Формула гауса остроградського та її фізичний зміст. Застосування цієї формули

І тому якщо ви зайшли з пошукової системи, то, будь ласка, почніть з першої частини, де ми докладно розібрали і вирішили важливе завдання. А саме знайшли потік векторного полячерез замкнуту поверхню у бік її зовнішньої нормалі:

У ході довгого-довгого рішення нами була отримана відповідь, що в рамках умовної гідродинамічної моделі означає наступне: скільки рідини в одиницю часунадійшло до піраміди – стільки з неї і витекло.

Однак так буває далеко не завжди, і на практиці потік часто виходить позитивним чи негативним. Замислимося над змістовним змістом цих результатів і для більшої наочності розглянемо не піраміду, а шматок річки, обмежений зовнішньо-орієнтованоюповерхнею та поле швидкостей цієї річки в області.

Припустимо, що потік через замкнуту поверхню виявився позитивним: . Що це означає? Це означає, що за одиницю часуз області рідини витекло БІЛЬШЕ, ніж туди надійшло. Отже, в області десь є джерело(і)поля. Це може бути, наприклад, притока річки, яка збільшує її швидкість, або просто хтось вилив відро води.

Негативне значенняпотоку через замкнуту поверхню говорить нам про те, що за одиницю часуобласть "поглинула" рідина (зайшло більше, ніж вийшло). І причина тому – стік(и)поля у цій галузі. Наприклад, підземна печера або насос, що викачує воду.

І, нарешті, за нульового потоку можливі дві ситуації: або в області ні джерелі стоківабо вони компенсують один одного.

До речі, взаємна компенсація найчастіше має місце й у перших двох випадках. Так, наприклад, якщо, то це ще не означає, що стоків немає. Можливо, джерела виявилися потужнішими, і за підсумком за одиницю часучерез поверхню виплеснулося 5 одиниць рідини.

І тому виникає інтерес з'ясувати, чи є у векторного поля джерела / стоки, і якщо є – то де. І це нам допоможе акваланг хитра наука під назвою математичний аналіз.

Розглянемо деяку точку області та її нескінченно малузамкнуте околиця (наприклад, сферу чи куб). Потік векторного поля через поверхнюцієї околиці у зовнішньомунапрямку називається дивергенцієюполя в даної точки, і позначається через . І ось тут уже нікуди не подітися від викриття:

– якщо , то векторне поле має джерелоу цій точці (її нескінченно малої околиці);

- якщо то стік;

- І якщо, то в точці немає джерел та стоків.

Далі. Як знайти цю дивергенцію?Якщо в кожній точціобласті визначено векторне поле та його компоненти диференційовані у цих точках, то скалярна функціядивергенції має наступний вигляд:

або, як записують коротше:

Таким чином, в області векторному полю ставиться у відповідність скалярне поле його дивергенція.

І тут одразу можна виділити особливий випадок. Поле, дивергенція якого дорівнює нулю У ВСІХточках області, називається бездивергентнимабо соленоїдальним. Це означає, що він не має джерел і стоків. Як приклад часто наводять трубу-«бублик» з циркулюючоїводою, яка нікуди не зникає, та нової водитам не з'являється. Але ще більше показовий приклад- це магнітне поле з його замкнутими силовими лініями, у яких немає початку та кінця.

Добре. Функція дозволяє нам обчислити дивергенцію в окремо взятих точках і виникає питання: а чи можна підрахувати сумарну дивергенцію по всьому тілу?

…Ви коли-небудь думали, що будете так раді потрійним інтегралам? =)

Повернемося до епічного Приклад 1, де ми вийшов нульовий потік через піраміду, і обчислимо дивергенцію векторного поля . Очевидно, що саме поле та похіднійого компонент визначено у піраміді , а й у всьому просторі:

Складемо скалярну функцію дивергенції, або як частіше кажуть – знайдемо дивергенцію:

Отримана функція кожної точки простору ставить у відповідність нуль, значить векторне поле всюди соленоїдально. За формулою Гауса-Остроградського, потік векторного поля через зовнішній бікпіраміди дорівнює:

Примітка : т.к. поле бездивергентне у всьому просторі, то потік дорівнює нулюі через будь-яку замкнуту поверхню

Засмучуватися, однак, не варто, оскільки якщо вже від вас зажадали обчислити потік першим способом, то нікуди не подітися =) А вимагають, між іншим, частенько.

