Інтегрування дробово раціональних функцій невизначеного інтегралу. Інтегрування раціональних функцій
Тут ми наводимо докладні рішеннятрьох прикладів інтегрування наступних раціональних дробів:
,
,
.
Приклад 1
Обчислити інтеграл:
.
Рішення
Тут під знаком інтеграла стоїть раціональна функція, Оскільки підінтегральний вираз є дробом із багаточленів. Ступінь багаточлена знаменника ( 3 ) менше ступенябагаточлена чисельника ( 4 ). Тому спочатку необхідно виділити цілу частину дробу.
1.
Виділимо цілу частину дробу. Ділимо x 4
на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Звідси
.
2.
Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити кубічне рівняння:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Підставимо x = 1
:
.
1
. Ділимо на x - 1
:
Звідси
.
Вирішуємо квадратне рівняння.
.
Коріння рівняння: , .
Тоді
.
3.
Розкладемо дріб на найпростіші.
.
Отже, ми знайшли:
.
Інтегруємо.
Відповідь
Приклад 2
Обчислити інтеграл:
.
Рішення
Тут у чисельнику дробу - багаточлен нульового ступеня ( 1 = x 0). У знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки 0 < 3 , то дріб правильний. Розкладемо її на найпростіші дроби.
1.
Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б один ціле коріння. Тоді він є дільником числа 3
(Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 3, -1, -3
.
Підставимо x = 1
:
.
Отже, ми знайшли один корінь x = 1
. Ділимо x 3 + 2 x - 3на x - 1
:
Отже,
.
Вирішуємо квадратне рівняння:
x 2+x+3=0.
Знаходимо дискримінант: D = 1 2 - 4 · 3 = -11. Оскільки D< 0
, то рівняння не має дійсних коренів. Таким чином, ми отримали розкладання знаменника на множники:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Підставимо x = 1
. Тоді x - 1 = 0
,
.
Підставимо в (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Прирівняємо в (2.1)
коефіцієнти при x 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Інтегруємо.
(2.2)
.
Для обчислення другого інтеграла, виділимо в чисельнику похідну знаменника та наведемо знаменник до суми квадратів.
;
;
.
Обчислюємо I 2
.
.
Оскільки рівняння x 2+x+3=0не має дійсних коренів, то x 2 + x + 3 > 0. Тому знак модуля можна опустити.
Поставляємо в (2.2)
:
.
Відповідь
Приклад 3
Обчислити інтеграл:
.
Рішення
Тут під знаком інтеграла стоїть дріб із багаточленів. Тому підінтегральний вираз є раціональною функцією. Ступінь многочлена в чисельнику дорівнює 3 . Ступінь многочлена знаменника дробу дорівнює 4 . Оскільки 3 < 4 , то дріб правильний. Тому її можна розкладати на найпростіші дроби. Але для цього потрібно розкласти знаменник на множники.
1.
Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння четвертого ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2
(Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2
.
Підставимо x = -1
:
.
Отже, ми знайшли один корінь x = -1
. Ділимо на x - (-1) = x + 1:
Отже,
.
Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має ціле коріння, він є дільником числа 2
(Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2
.
Підставимо x = -1
:
.
Отже, ми знайшли ще один корінь x = -1
. Можна було б, як і в попередньому випадку, поділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени:
.
Оскільки рівняння x 2 + 2 = 0
не має дійсних коренів, то ми отримали розкладання знаменника на множники:
.
2.
Розкладемо дріб на найпростіші. Шукаємо розкладання у вигляді:
.
Звільняємося від знаменника дробу, множимо на (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Підставимо x = -1
. Тоді x + 1 = 0
,
.
Продиференціюємо (3.1)
:
;
.
Підставимо x = -1
та врахуємо, що x + 1 = 0
:
;
;
.
Підставимо в (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Прирівняємо в (3.1)
коефіцієнти при x 3
:
;
1 = B + C;
.
