Ціле рівняння та його коріння приклади. Конспект та презентація уроку "ціле рівняння та його коріння"

Давайте познайомимося з раціональними та дробовими раціональними рівняннями, дамо їх визначення, наведемо приклади, а також розберемо найпоширеніші типи завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Раціональне рівняння: визначення та приклади

Знайомство з раціональними виразами починається у 8 класі школи. У цей час під час уроків алгебри учні дедалі частіше починають зустрічати завдання з рівняннями, які містять раціональні висловлювання у записах. Давайте освіжимо у пам'яті, що це таке.

Визначення 1

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, в обох частинах якого містяться раціональні вирази.

У різних посібниках можна зустріти ще одне формулювання.

Визначення 2

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, запис лівої частини якого містить раціональний вираз, а права – нуль.

Визначення, які ми привели для раціональних рівнянь, є рівнозначними, оскільки говорять про те саме. Підтверджує правильність наших слів той факт, що для будь-яких раціональних виразів Pі Qрівняння P = Qі P − Q = 0будуть рівносильними виразами.

А тепер звернемося до прикладів.

Приклад 1

Раціональні рівняння:

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x - 1 = 2 + 2 7 · x - a · (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Раціональні рівняння так само, як і рівняння інших видів, можуть містити будь-яку кількість змінних від 1 до декількох. Для початку ми розглянемо прості приклади, У яких рівняння будуть містити тільки одну змінну. А потім почнемо поступово ускладнювати завдання.

Раціональні рівняння поділяються на дві великі групи: цілі та дробові. Подивимося, які рівняння ставитимуться до кожної групи.

Визначення 3

Раціональне рівняння буде цілим у тому випадку, якщо в записі лівої та правої його частин містяться цілі раціональні вирази.

Визначення 4

Раціональне рівняння буде дробовим у тому випадку, якщо одна або обидві його частини містять дріб.

Дробно раціональні рівняння в обов'язковому порядкумістять поділ на змінну або змінна є в знаменнику. У записі цілих рівнянь такого поділу немає.

Приклад 2

3 · x + 2 = 0і (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5- Цілі раціональні рівняння. Тут обидві частини рівняння представлені цілими виразами.

1 x - 1 = x 3 та x: (5 · x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5– це дрібно раціональні рівняння.

До цілих раціональних рівнянь можна віднести лінійні та квадратні рівняння.

Вирішення цілих рівнянь

Розв'язання таких рівнянь зазвичай зводиться до перетворення їх на рівносильні рівняння алгебри. Досягти цього можна шляхом проведення рівносильних перетворень рівнянь відповідно до наступного алгоритму:

• спочатку отримаємо нуль у правій частині рівняння, для цього на необхідно перенести вираз, який знаходиться у правій частині рівняння, в його ліву частинута поміняти знак;
• потім перетворимо вираз у лівій частині рівняння в багаточлен стандартного вигляду.

Ми повинні отримати рівняння алгебри. Це рівняння буде рівносильним по відношенню до вихідного рівняння. Легкі випадки дозволяють нам вирішити завдання звести ціле рівняння з лінійному чи квадратному. У загальному випадкуми вирішуємо рівняння алгебри n.

Приклад 3

Необхідно знайти коріння цілого рівняння 3 · (x + 1) · (x - 3) = x · (2 ​​· x - 1) - 3.

Рішення

Проведемо перетворення вихідного виразу з метою отримати рівносильне йому рівняння алгебри. Для цього зробимо перенесення виразу, що міститься у правій частині рівняння, в ліву частину та замінимо знак на протилежний. У результаті отримаємо: 3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 ​​· x - 1) + 3 = 0.

Тепер проведемо перетворення виразу, яке знаходиться в лівій частині в багаточлен стандартного виду і зробимо необхідні дії з цим багаточленом:

3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 ​​· x - 1) + 3 = (3 · x + 3) · (x - 3) - 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас вдалося звести рішення вихідного рівняння до рішення квадратного рівняннявиду x 2 − 5 · x − 6 = 0. Дискримінант цього рівняння позитивний: D = (−5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Це означає, дійсних коренівбуде два. Знайдемо їх, скориставшись формулою коренів квадратного рівняння:

x = - - 5 ± 49 2 · 1

x 1 = 5 + 7 2 або x 2 = 5 - 7 2

x 1 = 6 або x 2 = - 1

Перевіримо вірність коренів рівняння, що ми знайшли у ході рішення. Для цього числа, які ми отримали, підставимо у вихідне рівняння: 3 · (6 + 1) · (6 - 3) = 6 · (2 ​​· 6 - 1) - 3і 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. В першому випадку 63 = 63 , у другому 0 = 0 . Коріння x = 6і x = − 1справді є корінням рівняння, даного за умови прикладу.

Відповідь: 6 , − 1 .

Давайте розберемо, що означає «ступінь цілого рівняння». З цим терміном ми часто зустрічатимемося у тих випадках, коли нам треба буде уявити ціле рівняння у вигляді алгебраїчного. Дамо визначення поняття.