І тут ще потрібно наголосити на наступному: якщо ви обчислили потік через замкнуту поверхню, і у вас вийшов нуль, то це ще не означає, що в області немає джерел та стоків. Вони можуть існувати, але компенсувати один одного. І перший спосіб вирішення не дає нам відповіді на це запитання.

Тому вирішуємо другий приклад другим способом:)

Приклад 2

Перевірити, чи векторне поле буде соленоїдальним, і знайти його потік через замкнуту поверхню за формулою Гауса-Остроградського

Результати мають збігтися. Звертаю увагу, що перевірка поля на соленоїдальністьє невід'ємною частиною завдання, і це питання потрібно дати аргументований письмовій відповідь. Зразковий зразок рішення наприкінці уроку, і що приємно – завдання можна оформити у мінімалістичному стилі, без зайвих позначень і навіть запису самої формули.

Ну а тепер я розповім вам, а точніше нагадаю універсальний методзнаходження нормальних векторів поверхні:

Приклад 3

Дано векторне поле і замкнута поверхня. Обчислити потік векторного поля через цю поверхню у напрямку зовнішньої нормалі:

а) безпосередньо;
б) за формулою Гауса-Остроградського.

Поширене формулювання, що дозволяє ще раз усвідомити всю цінність формули =)

Рішення: креслення тут простий:

але ось рішення - "труба" =)

а) Знайдемо потік векторного поля через повну поверхнюциліндра у напрямку зовнішньої нормалі безпосередньо. В силу адитивностіповерхневого інтегралу:

– бічна поверхня циліндра ;
- Його нижня основа (поодиноке коло в площині);
- І верхня основа (поодиноке коло в площині).

1) Циліндрична поверхня паралельна осі та виникає питання, як знайти її вектори нормалі? Дуже просто. Вектор нормалі до поверхніу точці задається так:

В даному випадку:

Таким чином, ми отримуємо цілу функцію нормальних векторів для різних точокциліндра:

Але нам потрібні поодинокі вектори. Вони розшукуються стандартно:

Контроль:

Так, переконаємося, що вони дивляться зовні. Для цього можна взяти кілька конкретних точок поверхні (найпростіше в площині) і подивитися, які вектори будуть виходити. Так, наприклад, для крапки отримуємо:
- все ОК. Власне, цей вектор як приклад і зображений на кресленні. Самостійно перевірте інші точки, і переконайтеся, що виходять вектори потрібного напрямку.

і зведемо рішення до поверхового інтегралу 1-го роду:

У цьому випадку площина не підходить для проектування. Чому? Тому що циліндрична поверхня спроектується в коло нульової площіі вийде нуль. Але з бічної поверхні стирчать вектори поля, і через неї запросто може йти потік!

Тому в нашому розпорядженні залишаються дві координатні площини, я оберу для проектування більш наочну передню площину . І тут виникає інша проблема – циліндричну поверхню, Отже, і отриманий інтеграл 1-го роду доведеться розділити на 2 частини:
, де:

- Близький до нас шматок циліндра, а - Далекий його шматок.

Проведемо обчислення для першого інтегралу:

Використовуємо відповідну формулу:
, де:

За формулою:

Проекція на площину очевидна:

Виберемо наступний порядок обходу області:

При обчисленні другого інтеграла вийде такий самий результат:

Таким чином:

Це я навів довге спільне рішення(про всяк випадок), але насправді тут є короткий і витончений шлях - у суму інтегралів можна відразу підставити і :

і, відповідно, геометричному змісту цих інтегралів, дана сумадорівнює площі бічної поверхні циліндра:

Знання – сила =)

2) Обчислимо потік векторного поля через орієнтованийодиничне коло.