Отже, ми знайшли розкладання на найпростіші дроби:
.
3.
Інтегруємо.
.
Матеріал, викладений у цій темі, спирається на відомості, подані в темі "Раціональні дроби. Розкладання раціональних дробів на елементарні (найпростіші) дроби" . Дуже раджу хоча б швидко переглянути цю тему перед тим, як переходити до читання даного матеріалу. Крім того, нам буде потрібна таблиця невизначених інтегралів.
Нагадаю кілька термінів. Про них йшлося у відповідній темі, тому тут обмежуся коротким формулюванням.
Відношення двох багаточленів $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ називається раціональною функцією або раціональним дробом. Раціональний дріб називається правильноюякщо $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильною.
Елементарними (найпростішими) раціональними дробами називають раціональні дроби чотирьох типів:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати
Навіщо потрібна умова $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Наприклад, для вираження $x^2+5x+10$ отримаємо: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Оскільки $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
До речі, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $x^2$ дорівнював 1. Наприклад, для $5x^2+7x-3=0$ отримаємо: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Оскільки $D > 0$, то вираз $5x^2+7x-3$ розкладемо на множники.
Приклади раціональних дробів (правильних та неправильних), а також приклади розкладання раціонального дробу на елементарні можна знайти. Тут нас цікавитимуть лише питання їхнього інтегрування. Почнемо з інтегрування елементарних дробів. Отже, кожен із чотирьох типів зазначених вище елементарних дробів нескладно проінтегрувати, використовуючи формули, вказані нижче. Нагадаю, що з інтегруванні дробів типу (2) і (4) передбачається $n=2,3,4,ldots$. Формули (3) та (4) вимагають виконання умови $p^2-4q< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)
Для $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ робиться заміна $t=x+\frac(p)(2)$, після отриманий інтерал розбивається на два. Перший обчислюватиметься за допомогою внесення під знак диференціала, а другий матиме вигляд $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Цей інтеграл береться за допомогою рекурентного співвідношення
\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)
Обчислення такого інтеграла розібрано на прикладі №7 (див. третину).
Схема обчислення інтегралів від раціональних функцій (раціональних дробів):
- Якщо підінтегральний дріб є елементарним, то застосувати формули (1)-(4).
- Якщо підінтегральний дріб не є елементарним, то подати його у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати, використовуючи формули (1)-(4).
Вказаний вище алгоритм інтегрування раціональних дробів має незаперечну гідність – він універсальний. Тобто. користуючись цим алгоритмом можна проінтегрувати будь-якураціональний дріб. Саме тому майже всі заміни змінних у невизначеному інтегралі (підстановки Ейлера, Чебишева, універсальна тригонометрична підстановка) робляться з таким розрахунком, щоб після заміни отримати під інтералом раціональний дріб. А до неї вже застосувати алгоритм. Безпосереднє застосуванняцього алгоритму розберемо на прикладах, попередньо зробивши невелику примітку.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
У принципі цей інтеграл нескладно отримати без механічного застосування формули . Якщо винести константу $7$ за знак інтеграла і врахувати, що $dx=d(x+9)$, то отримаємо:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Для детальної інформаціїрекомендую подивитися тему. Там докладно пояснюється, як вирішуються такі інтеграли. До речі, формула доводиться тими самими перетвореннями, що були застосовані у цьому пункті під час вирішення "вручну".
2) Знову є два шляхи: застосувати готову формулу або обійтися без неї. Якщо застосовувати формулу , слід врахувати, що коефіцієнт перед $x$ (число 4) доведеться прибрати. Для цього цю четвірку просто винесемо за дужки:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Тепер настала черга і для застосування формули:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Можна обійтися і застосування формули . І навіть без винесення константи $4$ за дужки. Якщо врахувати, що $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, то отримаємо:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Детальні пояснення щодо знаходження подібних інтегралів дано у темі "Інтегрування підстановкою (внесення під знак диференціала)".
3) Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Цей дріб має структуру $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, де $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однак, щоб переконатися, що це дійсно елементарний дріб третього типу, потрібно перевірити виконання умови $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Вирішимо цей приклад, але без використання готової формули. Спробуємо виділити в чисельнику похідну знаменника. Що це означає? Ми знаємо, що $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Саме вираз $2x+10$ нам і належить вичленувати в чисельнику. Поки що чисельник містить лише $4x+7$, але це ненадовго. Застосуємо до чисельника таке перетворення:
$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$
Тепер у чисельнику з'явився необхідний вираз $2x+10$. І наш інтеграл можна переписати у такому вигляді:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Розіб'ємо підінтегральний дріб на два. Ну і, відповідно, сам інтеграл теж "роздвоєм":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Поговоримо спершу перший інтеграл, тобто. про $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Оскільки $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, то в чисельнику підінтегрального дробу розташований диференціал знаменника. Коротше кажучи, замість виразу $( 2x+10)dx$ запишемо $d(x^2+10x+34)$.
Тепер скажемо пару слів і про другий інтеграл. Виділимо в знаменнику повний квадрат: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Крім того, врахуємо $dx=d(x+5)$. Тепер отриману нами раніше суму інтегралів можна переписати в дещо іншому вигляді:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Якщо в першому інтегралі зробити заміну $u=x^2+10x+34$, то він набуде вигляду $\int\frac(du)(u)$ і візьметься простим застосуваннямдругий формули з . Що ж до другого інтеграла, то для нього здійснена заміна $u=x+5$, після якої він набуде вигляду $\int\frac(du)(u^2+9)$. Це чистої водиодинадцята формула з таблиці невизначених інтегралів. Отже, повертаючись до суми інтегралів, матимемо:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5)^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$
Ми отримали ту саму відповідь, що і при застосуванні формули, що, власне, не дивно. Взагалі, формула доводиться тими самими способами, які ми використовували для знаходження цього інтеграла. Думаю, що у уважного читачаТут може виникнути одне питання, тому сформулюю його:
Питання №1
Якщо інтегралу $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ застосовувати другу формулу з таблиці невизначених інтегралів , ми отримаємо таке:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Чому ж у рішенні був відсутній модуль?
Відповідь на запитання №1
Питання цілком закономірне. Модуль був відсутній лише тому, що вираз $x^2+10x+34$ за будь-якого $x\in R$ більше нуля. Це зовсім нескладно показати кількома шляхами. Наприклад, оскільки $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ і $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$ . Можна поміркувати і по-іншому, не залучаючи виділення повного квадрата. Оскільки $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за будь-якого $x\in R$ (якщо ця логічний ланцюжоквикликає подив, раджу подивитись графічний методрішення квадратних нерівностей). У кожному разі, оскільки $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, тобто. замість модуля можна використовувати звичайні дужки.
Усі пункти прикладу №1 вирішено, залишилося лише записати відповідь.
Відповідь:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C $.
Приклад №2
Знайти інтеграл $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
На перший погляд підінтегральний дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ дуже схожа на елементарну дріб третього типу, тобто. на $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Здається, що єдина відмінність - це коефіцієнт $3$ перед $x^2$, але коефіцієнт і прибрати недовго (за дужки винести). Однак це схожість здається. Для дробу $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ обов'язковою є умова $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
У нас коефіцієнт перед $x^2$ не дорівнює одиниці, тому перевірити умову $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного рівняння$x^2+px+q=0$. Якщо дискримінант менший за нуль, то вираз $x^2+px+q$ на множники не розкладеш. Обчислимо дискримінант багаточлена $3x^2-5x-2$, розташованого в знаменнику нашого дробу: $D=(-5)^2-4cdot 3cdot(-2)=49$. Отже, $D > 0$, тому вираз $3x^2-5x-2$ можна розкласти на множники. А це означає, що дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не є елементаним дробом третього типу, і застосовувати до інтегралу $\int\frac(7x+12)(3x^2- 5x-2)dx$ формулу не можна.