Визначення 5

Ступінь цілого рівняння– це ступінь алгебраїчного рівняння, рівносильного вихідного цілого рівняння

Якщо подивитися на рівняння прикладу, наведеного вище, можна встановити: ступінь даного цілого рівняння другий.

Якби наш курс обмежувався рішенням рівнянь другого ступеня, то розгляд теми можна було б закінчити. Але все не так просто. Вирішення рівнянь третього ступеня пов'язане з труднощами. А для рівнянь вище четвертого ступеня взагалі не існує загальних формулкоріння. У зв'язку з цим рішення цілих рівнянь третього, четвертого та інших ступенів вимагає від нас застосування цілого ряду інших прийомів та методів.

Найчастіше використовується підхід до вирішення цілих раціональних рівнянь, який ґрунтується на методі розкладання на множники. Алгоритм дій у разі наступний:

• переносимо вираз із правої частини в ліву для того, щоб у правій частині запису залишився нуль;
• представляємо вираз у лівій частині як добуток множників, а потім переходимо до сукупності кількох більш простих рівнянь.

Знайдіть розв'язок рівняння (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Рішення

Переносимо вираз із правої частини запису в ліву з протилежним знаком: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Перетворення лівої частини на багаточлен стандартного виду недоцільно у зв'язку з тим, що це дасть нам рівняння алгебри четвертого ступеня: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0. Легкість перетворення не виправдовує всіх труднощів із рішенням такого рівняння.

Набагато простіше піти іншим шляхом: винесемо за дужки загальний множник x 2 − 10 · x + 13 .Так ми прийдемо до рівняння виду (x 2 − 10 · x + 13) · (x 2 − 2 · x − 1) = 0. Тепер замінимо отримане рівняння сукупністю двох квадратних рівнянь x 2 − 10 · x + 13 = 0і x 2 − 2 · x − 1 = 0і знайдемо їх коріння через дискримінант: 5 + 2 · 3, 5 - 2 · 3, 1 + 2, 1 - 2.

Відповідь: 5 + 2 · 3, 5-2 · 3, 1 + 2, 1-2.

Так само ми можемо використовувати метод введення нової змінної. Цей метод дозволяє нам переходити до рівносильних рівнянь зі ступенями нижчими, ніж були ступеня у вихідному цілому рівнянні.

Приклад 5

Чи є коріння у рівняння (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 = − 2 · (x 2 + 3 · x − 4)?

Рішення

Якщо ми зараз спробуємо звести ціле раціональне рівняннядо алгебраїчному, то отримаємо рівняння 4 ступеня, яке не має раціонального коріння. Тому нам буде простіше піти іншим шляхом: ввести нову змінну у, яка замінить у рівнянні вираз x 2 + 3 · x.

Тепер ми працюватимемо з цілим рівнянням (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Перенесемо праву частину рівняння до лівої з протилежним знаком і проведемо необхідні перетворення. Отримаємо: y 2 + 4 · y + 3 = 0. Знайдемо коріння квадратного рівняння: y = − 1і y = − 3.

Тепер проведемо зворотну заміну. Отримаємо два рівняння x 2 + 3 · x = − 1і x 2 + 3 · x = − 3 .Перепишемо їх як x 2 + 3 · x + 1 = 0 x 2 + 3 · x + 3 = 0. Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для того, щоб знайти коріння першого рівняння з одержаних: - 3 ± 5 2 . Дискримінант другого рівняння негативний. Це означає, що справжнього коріння другого рівняння немає.

Відповідь:- 3 ± 5 2

Цілі рівняння високих ступенів трапляються у завданнях досить часто. Лякатися їх не потрібно. Потрібно бути готовим застосувати нестандартний метод їх вирішення, у тому числі ряд штучних перетворень.

Розв'язання дробово раціональних рівнянь

Почнемо розгляд цієї підтеми з алгоритму розв'язання дробово раціональних рівнянь виду p (x) q (x) = 0 , де p(x)і q (x)- Цілі раціональні вирази. Вирішення інших дробово раціональних рівнянь завжди можна звести до розв'язання рівнянь зазначеного виду.

В основу найбільш уживаного методу розв'язання рівнянь p(x)q(x) = 0 покладено таке твердження: числовий дріб u v, де v- Це число, яке відмінно від нуля, дорівнює нулю тільки в тих випадках, коли чисельник дробу дорівнює нулю. Дотримуючись логіки наведеного твердження, ми можемо стверджувати, що рішення рівняння p(x) q(x) = 0 може бути зведене у виконанні двох умов: p(x) = 0і q (x) ≠ 0. На цьому побудовано алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь виду p(x) q(x) = 0:

• знаходимо рішення цілого раціонального рівняння p(x) = 0;
• перевіряємо, чи виконується для коренів, знайдених у ході рішення, умова q (x) ≠ 0.

Якщо ця умова виконується, то знайдений корінь. Якщо ні, то корінь не є рішенням задачі.

Приклад 6

Знайдемо коріння рівняння 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0.

Рішення

Ми маємо справу з дробовим раціональним рівнянням виду p (x) q (x) = 0, в якому p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступимо до вирішення лінійного рівняння 3 · x − 2 = 0. Коренем цього рівняння буде x = 2 3.