З нормаллю та скалярним творомвсе просто:

а з поверхневим інтегралом – ще простіше:
, оскільки

3) Третій інтеграл починається схоже:

Використовуємо формулу , у разі:

Проекція (Поверхні на площину)є коло площі , і відповідно геометричному змісту інтегралу :

І, нарешті, потік через всю поверхню:

Відповідь:

Що, до речі, означає цей результат? Позитивний потік через зовнішню поверхню означає, що усередині циліндра є джерела поля. Інакше, звідки б там узятись одиницям рідини, що витікли назовні? (за одиницю часу)

б) Розв'яжемо задачу за формулою Гауса-Остроградського:

І, перш за все, тут потрібно переконатися, що компоненти та їх похідні визначено у всіхточок тіла. В іншому випадку формулу застосовувати не можна!Повинен попередити, що це не порожня формальність – на практиці зустрічаються поля з корінням та логарифмами, і ось там можуть бути проблеми.

Складемо функцію дивергенції:
, яку дуже корисно проаналізувати:

У разі збільшення «зет» від 0 до 2 дивергенція суворо позитивна і наростає. Це означає, що, по-перше, всередині циліндра знаходяться виключно джерела поля. І, по-друге, джерела посилюються, тобто. поточна знизу вгору рідина починає розганятися. Тому одразу можна сказати, що потік через зовнішню поверхню буде позитивним. У чому ми зараз ще раз переконаємось аналітично:

Оскільки проекція тіла на площину є коло одиничного радіусу (креслити вже не буду), то зручно перейти до циліндричної системи координат:

Таким чином, за допомогою «ро», «тета» та «фі» можна однозначно визначити будь-яку точку простору.

Де використовується сферична система координат? Ну, звісно, ​​в астрономії. Але своє скромне застосування вона знайшла і при

Гауса формули

1) Квадратурні Р. ф. - Формули виду

в яких вузли x kта коефіцієнти Якне залежать від функції f(x)і вибрані так, що формула точна (тобто. R n= 0) для довільного багаточлена ступеня 2n - 1. На відміну від квадратурних формул Ньютона - Котеса, вузли в квадратурних Р. ф., взагалі кажучи, не є рівновідданими. Якщо р(х) ≥ 0і

то для будь-якого натурального nє єдина квадратурна Р. ф. Ці формули мають велике практичне значення, т.к. у ряді випадків вони дають значно більшу точність, ніж квадратурні формули з тим самим числом рівновіддалених вузлів. Сам Гаус досліджував (1816) випадок р(х) ≡ 1.

2) Г. ф., що виражає повну кривизну (Див. Повна кривизна) До поверхні через коефіцієнти її лінійного елемента; у координатах, для яких ds 2 = λ(du 2 + dv 2), Р. ф. має вигляд

Ця формула була опублікована в 1827 році і показує, що повна кривизна не змінюється при згинанні поверхні. Вона становить зміст однієї з основних пропозицій створеної Гаусом внутрішньої геометрії поверхні.

3) Р. ф. для сум Гауса:

Ця формула була використана Гаусом (1801) в одному з доказів закону взаємності квадратичних відрахувань.

де рі q- непарні прості числа, а символ Лежандра. Вона стала першим прикладом застосування методу тригонометричних сум у теорії чисел. Цей метод був розвинений далі в роботах Г. Вейля і особливо І. М. Виноградов а і є одним з найбільш потужних методів аналітичної теоріїчисел.

С. Б. Стєчкін.

Велика радянська енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Гаусса формули" в інших словниках:

Основна теорема електростатики, що встановлює зв'язок потоку напруженості Е електрич. поля через замкнуту поверхню S з величиною заряду q, що знаходиться усередині цієї поверхні. У Гаусса система одиниць divE=4pq. (1) Г. т. витікає з Кулона ... Фізична енциклопедія

Сферичний трикутник. Формули Деламбра у сферичній тригонометрії виражають співвідношення між усіма шістьма елементами сферичного трикутника трьома сторонами та трьома кутами. Опис Фор … Вікіпедія

Формули інтегрального обчисленняфункцій багатьох змінних, що зв'язують значення га кратного інтеграла по області D n мірного евклідова простору і кратного інтеграла по кусково гладкій межі цієї області. Р. ф. виходять інтегруванням … Математична енциклопедія