Ну що ж, якщо заданий раціональний дріб не є елементарним, то його потрібно подати у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати. Коротше кажучи, слід скористатися. Як розкласти раціональний дріб на елементарні докладно написано. Почнемо з того, що розкладемо на множники знаменник:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotleft(x+frac(1)(3)right)(x-2). $$
Подинтеральний дріб представимо в такому вигляді:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Тепер розкладемо дріб $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ на елементарні:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3) \right). $$
Щоб знайти коефіцієнти $A$ і $B$, є два стандартні шляхи: метод невизначених коефіцієнтів і метод підстановки приватних значень. Застосуємо метод підстановки приватних значень, підставляючи $x=2$, а потім $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Оскільки коефіцієнти знайдено, залишилося лише записати готове розкладання:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$
В принципі, можна такий запис залишити, але мені до душі акуратніший варіант:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$
Повертаючись до вихідного інтегралу, підставимо до нього отримане розкладання. Потім розіб'ємо інтеграл на два, і до кожного застосуємо формулу . Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Відповідь: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | + C $.
Приклад №3
Знайти інтеграл $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. У чисельнику розташований багаточлен другого ступеня, а в знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки ступінь многочлена у чисельнику менше ступеня многочлена у знаменнику, тобто. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-frac(1)(x-9). $$
Нам залишиться лише розбити заданий інтеграл на три, і до кожного застосувати формулу. Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Відповідь: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4|-\ln|x-9|+C$.
Продовження аналізу прикладів цієї теми розташоване в другій частині.
Контрольну роботу на інтегрування функцій, у тому числі раціональних дробів задають студентам 1, 2 курсів. Приклади інтегралів переважно будуть цікаві для математиків, економістів, статистів. Дані приклади ставили на контрольної роботиу ЛНУ ім. І. Франка. Умови наступних прикладів"Знайти інтеграл" або "Обчислити інтеграл", тому для економії місця та Вашого часу їх не виписували.
Приклад 15. Ми дійшли інтегрування дробово-раціональних функцій. Вони займають особливе місцесеред інтегралів, оскільки вимагають багато часу на обчислення та допомагають викладачам перевірити Ваші знання не лише з інтегрування. Для спрощення функції під інтегралом додамо і віднімемо в чисельнику вираз, який дозволить розбити функцію під інтегралом на дві прості
В результаті один інтеграл знаходимо досить швидко, у другому потрібно дріб розкласти на суму елементарних дробів 
При зведенні до спільного знаменника отримаємо такі числівники
Далі розкриваємо дужки та групуємо
Прирівнюємо значення при однакових ступенях"ікс" праворуч та ліворуч. В результаті прийдемо до системи трьох лінійних рівнянь(СЛАУ) із трьома невідомими. 
Як вирішувати системи рівнянь, описано в інших статтях сайту. В кінцевому варіанті Ви отримаєте наступне рішення СЛАУ
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Підставляємо постійні розкладання дробу на найпростіші і виконуємо інтегрування
У цьому приклад вирішено.
Приклад 16. Знову потрібно знайти інтеграл від дробово-раціональної функції. Для початку кубічне рівняння, яке міститься в знаменнику дробу, розкладемо на прості множники 
Далі виконуємо розкладання дробу на найпростіші 
Зводимо праву сторону до спільного знаменника і розкриваємо дужки в чисельнику. 
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях змінної. Знову прийдемо до СЛАУ із трьома невідомими 
Підставляємо значення А,В,Су розкладання та обчислюємо інтеграл 
Перші два доданки дають логарифм, останній теж легко знайти.
Приклад 17. У знаменнику дрібно-раціональної функції маємо різницю кубів. Її за формулами скороченого множення розкладаємо на два простих множника
Далі отриману дробову функціюрозписуємо на суму простих дробіві зводимо їх під спільний знаменник
У чисельнику отримаємо такий вираз.