Проведемо перевірку знайденого кореня, чи він задовольняє умові 5 · x 2 − 2 ≠ 0. Для цього підставимо числове значенняу вираз. Отримаємо: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0 .

Умова виконується. Це означає що x = 2 3є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: 2 3 .

Є ще один варіант розв'язання дробових раціональних рівнянь p(x)q(x)=0. Згадаймо, що це рівняння рівносильне цілому рівнянню p(x) = 0на області допустимих значеньзмінної x вихідного рівняння. Це дозволяє нам використовувати наступний алгоритм у розв'язанні рівнянь p(x) q(x) = 0:

• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• знаходимо область допустимих значень змінної x;
• беремо коріння, яке лежить в області допустимих значень змінної x , як шукане коріння вихідного дробового раціонального рівняння.

Розв'яжіть рівняння x 2 - 2 · x - 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Рішення

Для початку вирішимо квадратне рівняння x 2 − 2 · x − 11 = 0. Для обчислення його коріння ми використовуємо формулу коренів для парного другого коефіцієнта. Отримуємо D 1 = (−1) 2 − 1 · (− 11) = 12і x = 1 ± 2 3 .

Тепер ми можемо знайти ОДЗ змінної x для вихідного рівняння. Це все числа, для яких x 2 + 3 · x ≠ 0. Це те саме, що x · (x + 3) ≠ 0, звідки x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Тепер перевіримо, чи входять отримані першому етапі рішення коріння x = 1 ± 2 3 в область допустимих значень змінної x . Ми бачимо, що входять. Це означає, що вихідне раціональне дробове рівняння має два корені x = 1 ± 2 3 .

Відповідь: x = 1 ± 2 3

Другий описаний метод вирішення простіше першогоу випадках, коли легко знаходиться область допустимих значень змінної x , а корені рівняння p(x) = 0ірраціональні. Наприклад, 7 ± 4 · 26 9 . Коріння може бути і раціональним, але з великим чисельником або знаменником. Наприклад, 127 1101 і − 31 59 . Це дозволяє заощадити час на проведенні перевірки умови q (x) ≠ 0: набагато простіше виключити коріння, яке не підходить, по ОДЗ

У тих випадках, коли коріння рівняння p(x) = 0цілі, доцільніше використовувати перший із описаних алгоритмів розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 . Швидше одразу знаходити коріння цілого рівняння p(x) = 0, після чого перевіряти, чи виконується для них умова q (x) ≠ 0, а не знаходити ОДЗ, після чого вирішувати рівняння p(x) = 0на цій ОДЗ. Це з тим, що у разі зробити перевірку зазвичай простіше, ніж знайти ОДЗ.

Приклад 8

Знайдіть корені рівняння (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) x 5 - 15 · x 4 + 57 · x 3 - 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0.

Рішення

Почнемо з розгляду цілого рівняння (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) = 0та знаходження його коріння. Для цього застосуємо метод розв'язання рівнянь через розкладання на множники. Виходить, що вихідне рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь 2 · x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 · x + 14 = 0, x + 1 = 0, з яких три лінійних і одне квадратне. Знаходимо коріння: з першого рівняння x = 1 2, з другого – x = 6з третього – x = 7 , x = − 2 , з четвертого – x = − 1.

Проведемо перевірку отриманого коріння. Визначити ОДЗ в даному випадкунам складно, тому що для цього доведеться провести рішення рівняння алгебри п'ятого ступеня. Простіше буде перевірити умову, за якою знаменник дробу, що знаходиться в лівій частині рівняння, не повинен звертатися в нуль.

По черзі підставимо коріння на місце змінної х у вираз x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112і обчислимо його значення:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 12 + ≠ 0;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(−2) 5−15 · (−2) 4 + 57 · (−2) 3 − 13 · (−2) 2 + 26 · (−2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(−1) 5−15 · (−1) 4 + 57 · (−1) 3−13 · (−1) 2 + 26 · (−1) + 112 = 0 .

Проведена перевірка дозволяє нам встановити, що корінням вихідного дробового рацинального рівняння є 1 2 , 6 − 2 .

Відповідь: 1 2 , 6 , - 2

Приклад 9

Знайдіть коріння дробового раціонального рівняння 5 · x 2 - 7 · x - 1 · x - 2 x 2 + 5 · x - 14 = 0.

Рішення

Почнемо роботу з рівнянням (5 · x 2 − 7 · x − 1) · (x − 2) = 0. Знайдемо його коріння. Нам простіше уявити це рівняння як сукупність квадратного і лінійного рівнянь 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0і x − 2 = 0.

Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для пошуку коренів. Отримуємо з першого рівняння два корені x = 7 ± 69 10 , а з другого x = 2.

Підставляти значення коріння у вихідне рівняння для перевірки умов нам буде досить складно. Простіше буде визначити ОДЗ змінної x. В даному випадку ОДЗ змінної x - це все числа, крім тих, для яких виконується умова x 2 + 5 · x − 14 = 0. Отримуємо: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Тепер перевіримо, чи належать знайдене нами коріння до області допустимих значень змінної x .