Зліва направо: поверхня з негативною гаусовою кривизною (гіперболоїд), поверхня з нульовою гаусовою кривизною (циліндр), та поверхня з позитивною гаусовою кривизною (сфера … Вікіпедія

Певний інтеграл як площа постаті Чисельне інтегрування (історична назва: квадратура) обчислення значення певного інтегралу(Як правило, наближене), засноване на тому, що величина інтеграла чисельно дорівнює площі ... Вікіпедія

Класична електродинаміка … Вікіпедія

Теорема Остроградського Гаусазатвердження інтегрального обчислення функцій багатьох змінних, що встановлює зв'язок між n-кратним інтегралом по області та (n-1) кратним інтегралом по її кордоні. Нехай V = (v1,v2,...,vn) є векторне поле ... Вікіпедія

Формула Остроградського математична формула, яка виражає потік векторного поля через замкнуту поверхню інтегралом від дивергенції цього поля за об'ємом, обмеженим цією поверхнею: тобто інтеграл від векторної дивергенції… Вікіпедія

М.В. Остроградський - російський математикта фізик часів Російської імперіїакадемік. Зробив величезний внесок у розвиток математичного аналізу, теорії ймовірностей, механіки (розділу фізики), теорії чисел. У 1826 році вивів формулу, яку тепер називають формулою Остроградського - Гаусса.

Історія відкриття

Вперше формула Остроградського – Гауса була згадана Жозефом Лагранжем у 1762 році.

Далі основний спосіб приведення потрійного інтеграла до поверхневого був доведений Карлом Гауссом, який використав як основу для доказу вирішення проблем в електродинаміці. Сталося це у першій половині ХІХ століття.

Сенс формули Остроградського

Формула Остроградського-Гаусса співвідносить потрійний інтеграл за просторовим об'ємом з інтегралом по поверхні на його межі. Вона є аналогом формули Гріна, яка співвідносить подвійний інтеграл по площині з криволінійним її межами.

Висновок формули

Формула Остроградського – Гауса: висновок. Припустимо, що в області W визначено підінтегральну функцію R (x, y, z), яка є певною і безперервною. Аналогічною є і її похідна у всій області W, включаючи її кордон. У такому вигляді відома зараз теорема Остроградського – Гауса (формула наведена нижче).

Причому S - поверхня, яка обмежує тіло, а інтеграл праворуч поширений її зовнішній бік.

І абсолютно правильно,

Якщо аналогічно брати до уваги й інтеграли на поверхні, то

при цьому справа знаходиться сума двох інтегралів - перший із них співвідноситься з верхньою частиноюповерхні (S2), а другий - з нижньою частиною поверхні (S1). Якщо приписати до цієї рівності праворуч інтеграл, зазначений нижче, його справедливість не буде порушена:

Він співвідноситься з зовнішньою частиноюповерхні S 3 через рівність нуля.

Якщо об'єднати всі три вищезгадані інтеграли в один, буде отримано окремий випадокформули Остроградського

Неважко зрозуміти, що дана формулавірна для ширшого класу тіл і справедлива так само для фігур, обмежених будь-якими нелінійними поверхнями.

Аналогічно справедливі такі формулы:

якщо функції Q та P безперервні в області разом зі своїми похідними dP/dx та dQ/dy.

Якщо скласти обидві рівності, буде одержано вираз формули Остроградського. Вона відображає інтеграл по поверхні, співвіднесений із зовнішньою частиною поверхні, через потрійний інтеграл, який береться по тілу, межею якого є вищевказана поверхня.

Слід розуміти, що формули Гріна, Стокса та Остроградського виражають інтеграл, пов'язаний із деяким геометричним тіломчерез інтеграл, який береться на його кордоні. Формула Гріна використовується лише у разі двовимірності простору, формула Стокса – до викривленого двовимірного простору.

Формулу Ньютона-Лейбніца можна також як деякий аналог цих формул, але з одномірного простору.

