площиною Р. Також побудовані центральні проекції bр, з р, d pточок, З, D на площині Р.

Прямі, що проходять через центр проекцій і точки, що проектуються, називаютьпроецірующими прямими.

Центральні проекції bр і з р двох різних точокВ і С у просторі, які розташовуються на одній проеціруючій прямій, збігаються. Все безліч точок простору, що належать одній проекції прямої, має при одному центрі проектування одну центральну проекцію на заданій площині проекцій.

Отже, при заданих площиніПроекції та центр проектування одна точка в просторі має одну центральну проекцію. Але одна центральна проекція точки не дозволяє однозначно визначити положення точки у просторі.

Для забезпечення оборотності креслення, тобто однозначного визначення положення точки у просторі за її проекцією, потрібні додаткові умовиНаприклад, можна встановити другий центр проекцій. Центральним проеціюванням може бути побудована проекція будь-якої лінії або поверхні як безліч проекцій усіх її точок (див. рис. 1.2, 1.3). При цьому проецірующие прямі (у своїй сукупності), проведені через всі точки кривої лінії, утворюють конічну поверхню, що проеціює (рис. 1.2) або можуть опинитися в одній площині (див. рис. 1.3), яка називається проецирующей.

Проекція кривої лінії є лінією перетину проецірующей конічної поверхнііз площиною проекцій. Так, на малюнку 1.2 проецірующая конічна поверхня Q перетинається з площиною проекційР по кривій apbp, що є проекцією лініїАВ. Однак проекція лінії не визначає лінію, що проектується, так як на проецірующей поверхні може бути незліченна кількість ліній, що проектуються в одну і ту ж лінію на площині проекцій (рис. 1.4).

При проектуванні прямої лінії, що не проходить через центр проекцій, проекції поверхнею служить площину. Так, на малюнку 1.3 проекційна площинаТ, утворена проецірующими прямими SC та SD, проходять через точки С і D прямий, перетинає площину проекційР по прямій c p d p , яка і є проекцією прямою CD. Відповідно проекціят р точки М прямий CD належить і проекції з pdp.

Для побудови проекцій ліній, поверхонь чи тіл часто достатньо побудувати проекції лише деяких характерних точок. Наприклад, при побудові на площині проекційР проекції трикутника ABC (рис. 1.5) достатньо побудувати проекціїа р, b р, з р трьох його точок - вершинА, У, З.

Властивості центрального проектування.

1. При центральному проектуванні:

а) точка проектується на точку;

б) пряма, що не проходить через центр проекцій, проектується в пряму (пряма, що проектує, - в точку);

в) плоска (двовимірна) фігура, що не належить проецірующей площині, проектується у вигляді двовимірної фігури (фігури, що належать проецірующій площині, проектуються разом з нею у вигляді прямої);

г) тривимірна фігуравідображається двовимірною.

2. Центральні проекції фігур зберігають взаємну приналежність, безперервність та інші геометричні властивості.

3. При заданому центрі проектування проекції фігури на паралельних площинахподібні.

4. Центральне проектування встановлює однозначну відповідність між фігурою та її зображенням, наприклад, зображення на кіноекрані, фотоплівці.

Центральні проекції застосовують зображення предметів у перспективі. Зображення у центральних проекціях наочні, але для технічного кресленнянезручні, тому що не дотримується метрики.

При центральній проекції всі промені, що проектують, проходять через певну точку простору – центр проекції. Фізичним пристроєм, що реалізує центральну проекцію, є об'єктив. При візуальному спостереженні роль об'єктива виконує око. В об'єктиві промені, що з'єднують сполучені точки в просторі предметів і зображень, проходять через головну точку, що є центром проекції (рис. 1.5.3). З цієї основної властивості центральної проекції випливає математичний метод побудови зображення: координати кожної точки зображення можуть бути обчислені шляхом визначення точки перетину прямої, що проходить через предметну точку та центр проекції з поверхнею проекції (зображення). Якщо в обраній об'єктній системі координат відомі координати точок і , а також рівняння поверхні зображення, то координати точки зображення визначаються в результаті розв'язання системи рівнянь

Рис. 1.5.3. Загальна схема центральної проекції

Поверхня проекції здебільшого вважатимуться плоскою. Це наближення досить точно виконується для ока. Хоча світлочутлива поверхня ока – сітківка має майже сферичну форму, для області ясного зору, обмеженої кутовим розміром у кілька градусів, її можна вважати плоскою.