Коріння x = 7 ± 69 10 - належать, тому вони є корінням вихідного рівняння, а x = 2– не належить, тому це сторонній корінь.

Відповідь: x = 7 ± 69 10 .

Розберемо окремо випадки, коли у чисельнику дробового раціонального рівняння виду p(x)q(x) = 0 знаходиться число. У таких випадках, якщо в чисельнику знаходиться число, відмінне від нуля, то рівняння не матиме коріння. Якщо це число дорівнюватиме нулю, то коренем рівняння буде будь-яке число з ОДЗ.

Приклад 10

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Рішення

Дане рівняння не матиме коренів, тому що в чисельнику дробу з лівої частини рівняння знаходиться відмінне від нуля число. Це означає, що при жодних значеннях x значення наведеного в умові завдання дробу не дорівнюватиме нулю.

Відповідь:немає коріння.

Приклад 11

Розв'яжіть рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Рішення

Так як в чисельнику дробу знаходиться нуль, розв'язуванням рівняння буде будь-яке значення x з ОДЗ змінної x .

Тепер визначимо ОДЗ. Воно буде включати всі значення x , за яких x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Рішеннями рівняння x 4 + 5 · x 3 = 0є 0 і − 5 , так як це рівняння рівносильне рівнянню x 3 · (x + 5) = 0, а воно у свою чергу рівносильне сукупності двох рівнянь x 3 = 0 x + 5 = 0, звідки і видно це коріння. Ми приходимо до того, що областю допустимих значень є будь-які x , крім x = 0і x = − 5.

Виходить, що дробове раціональне рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 має нескінченна безлічрішень, якими є будь-які числа крім нуля та - 5 .

Відповідь: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Тепер поговоримо про дробові раціональні рівняння довільного виду та методи їх вирішення. Їх можна записати як r(x) = s(x), де r(x)і s(x)– раціональні висловлювання, причому хоча б один із них дробовий. Розв'язання таких рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 .

Ми вже знаємо, що ми можемо отримати рівносильне рівняння при перенесенні виразу з правої частини рівняння до лівого з протилежним знаком. Це означає, що рівняння r(x) = s(x)рівносильне рівняння r(x) − s(x) = 0. Також ми вже розібрали способи перетворення раціонального вираження на раціональний дріб. Завдяки цьому ми легко можемо перетворити рівняння r(x) − s(x) = 0в тотожний йому раціональний дріб виду p (x) q (x) .

Так ми переходимо від вихідного дробового раціонального рівняння r(x) = s(x)до рівняння виду p (x) q (x) = 0, вирішувати які ми вже навчилися.

Слід враховувати, що під час проведення переходів від r(x) − s(x) = 0 p (x) q (x) = 0 , а потім до p(x) = 0ми можемо не враховувати розширення області допустимих значень змінної x.

Цілком реальна ситуація, коли вихідне рівняння r(x) = s(x)та рівняння p(x) = 0внаслідок перетворень перестануть бути рівносильними. Тоді рішення рівняння p(x) = 0може дати нам коріння, яке буде стороннім для r(x) = s(x). У зв'язку з цим у кожному випадку необхідно проводити перевірку будь-яким із описаних вище способів.

Щоб полегшити роботу з вивчення теми, ми узагальнили всю інформацію в алгрітм рішення дробового раціонального рівняння виду r(x) = s(x):

• переносимо вираз із правої частини з протилежним знаком і отримуємо праворуч нуль;
• перетворимо вихідний вираз у раціональний дріб p (x) q (x) , послідовно виконуючи дії з дробами та багаточленами;
• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• виявляємо стороннє коріння шляхом перевірки їх належності ОДЗ або методом підстановки у вихідне рівняння.

Візуально ланцюжок дій виглядатиме так:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → відс і в а н і е п о с т о р о н і х к о р н й

Приклад 12

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння x x + 1 = 1 x + 1 .

Рішення

Перейдемо до рівняння x x + 1 – 1 x + 1 = 0 . Перетворимо дробовий раціональний вираз у лівій частині рівняння до виду p(x)q(x).

Для цього нам доведеться навести раціональні дробидо спільному знаменникуі спростити вираз:

x x + 1 - 1 x - 1 = x · x - 1 · (x + 1) - 1 · x · (x + 1) x · (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Для того, щоб знайти коріння рівняння - 2 · x - 1 x · (x + 1) = 0 нам необхідно вирішити рівняння − 2 · x − 1 = 0. Отримуємо один корінь x = - 1 2.

Нам залишилося виконати перевірку будь-яким із методів. Розглянемо їх обоє.

Підставимо отримане значення у вихідне рівняння. Отримаємо - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Ми прийшли до правильного числовій рівності − 1 = − 1 . Це означає що x = − 1 2є коренем вихідного рівняння.

Тепер проведемо перевірку через ОДЗ. Визначимо область допустимих значень змінної x. Це буде безліч чисел, за винятком − 1 і 0 (при x = − 1 і x = 0 перетворюються на нуль знаменники дробів). Отриманий нами корінь x = − 1 2належить ОДЗ. Це означає, що він є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: − 1 2 .