Застосування цієї формули

Нехай у будь-якій незамкненій області простору задані безперервні функції A, B і C. Взявши будь-яку замкнуту поверхню, що знаходиться в даній області та обмежує деяке тіло, можна розглянути наступний інтеграл по поверхні:

Необхідно знайти такі значення A, B і C, щоб за будь-яких x, y і z даний інтеграл виявлявся дорівнює нулю.

Для цього необхідно використати формулу Остроградського-Гаусса. Однією з умов є визначеність і безперервність функцій A, B і C та їх похідних.

Також потрібно спеціально ввести найбільш дане для даного випадкуобмеження: і тіло, і його поверхню, що обмежує, повинні утримуватися одночасно в конкретній і зазначеній області, звану однозв'язною. Основна його особливість полягає у відсутності порожнього простору (у тому числі й точкового). Таким чином, межею тіла буде одна і при цьому єдина поверхня.

Після застосування формули можливе отримання наступної умови, яка є достатньою:

Щоб довести, що умова так само й необхідна, достатньо скористатися диференціюванням потрійного інтеграла.

Наприкінці слід сказати про сферах використання.

Як же застосовується практично формула Остроградського-Гаусса? Приклади використання можна виявити в самих різних сферах: для виведення деяких формул у фізиці (наприклад, рівняння дифузії), перетворення інтегралів, обчислення інтегралів Гаусса, докази деяких формул та багато іншого.

Розглянемо поле точкового заряду $q$, знайдемо потік вектора напруженості ($\overrightarrow(E)$) через замкнуту поверхню $S$. Вважатимемо, що заряд знаходиться всередині поверхні. Потік вектора напруженості через будь-яку поверхню дорівнює кількості ліній вектора напруженості, які виходять назовні (починаються на заряді, якщо $q>0$) або кількості ліній $\overrightarrow(E)$входять усередину, якщо $q \[Ф_E=\frac( q)((\varepsilon )_0)\ \left(1\right),\]

де знак потоку збігається із знаком заряду.

Теорема Остроградського – Гауса в інтегральній формі

Припустимо, що всередині поверхні S знаходиться N точкових зарядів, величини $ q_1, q_2, \ dots q_N.

Отже, для потоку системи точкових зарядів можна записати:

Використовуємо формулу (1), отримуємо, що:

\[Ф_E=\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )\ left(4\right).\]

Рівняння (4) означає, що потік вектора напруженості електричного полячерез замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумізарядів, що знаходяться всередині цієї поверхні, поділеної на електричну постійну. Це теорема Остроградського - Гауса в інтегральної форми. Ця теоремає наслідком закону Кулона. Значення цієї теореми у тому, що вона дозволяє досить легко обчислювати електричні поля за різних розподілах зарядів.

Як наслідок теореми Остроградського - Гауса треба сказати, що потік вектора напруженості ($Ф_E$) через замкнуту поверхню у разі якого заряди знаходяться поза даної поверхні, дорівнює нулю.

У разі, коли можна не враховувати дискретність зарядів використовують поняття об'ємної щільностізаряду ($\rho$), якщо заряд розподілено за обсягом. Вона визначена як:

\[\rho =\frac(dq)(dV)\left(5\right),\]

де $dq$ - заряд, який вважатимуться точковим, $dV$ -- малий обсяг. (Щодо $dV$ необхідно зробити таке зауваження. Даний об'єм малий настільки, щоб щільність заряду в ньому можна було вважати постійною, але досить великою, щоб не почала проявлятися дискретність заряду). Сумарний заряд, який знаходиться в порожнині, можна знайти як:

\[\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )=\int\limits_V(\rho dV)\left(6\right).\]

У такому разі формулу (4) перепишемо у вигляді:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV)\left(7\right).\ ]

Теорема Остроградського – Гауса в диференційній формі

Використовуючи формулу Остроградського - Гауса для будь-якого поля векторної природи, за допомогою якої здійснюється перехід від інтегрування замкнутої поверхні до інтегрування за обсягом:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(a)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(a)dV\ \left(8\right),\]