Відповідно до законів оптики для отримання різкого зображення необхідно, щоб світлочутлива поверхня була перпендикулярна до оптичної осі об'єктива і розташовувалася на певній відстані від центру проектування, яке, як правило, приймають рівною фокусній відстані . Фактично зображення розташовується на картинній відстані від центру проектування, яке завжди більше фокусного. Однак якщо предмет віддалений від об'єктива на відстань, то різниця між картинною та фокусною відстанню незначна. Таким чином, положення площини зображення легко фіксоване щодо центру проекції та оптичної осі об'єктива. Якщо об'єктив розгортається для того, щоб у його поле зору потрапляли певні об'єкти, то разом з ним повинна розгортатися і площина зображення.

Якщо зважити на зазначені особливості центральної проекції в реальних пристроях формування зображення, то зв'язок координат точок простору предметів і простору зображень може бути виражена в іншій формі, ніж у системі рівнянь (1.5.7). Введемо систему координат для площини зображення, пов'язану систему координат об'єктива та систему координат простору предметів (рис. 1.5.4). Особливість центральної проекції можна виразити наступним чином: вектори і , що з'єднують центр проекції зі сполученими точками і є колінеарними. звідси випливає

де – константа даної пари точок і .

Рис. 1.5.4. Схема розворотів площини зображення

Враховуючи, що знімальна камера може бути розгорнута на кути і щодо осей , (1.5.8) отримуємо

, (1.5.8)

де - координати центру проектування в системі; – координати центру проектування у системі .

Якщо врахувати, що поверхня проекції є плоскою, початок координат системи, як правило, збігається з головною точкоюкартинної площині , розташованої на відстані від , то

. (1.5.9)

Виключаючи в (1.5.9) константу шляхом розподілу першого і другого рядків на третій, отримуємо рівняння, що зв'язують координати сполучених точок у системах і :

З системи (1.5.10) за координатами точок зображення можна визначити координати сполучених точок у просторі предметів, якщо задано рівняння поверхні, що спостерігається . Потім за координатами точки , рівняння поверхні та відомим умовам освітлення можуть бути визначені атрибути точки (яскравість, колір) та розраховані відповідні атрибути точки зображення . Описана коротко процедура синтезу зображень заснована на відстеженні променя, що виходить із простору зображень в простір предметів, тобто. у напрямку, протилежному ходу променів у реальній системі. Цей підхід у машинній графіці назвемо методом зворотного трасування променів.

Характерною особливістю центральної проекції є істотна відмінність у масштабах зображення предметів, що є різних відстанях від центру проектування. Це пов'язано із зменшенням кутових розмірівпредмета (і відповідно зі зменшенням лінійних розмірів у площині зображення) при віддаленні знімальної сцени. На рис.1.5.5 наведено результат зйомки предмета у вигляді смуги з нанесенням на неї малюнка з прямокутників, що періодично повторюються. Зміна ширини смуги та розмірів прямокутників створює відчуття глибини простору. Принципово зображення може бути розраховане, наприклад, за формулами (1.5.12), але можна побудувати з достатньою мірою точності, якщо задати точку сходу променів. Розрахунки з використанням координати точки сходу променів значно простіші. Тому такий підхід широко використовується при імітації візуально спостерігається обстановки у відеотренажерах.

лекція №4.

Тема: первинні інформаційні моделі, одиночний знімок.

Запитання:

Основні елементи центральної проекції

Системи координат, які застосовуються у фотограмметрії. Елементи орієнтування пташиного польоту.

Масштаб зображення на аероснімку

Зміщення зображення точки внаслідок впливу кута нахилу та рельєфу метсності.

Самостійно.

До лекції №4.

1. Визначення елементів орієнтування знімка (с.161, 175). Пряма та зворотна фотограмметричні засічки.