Приклад 13

Знайдіть корені рівняння x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Рішення

Ми маємо справу з дрібним раціональним рівнянням. Отже, діятимемо за алгоритмом.

Перенесемо вираз із правої частини до лівої з протилежним знаком: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = 0

Проведемо необхідні перетворення: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Приходимо до рівняння x = 0. Корінь цього рівняння – нуль.

Перевіримо, чи це корінь стороннім для вихідного рівняння. Підставимо значення вихідне рівняння: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0 . Як бачите, отримане рівняння не має сенсу. Це означає, що 0 – це сторонній корінь, а вихідне дробове раціональне рівняння коренів немає.

Відповідь:немає коріння.

Якщо ми не включили в алгоритм інші рівносильні перетворення, це зовсім не означає, що ними не можна користуватися. Алгоритм універсальний, але він створений для того, щоб допомагати, а не обмежувати.

Приклад 14

Розв'яжіть рівняння 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Рішення

Найпростіше буде вирішити наведене дробове раціональне рівняння згідно з алгоритмом. Але є й інший шлях. Розглянемо його.

Віднімемо від правої та лівої частин 7, отримуємо: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24 .

Звідси можна зробити висновок, що вираз у знаменнику лівої частини має дорівнювати числу, зворотному числуз правої частини, тобто 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Віднімемо з обох частин 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . За аналогією 2 + 1 5 - x 2 = 7 3 , звідки 1 5 - x 2 = 1 3 і далі 5 - x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведемо перевірку для того, щоб встановити, чи є знайдене коріння корінням вихідного рівняння.

Відповідь: x = ±2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Розглянемо рівняння.
31x 3 – 10x = (x – 5) 2 + 6x 2
І ліва та права частини рівняння є цілими виразами.
Нагадаємо, що подібні рівняння називаються цілими рівняннями.
Повернемося до нашого початкового рівняння та розкриємо дужки, використовуючи формулу квадрата різниці.
Перенесемо всі члени рівняння до лівої частини і наведемо подібні члени.
Вирази «мінус десять ікс» та «плюс десять ікс» взаємно знищуються.
Після приведення подібних членів отримуємо рівняння, у лівій частині якого стоїть багаточлен стандартного виду (у загальному виглядіназиватимемо його «Пе від ікс»), а в правій частині - нуль.
Щоб визначити ступінь цілого рівняння, необхідно привести його до вигляду пе від ікс і нулю, тобто до рівняння, в лівій частині якого стоїть багаточлен стандартного виду, а в правій - нуль.
Після цього необхідно визначити рівень багаточлена пе від ікс. Це і буде мірою рівняння.
Розглянемо приклад. Спробуємо визначити ступінь даного рівняння.
Розкриємо дужки, використовуючи формулу квадрата суми.
Далі перенесемо всі члени рівняння до лівої частини і наведемо подібні члени.
Отже, ми отримали рівняння, у лівій частині якого багаточлен стандартного виду другого ступеня, а правої нуль. Це означає, що рівень даного рівняння – друга.
Від рівня рівня залежить скільки коренів воно має.
Можна довести, що рівняння першого ступеня має один корінь, рівняння другого ступеня має не більше двох коренів, рівняння третього ступеня – не більше трьох коренів тощо.
Ступінь рівняння також підказує нам, як можна це рівняння вирішити.
Наприклад, рівняння першого ступеня ми приводимо до вигляду а ікс плюс бе рівно це, де а не дорівнює нулю.
Рівняння другого ступеня ми приводимо до рівносильному рівнянню, у лівій частині якого квадратний тричлен, а правій - нуль. Таке рівняння вирішується з допомогою формули коренів квадратного рівняння чи теореми Виета.
Для вирішення рівнянь вищих ступенів універсального способу немає, але є основні методи, які ми розглянемо на прикладах.
Вирішимо рівняння третього ступеня ікс третього ступеня мінус вісім ікс другою мірою мінус ікс плюс вісім дорівнює нулю.
Щоб розв'язати дане рівняння, розкладемо його ліву частину на множники способом угруповання і скориставшись формулою різниці квадратів.
Далі необхідно згадати, що добуток дорівнює нулі, коли один із множників дорівнює нулю. На підставі цього робимо висновок, що або ікс мінус 8 дорівнює нулю, або ікс мінус 1 дорівнює нулю, або ікс плюс один нулю. Отже, корінням рівняння будуть числа мінус один, один та вісім.
Іноді для вирішення рівнянь ступеня вище за другий зручно використовувати введення нової змінної.
Розглянемо такий приклад.
Якщо розкрити дужки, перенести всі члени рівняння в ліву частину, навести подібні члени і уявити ліву частину рівняння як многочлена стандартного виду, то жоден з відомих нам способів допоможе вирішити це рівняння. У такому разі варто звернути увагу на те, що в обох дужках є однакові вирази.
Саме цей вислів ми й позначимо новою змінною ігрикою.
Тоді наше рівняння зведеться до рівняння зі змінною ігрок.
Далі просто розкриємо дужки і перенесемо всі члени рівняння у ліву частину.
Наведемо такі члени і отримаємо вже знайоме нам квадратне рівняння.
Неважко знайти коріння цього рівняння. Гравець один дорівнює шести, ігрик два дорівнює мінус шістнадцяти.
Тепер повернемося до початкового рівняння, виконавши зворотну заміну.
Спочатку за іграк ми приймали вираз два ікс у квадраті мінус ікс. Оскільки у нас два значення змінної ігорок, ми отримуємо два рівняння. У кожному рівнянні переносимо всі члени в ліву частину, розв'язуємо два квадратних рівняння. Корінням першого рівняння є числа мінус одна ціла п'ять десятих і два, а друге рівняння коренів немає, оскільки його дискримінант менше нуля.
Отже, рішенням цього рівняння четвертого ступеня є числа мінус одна ціла п'ять десятих і два.
p align="justify"> Особливе місце в класифікації цілих рівнянь має рівняння виду а ікс в четвертому ступені плюс бе ікс в другому ступені плюс це дорівнює нулю. Рівняння такого виду називають біквадратним рівнянням.
Вирішувати подібні рівняння можна за допомогою заміни змінної.
Розглянемо з прикладу.
У цьому рівнянні позначимо ікс квадрат через іграк. При цьому варто звернути увагу, що змінна ігрик не може набувати негативних значень.
Отримаємо квадратне рівняння, корінням якого є числа одна двадцять п'ята та одна.
Виконаємо зворотну заміну.
Коріння першого рівняння: одна п'ята та мінус одна п'ята, а коріння другого: один та мінус один.
Таким чином, ми знайшли чотири корені вихідного біквадратного рівняння.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Тема: « Ціле рівняння та його коріння»
Цілі уроку:

освітні: систематизація та узагальнення, розширення та поглиблення знань учнів за рішенням цілих рівнянь з однією змінною вище другого ступеня;

розвиваючі : розвиток особистості учня через самостійну творчу роботу, розвиток ініціативи учнів; забезпечення сталого мотиваційного інтересу до теми, що вивчається; розвиток уміння узагальнювати, правильно відбирати способи розв'язання рівняння;

виховні: розвиток інтересу до вивчення математики, підготовка учнів до застосування знань у нестандартної ситуації; виховувати волю та наполегливість для досягнення кінцевих результатів

Завдання уроку:

освітні: закріпити вміння та навички вирішувати рівняння вищих ступенівз використанням різних прийомів, у нестандартних ситуаціях

розвиваючі : розвинути вміння у застосуванні знань у конкретній ситуації; в проблемної ситуації; вміння логічно милити, вміння узагальнювати, конкретизувати, правильно викладати думки;

виховні: виховати інтерес до предмета через зміст навчального матеріалу; вміння працювати в колективі; взаємодопомога культуру спілкування, вміння застосовувати наступність у вивченні окремих тем; виховати наполегливість у досягненні мети, уміння не розгубитися у нестандартній ситуації

Устаткування: проектор, презентація, картки із завданнями.

Очікуваний результат : Кожен учень повинен знати способи розв'язання цілих рівнянь з однією змінною вище другого ступеня і вміти застосувати для вирішення рівнянь.

Хід уроку.

I. Орг. момент. Здрастуйте, хлопці. Нам доведеться попрацювати над дуже важливою темою: "Рішення квадратних рівнянь". Ви вже достатньо знаєте та вмієте з цієї теми, тому наше з вами завдання: узагальнити та скласти в систему всі ті знання та вміння, якими ви володієте.

Девіз нашого уроку: «Що більше я знаю, то більше вмію.»

Епігаф уроку:

Хто нічого не помічає,

Той нічого не вивчає.

Хто нічого не вивчає,

Той вічно пхикає і нудьгує.

(Поет Р. Сеф).

Сьогодні кожен з вас має можливість отримати оцінку за урок за результатами роботи на різних етапах. Для цього у вас на партах лежать карти результативності, в які ви фіксуватимете свій успіх у балах. Бажаю всім удачі.

Мапа результативності.

II . Приступимо до роботи. Для того, щоб включитися в роботу та сконцентруватися, пропоную вам невелику усну розминку. Але питання будуть не тільки на тему уроку, перевіряємо вашу увагу та вміння перемикатися. За кожну правильну відповідь у колонку “Розминка” ви за моєю вказівкою ставите 1 бал.

1. Яка назва має рівняння другого ступеня?

2. Від чого залежить кількість коренів квадратного рівняння?

3 Скільки коренів має квадратне рівняння, якщо D більше 0?

4. Дуже погана оцінказнань?

5. Що означає розв'язати рівняння?

6. Як називається квадратне рівняння, у якого перший коефіцієнт – 1?

7. Скільки разів на рік встає сонце?

8. Скільки коренів має квадратне рівняння, якщо дискримінант менший за 0?

9. Є у будь-якого слова, рослини і може бути в рівняння?

Попрошу відкрити зошити, записати число та тему сьогоднішнього уроку.

"Ціле рівняння та його коріння".

Рівняння з давніх-давен хвилювали уми людства. З цього приводу у англійського поетасередніх віків Чосера є чудові рядки,

За допомогою рівнянь, теорем

Я багато всяких вирішив проблем.