де $\overrightarrow(a)-$вектор поля (у нашому випадку це $\overrightarrow(E)$), $div\overrightarrow(a)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(a)=\frac(\partial a_x)(\partial x)+\frac(\partial a_y)(\partial y)+\frac(\partial a_z)(\partial z)$ -- дивергенція вектора $\overrightarrow(a)$ у точці з координатами ( x,y,z), яка відображає векторне поле на скалярному. $\overrightarrow(\nabla )=\frac(\partial )(\partial x)\overrightarrow(i)+\frac(\partial )(\partial y)\overrightarrow(j)+\frac(\partial )(\ partial z) \ overrightarrow (k) $ - оператор набла. (У нашому випадку буде $div\overrightarrow(E)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(E)=\frac(\partial E_x)(\partial x)+\frac(\partial E_y)(\partial y) +\frac(\partial E_z)(\partial z)$) - дивергенція вектора напруженості. Дотримуючись вищесказаного, формулу (6) перепишемо як:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(E)dV=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V( \rho dV)\left(9\right).\]

Рівності в рівнянні (9) виконуються для будь-якого об'єму, а це можливо тільки, якщо функції, які знаходяться в підінтегральних виразах, рівні в кожному струмі простору, тобто ми можемо записати, що:

Вираз (10) - теорема Остроградського - Гауса в диференційної форми. Трактування її таке: заряди є джерелами електричного поля. Якщо $div\overrightarrow(E)>0$, то в цих точках поля (позитивні заряди) ми маємо джерела поля, якщо $div\overrightarrow(E)

Завдання: Заряд рівномірно розподілений за об'ємом, у цьому об'ємі виділена кубічна поверхня зі стороною b. Вона вписана у сферу. Знайдіть відношення потоків вектора напруженості через ці поверхні.

Відповідно до теореми Гауса потік ($Ф_E$) вектора напруженості $\overrightarrow(E)$ через замкнуту поверхню при рівномірному розподілізаряду за обсягом дорівнює:

\[Ф_E=\frac(1)((\varepsilon )_0)Q=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV=\frac(\rho )((\varepsilon ) _0)\int\limits_V(dV)=\frac(\rho V)((\varepsilon )_0))\left(1.1\right).

Отже, нам необхідно визначити обсяги куба та кулі, якщо куля описати навколо цього куба. Для початку обсяг куба ($V_k$) якщо сторона його b дорівнює:

Знайдемо об'єм кулі ($V_(sh)$) за формулою:

де $D$ -- діаметр кулі і (оскільки куля описаний навколо куба), головна діагональ куба. Отже, нам необхідно виразити діагональ куба через його бік. Це легко зробити, якщо використати теорему Піфагора. Для обчислення діагоналі куба, наприклад, (1,5), нам спочатку необхідно знайти діагональ квадрата (нижньої основи куба) (1,6). Довжина діагоналі (1,6) дорівнює:

У такому випадку довжина діагоналі (1,5) дорівнює:

\[(D=D)_(15)=\sqrt(b^2+((\sqrt(b^2+b^2\ \ )))^2)=b\sqrt(3)\ \left (1.5 \ right). \]

Підставимо в (1.3) знайдений діаметр кулі, отримаємо:

Тепер ми можемо знайти потоки вектора напруженості через поверхню куба, вона дорівнює:

\[Ф_(Ek)=\frac(\rho V_k)((\varepsilon )_0)=\frac(\rho b^3)((\varepsilon )_0)\left(1.7\right),\]

через поверхню кулі:

\[Ф_(Esh)=\frac(\rho V_(sh))((\varepsilon )_0)=\frac(\rho )((\varepsilon )_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Знайдемо відношення $\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))$:

\[\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))=\frac(\frac(с)(\varepsilon_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3)(\frac (сb^3)(\varepsilon_0))=\frac(\pi)(2)\sqrt(3)\ \approx 2,7\left(1.9\right).

Відповідь: Потік через поверхню кулі в 2,7 рази більший.

Завдання: Доведіть, що заряд провідника розташовується на поверхні.

Використовуємо для доказу теорему Гауса. Виділимо у провіднику замкнуту поверхню довільної форми біля поверхні провідника (рис.2).