2. Визначення елементів зовнішнього орієнтування знімка під час фотограмметричної обробки його частин.

3. Математичні методи, що застосовуються під час вирішення фотограмметричних завдань.

4. Технологія цифрового оброблення одиночного знімка.

Література: А.І. Обіралов 2004р. 104-113.

Лекція №4

Первинні інформаційні моделі.

Під первинними інформаційними моделями у фотограмметрії та дистанційному зондуванні розуміють початкові результати аеро- та космічних зйомок (знімки) у будь-якому записі.

Для вирішення інженерних завданьОрганізація територій, формування банку земельно-кадастрової інформації використовуються великомасштабні плани, створені за законами ортогонального проектування. Ці плани зараз складаються в результаті фотограмметричної обробки знімків, отриманих за допомогою кадрових АФА. Зображення на знімках будується за законами центрального проектування. Результати цих видів проектування будуть однаковими при аерофотозйомці рівнинної місцевості та вертикальному положенні оптичної осі об'єктива АФА.

1. Основні елементи центральної проекції

p align="justify"> При картографуванні земної поверхні використовують різні закони побудови зображення цієї поверхні в масштабі - картографічні проекції. Завдання організації територій, земельного та міського кадастру, інженерних досліджень зручніше вирішувати за планами, створеними за законами ортогонального проектування, - точки елементів ситуації при цьому проектують на горизонтальну площинувертикальними лініями з одночасним масштабуванням результатів.

На знімках, отриманих за допомогою кадрових знімальних систем, зображення, як зазначалося раніше, будується за законами центрального проектування. Промені, що проектують, тут являють собою пучок ліній, що проходять через єдину точку- Центр проекції.

Основні елементи центральної проекції (рис. 1.1):

S- центр проекції, у фотограмметрії – задня вузлова точка об'єктива знімальної камери;

Р" -картинна площина (негативна) – фокальна площина об'єктива знімальної камери;

Р-картинна площина позитивна;

Рис. 1.1 Основні елементи центральної проекції

Е- предметна площина - горизонтальна січна площина ділянки ділянки, що знімається;

про (про))- головна точка картини - головна точка знімка, яка отримується при перетині головного променя (оптичної осі) об'єктива знімальної камери S 0 із площиною картини;

W- площина головного вертикалу, що проходить через крапку S перпендикулярно до площин Р(Р")і Е;

VoV(VoV") - головна вертикаль - слід перетину площин Р(Р")і W;

v 0 V – проекція головної вертикалі;

n(n") - точка надиру - точка перетину площини Р(Р")з прямовисним променем;

N- проекція точки надиру -точка перетину площини Епрямовисним променем, що проходить через точку S;

ар- кут нахилу картини (знімка) - кут між площинами Р(Р)і Еабо променями SO і SN;

с(c) - точка нульових спотворень - точка перетину площини Р(Р)бісектрисою кута а Р ;

З- Проекція точки нульових спотворень;

hnhn(h" nh" n) - горизонталь, що проходить через точку n(n") -лінія в площині Р(Р"),перпендикулярна v 0 v(VoV)).

Горизонталі можуть проходити через будь-яку точку картини, наприклад, через точку. про- h 0 h o або точку з - hchc . В одній із систем координат знімку головну вертикаль v 0 v приймають за вісь абсцис, а будь-яку з горизонталей – за вісь ординат.

Крапки о,n, зрозташовуються на головній вертикалі, а точки О, С, N- На її проекції. Відстань точок л і з від точки про визначають за формулами:

on=ftga P і ос=ftgap>/2.

Ці точки, в загальному випадкублизькі один до одного. Наприклад, на планових знімках при аp=2° та f=100 мм on = 3,5 мм та ос=1,8 мм, а на знімках, отриманих з використанням гіростабілізованої АФУ, при ар =20" оn= 0,6мм і ос= 0,3 мм. Це положення неодноразово будемо використовувати надалі при аналізі метричних властивостей знімків та опис технології їх застосування.

Відстань oS- головну відстань, і позначають його літерою f. У фотограмметрії цей відрізок називається фокусною відстанню знімальної камери. Відстань SN=H називають висотою зйомки.