З нього формуємо систему лінійних рівнянь для обчислення 3 невідомих 
A=1/3; B=-1/3; C = 1/3.
Підставляємо А, В, С формулу і виконуємо інтегрування. В результаті прийдемо до такої відповіді 
Тут чисельник другого інтеграла перетворювали на логарифм, причому залишок під інтегралом дає арктангенс.
Подібних прикладівінтегрування раціональних дробів в інтернеті дуже багато. Подібні приклади Ви можете знайти з наведених нижче матеріалів.
ТЕМА: Інтегрування раціональних дробів.
Увага! При вивченні одного з основних прийомів інтегрування: інтегрування раціональних дробів – потрібно для проведення суворих доказів розглядати багаточлени у комплексній галузі. Тому необхідно вивчити попередньо деякі властивості комплексних чиселта операцій з них.
Інтегрування найпростіших раціональних дробів.
Якщо P(z) і Q(z) - багаточлени в комплексної області, то - раціональний дріб. Вона називається правильною, якщо ступінь P(z) менше ступеня Q(z) , і неправильною, якщо ступінь Р не менше ступеня Q.
Будь-яку не правильний дрібможна уявити у вигляді: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R(z) – багаточлен, ступінь якого менший за ступінь Q(z).
Таким чином, інтегрування раціональних дробів зводиться до інтегрування багаточленів, тобто статечних функцій, і правильних дробів, оскільки є правильним дробом.
Визначення 5. Найпростішими (або елементарними) дробами називаються дроби таких видів:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
З'ясуємо, як вони інтегруються.
3) 
(Вивчений раніше).
Теорема 5. Будь-який правильний дріб можна подати у вигляді суми найпростіших дробів (без доказу).
Наслідок 1. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть лише прості дійсні корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів буде присутній лише найпростіші дроби 1-го типу:
приклад 1.
Наслідок 2. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть тільки кратні дійсні корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 1-го та 2-го типів:
приклад 2.
Наслідок 3. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть лише прості комплексно - сполучені корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 3-го типу:
приклад 3.
Наслідок 4. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть лише кратні комплексно - сполучені корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 3-го та 4-го типів:
Для визначення невідомих коефіцієнтів у наведених розкладах надходять в такий спосіб. Ліву і праву частину розкладання , що містить невідомі коефіцієнти, множать на рівність двох многочленів. З нього одержують рівняння на шукані коефіцієнти, використовуючи, що:
1. рівність справедливо за будь-яких значеннях Х (метод приватних значень). І тут виходить скільки завгодно рівнянь, будь-які m у тому числі дозволяють знайти невідомі коефіцієнти.
2. збігаються коефіцієнти при однакових ступенях Х (метод невизначених коефіцієнтів). І тут виходить система m – рівнянь з m – невідомими, у тому числі знаходять невідомі коефіцієнти.
3. комбінований метод.
Приклад 5. Розкласти дріб 
на найпростіші.
Рішення:
Знайдемо коефіцієнти А та В.
1 спосіб - метод приватних значень:
2 спосіб - метод невизначених коефіцієнтів:
Відповідь: 
Інтегрування раціональних дробів.
Теорема 6. Невизначений інтеграл від будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, на якому його знаменник не дорівнює нулю, існує і виражається через елементарні функції, а саме раціональні дроби, логарифми та арктангенси.
Доведення.
Представимо раціональний дріб у вигляді: 
. При цьому останній доданок є правильним дробом, і по теоремі 5 її можна подати у вигляді лінійної комбінації найпростіших дробів. Таким чином, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування багаточлена. S(x)
і найпростіших дробів, первісні яких, як було показано, мають вигляд, вказаний у теоремі.
Зауваження. Основну труднощі у своїй становить розкладання знаменника на множники, тобто пошук всіх його коренів.
Приклад 1. Знайти інтеграл