Припустимо, що заряди всередині провідника є, запишемо з теорему Остроградського – Гауса для дивергенції поля маємо для будь-якої точки поверхні S:

де $ rho -щільність $ внутрішнього заряду. Однак поля всередині провідника немає, тобто $\overrightarrow(E)=0$, отже $div\overrightarrow(E)=0\to \rho =0$. Теорема Остроградського - Гауса в диференціальній формі локальна, тобто вона записана для точки поля, ми спеціальним чином точку не вибирали, отже, щільність заряду дорівнює нулю в будь-якій точці поля всередині провідника.

Нехай компоненти векторного поля безперервні і мають безперервні приватні похідні у просторово однозв'язній замкнутій області V і на її шматково гладкій межі .

Тоді справедлива формула Остроградського – Гауса

Зауважимо, що ліва частина формули є потіком векторного поля
через поверхню .

Доведення. 1) Формула Остроградського - Гауса, в силу довільності P, Q, R складається з трьох частин, у кожну з яких входить одна з компонент векторного поля P, Q, R. Насправді, можна взяти P = 0, Q = 0 і доводити окремо частину формули в яку входить лише R. Інші частини формули (при P=0, R=0, Q=0, R=0) доводяться аналогічно. Будемо доводити частину формули

2) Для доказу обраної частини формули представимо просторову область V як об'єднання кінцевого числа циліндричних тіл, що не мають загальних внутрішніх точок, з утворюючими, паралельними осі OZ. Доказ можна проводити для циліндричного тіла. Справді, потрійний інтеграл у правій частині дорівнює сумі потрійних інтегралівпо циліндричних тілах (властивість адитивності). Поверхневий інтеграл у лівій частині також дорівнює сумі поверхневих інтегралів по повних поверхнях циліндричних тіл, причому при підсумовуванні інтеграли за загальними межами сусідніх циліндричних тіл скорочуватимуться через протилежне спрямування зовнішніх нормалей на загальних межах.

Отже, доводитимемо співвідношення
для циліндричного тіла V, що проектується в область D на площині OXY. Нехай «верхня» межа циліндричного тіла – поверхня описується рівнянням
, «нижня» межа – поверхня описується рівнянням
. Бічна поверхня циліндричного тіла, паралельна осі OZ, позначимо .

Відразу зауважимо, що потік векторного поля через бічну поверхню дорівнює нулю. Справді, так як нормаль на бічній поверхні ортогональна осіOZі
.

Зауважимо також, що на «верхній» поверхні
, а на «нижній поверхні
. Тому при переході від поверхового інтеграла по до подвійному інтегралупо областіDі назад треба змінювати знак, а при переході від поверхового інтеграла по до подвійного інтегралу по області і назад змінювати знак не треба.

Зауваження.Формулу Остроградського – Гауса можна записати у «польовому» вигляді

- Потік векторного поля через замкнуту поверхню дорівнює об'ємному інтегралу від дивергенції поля по області, обмеженою поверхнею .

Дивергенція векторного поля(розбіжність) є
.

Дивергенція – це характеристика векторного поля, інваріантна щодо системи координат. Покажемо це.

Інваріантне визначення дивергенції.

Розглянемо довільну точку M у просторовій ділянці V. Виберемо її околицю V M – кулю радіуса з центром у точці M. Позначимо
- її кордон – сферу радіусу. За теоремою про середнє для потрійного інтеграла

(За формулою Остроградського – Гауса).

Стягуємо околицю до точки M, отримуємо дивергенцію векторного поля в точці M.

. Це і є інваріантне визначення дивергенції.

Тому дивергенція векторного поля у точціMмає сенс об'ємної щільності потоку векторного поля через околицю цієї точки та характеризує потужність джерела (якщо
>0) або стоку (якщо
<0) векторного поля в точціM.

Якщо
>0 точка M– джерело векторного поля, якщо
<0, то точка M– сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

приклад.Визначити розташування джерел та стоків векторного поля. З'ясувати, чи точка M (1,2,3) джерелом або стоком.

Усі точки, котрим 2xy+xz >0 – джерела, всі точки, котрим 2xy+xz<0– стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M– источник, так как.