Квадратні рівняння також не виняток. Вони дуже важливі і для математики та інших наук.

Тепер перевіримо, наскільки добре ви вмієте визначати види квадратних рівнянь. До вашої уваги пропонується тест, в якому записано п'ять рівнянь. Навпроти кожної колонки ви ставите плюс, якщо воно належить до цього виду.

Тест “ Види квадратних рівнянь”

Критерій оцінювання :

Немає помилок – 5 б.

1 – 2 ош. - 4б.

3 – 4 ош. - 3б.

5 – 6 ош. - 2б.

Понад 6 ош. - 0 б.

Хлопці виконують роботу, а потім змінюються листочками та по ключу перевіряють відповіді, оцінюючи роботу товариша. Результат записується в колонку "Оціночний бал", а потім у "Карту результативності".

Ключ до тесту:

Молодці. З видами квадратних рівнянь ми розібралися. До речі, а знаєте, коли з'явилися перші квадратні рівняння?

Дуже давно. Їх вирішували у Вавилоні близько 2000 років до нашої ери. Італійський вчений Леонард Фібоначчі виклав формули квадратного рівняння. І лише в 17 столітті, завдяки Ньютону, Декарту та іншим вченим ці формули набули сучасного вигляду.

ІІ. Переходимо до теорії

Що називається рівнянням? (Рівність, що містить невідому, значення якої потрібно знайти, називається рівнянням з однією змінною)

Що називається коренем рівняння? (Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне числове рівність.)

Що означає розв'язати рівняння? (Знайти все його коріння або довести, що коріння немає.)

Я вам пропоную вирішити кілька рівнянь усно (презентація).

А) x 2 = 0 е) x 3 - 25x = 0

Б) 3x - 6 = 0 ж) x (x - 1) (x + 2) = 0

В) x 2 - 9 = 0 з) x 4 - x 2 = 0

Г) х 2 = 1/36 і) х 2 - 0,01 = 0,03

Д) x 2 = - 25 к) 19 - c 2 = 10

Скажіть, що поєднує ці рівняння? (одна змінна, цілі рівняння)

Що називається цілим рівнянням із однією змінною? (Рівняння, в яких ліва і права частинає цілими виразами)

Скільки коренів може мати ціле рівняння з одним змінним 2-го, 3-го, 4-го, п-ого ступеня (не більше 2, 3, 4, п)

Які способи розв'язання цілих рівнянь вище другого ступеня ви знаєте. *Метод розкладання на множники. Спосіб угруповання.Введення нової змінної.

IV . Переходимо до розв'язання рівнянь.

Розв'яжіть рівняння

1. 9 x³-27x²=0

2. х 4 -6х 2 +5 = 0 (як називають це рівняння-біквадратне)

3. (х²-10)²- 3(х²-10)-4=0

4. х 3 -3х 2 -3х +9 = 0

V. Самостійна робота.

Завдання для різного рівня самостійної роботи. (1 група

1. Вирішити рівняння

а)-3(х+5)=5(х-1)-2

б) х 3 -49х = 0

Завдання для різнорівневої самостійної роботи. (2 група

1.Вирішити рівняння х 4 -11х 2 +18 = 0

2.Вирішити рівняння х 3+2х2-4х-8=0

Після виконання взаємоперевірки Учні аналізують свою роботу, висловлюють вголос свої труднощі та обговорюють правильність рішення. Учні ставлять оцінки самостійної роботи.

VI. Рефлексія.

Мета Дати якісну оцінкуроботи класу та окремих учнів. По карті результативності виставити оцінки. Підбиття підсумків.

Що ви сьогодні робили?

Яку мету ви ставили перед собою?

Ви досягли мети?

VII. . Домашнє завдання

Мета Забезпечення розуміння дітьми змісту та способів виконання домашнього завдання

Відеоурок «Ціле рівняння та його коріння» дає уявлення про ціле рівняння, види таких рівнянь, приведення рівняння до стандартного вигляду, розв'язанні подібних рівнянь Завдання даного відеоуроку - полегшити засвоєння матеріалу на цю тему, формувати вміння вирішувати завдання, у яких використовуються цілі рівняння, сприяти запам'ятовування навчального матеріалу.

Оформлення наочного матеріалуу вигляді уроку дає можливість замінити вчителі у частині подачі стандартного блоку нового матеріалу, звільнити вчителі для поглиблення індивідуальної роботи. Відеоматеріал допомагає сконцентрувати увагу учнів на освоєнні нового матеріалу, допомагає глибше зрозуміти і краще запам'ятати.

Відеоурок починається з подання теми уроку. На екрані відображається визначення цілого рівняння, що містить одну змінну, як рівняння, обидві частини якого є цілі вирази. Нижче наведено приклади таких рівнянь: (х 5 -2) 2 + х 3 = х 10 -3(х-2), х 3 (х 3 -36) = 2 (х +8)-2. Далі розглядається перетворення рівнянь, при якому всі його складові переносяться з правої частини в ліву, розкриваються дужки та наводяться подібні доданки. Після цього рівняння набуває вигляду, в якому ліва його частина є багаточленом, а правій частині - 0. Зазначається, що в ході перетворень виходить рівняння, рівносильне даному. До того ж рівняння, якого наведено вихідне, у вигляді можна записати: Р(х)=0, де Р(х) - многочлен стандартного виду.

Розглянуті приклади підводять до загальному висновкупро те, що будь-яке ціле рівняння, що містить одну змінну, може бути приведено до виду Р(х) = 0, де Р(х) - багаточлен, ступінь якого є ступенем рівняння. Тобто ступінь деякого цілого довільного рівняння може бути визначена після приведення його до рівносильного рівняння виду Р(х)=0 і дорівнює ступеня многочлена Р(х).

Далі розглядається рівняння першого ступеня - таке рівняння, яке наводиться до виду ах + b = 0 з однією змінною х, числами і b, при цьому а ≠0. Корінь даного рівняння знаходиться за формулою =-b/a. Наголошується, що таке рівняння має один корінь.

Також пропонується розглянути рішення рівняння другого ступеня, яке наводиться до виду ах 2 +bx+c=0, що містить змінну х, деякі числа а, b, c при цьому а ≠0. Відомий спосіб знаходження коренів цього рівняння шляхом обчислення дискримінанта. На екрані відображається формула знаходження дискримінанта рівняння другого ступеня: D=b 2 -4ac. Залежно від значення дискримінанта може бути два корені рівняння - D>0, один - для D=0, або коріння відсутні D<0. Напоминается формула для нахождения корней уравнения второй степени при положительном или нулевом дискриминанте: х=(-b+-√D)/2a.

Учням видаються також рівняння третього та четвертого ступеня, які наводяться до видів ах 3 + bx 2 + cх + d = 0 і ах 4 + bx 3 + cх 2 + dх + e = 0. У кожному з цих рівнянь є одна змінна х, коефіцієнт за старшого ступеня a≠0, інші коефіцієнти - деякі числа. Уточнюється, що рівняння третього ступеня не може мати більше трьох коренів, а рівняння четвертого ступеня має не більше чотирьох коренів. Як додаткова інформація учням повідомляється, що формули для знаходження коренів рівнянь третього та четвертого ступеня існують, але вони громіздкі та незручні у застосуванні, а для рівнянь п'ятого ступеня і вище формул для знаходження коріння не існує. Однак вирішити такі рівняння іноді вдається за допомогою спеціальних прийомів, які дозволяють спростити вираз і знайти коріння.

На прикладі демонструється один із способів, як можна знайти коріння рівняння, не застосовуючи складних формул знаходження коренів. Описується, яким чином розв'язання деяких рівнянь можна знайти за допомогою розкладання багаточлена на множники. Рівняння х3-27x2-х+27=0 розкладається на множники, вивівши за дужки загальний множник (х-27). В результаті перетворень отримаємо твір (х-27)(х-1)(х+1)=0 Отримане рівняння зводиться до знаходження рішень трьох рівнянь х-27, х-1, х+1. З цих рівнянь легко знайти коріння х 1 = 27, х 2 = 1, х 3 = -1.

Далі розглядається ще один спосіб розв'язання рівнянь високого ступеня - спосіб запровадження нової змінної. Застосування способу описується з прикладу рішення рівняння (х 2 +х-1)(х 2 +х-4)=-2. Спочатку всі члени рівняння переносяться у ліву частину, розкриваються дужки. Після цих перетворень виходить многочлен стандартного типу 4 ступеня. Однак, помітивши особливість даного рівняння - те, що у вихідному рівнянні є однакові частини х 2 + х, вводимо нову змінну позначення цього виразу: х 2 + х = у. після підстановки нової змінної рівняння, отримаємо рівняння виду (у-1)(у-4)=-2. Після приведення рівняння до стандартного виду виходить звичайне квадратне рівняння, корінням якого будуть у 1 = 2, у 2 = 3. Значення коренів у підставимо вираз визначення значення шуканих х. Знаходження коріння рівняння зводиться до розв'язання двох рівнянь х 2 +х=2 та х 2 +х=3. В результаті обчислень будуть знайдені корені даних рівнянь будуть х 1 = 1, х 2 = -2, х 3 ≈1,3, х 4 ≈-2,3. Зазначається, що даним способом нерідко вирішують рівняння четвертого ступеня виду ax 4 +bx 2 +c=0, в яких є змінною, a, b, c - деякими числами, де а≠0. На екрані дається визначення біквадратного рівняння як рівняння четвертого ступеня виду ax4+bx2+c=0са≠0.

Для закріплення отриманих знань про розв'язання рівнянь способом запровадження нових змінних пропонується розглянути рішення біквадратного рівняння 16х4-8х2+1=0. Вводиться нова змінна у = х 2 . Після її введення утворюється квадратне рівняння, що має один корінь =0,25. Після підстановки значення нової змінної у вираз її визначення можна знайти коріння рівняння х 1 =0,5 і х 2 =-0,5.

Відеоурок «Ціле рівняння та його коріння» докладно і наочно представляє учням матеріал з даної теми, тому може бути використаний вчителем не тільки на уроці в школі, але також при дистанційному навчанні, що рекомендується для самостійного освоєння теми.